专题05 平行线中的拐点模型之蛇形模型（5字模型）-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版2024）

专题05 平行线中的拐点模型之蛇形模型（5字模型） 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（蛇形模型（“5”字模型））进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型1.蛇形模型（“5”字模型） 1 9 模型1.蛇形模型（“5”字模型） 图1 图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 例1．（2023下·福建南平·七年级统考期中）已知：，，，则度数为（    ） A．60° B．80° C．85° D．75° 例2．（23-24下·广东·七年级校考期末）如图，是某运动员在一次山地自行车越野赛中经过的路线，已知第一次的拐角，第三次的拐角，若第三次拐弯后的道路恰好与第一次拐弯前的道路平行，则第二次的拐角的度数为（   ） A． B． C． D． 例3．（2023下·山东泰安·六年级统考期末）如图，已知直线，为平面内一点，连接，．则、、之间的等量关系为 ．    例4．（2024下·四川成都·七年级统考期末）如图1是一盏可调节台灯，图2为示意图，固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线组成的始终保持不变，现调节台灯使外侧光线，，若，则的度数为 ．    例5．（2024下·四川广安·七年级统考期末）如图1是十二星座中的天秤座的主要星系连线图，将各个主要星系分别用字母表示，得到如图2的几何示意图，已知．试说明．    例6．（2024下·陕西汉中·七年级校考期中）如图，已知直线，P是平面内一点，连接．    (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)如图③，试判断和之间的数量关系，并说明理由． 例7．（2024七年级下·湖北·专题练习）如图，，点是直线上一点，点是平行线、内部一点，连接、．    (1)如图1，当，，求的度数； (2)如图2，平分，平分，与相交于点，求证：； (3)如图3，平分，平分，过点作，请直接写出与的数量关系． 例8．（2024下·河北邢台·七年级校考阶段练习）已知． 【初步感知】如图，若，求的度数； 【拓展延伸】如图，点E，F在两平行线之间，求证：； 【类比探究】如图，，若，求的度数．            1．（23-24下·山东·七年级校考期末）如图，，，则，，的关系是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24下·安徽·七年级校考期末）如图，某煤气公司铺设煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡住了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设．若，，则的度数应为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·重庆江津·期中）如图，，平分，平分，，求（     ） A． B． C． D． 4．（2024下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，，平分，的反向延长线交的平分线于点M，则与的数量关系是（    ）    A． B． C． D． 5．（2024下·山东德州·七年级统考期中）如图，，则下列说法中一定正确的是　　    A． B． C． D． 6．（2024下·山东聊城·七年级统考期末）七年级四班在项目学习中研究生活中的平行关系，小明发现家中的护眼灯，如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，则的度数为 ．    7．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，，则 度．    8．（2024下·上海松江·七年级校考期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的是，第二次拐弯处的角是，第三次拐弯处的是，这时道路恰好是和第一次拐弯之前的道路平行，则 ． 9．（2024七年级上·广东·专题练习） 某段江水流向经过、、三点拐弯后方向与原来相同，如图，若，，则 ． 10．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，点E，F为与之间两点，，若，，则的度数为 ． 11．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）某乡要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东方向到B村，从B村沿北偏西方向到C村，再沿方向修建．若直线，若，则的值是 ． 12．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，直线，，，，，则的度数为 ． 13．（23-24七年级上·福建三明·期中）如图，，则，，，，满足的数量关系是 ． 14．（2023下·湖南永州·七年级校考期中）如图所示，已知，，，求的大小．    15．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，，若，，，求的度数．（提示：分别过点M，N作的平行线） 16．（2024下·河北秦皇岛·七年级校考期中）（1）问题背景： 如图1，已知，写出与之间的数量关系，并说明理由． （2）知识迁移：如图2，，，则___°． （3）方法应用：如图3，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即），若，，则的度数是___． 17．（2024下·吉林松原·七年级统考期中）（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现：，请你写出证明过程； （2）拓展探究：如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：． （3）解决问题：如图③，，，，则________．（直接写出结论，不用写计算过程） 18．（2024下·湖北荆州·七年级校考期中）如图，，点，，，不在同一条直线上． (1)如图，求证： (2)如图，直线，交于点，且，． ①试探究与的数量关系；②如图，延长交射线于点，若，，则的度数为 用含的式子表示． 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平行线中的拐点模型之蛇形模型（5字模型） 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（蛇形模型（“5”字模型））进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型1.蛇形模型（“5”字模型） 1 9 模型1.蛇形模型（“5”字模型） 图1 图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 例1．（2023下·福建南平·七年级统考期中）已知：，，，则度数为（    ） A．60° B．80° C．85° D．75° 【答案】D 【分析】过点作，根据两直线平行，同旁内角互补可得，再根据两直线平行，内错角相等得出，然后整理即可得解. 【详解】解：过点作， ∵，，（两直线平行，内错角相等）， （已知），（平行于同一直线的两直线平行），， （两直线平行，同旁内角互补） 即，，.故选D. 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，作辅助线构造出平行线是解题的关键. 例2．（23-24下·广东·七年级校考期末）如图，是某运动员在一次山地自行车越野赛中经过的路线，已知第一次的拐角，第三次的拐角，若第三次拐弯后的道路恰好与第一次拐弯前的道路平行，则第二次的拐角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，过点作直线，∴． ∵，且，∴，∴， ∴ 故选：A． 例3．（2023下·山东泰安·六年级统考期末）如图，已知直线，为平面内一点，连接，．则、、之间的等量关系为 ．    【答案】 【分析】过点作，从而可得，再根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图，过点作，，    ，，，， ，， 则、、之间的等量关系为，故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 例4．（2024下·四川成都·七年级统考期末）如图1是一盏可调节台灯，图2为示意图，固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线组成的始终保持不变，现调节台灯使外侧光线，，若，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】如图所示，过点A作，过点B作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到． 【详解】解：如图所示，过点A作，过点B作， ∵，∴，∵，∴，即， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，故答案为：    【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 例5．（2024下·四川广安·七年级统考期末）如图1是十二星座中的天秤座的主要星系连线图，将各个主要星系分别用字母表示，得到如图2的几何示意图，已知．试说明．    【答案】见解析 【分析】方法一：延长交于点，则，由平行线的性质可得，再由三角形内角和定理进行计算即可得到答案； 方法二：过点作，则，由平行线的性质可得，，，进行计算即可得到答案． 【详解】解：方法一：如图1，延长交于点，   ，   ， ∴，∵，∴， ∴，∴； 方法二：如图2，过点作， ∵，∴，∴，， ∴，， ∴，即．（任选一种方法说明即可） 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等，是解题的关键． 例6．（2024下·陕西汉中·七年级校考期中）如图，已知直线，P是平面内一点，连接．    (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)如图③，试判断和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)(3)，见解析 【分析】（1）过点作，根据两直线平行同旁内角互补可得答案；（2）过点作，根据两直线平行内错角相等可得出，根据平行线公理及性质可得出，最后根据角的和与差即可得出答案；（3）过点作，则，据平行线的性质及角的和与差即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作，              ，，，， ，，，， ，， ，； （2）解：如图1，过点作，，． ，，． ，， （3）解：． 理由：如图2，过点作，则， ，， ，． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键． 例7．（2024七年级下·湖北·专题练习）如图，，点是直线上一点，点是平行线、内部一点，连接、．    (1)如图1，当，，求的度数； (2)如图2，平分，平分，与相交于点，求证：； (3)如图3，平分，平分，过点作，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）过点作，由平行线的性质得出，，根据，计算求解即可；（2）根据（1）中的结论先得到：，，再由角平分线的定义即可得出结论；（3）作的角平分线交于点，由邻补角的角平分线互相垂直得到，由根据两直线平行，同旁内角互补得到与的关系，再由（2）题的结论即可得出与的数量关系即可． 【详解】（1）解：如图1所示，过点作，∴，         ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴的度数为； （2）证明：由（1）得：，同理：， ∵平分，平分，∴，， ∴，∴； （3）解：如图3，作的角平分线交于点，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，即， ∵，∴，即， ∴，由（2）得：，． 例8．（2024下·河北邢台·七年级校考阶段练习）已知． 【初步感知】如图，若，求的度数； 【拓展延伸】如图，点E，F在两平行线之间，求证：； 【类比探究】如图，，若，求的度数．            【答案】初步感知：；拓展延伸：见解析；类比探究： 【分析】（1）【初步感知】由平行线的性质及已知即可求得结果； （2）【拓展延伸】过点E作，过点F作．由平行线的性质即可证得； （3）【类比探究】利用【拓展延伸】中得到的结论，结合已知即可求得． 【详解】解：【初步感知】∵，∴． ∵，∴，∴； 【拓展延伸】证明：如图，过点E作，过点F作．    ∵，∴， ∴，，， ∴； 【类比探究】由【拓展延伸】中的结论，得， ∴． ∵，，∴． 同理可得，即， ∴，∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角的运算，掌握平行线的性质是解题的关键． 1．（23-24下·山东·七年级校考期末）如图，，，则，，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线是解题的关键．分别过点C、D作的平行线，即，根据平行线的性质得，，由，得，再由，即可得到． 【详解】如图，分别过点C、D作的平行线，即， 根据平行线的性质得，， ，， 又，，即，故选：A． 2．（23-24下·安徽·七年级校考期末）如图，某煤气公司铺设煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡住了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设．若，，则的度数应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 过作，得到，继而得到，得出，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过作， ，，， ，， ，，，故选：C ． 3．（23-24七年级下·重庆江津·期中）如图，，平分，平分，，求（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质：分别过G、H作的平行线和，根据平行线的性质和角平分线的性质可用和分别表示出和，从而可找到和的关系，结合条件可求得． 【详解】解：如图，分别过G、H作的平行线和，∵，∴， ∴，， ∴， ， ∴， 又，∴，∴， ∴，∴，故选B． 4．（2024下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，，平分，的反向延长线交的平分线于点M，则与的数量关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用角平分线的定义得到，，过M作，过N作，再利用平行线的判定与性质得到，，，，经过角度之间的运算得到，，即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， 过M作，过N作，则，，    ∵，∴，，∴，， ∴，即， 又∵， ∴，即，故选：D． 【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质、角的运算，添加平行线，利用平行线的性质探究角之间的关系是解答的关键． 5．（2024下·山东德州·七年级统考期中）如图，，则下列说法中一定正确的是　　    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题要作辅助线，过点作，则根据平行线的传递性，得．先利用，可得，即，再利用，可得，而，整理可得：． 【详解】解：过点作，    ，，，， 又，，．故选：B． 【点睛】注意此类题要作的辅助线：构造平行线．根据平行线的性质即可找到三个角之间的关系． 6．（2024下·山东聊城·七年级统考期末）七年级四班在项目学习中研究生活中的平行关系，小明发现家中的护眼灯，如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，则的度数为 ．    【答案】/100度 【分析】过点D作，过点E作，根据平行线的性质和垂直的定义，进行求解即可． 【详解】解：过点D作，过点E作，    ∵，∴，∵，∴， ∴，， ∵，∴，， ∴．故答案为： 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线． 7．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，，则 度．    【答案】 【分析】根据，得出，根据，即可得出，即可求解． 【详解】解：∵，∴， ∵，∴，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补． 8．（2024下·上海松江·七年级校考期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的是，第二次拐弯处的角是，第三次拐弯处的是，这时道路恰好是和第一次拐弯之前的道路平行，则 ． 【答案】/97度 【分析】过B作，由推出，再根据平行线的性质可求出和，进而求出． 【详解】解：如图，过B作， ∵，∴，∴， ∵，∴，则．故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和角的计算． 9．（2024七年级上·广东·专题练习） 某段江水流向经过、、三点拐弯后方向与原来相同，如图，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，过点作，则，根据平行线的性质得，，然后用角度和差即可求解，熟练掌握平行线的性质，平行公理推论是解题的关键． 【详解】解：过点作， ∵经过三点拐弯后与原来相同，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，故答案为：． 10．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，点E，F为与之间两点，，若，，则的度数为 ． 【答案】/16度 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．分别过点E，F作，可得，从而得到，，即可求解． 【详解】解：如图，分别过点E，F作， ∵，∴，∴，，， ∵，即，∴， ∵，∴．故答案为：． 11．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）某乡要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东方向到B村，从B村沿北偏西方向到C村，再沿方向修建．若直线，若，则的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了方位角，平行线的性质，掌握方位角，平行线的性质，找出题干中式子之间的关系是解本题的关键．由平行可得，再利用得出，，代入即可求出． 【详解】解：如图，取，，三点， ，，，，，， ，，，即， ，即，．故答案为：7． 12．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，直线，，，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，分别过点分别作的平行线，，设交于点，根据平行线的性质可得，进而求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，分别过点分别作的平行线，，设交于点， ∵∴∴ ∵，∴∵∴ ∵∴∵∴ ∵，∴ ∵∴∴故答案为：． 13．（23-24七年级上·福建三明·期中）如图，，则，，，，满足的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，过，，的顶点，分别作的平行线，根据平行线的性质得出，，，，进而得出，，代入，即可求解． 【详解】解：如图所示，过，，的顶点，分别作的平行线， ∵，∴，∴；同理可得， ∴，，，∴， 则，， 即∴；故答案为：． 14．（2023下·湖南永州·七年级校考期中）如图所示，已知，，，求的大小．    【答案】 【分析】过点作，由可得，由此得出的度数，由可得，再结合即可得出结论． 【详解】解：如图，过点E作，则（两直线平行，同旁内角互补）    ∴， 又，∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴（两直线平行，内错角相等） ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定及性质以及角的计算，解题的关键是得出和的度数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角，再根据角与角之间的关键即可得出结论． 15．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，，若，，，求的度数．（提示：分别过点M，N作的平行线） 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，解题的关键是掌握平行线性质定理，并能熟练应用角的和差倍分关系解决问题．过点M，N分别作，的平行线，得出，然后利用角的和差计算即可得解． 【详解】解：如图，过点M，N分别作，的平行线， ，， ，，， ，，，， ，，． 16．（2024下·河北秦皇岛·七年级校考期中）（1）问题背景： 如图1，已知，写出与之间的数量关系，并说明理由． （2）知识迁移：如图2，，，则___°． （3）方法应用：如图3，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即），若，，则的度数是___． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3） 【分析】（1）过点G作，利用平行线的性质可解；（2）由（1）可知：，且，可得，从而得出；（3）延长EA至点M，延长DC至点N，根据，可得，进而得到，然后可求出的度数． 【详解】（1）问题背景：，理由如下：过点G作， ∵，∴，∴， ∴， （2）知识迁移：∵，∴由（1）可知：， ∵，∴，∴，故答案是：； （3）方法应用：延长至点M，延长至点N，∵，∴， ∵，，∴， ∴．故答案是：． 【点睛】此题主要考查了平行线性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 17．（2024下·吉林松原·七年级统考期中）（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现：，请你写出证明过程； （2）拓展探究：如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：． （3）解决问题：如图③，，，，则________．（直接写出结论，不用写计算过程） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据平行判定得到，利用平行线的性质得，，得到，即可求证出答案； （2）类比（1），过点E作EF∥AB，然后根据平行线的判定和性质即可求证出答案； （3）类比，过点作，根据平行判定得到，再根据平行的性质得：，，根据角与角的关系求得：，则可求出答案． 【详解】（1）证明：如图①，过点作， ∵（已知），（辅助线的作法）. ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）. ∵，∴， ∴（等量代换）即. （2）证明：如图②，过点作， ∵（已知），（辅助线的作法）. ∴（平行于同一直线的两直线平行）. ∴，， ∴，∴. （3）解：如图③，过点作， ∵（已知），（辅助线的作法）， ∴（平行于同一直线的两直线平行），∴，， ∵，，∴， ∴，∴.故答案为：. 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，灵活运用平行判断以及平行线的性质找到角与角之间的关系． 18．（2024下·湖北荆州·七年级校考期中）如图，，点，，，不在同一条直线上． (1)如图，求证： (2)如图，直线，交于点，且，． ①试探究与的数量关系；②如图，延长交射线于点，若，，则的度数为 用含的式子表示． 【答案】(1)见解析(2)①；② 【分析】（1）过E作，根据平行线的性质即可得到结论； （2）①设，由（1）知，，过P作，根据平行线的性质即可得到结论； ②过P作，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图1，过E作， ，，，， ∴，即； （2）解：∵，， ∴设，由（1）知， ，如图2，过P作， ，，，， ，即； ②如图3，过P作，，，， ，由①知，， ，故答案为：． 18 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$