第七章 复数章末题型归纳总结（基础篇）（8大题型）-2024-2025学年高一年级数学一例多变与思维拓展系列（人教A版2019必修第二册）

第七章 复数章末题型归纳总结（基础篇） 【题型归纳目录】 题型一：复数的概念 题型二：复数的运算 题型三：复数的几何意义 题型四：复数的相等与共轭复数 题型五：复数的模 题型六：复数的三角形式 题型七：与复数有关的最值问题 题型八：复数方程 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：复数的概念 （1）叫虚数单位，满足，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 知识点2：复数的四则运算 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 注意：复数加、减法的几何意义 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 3、复数的三角形式 （1）复数的三角表示式 一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． （2）辐角的主值 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式． （3）三角形式下的两个复数相等 两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． （4）复数三角形式的乘法运算 ①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即 ． ②复数乘法运算的三角表示的几何意义 复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积． （5）复数三角形式的除法运算 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即． 解题方法总结 复数的方程在复平面上表示的图形 （1）表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； （2）表示以为圆心，r为半径的圆． 【典型例题】 题型一：复数的概念 【典例1-1】已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 【典例1-2】已知复数（为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式1-1】已知，则“”是“”的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【变式1-2】下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式1-3】下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 题型二：复数的运算 【典例2-1】已知复数满足，则复数 ． 【典例2-2】若，则 . 【变式2-1】已知复数，则的虚部为 ． 【变式2-2】已知复数z与复平面内的点对应，则 . 【变式2-3】若，则 . 题型三：复数的几何意义 【典例3-1】已知复数是虚数单位则（    ） A．复平面内z对应的点在第二象限 B． C．z的虚部是2 D． 【典例3-2】在复平面内，为坐标原点，复数对应的向量分别是，则对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】在复平面内，O为坐标原点，复数4i对应的向量为，将绕点O按逆时针方向旋转后，再将模变为原来的倍，得到向量，则对应的复数的实部是（   ） A．6 B． C． D． 【变式3-2】设，则在复平面内对应点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-3】已知复数，若，则的实部与虚部的比值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 题型四：复数的相等与共轭复数 【典例4-1】已知（其中），则实数x，y的值分别为 ． 【典例4-2】已知，其中，i为虚数单位.则实数 ， . 【变式4-1】已知复数，，并且，则 ． 【变式4-2】设，若，其中是虚数单位，则 【变式4-3】复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是 . 题型五：复数的模 【典例5-1】已知，则 . 【典例5-2】已知复数，，，若为纯虚数，则 ． 【变式5-1】复数在复平面上对应的点在虚轴上，则 ， ． 【变式5-2】已知幂函数的图象过点，则复数（其中i为虚数单位）的模的大小= ． 【变式5-3】若复数是纯虚数，则 ． 题型六：复数的三角形式 【典例6-1】复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 【典例6-2】把复数化三角形式为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如果，那么复数的三角形式是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】复数的三角形式是（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】将代数形式的复数改写成三角形式为（　　） A． B． C． D． 题型七：与复数有关的最值问题 【典例7-1】已知复数满足，则的最大值为 . 【典例7-2】若复数，满足，，则的最小值为 ． 【变式7-1】已知复数z满足，则复数z的模的最大值为 ；最小值为 ． 【变式7-2】若复数满足，则的最小值是 . 【变式7-3】已知复数，，，且复数，在复平面内对应的点分别为和，，则的取值范围是 ； 题型八：复数方程 【典例8-1】已知是关于的方程的一个根. (1)求的值； (2)若是纯虚数，求实数的值和. 【典例8-2】已知复数 (1)若复数是方程的一个复数根，求实数a，b的值； (2)若复数满足，求． 【变式8-1】已知复数，（其中）. (1)若为实数，求的值； (2)当时，复数是方程的一个根，求实数的值. 【变式8-2】已知复数，且， (1)求的实部与虚部； (2)若是关于的方程，且的一个复数根，求的值. 【变式8-3】（1）在复数范围内解方程:； （2）已知关于的方程，其中为实数，若（是虚数单位）是该方程的根，求与的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 复数章末题型归纳总结（基础篇） 【题型归纳目录】 题型一：复数的概念 题型二：复数的运算 题型三：复数的几何意义 题型四：复数的相等与共轭复数 题型五：复数的模 题型六：复数的三角形式 题型七：与复数有关的最值问题 题型八：复数方程 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：复数的概念 （1）叫虚数单位，满足，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 知识点2：复数的四则运算 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 注意：复数加、减法的几何意义 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 3、复数的三角形式 （1）复数的三角表示式 一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． （2）辐角的主值 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式． （3）三角形式下的两个复数相等 两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． （4）复数三角形式的乘法运算 ①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即 ． ②复数乘法运算的三角表示的几何意义 复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积． （5）复数三角形式的除法运算 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即． 解题方法总结 复数的方程在复平面上表示的图形 （1）表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； （2）表示以为圆心，r为半径的圆． 【典型例题】 题型一：复数的概念 【典例1-1】已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【解析】因为的实部与虚部相等， 所以，解得， 故选：C. 【典例1-2】已知复数（为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】复数为纯虚数，则， 解得，或， 所以若为纯虚数不一定得到，但是由一定能得到为纯虚数， 故“为纯虚数”是“”的必要非充分条件， 故选：B 【变式1-1】已知，则“”是“”的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【答案】B 【解析】易知，所以不满足充分性，而，满足必要性. 故选：B 【变式1-2】下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【解析】对于①，若，则不是纯虚数，则①错误； 对于②，两个虚数不能比较大小，则②错误； 对于③，若，则，，此时不是纯虚数，则③错误； 对于④，由复数集与实数集的关系可知，实数集是复数集的真子集，则④正确. 故选：. 【变式1-3】下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】B 【解析】对于①，因为，所以，故①正确； 对于②，两个虚数不能比较大小，故②错误； 对于③，当，时，成立，故③错误；④正确. 故选：B 题型二：复数的运算 【典例2-1】已知复数满足，则复数 ． 【答案】 【解析】因为，所以，所以，. 故答案为：. 【典例2-2】若，则 . 【答案】 【解析】由题意，则， 故答案为： 【变式2-1】已知复数，则的虚部为 ． 【答案】 【解析】， 所以， 所以的虚部为， 故答案为： 【变式2-2】已知复数z与复平面内的点对应，则 . 【答案】 【解析】由题设，则. 故答案为： 【变式2-3】若，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以. 故答案为： 题型三：复数的几何意义 【典例3-1】已知复数是虚数单位则（    ） A．复平面内z对应的点在第二象限 B． C．z的虚部是2 D． 【答案】B 【解析】对应的点为，在第四象限，故A错误； ，故B正确； z的虚部是，故CD错误. 故选：B. 【典例3-2】在复平面内，为坐标原点，复数对应的向量分别是，则对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】复数对应的点为, 所以， 对应复数为. 故选：A 【变式3-1】在复平面内，O为坐标原点，复数4i对应的向量为，将绕点O按逆时针方向旋转后，再将模变为原来的倍，得到向量，则对应的复数的实部是（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为复数4i对应的向量为， 所以 ， 绕点O逆时针方向旋转后变为， 再将模变为原来的倍，得，对应的复数的实部是， 故选：B 【变式3-2】设，则在复平面内对应点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】因，则，其在复平面内对应的点为，在第一象限. 故选：A 【变式3-3】已知复数，若，则的实部与虚部的比值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【解析】设,则由可得， 化简得，故的实部与虚部的比值为1， 故选：C 题型四：复数的相等与共轭复数 【典例4-1】已知（其中），则实数x，y的值分别为 ． 【答案】1，1 【解析】根据可得且， 解得或者， 由于，所以， 故答案为：1，1 【典例4-2】已知，其中，i为虚数单位.则实数 ， . 【答案】 1 【解析】由题意，得，解得， 故答案为：1；-1 【变式4-1】已知复数，，并且，则 ． 【答案】 【解析】由题意，所以， 从而， 注意到的取值范围是，所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式4-2】设，若，其中是虚数单位，则 【答案】7 【解析】因为， 所以，即， 所以， 故答案为： 【变式4-3】复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是 . 【答案】1 【解析】， 所以，所以的共轭复数的虚部是1. 故答案为：1 题型五：复数的模 【典例5-1】已知，则 . 【答案】1 【解析】由题意， 在中，， ， 故答案为：1. 【典例5-2】已知复数，，，若为纯虚数，则 ． 【答案】5 【解析】， 因为为纯虚数，所以， 所以，所以， 故答案为：5. 【变式5-1】复数在复平面上对应的点在虚轴上，则 ， ． 【答案】 2或0 【解析】由题意知，解得， 则当时，，； 当时，，． 故答案为：，2或0 【变式5-2】已知幂函数的图象过点，则复数（其中i为虚数单位）的模的大小= ． 【答案】 【解析】设幂函数，因为函数图象过点， 所以，解得，所以， 所以， ， . 故答案为：． 【变式5-3】若复数是纯虚数，则 ． 【答案】6 【解析】由题意，解得，即，所以， 故答案为：6. 题型六：复数的三角形式 【典例6-1】复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】C 【解析】， 故选：C. 【典例6-2】把复数化三角形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设复数的三角形式为,则,,可取, 从而复数的三角形式为. 故选:C. 【变式6-1】如果，那么复数的三角形式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以. 故选：A. 【变式6-2】复数的三角形式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】, 故选：D. 【变式6-3】将代数形式的复数改写成三角形式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为复数在复平面内所对应的点在虚轴正半轴上，可得， 所以，所以. 故选：D. 题型七：与复数有关的最值问题 【典例7-1】已知复数满足，则的最大值为 . 【答案】8 【解析】因为，所以， 所以的最大值为8. 故答案为：8 【典例7-2】若复数，满足，，则的最小值为 ． 【答案】6 【解析】由可知，对应的点是以为圆心，1为半径的圆． 由可知，对应的点是以，为端点的线段BC的垂直平分线，也就是x轴． 为圆上一点与x轴上一点的距离的最小值，即为圆心到x轴的距离减去半径为6． 故答案为：6. 【变式7-1】已知复数z满足，则复数z的模的最大值为 ；最小值为 ． 【答案】 2 0 【解析】设， 则，可得， 所以， ， 因为，所以， 则复数z的模的最大值为2；最小值为0. 故答案为：①2；②0. 【变式7-2】若复数满足，则的最小值是 . 【答案】 【解析】 如图，设复数对应的点为,则由可知点到点的距离为1， 即点的轨迹为以点为圆心，以1为半径的圆， 而则表示动点到原点的距离，由图可知，圆上与原点距离最小的点为,故的最小值是1. 故答案为：1. 【变式7-3】已知复数，，，且复数，在复平面内对应的点分别为和，，则的取值范围是 ； 【答案】 【解析】由已知得对应点为， 由得的几何意义为以原点为圆心，半径为2的圆， 则的几何意义为点到圆上点的距离， 如图可得最大距离为，最小距离为， 故答案为：. 题型八：复数方程 【典例8-1】已知是关于的方程的一个根. (1)求的值； (2)若是纯虚数，求实数的值和. 【解析】（1）由是方程的一个根，得， 整理得，因此， 所以. （2）由（1）知，， 由是纯虚数，得，解得，则， 所以. 【典例8-2】已知复数 (1)若复数是方程的一个复数根，求实数a，b的值； (2)若复数满足，求． 【解析】（1） ，所以， （2）由可得 故 【变式8-1】已知复数，（其中）. (1)若为实数，求的值； (2)当时，复数是方程的一个根，求实数的值. 【解析】（1）因为，， 所以， 因为为实数，所以，解得． 故为实数时，的值为． （2）当时，，， 则复数， 因为是方程（，为实数）的一个根， 所以， 化简得， 由，解得. 【变式8-2】已知复数，且， (1)求的实部与虚部； (2)若是关于的方程，且的一个复数根，求的值. 【解析】（1）依题意得， 则解得 故的实部为3，虚部为4. （2）由（1）知，由是关于的方程的一个复数根， 得， 整理得. 因为，所以 解得所以. 【变式8-3】（1）在复数范围内解方程:； （2）已知关于的方程，其中为实数，若（是虚数单位）是该方程的根，求与的值. 【解析】（1） 方程的根为 （2）是方程的根，也是方程的根 由实系数一元二次方程根与系数的关系得 ，解得， 故的值为4，的值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$