7.3 复数的三角表示（6大题型）-2024-2025学年高一年级数学一例多变与思维拓展系列（人教A版2019必修第二册）

7．3 复数的三角表示 【题型归纳目录】 题型一：复数的三角形式 题型二：复数的代数形式表示成三角形式 题型三：把复数表示成代数形式 题型四：复数的三角形式乘法运算 题型五：复数的三角形式除法运算 【思维导图】 【知识点梳理】 1、复数的辐角 以轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角，叫做复数的辐角． 适合于的辐角的值，叫辐角的主值．记作：，即． 2、复数的三角表达式 一般地，任何一个复数都可以表示成的形式．其中，是复数的模；是复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 注意：复数三角形式的特点 模非负，角相同，余弦前，加号连 3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件： 两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等． 4、复数三角形式的乘法及其几何意义 设、的三角形式分别是：，． 则． 简记为：模数相乘，幅角相加 几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是． 5、复数三角形式的除法及其几何意义 设、的三角形式分别是：，． 则． 简记为：模数相除，幅角相减 几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 题型一：复数的三角形式 【例1】的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 解题总结（复数三角形式的判断依据和变形步骤） （1）判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连． （2）变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限（此处可假定θ为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”． 【变式1-1】如果，那么复数的三角形式是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】把复数化三角形式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】将代数形式的复数改写成三角形式为（　　） A． B． C． D． 题型二：复数的代数形式表示成三角形式 【例2】的三角形式是 ． 【方法技巧与总结】 解题总结：（复数的代数形式化三角形式的步骤） （1）先求复数的模； （2）决定辐角所在的象限； （3）根据象限求出辐角（常取它的主值）； （4）写出复数的三角形式． 【变式2-1】复数的三角形式是 . 【变式2-2】将复数化为三角形式： ． 【变式2-3】复数的三角形式为 ． 题型三：把复数表示成代数形式 【例3】将复数z＝化为代数形式为 ． 【方法技巧与总结】 解题总结（把复数表示成代数形式的注意事项） （1）类似三角形式的复数求模和辐角时，注意三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连． （2）由三角形式表示成代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可． 【变式3-1】设复数满足的辐角的主值为，的辐角的主值为，则 （用代数形式表示）． 【变式3-2】复数10表示成代数形式为 ． 【变式3-3】将复数化为代数形式为 题型四：复数的三角形式乘法运算 【例4】法国数学家棣莫弗发现的公式推动了复数领域的研究.根据该公式，可得（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 解题总结（复数的三角形式乘法运算的注意事项） 两个复数相乘，积还是一个复数，它的模等于各复数的模的积，它的幅角等于各复数的幅角的和．简单的说，两个复数三角形式相乘的法则为：模数相乘，幅角相加． 【变式4-1】已知复数，则（    ） A．2022 B．2023 C． D． 【变式4-2】任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．则（    ） A．1 B． C． D．i 【变式4-3】计算的值是（    ） A． B． C． D． 题型五：复数的三角形式除法运算 【例5】计算： (1)； (2). 【方法技巧与总结】 解题总结：（复数的三角形式除法运算的注意事项） 两个复数相除，商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模，它的幅角等于被除数的辐角减去除数的辐角．简单的说切记两个复数三角形式除法运算法则：模数相除，幅角相减． 【变式5-1】复数的值是（    ） A． B．16 C． D． 【变式5-2】化简下列各式： (1) ； (2) 【变式5-3】计算： (1)； (2)（运用复数的三角形式计算）． 题型六：复数的三角形式乘、除运算的几何意义 【例6】在复平面上，一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为，，，(其中是原点)，已知对应复数.则和对应的复数的乘积 . 【方法技巧与总结】 解题总结（复数的三角形式乘、除运算的几何意义的注意事项） 复数乘法几何意义是解题关键．把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是． 复数除法几何意义是解题关键．把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 【变式6-1】设复数在复平面上对应向量，将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为 （用代数形式表示）． 【变式6-3】如果向量对应复数绕原点按顺时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量，则对应的复数是 . 【强化训练】 1．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 2．复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（    ） A． B． C． D． 3．设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（    ） A． B． C． D． 4．法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，（，）则．设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 5．－6的辐角的主值为（　　） A．0 B． C．π D． 6．设，把复数在复平面上对应的向量按照顺时针方向旋转后得到复数为，那么（    ） A． B． C． D． 7．计算：（    ）． A．； B．； C．； D．． 8．设复数在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转后得到向量，令对应的复数为的辐角主值为，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）已知为复数，则下列命题正础的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 10．（多选题）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 12．计算： ． 13．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将复数、指数函数与三角函数完美联系起来的一个公式，e是自然对数底数，i是虚数单位，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”．利用欧拉公式解决问题， ；关于x的方程，的解为 ． 14．已知：①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式．②被称为欧拉公式，是复数的指数形式．③方程（n为正整数）有个不同的复数根． （1）设，则 ； （2）满足方程的复数的值所组成的集合为 ． 15．（1）写出复数的三角形式． （2）在复数集内解方程． （3）如图，在复平面的上半平面内有一个等边三角形，点所对应的复数是，求顶点所对应的复数的代数形式． 16．计算： (1)； (2)． 17．计算，并将结果用复数的代数形式表示： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7．3 复数的三角表示 【题型归纳目录】 题型一：复数的三角形式 题型二：复数的代数形式表示成三角形式 题型三：把复数表示成代数形式 题型四：复数的三角形式乘法运算 题型五：复数的三角形式除法运算 【思维导图】 【知识点梳理】 1、复数的辐角 以轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角，叫做复数的辐角． 适合于的辐角的值，叫辐角的主值．记作：，即． 2、复数的三角表达式 一般地，任何一个复数都可以表示成的形式．其中，是复数的模；是复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 注意：复数三角形式的特点 模非负，角相同，余弦前，加号连 3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件： 两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等． 4、复数三角形式的乘法及其几何意义 设、的三角形式分别是：，． 则． 简记为：模数相乘，幅角相加 几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是． 5、复数三角形式的除法及其几何意义 设、的三角形式分别是：，． 则． 简记为：模数相除，幅角相减 几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 题型一：复数的三角形式 【例1】的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故B正确； 经检验，ACD都错误. 故选：B 【方法技巧与总结】 解题总结（复数三角形式的判断依据和变形步骤） （1）判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连． （2）变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限（此处可假定θ为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”． 【变式1-1】如果，那么复数的三角形式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以. 故选：A. 【变式1-2】把复数化三角形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设复数的三角形式为,则,,可取, 从而复数的三角形式为. 故选:C. 【变式1-3】将代数形式的复数改写成三角形式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为复数在复平面内所对应的点在虚轴正半轴上，可得， 所以，所以. 故选：D. 题型二：复数的代数形式表示成三角形式 【例2】的三角形式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】令且， 所以，则满足， 所以三角形式可写成. 故答案为：(答案不唯一) 【方法技巧与总结】 解题总结：（复数的代数形式化三角形式的步骤） （1）先求复数的模； （2）决定辐角所在的象限； （3）根据象限求出辐角（常取它的主值）； （4）写出复数的三角形式． 【变式2-1】复数的三角形式是 . 【答案】 【解析】， ∵对应的点在第四象限，且， ∴，故复数的三角形式是. 故答案为： 【变式2-2】将复数化为三角形式： ． 【答案】 【解析】复数中，，设为复数的辐角主值， 又 所以. 故答案为：. 【变式2-3】复数的三角形式为 ． 【答案】 【解析】. 故答案为：. 题型三：把复数表示成代数形式 【例3】将复数z＝化为代数形式为 ． 【答案】1－i 【解析】z＝． 故答案为：1－i 【方法技巧与总结】 解题总结（把复数表示成代数形式的注意事项） （1）类似三角形式的复数求模和辐角时，注意三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连． （2）由三角形式表示成代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可． 【变式3-1】设复数满足的辐角的主值为，的辐角的主值为，则 （用代数形式表示）． 【答案】 【解析】由题意，设， ， 所以，可得， 解得，所以. 故答案为：. 【变式3-2】复数10表示成代数形式为 ． 【答案】－5－5i/－5i－5 【解析】10＝10＝－5－5i． 故答案为： 【变式3-3】将复数化为代数形式为 【答案】 【解析】由题得. 故答案为： 题型四：复数的三角形式乘法运算 【例4】法国数学家棣莫弗发现的公式推动了复数领域的研究.根据该公式，可得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可知， 故. 故选：B. 【方法技巧与总结】 解题总结（复数的三角形式乘法运算的注意事项） 两个复数相乘，积还是一个复数，它的模等于各复数的模的积，它的幅角等于各复数的幅角的和．简单的说，两个复数三角形式相乘的法则为：模数相乘，幅角相加． 【变式4-1】已知复数，则（    ） A．2022 B．2023 C． D． 【答案】B 【解析】设， 则， 由题意可得： 可得关于的方程的根为， 故， 整理得， 即， 令，可得， 且2022为偶数，所以. 故选：B. 【变式4-2】任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．则（    ） A．1 B． C． D．i 【答案】B 【解析】， ； 故选：B． 【变式4-3】计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 所以， 所以， 故选：B. 题型五：复数的三角形式除法运算 【例5】计算： (1)； (2). 【解析】（1）根据复数的三角形式的运算法则， 可得： . （2）根据复数的三角形式的运算法则， 可得： . 【方法技巧与总结】 解题总结：（复数的三角形式除法运算的注意事项） 两个复数相除，商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模，它的幅角等于被除数的辐角减去除数的辐角．简单的说切记两个复数三角形式除法运算法则：模数相除，幅角相减． 【变式5-1】复数的值是（    ） A． B．16 C． D． 【答案】A 【解析】. 故选：A 【变式5-2】化简下列各式： (1) ； (2) 【解析】（1） ； （2） . 【变式5-3】计算： (1)； (2)（运用复数的三角形式计算）． 【解析】（1） ． （2）∵，， ，，， ∴ ． 题型六：复数的三角形式乘、除运算的几何意义 【例6】在复平面上，一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为，，，(其中是原点)，已知对应复数.则和对应的复数的乘积 . 【答案】 【解析】设对应的复数为，可得， 复平面上点与x轴正半轴的夹角为，则点与x轴正半轴的夹角为， 所以， 所以. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 解题总结（复数的三角形式乘、除运算的几何意义的注意事项） 复数乘法几何意义是解题关键．把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是． 复数除法几何意义是解题关键．把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 【变式6-1】设复数在复平面上对应向量，将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 设，，， 则， ， 即，，， 故 . 故选：A. 【变式6-2】在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为 （用代数形式表示）． 【答案】 【解析】复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为 . 故答案为：. 【变式6-3】如果向量对应复数绕原点按顺时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量，则对应的复数是 . 【答案】 【解析】因为， 所以由题意可得对应的复数为 ， 故答案为： 【强化训练】 1．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】D 【解析】对于A，，其虚部为1，A错误； 对于B， ，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：D 2．复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 则， 所以，，即， 所以 故时，，故可取， 故选：D 3．设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知得， 所以绕原点顺时针旋转得 ， 由绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合得， 所以. 故选：B. 4．法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，（，）则．设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，由， 可得 . 故虚部为. 故选：C 5．－6的辐角的主值为（　　） A．0 B． C．π D． 【答案】C 【解析】，辐角的主值. 故选：C. 6．设，把复数在复平面上对应的向量按照顺时针方向旋转后得到复数为，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据乘法的几何意义可得： ， 整理得到： ， 故， 故选：B. 7．计算：（    ）． A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【解析】设， 所以 . 故选：D 8．设复数在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转后得到向量，令对应的复数为的辐角主值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】复数，因按顺时针方向旋转后得到向量， 依题意，， 因此复数的辐角主值，所以. 故选：C 9．（多选题）已知为复数，则下列命题正础的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】AD 【解析】设复数， 对于选项A：若，则，所以， 所以，故A正确； 对于选项B：例如，则，故B错误； 对于选项C：例如，此时满足，但，故C错误； 对于选项D：解法一： ； 解法二：设， 则， 可得 ， 则，即，故D正确； 故选：AD． 10．（多选题）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，，A正确； 对于B，因为复数，则， 则，而，则，故B正确； 对于C，，C正确； 对于D，由题意得， ， 因为，则当，故D错误. 故选：ABC． 11．（多选题）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 【答案】ABD 【解析】对于A：由题意得：，故A正确； 对于B：由题意得：，故B正确； 对于C：由题意得：，则其对应的点为， ∵，则， ∴对应的点位于第三象限，故C错误； 对于D：由题意可得： ，故正确. 故选：ABD. 12．计算： ． 【答案】 【解析】 ． 故答案为：. 13．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将复数、指数函数与三角函数完美联系起来的一个公式，e是自然对数底数，i是虚数单位，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”．利用欧拉公式解决问题， ；关于x的方程，的解为 ． 【答案】 ； 或或或或或或或或． 【解析】由题意，； 由， 得， 则 ， 即， 即， 即， 即， 解得或， 又，， 故或或或或或或或或， 故x的取值集合为 故答案为1，或或或或或或或或． 14．已知：①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式．②被称为欧拉公式，是复数的指数形式．③方程（n为正整数）有个不同的复数根． （1）设，则 ； （2）满足方程的复数的值所组成的集合为 ． 【答案】 【解析】（1）依题意，， 所以. （2）设，则， 因此，，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. 故答案为：；. 15．（1）写出复数的三角形式． （2）在复数集内解方程． （3）如图，在复平面的上半平面内有一个等边三角形，点所对应的复数是，求顶点所对应的复数的代数形式． 【解析】（1）， （2）因为，所以， 即 所以 解得，，，，， （3）如图，由题意可知，为等边三角形． 又，其中为的辐角． 将绕原点按逆时针方向旋转可得， 则， 又，，∴， ， ∴， ∴所对应的复数为． 16．计算： (1)； (2)． 【解析】（1）原式． （2）原式． 17．计算，并将结果用复数的代数形式表示： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【解析】（1） . （2） . （3） （4） . （5） . 学科网（北京）股份有限公司 $$