专题05 平行线中的拐点模型之蛇形模型（5字模型）-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）

专题05 平行线中的拐点模型之蛇形模型（5字模型） 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（蛇形模型（“5”字模型））进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型1.蛇形模型（“5”字模型） 1 11 模型1.蛇形模型（“5”字模型） 图1 图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 例1．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．过点E作，首先求出，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点E作 ∵∴ ∵∴∵ ∴∴．故选：B． 例2．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即），若，，则的度数是 ． 【答案】/116度 【详解】解：如图，过点作，∴， ∵，∴，由题意可知，， ∴，∴，故答案为：． 例3．（2023下·上海徐汇·七年级校考阶段练习）如图，，那么三者之间的关系为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点E作，然后根据平行线的性质可进行求解． 【详解】解：过点E作，如图所示：    ∵，∴，∴， ∵，∴，即；故选C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 例4．（2024下·江苏苏州·七年级校考期中）图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架、为固定支撑杆，灯体是，其中垂直地面于点，过点作射线与地面平行（即），已知两个支撑杆之间的夹角，灯体与支撑杆之间的夹角，则的度数为 ．    【答案】/30度 【分析】过点作．先利用平行线的性质和垂直的定义、角的和差关系求出，再利用平行线的性质和角的和差关系求得结论． 【详解】解：过点作．，．． ，．，． ．故答案为：．    【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质和角的和差关系是解决本题的关键． 例5．（2024下·四川广安·七年级统考期末）如图1是十二星座中的天秤座的主要星系连线图，将各个主要星系分别用字母表示，得到如图2的几何示意图，已知．试说明．    【答案】见解析 【分析】方法一：延长交于点，则，由平行线的性质可得，再由三角形内角和定理进行计算即可得到答案； 方法二：过点作，则，由平行线的性质可得，，，进行计算即可得到答案． 【详解】解：方法一：如图1，延长交于点，   ，   ， ∴，∵，∴， ∴，∴； 方法二：如图2，过点作， ∵，∴，∴，， ∴，， ∴，即．（任选一种方法说明即可） 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等，是解题的关键． 例6．（2024下·山东烟台·七年级统考期末）课题学习：平行线的“等角转化”功能． (1)阅读理解：如图，已知点是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．       解：过点作，所以　　，　　， 又因为，所以． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)方法运用：如图1，已知，求的度数； (3)深化拓展：已知直线，点为平面内一点，连接、． ①如图2，已知，，请直接写出的度数； ②如图3，请判断、、之间的数量关系，并说明理由．    【答案】(1)；(2) (3)①；②，理由见解析 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等即可得出结论；（2）过点作，根据两直线平行同旁内角互补得出，，即可得到最后结论；（3）①的度数为，过点作，根据平行线性质求得，，即可求得的度数；②，过点作，根据平行线性质得到，，即可退出最后结论． 【详解】（1）解：过点作， ，， 又因为，所以；       （2）解：如图，过点作， ，，， ，， ，； （3）解：①的度数为；       理由：过点作，，，，， ，，； ②， 理由：过点作，，，， ，， ，，． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解答本题的关键是正确作出辅助线，利用平行线的性质进行推理． 例7．（2024下·重庆璧山·七年级校联考阶段练习）已知：点A、C、B不在同一条直线上，． (1)如图①，当，时，求的度数； (2)如图②，AQ、BQ分别为、的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，且有，，直接写出的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）过点C作，则，根据平行线的性质可得出、，将其代入即可求出的度数；（2）过点Q作，则，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出，结合（1）的结论可得出； （3）由（2）的结论可得出①，由可得出②，联立①②可求出、的度数，再结合（1）的结论可得出的度数，将其代入中可求出结论． 【详解】（1）如图1，过C点作，则， ∴，，∵，， ∴； （2）如图2，过Q作，则，∴，， ∵平分，平分，∴，， ∴， 由（1）知，， ∵，∴，∴； （3）∵，∴，， ∴，∵，∴， ∵，∴，即， ∴，，∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 例8．（2024下·广东广州·七年级统考期末）甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下： 第一步：将一根铁丝在，，处弯折得到如下图①的形状，其中，． 第二步：将绕点D旋转一定角度，再将绕点E旋转一定角度并在上某点处弯折，得到如下图②的形状． 第三步：再拿出另外一根铁丝弯折成，跟前面弯折的铁丝叠放成如下图③的形状． 请根据上面的操作步骤，解答下列问题：(1)如图①，若，求；(2)如图②，若，请判断，，，之间的数量关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，如图③，若，，设，，求．（用含，的式子表示） 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据解题得出，进而根据，即可求解； （2）过点分别作的平行线，根据平行线的性质得出设，进而根据平行线的性质得出，，即可得出结论； （3）根据（2）的结论可得，，根据已知，，可得，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，∴解得：，∵．∴； （2）解：如图所示，过点分别作的平行线， ∴，∴，设， 又∵，∴，， ∴，，∴，； （3）∵，，， 即，∴， 由（2）可得，∵，， ∴，即， ∴，∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 1．（23-24七年级上·湖北十堰·期末）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行公理的推论，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．过点作，由平行公理的推论可得，由两直线平行内错角相等可得，由两直线平行同旁内角互补可得，结合已知条件，，进而可得，，然后根据即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作， ，，，， ，，，， ，故选：． 2．（2024下·广东深圳·七年级校联考期中）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若，则等于（    ） A．50° B．40° C．30° D．20° 【答案】D 【分析】过点C作，根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：过点C作，∴， ∵∴； ∵，∴； 由题意，∴，∴．故选：D 【点睛】本题考查平行线的判断和性质，作出辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 3．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，，，则，与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，添加平行线是解题的关键．过点E作，过点F作，根据平行线的性质可求得，，，所以，再证明，即可代入得到答案． 【详解】过点E作，过点F作，， ，，， ，，，， ．故选：B． 4．（23-24七年级下·湖北黄冈·期中）如图，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质；根据平行线的性质求得，再由平行线的性质即可求得的度数． 【详解】解：，，； ，；故选：A． 5．（23-24广东七年级下学期期末数学试题）跨学科试题·音乐五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的性质．根据平行线的性质得到，，进而求解即可． 【详解】如图所示， ∵，，∴， ∵，，∴，∴．故选：A． 6．（23-24七年级下·重庆江津·期中）如图，，平分，平分，，求（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质：分别过G、H作的平行线和，根据平行线的性质和角平分线的性质可用和分别表示出和，从而可找到和的关系，结合条件可求得． 【详解】解：如图，分别过G、H作的平行线和，∵，∴， ∴，， ∴， ， ∴， 又，∴，∴， ∴，∴，故选B． 7．（2024下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，，平分，的反向延长线交的平分线于点M，则与的数量关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用角平分线的定义得到，，过M作，过N作，再利用平行线的判定与性质得到，，，，经过角度之间的运算得到，，即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， 过M作，过N作，则，，    ∵，∴，，∴，， ∴，即， 又∵， ∴，即，故选：D． 【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质、角的运算，添加平行线，利用平行线的性质探究角之间的关系是解答的关键． 8．（23-24七年级上·福建三明·期中）如图，，则，，，，满足的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，过，，的顶点，分别作的平行线，根据平行线的性质得出，，，，进而得出，，代入，即可求解． 【详解】解：如图所示，过，，的顶点，分别作的平行线， ∵，∴，∴；同理可得， ∴，，，∴， 则，， 即∴；故答案为：． 9．（24-25陕西八年级期末）如图，，点C、D为这两条平行线之间的两个点，连接，，设，，，则x、y、z之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点C、D分别作，则，再由平行线的性质得到，，，由垂线的定义得到，再由即可得到结论． 【详解】解：如图所示，过点C、D分别作， ∵，∴，∴，，， ∵，∴，∴，即 ∵，∴，∴，故答案为：． 10．（2024下·上海普陀·七年级统考期中）如图，已知直线，点分别在直线上，如果， ，那么＝ °．    【答案】140 【分析】利用平行线的性质，角的和意义计算即可． 【详解】∵直线，∴，    ∵， ，∴， ∴，故答案为：140． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 11．（2024下·辽宁鞍山·七年级校考阶段练习）如图所示，，，，若将线段绕点B旋转使得，则至少旋转 度．    【答案】70 【分析】线段绕点B旋转到该位置得到，过点E作，先根据平行线的性质，得到，再根据垂线的定义以及平行线的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，线段绕点B旋转到该位置得到，过点E作，    ，，，，，， ，， ， ，， ∵，，∴至少旋转70度，故答案为：70． 【点睛】本题考查了旋转问题，涉及到平行线的判定与性质，正确作出辅助线是关键． 12．（23-24七年级下·陕西安康·期中）如图，小明从A地出发沿北偏东方向走到B地，再从B地出发沿北偏西方向走到C地，若道路与平行，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了方向角，平行线的性质，根据方向角，可得，根据平行线的性质，可得的度数，进而求出的度数，根据两直线平行内错角相等，可得答案． 【详解】解：根据题意，得，， ，，． 13．（23-24下·福建·七年级校考期中）如图，已知：，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．过点E作直线，使得，利用平行线的性质即可得证． 【详解】解：如图，过点E作直线，使得， 因为，所以．因为，所以，所以． 因为，所以，故． 14．（23-24下·江苏·七年级校考期末）如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数；(2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 【答案】(1)(2) 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作，， ，，，， ，，； （2），，，， ，． 15．（23-24下·山东·七年级校考期末）我国古代观星，并对星图进行艺术加工可以追溯到公元前，敦煌星图是世界现存古代星图中星数较多，年代最早的星图，绘制于唐代．元朝数学家郭守敬重新观测了二十八星宿（东南西北各七宿，图1是其中的南方七宿之翼），编制了当时最先进的历法《授时历》． 小明学习了平行线知识，画出了“南方七宿之翼”的上半部分（如图2），；    (1)当，时，根据所学知识，可求得______； (2)当时，如图2，猜想和的数量关系______； (3)小明又发现，当a和b不平行时，则相交于点P，得到，如图3，如果为定值，求的值．（备注：请运用平行线知识解决本题，用“外角定理”或“内角和定理”不得分） 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题主要考查平行线的性质，灵活运用平行线的性质是解题的关键．（1）分别过A，B两点作，则，根据平行线的性质可得，再代入计算即可求解；（2）分别过A，B两点作，则，根据平行线的性质可得，再代入计算即可求解；（3）分别过A，B，E作，则，根据平行线的性质可得，结合为定值可得m，n互为相反数，进而完成解答． 【详解】（1）解：如图2：分别过A，B两点作， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴．故答案为；    （2）解：如图2，分别过A，B两点作AC∥a，BD∥a， ∵a∥b，∴a∥AC∥BD∥b，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴．故答案为； （3）解：如图3，分别过A，B，E作，    ∴，∴， ∴， ∴，即， ∵为定值，即为定值， ∴m，n互为相反数，∴，故答案为． 16．（2024下·山东泰安·七年级统考期末）已如直线，为平面内一点，连接，．    (1)如图1，已知，，求的度数； (2)如图2，小明通过探究，判断、、之间的数量关系为．你认为小明判断正确吗？如正确，给出证明；如不正确，该说明理由． 【答案】(1) (2)正确，证明见解析 【分析】（1）过点P作，由平行线的性质分别求出，即可求解； （2）过点作，则，由平行线的性质得，，把代入整理可得结论成立． 【详解】（1）如图，过点作，，      ，，， ，， ； （2）正确．如图，过点作，则， ，，， ，． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补． 17．（2024上·广东·八年级专题练习）已知，，点C是直线，下方一点，连接，． (1)如图1，求证：；(2)如图2，若，分别平分和，所在的直线相交于点H，若，求的度数；（用含的式子表示）；(3)如图3，若，分和两部分，且，，直线，相交于点H，则____________．（用含n和的式子表示） 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)． 【分析】本题考查平行线的性质，四边形内角和，角平分线相关计算，熟练掌握四边形内角和等于解题关键是．（1）过点B作交CD于点F，根据证明，再利用，且，即可证明； （2）利用角平分线以及四边形内角和等于可得：，整理可得：，再结合（1）结论可得，进一步可求出； （3）设，，则，，由四边形内角和等于可得：，即，由（1）结论可得：，即可求出． 【详解】（1）证明：过点B作交CD于点F，∵，∴， ∵，且， ∴，即． （2）解：∵，分别平分和，，， ，， ， ∴， 整理可得：， 由（1）可得：， ∴，即， ∵，∴． （3）解：∵，， 设，，则且，， 由四边形内角和等于可得：， 即，， 由（1）可得：， ∴，即， ∴，整理得：．故答案为： 18．（2024下·湖南娄底·七年级统考阶段练习）已知点，分别在和上，且．    (1)如图1，若，，则的度数为_____；若，，则的度数为______；(2)如图2，探究、和三个角之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，若，平分，平分，作，求的度数． 【答案】(1)，(2)，理由见解析(3) 【分析】（1）过点作，得出，根据平行线的性质得出，，根据，求出结果即可； （2）过点作，根据平行线的性质得出，，根据，得出，即可得出结论； （3）由（1）得：，由（2）得：，根据角平分线的定义得出，，根据，，得出，代入求出结果即可． 【详解】（1）解：过点作，如图1，       ，，，， ，，，； 当，时，． （2）解：，理由如下：过点作，如图2， ，，，，，， ，，即； （3）解：由（1）得：，即， 由（2）得：，即， 平分，平分，，， ，， ，即，． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，平行公理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线的性质． 18 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平行线中的拐点模型之蛇形模型（5字模型） 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（蛇形模型（“5”字模型））进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型1.蛇形模型（“5”字模型） 1 11 模型1.蛇形模型（“5”字模型） 图1 图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 例1．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 例2．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即），若，，则的度数是 ． 例3．（2023下·上海徐汇·七年级校考阶段练习）如图，，那么三者之间的关系为（    ）．    A． B． C． D． 例4．（2024下·江苏苏州·七年级校考期中）图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架、为固定支撑杆，灯体是，其中垂直地面于点，过点作射线与地面平行（即），已知两个支撑杆之间的夹角，灯体与支撑杆之间的夹角，则的度数为 ．    例5．（2024下·四川广安·七年级统考期末）如图1是十二星座中的天秤座的主要星系连线图，将各个主要星系分别用字母表示，得到如图2的几何示意图，已知．试说明．    例6．（2024下·山东烟台·七年级统考期末）课题学习：平行线的“等角转化”功能． (1)阅读理解：如图，已知点是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．       解：过点作，所以　　，　　， 又因为，所以． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)方法运用：如图1，已知，求的度数； (3)深化拓展：已知直线，点为平面内一点，连接、． ①如图2，已知，，请直接写出的度数； ②如图3，请判断、、之间的数量关系，并说明理由．    例7．（2024下·重庆璧山·七年级校联考阶段练习）已知：点A、C、B不在同一条直线上，． (1)如图①，当，时，求的度数； (2)如图②，AQ、BQ分别为、的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，且有，，直接写出的值． 例8．（2024下·广东广州·七年级统考期末）甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下： 第一步：将一根铁丝在，，处弯折得到如下图①的形状，其中，． 第二步：将绕点D旋转一定角度，再将绕点E旋转一定角度并在上某点处弯折，得到如下图②的形状． 第三步：再拿出另外一根铁丝弯折成，跟前面弯折的铁丝叠放成如下图③的形状． 请根据上面的操作步骤，解答下列问题：(1)如图①，若，求；(2)如图②，若，请判断，，，之间的数量关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，如图③，若，，设，，求．（用含，的式子表示） 1．（23-24七年级上·湖北十堰·期末）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2024下·广东深圳·七年级校联考期中）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若，则等于（    ） A．50° B．40° C．30° D．20° 3．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，，，则，与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·湖北黄冈·期中）如图，，，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24广东七年级下学期期末数学试题）跨学科试题·音乐五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·重庆江津·期中）如图，，平分，平分，，求（     ） A． B． C． D． 7．（2024下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，，平分，的反向延长线交的平分线于点M，则与的数量关系是（    ）    A． B． C． D． 8．（23-24七年级上·福建三明·期中）如图，，则，，，，满足的数量关系是 ． 9．（24-25陕西八年级期末）如图，，点C、D为这两条平行线之间的两个点，连接，，设，，，则x、y、z之间的数量关系为 ． 10．（2024下·上海普陀·七年级统考期中）如图，已知直线，点分别在直线上，如果， ，那么＝ °．    11．（2024下·辽宁鞍山·七年级校考阶段练习）如图所示，，，，若将线段绕点B旋转使得，则至少旋转 度．    12．（23-24七年级下·陕西安康·期中）如图，小明从A地出发沿北偏东方向走到B地，再从B地出发沿北偏西方向走到C地，若道路与平行，求的度数． 13．（23-24下·福建·七年级校考期中）如图，已知：，试说明：． 14．（23-24下·江苏·七年级校考期末）如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数；(2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 15．（23-24下·山东·七年级校考期末）我国古代观星，并对星图进行艺术加工可以追溯到公元前，敦煌星图是世界现存古代星图中星数较多，年代最早的星图，绘制于唐代．元朝数学家郭守敬重新观测了二十八星宿（东南西北各七宿，图1是其中的南方七宿之翼），编制了当时最先进的历法《授时历》． 小明学习了平行线知识，画出了“南方七宿之翼”的上半部分（如图2），；    (1)当，时，根据所学知识，可求得______； (2)当时，如图2，猜想和的数量关系______； (3)小明又发现，当a和b不平行时，则相交于点P，得到，如图3，如果为定值，求的值．（备注：请运用平行线知识解决本题，用“外角定理”或“内角和定理”不得分） 16．（2024下·山东泰安·七年级统考期末）已如直线，为平面内一点，连接，．    (1)如图1，已知，，求的度数； (2)如图2，小明通过探究，判断、、之间的数量关系为．你认为小明判断正确吗？如正确，给出证明；如不正确，该说明理由． 17．（2024上·广东·八年级专题练习）已知，，点C是直线，下方一点，连接，． (1)如图1，求证：；(2)如图2，若，分别平分和，所在的直线相交于点H，若，求的度数；（用含的式子表示）；(3)如图3，若，分和两部分，且，，直线，相交于点H，则____________．（用含n和的式子表示） 18．（2024下·湖南娄底·七年级统考阶段练习）已知点，分别在和上，且．    (1)如图1，若，，则的度数为_____；若，，则的度数为______；(2)如图2，探究、和三个角之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，若，平分，平分，作，求的度数． 10 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$