专题01 第12章 复数（7大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（苏教版2019必修第二册）

专题01 第12章 复数 一、复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 二、复数的模 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). 三、()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 四、复数代数形式的乘法运算 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 五、复数代数形式的除法运算 （1）定义 规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足（，）的复数叫做复数除以复数的商，记作或 （2）复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 【题型一 已知复数的类型求参数】 1．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知复数满足为负实数，为纯虚数，则（    ）. A． B． C． D． 2．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）复数，（，）为实数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 3．（23-24高二下·山西太原·阶段练习）已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 4．（23-24高一下·北京石景山·期末）已知纯虚数满足，则 ． 5．（2024高一·全国·专题练习）已知，为的一个内角．若不论为何值，总存在使得是实数，求实数的取值范围． 6．（2024高三·上海·专题练习）设复数满足，且，求. 【题型二 复数的模】 1．（2024·山东济南·一模）已知复数，满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（23-24高二下·江苏连云港）已知复数，满足，，，则 ． 3．（23-24高二下·福建三明）设复数满足，且，则= ． 4．（23-24高一下·山东济南·期中）设复数，满足，，，则 ． 5．（23-24高二下·江苏淮安）设复数(其中)，. （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求. 【题型三 与复数模相关的轨迹问题】 1．（23-24高一下·湖南·期中）已知复数z满足，且，则复数z表示的轨迹长为 ． 2．（23-24高一下·浙江绍兴·阶段练习）已知，且，为虚数单位，则的最大值是 ． 3．（23-24高一下·上海浦东新·阶段练习）若复数满足（为虚数单位），则的最大值是 . 4．（23-24高一下·全国·课后作业）已知复数； (1)若，求实数的值； (2)若复数，且满足，求复数在复平面内所对应的点到的距离的最大值. 5．（24-25高一·全国·单元测试）已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为． (1)确定点的集合构成图形的形状； (2)求的最大值和最小值． 【题型四 复数乘方】 1．（多选）（23-24高一下·云南保山·期中）已知a，，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·单元测试）（1）计算：； （2）已知，求的模． 3．（23-24高一下·山东泰安·阶段练习）已知复数，i为虚数单位． (1)求的值； (2)求的值． 4．（24-25高二上·湖南·开学考试）已知为纯虚数. (1)求； (2)求. 5．（24-25高一下·全国·课堂例题）计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 6．（23-24高一下·江苏南京·期中）已知复数是纯虚数，其中是实数. (1)求实数的值; (2)求. 【题型五 复数范围内方程的根】 1．（多选）（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东·期中）复数满足，则 ， ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）若和是方程的两个根，求的值． 4．（23-24高一下·上海松江·期末）已知为虚数单位，复数． (1)当实数取何值时，是纯虚数； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数与的值． 5．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知是关于x的方程的一个根. (1)求p，q的值及方程的另一个根； (2)若实系数一元二次方程在复数集C内的两根为，请猜想两根与实系数有怎样的结论?并用方程的根进行验证； (3)若，则复平面内满足的动点的集合是什么图形? 6．（23-24高一下·上海·期末）设是虚数单位，是关于的方程的两根，且满足. (1)若，求与的值； (2)若，求的值. 【题型六 根据复数乘除法运算求参数】 1．（24-25高一·江苏·假期作业）已知复数满足且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏淮安·期中）（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二·贵州贵阳·阶段练习）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知复数，，下列命题正确的是（   ） A． B．若，则 C． D． 5．（多选）（2024·江苏无锡·模拟预测）设为复数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．“＂是“＂的充分不必要条件 【题型七 复数中的新定义题】 1．（多选）（2024·江苏苏州·模拟预测）1843年，Hamilton在爱尔兰发现四元数．当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的点）．他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数．根据哈密顿记述，他于10月16日跟妻子在都柏林的皇家运河上散步时突然想到的方程解．之后哈密顿立刻将此方程刻在Broughant Bridge．对四元数，的单位，其运算满足：，，，，，，；记，，，定义，记所有四元数构成的集合为，则以下说法中正确的有（    ） A．集合的元素按乘法得到一个八元集合 B．若非零元，则有： C．若，则有： D．若非零元，则有： 2．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知在复数集中，等式对任意复数恒成立，复数，，，在复平面上对应的4个点为某个单位圆内接正方形的4个顶点，，则满足条件的不同集合个数为 ． 3．（24-25高三上·吉林·期中）如图1点，我们知道复数可用点表示.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍.如图2，已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，点所对应的复数分别为.若，以为边作正方形，点在下方，若长度为，则复数 . 4．（24-25高一上·浙江宁波·期中）我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则. 其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，. (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作正方形. （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求证：. 5．（23-24高一下·浙江杭州·期末）对于，记为关于的“差比模”.若取遍，记关于的“差比模”的最大值为，最小值为，若，则称关于的“差比模”是协调的. (1)若，求关于的“差比模”； (2)若，是否存在，使得关于的“差比模”是协调的？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)若且，若关于的“差比模”是协调的，求的值. 一、单选题 1．（24-25高三上·山西·期末）已知，，且，其中i是虚数单位，则（   ） A．10 B． C．2 D． 2．（东北三省部分高中联盟2025届高三下学期联合调研模拟数学试题）已知复数满足，则复数的虚部是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（24-25高一下·全国·课后作业）复数，的共轭复数是，在复平面内，复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时，在复平面上以，A，B三点为顶点的图形是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 5．（2025年全国第八届章鱼杯I卷（高中组）数学试题）设复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C．0或 D．0或 6．（24-25高三上·山东青岛·期末）实系数一元三次方程在复数集内有3个根，则，，．设是方程的3个根，则（    ） A． B． C．3 D．4 7．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）若复数，且，则（    ） A．2 B． C． D．1 8．（24-25高三上·重庆·阶段练习）法国数学家佛朗索瓦·韦达最早发现了代数方程的根与系数之间的关系，因此人们把这个关系称为韦达定理，韦达定理也可用于复数系一元二次方程中，即这也是因式分解中的“十字相乘法”. 设 (为坐标原点)的三个顶点为复平面上的三点，它们分别对应复数， 且 则的面积为（   ） A．6 B．6 C．12 D． 二、多选题 9．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）已知复数，（）（为虚数单位），则（   ） A． B． C． D．若，则 10．（24-25高三上·河北·期末）已知z，，是复数，则以下正确的是（    ） A．复数z对应的点在第三象限，则复数对应的点在第四象限 B． C． D． 三、填空题 11．（2025高三·全国·专题练习）在复平面内，复数、所对应的点分别为、，对于下列四个等式：（1）；（2）；（3）；（4）.其中恒成立的等式的个数是 12．（2024高三·全国·专题练习）已知复数，并且，则的最大值为 ． 四、解答题 13．（24-25高一上·河南周口·期末）对任意一个非零复数，定义集合．. (1)设是方程的一个根，试用列举法表示集合； (2)若复数，求证． 14．（2024高三·全国·专题练习）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点. (1)设，.求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值. 15．（23-24高一下·河北·期中）在复平面内复数，，其所对应的点为，，为坐标原点，是虚数单位． (1)求与； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根． 16．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知常数，设关于的方程． (1)在复数范围内求解该方程． (2)当时，设该方程的复根分别为，证明： (3)如果多项式的系数是复数，那么称该多项式为复系数多项式．已知任何一元次）复系数多项式方程至少有一个复根．证明：有个复数根（重根按重数计）． (4)将题设的常数“”改为“”，并证明：（2）仍然成立． 17．（23-24高一上·江西鹰潭·期末）已知： ①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式. ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式. ③方程（为正整数）有个不同的复数根. (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合； (3)复数，求. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 第12章 复数 一、复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 二、复数的模 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). 三、()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 四、复数代数形式的乘法运算 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 五、复数代数形式的除法运算 （1）定义 规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足（，）的复数叫做复数除以复数的商，记作或 （2）复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 【题型一 已知复数的类型求参数】 1．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知复数满足为负实数，为纯虚数，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知复数的类型求参数、共轭复数的概念及计算 【分析】设，再根据题意，结合复数相等的条件列式求解即可. 【详解】设，则为负实数，不妨设，则，则，，因为，故. 又为纯虚数，则为纯虚数，设，则，故，解得. 故，结合可得，故，. 故选：C 2．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）复数，（，）为实数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】A 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】考查复数相关概念问题，根据实数和虚数概念求解即可. 【详解】若复数，（，）为实数， 则有， ， 故选：A. 3．（23-24高二下·山西太原·阶段练习）已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】由题意，可判断为实数，列出等量关系和不等关系求解即可 【详解】由题意， 故为实数 或 故选：A 4．（23-24高一下·北京石景山·期末）已知纯虚数满足，则 ． 【答案】2 【知识点】求复数的模、由复数模求参数、已知复数的类型求参数 【分析】设，根据复数模的定义得，解出值即可得到答案. 【详解】设，则，则， 即舍去或，所以． 故答案为：． 5．（2024高一·全国·专题练习）已知，为的一个内角．若不论为何值，总存在使得是实数，求实数的取值范围． 【答案】. 【知识点】已知复数的类型求参数、求正切（型）函数的值域及最值、半角公式 【分析】根据为实数，求得恒成立，再借助半角公式，以及正切型函数的值域，即可求得参数的范围. 【详解】∵是实数，，，∴，即恒成立． 又，，， ∴，∴， ∴当时，不论为何值，总存在使得是实数， 故的取值范围为. 6．（2024高三·上海·专题练习）设复数满足，且，求. 【答案】，或 【知识点】已知复数的类型求参数、由复数模求参数、复数的除法运算 【分析】设，利用复数的四则运算将复数化为一般形式，可得其虚部为零，再由，可得出关于实数、的方程组，解出、的值，由此可得出复数. 【详解】设，则，即、不同时为零， ，，① 由，得.② 解由①、②所组成的联立方程组，解得或或. ，或. 【点睛】本题考查复数的求解，考查复数的概念以及复数的模等基础知识，根据题意列出方程组是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 【题型二 复数的模】 1．（2024·山东济南·一模）已知复数，满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】求复数的模 【分析】首先分析题意，设出复数，求出复数的模找变量之间的关系，整体代入求解即可. 【详解】设则 所以，，即， 则 故选：B. 2．（23-24高二下·江苏连云港）已知复数，满足，，，则 ． 【答案】 【知识点】求复数的模 【分析】利用复数模的运算性质即可得出． 【详解】解：， ， 化为：， 则， ， 故答案为：． 3．（23-24高二下·福建三明）设复数满足，且，则= ． 【答案】 【知识点】求复数的模 【分析】先求出复数和的模长，再根据的关系进行转换，即可求解. 【详解】因为，所以， 又， 所以， 所以. 故答案为： 4．（23-24高一下·山东济南·期中）设复数，满足，，，则 ． 【答案】 【知识点】求复数的模 【分析】设，进而根据复数的模的公式计算求解即可. 【详解】设， 则，，， 由于，， 所以，整理得：， 所以 . 故答案为：. 5．（23-24高二下·江苏淮安）设复数(其中)，. （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】复数的分类及辨析、求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】(1)由是实数可求得，再由复数代数形式的乘除运算，即可求出的值； (2)利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为且虚部不为可求得，进而可求出． 【详解】(1)因为（其中，，所以， 因为是实数，所以，所以， 所以. (2)由是纯虚数，得，所以． 所以． 【题型三 与复数模相关的轨迹问题】 1．（23-24高一下·湖南·期中）已知复数z满足，且，则复数z表示的轨迹长为 ． 【答案】4 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义确定复数对应点的轨迹得解. 【详解】由，得在复平面内，复数对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆及内部， 由，得，则点到和对应的点的距离相等， 即点在以为端点的线段的中垂线上， 因此点的轨迹是直线在上述圆及内部，显然直线过圆心， 所以所求轨迹长度为4. 故答案为：4 2．（23-24高一下·浙江绍兴·阶段练习）已知，且，为虚数单位，则的最大值是 ． 【答案】 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设，根据得出满足的关系，表示出后根据复数的几何意义求解. 【详解】设，由， 则，表示的是圆心为，半径为的圆， 而，表示的是圆上一点到的距离， 如图所示，显然最大距离是与圆心的连线加上半径长， 即最大值为. 故答案为： 3．（23-24高一下·上海浦东新·阶段练习）若复数满足（为虚数单位），则的最大值是 . 【答案】 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数综合 【分析】设，，利用题干条件得到且，从而得到. 【详解】设，， 则， 即，两边平方得： ， 整理得：， 两边平方得：， 将代入中，可得： ，所以， 则 故答案为： 4．（23-24高一下·全国·课后作业）已知复数； (1)若，求实数的值； (2)若复数，且满足，求复数在复平面内所对应的点到的距离的最大值. 【答案】(1)；或. (2)6 【知识点】复数的相等、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】（1）根据复数相等即可求解； （2）先确定复数在复平面内所对应的点的轨迹，再数形结合即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 由解得， 由解得或， 故实数的值为，实数的值为或. （2）因为，所以， 所以， 即复数在复平面内所对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 如图所示： 所以复数在复平面内所对应的点到的距离的最大值为 . 5．（24-25高一·全国·单元测试）已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为． (1)确定点的集合构成图形的形状； (2)求的最大值和最小值． 【答案】(1)点的集合是以点为圆心，2为半径的圆 (2)最大值为7，最小值为3 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】（1）根据复数模的几何意义确定点的集合构成图形的形状. （2）根据复数模的几何意义，结合圆的几何性质求得正确答案. 【详解】（1）设复数在复平面内的对应点为， 则， 故点的集合是以点为圆心，2为半径的圆，如下图所示． （2）设复数在复平面内的对应点为，则,如下图所示， ， 则的最大值即的最大值是； 的最小值即的最小值是． 【题型四 复数乘方】 1．（多选）（23-24高一下·云南保山·期中）已知a，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、复数的相等、复数的乘方 【分析】由复数相等求出，可判断A，B；由共轭复数和复数的乘法、除法运算可判断C,D. 【详解】对于A、B，由，得，解得， 故A错误，B正确. 对于C，，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：BC． 2．（24-25高一下·全国·单元测试）（1）计算：； （2）已知，求的模． 【答案】（1）0；（2）． 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算、复数的乘方 【分析】根据复数代数形式的乘除运算以及乘方运算法则计算，结合模长定义即可解. 【详解】（1）原式． （2）， 的模为． 3．（23-24高一下·山东泰安·阶段练习）已知复数，i为虚数单位． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的乘方 【分析】（1）根据复数的代数形式的乘法与乘方运算化简得解； （2）根据（1）可得，利用周期可求解. 【详解】（1）复数(i为虚数单位)， ， ； （2）由（1）可得， 且2019=3673， 所以. 4．（24-25高二上·湖南·开学考试）已知为纯虚数. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的乘方、复数加减法的代数运算、复数的除法运算 【分析】（1）根据复数的除法及乘法运算化简，最后根据复数类型求参； （2）根据复数的乘方计算，再结合周期性，再求和即可. 【详解】（1）由题意可得， 因为是纯虚数，所以，解得. （2）由（1）得到，又，，，， 则，，，，， 即有，， 故. 5．（24-25高一下·全国·课堂例题）计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的乘方 【分析】根据复数乘法和乘方运算即可. 【详解】（1）． （2） ． （3）原式 ． 6．（23-24高一下·江苏南京·期中）已知复数是纯虚数，其中是实数. (1)求实数的值; (2)求. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】（1）化简运用纯虚数概念求解即可； （2）化简，结合，周期性质即可解题. 【详解】（1）复数，则， 因为是纯虚数，于是，解得 （2）由（1）得到，又， 则，即有， 所以. 【题型五 复数范围内方程的根】 1．（多选）（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】复数的乘方、复数范围内方程的根、求复数的模、复数加减法的代数运算 【分析】根据复数范围内的根可得，即可结合选项，由复数的四则运算以及模长公式求解. 【详解】由题意可得，所以，所以，A错误； ，B正确 ，所以，C错误； 由于，所以，D正确， 故选：BD 2．（23-24高一下·山东·期中）复数满足，则 ， ． 【答案】 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数范围内方程的根、共轭复数的概念及计算 【分析】复数域内解方程，结合方程思想降次化简计算即可. 【详解】由题意可知是在复数域内的两个根，根据韦达定理有； 因为满足，所以，， 则 ， 当时，， 当时，， 综上. 故答案为：；. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）若和是方程的两个根，求的值． 【答案】 【知识点】复数范围内方程的根、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】运用韦达定理可解. 【详解】和是方程的两个根,则. ． 故答案为：. 4．（23-24高一下·上海松江·期末）已知为虚数单位，复数． (1)当实数取何值时，是纯虚数； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数与的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、复数范围内方程的根、复数加减法的代数运算、复数的乘方 【分析】（1）由是纯虚数得到实部为，虚部不为，解方程组得到的值； （2）将代入方程，实部和虚部均为，解方程组得到和的值. 【详解】（1）由是纯虚数得，解得. 所以当时，是纯虚数. （2）当时，， 因为是关于的方程的一个根，所以， 即，整理得， 所以，解得. 5．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知是关于x的方程的一个根. (1)求p，q的值及方程的另一个根； (2)若实系数一元二次方程在复数集C内的两根为，请猜想两根与实系数有怎样的结论?并用方程的根进行验证； (3)若，则复平面内满足的动点的集合是什么图形? 【答案】(1)， (2)结论、证明见解析 (3)以为圆心，3为半径的圆 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数范围内方程的根、复数的相等、求复数的模 【分析】（1）代入方程的根，由复数相等求得参数，由求根公式求得另一个根即可； （2）由求根公式可知，韦达定理在复数范围内通用适用，由此即可得解； （3）由复数的模的计算公式及其几何意义即可求解. 【详解】（1）因为是关于x的方程的一个根， 所以有，整理得. 故有，解得. 可得方程的根为， 所以另一个根为； （2）猜想：实系数一元二次方程在复数集C内的根为，则， 验证：方程的根为， ； （3）由（1）可知可化为， 所以，表示点与点的距离为定长3， 故复平面内满足的动点的集合是以为圆心，3为半径的圆. 6．（23-24高一下·上海·期末）设是虚数单位，是关于的方程的两根，且满足. (1)若，求与的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)或 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】（1）由，及，得，即可求解； （2）当时，则是关于的方程的两根，则，进行分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：由，得， 而，得， 因为是关于的方程的两根， 所以， 得，由，得， 得，则； （2）当时，则是关于的方程的两根， 则， 当时，则，不满足， 当时，得 得， 由得， 得， 得， 得， 当时，不成立，当时，得， 当时，得， 不妨记， 由得， 得， 故的值为：或 【题型六 根据复数乘除法运算求参数】 1．（24-25高一·江苏·假期作业）已知复数满足且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算 【分析】设，则，由题意得，则，分别计算其立方值，代入后即可求解． 【详解】设，则， 根据，得， 根据，得， 由，解得，故， ， 由于 ， 同理得 ， 因此得． 故选：D 2．（23-24高一下·江苏淮安·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的乘方 【分析】由结合平方差公式以及复数的运算求解即可. 【详解】，即. 所以. 所以 . 故选：B 3．（23-24高二·贵州贵阳·阶段练习）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、求复数的模 【分析】由已知可求得，进而得出，然后计算复数的模即可得出答案. 【详解】由已知可得， ， 所以，， 所以，. 故选：D. 4．（多选）（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知复数，，下列命题正确的是（   ） A． B．若，则 C． D． 【答案】AC 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的乘方、复数代数形式的乘法运算、求复数的模 【分析】设的代数形式，结合共轭复数定义，复数运算性质，模的公式，证明A正确；举反例，结合复数的运算法则，复数的模的计算公式，排除BD，设，的代数形式，证明C正确. 【详解】对于A，设，则， 则， 所以，所以A正确； 对于B，取，，由，， 故，但，，，故B错误， 对于D，取，， 则，， 所以，D错误. 对于C，设，，， 则，， ， 所以， 所以，故C正确； 故选：AC. 5．（多选）（2024·江苏无锡·模拟预测）设为复数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．“＂是“＂的充分不必要条件 【答案】ABD 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算、求复数的模、判断命题的充分不必要条件 【分析】设，对于A：根据乘法运算结合模长公式分析判断；对于B：根据加法运算结合共轭复数分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据复数的概念结合充分必要条件分析判断. 【详解】设， 对于选项A：因为， 所以， 且，所以，故A正确； 对于选项B：因为， 则， 所以，故B正确； 对于选项C：若，例如，满足， 但，，即，故C错误； 对于选项D：若，则都是实数，且，即充分性不成立； 若，例如，且， 但不是实数，无法比较大小，即必要性不成立； 综上所述：“＂是“＂的充分不必要条件，故D正确． 故选：ABD. 【题型七 复数中的新定义题】 1．（多选）（2024·江苏苏州·模拟预测）1843年，Hamilton在爱尔兰发现四元数．当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的点）．他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数．根据哈密顿记述，他于10月16日跟妻子在都柏林的皇家运河上散步时突然想到的方程解．之后哈密顿立刻将此方程刻在Broughant Bridge．对四元数，的单位，其运算满足：，，，，，，；记，，，定义，记所有四元数构成的集合为，则以下说法中正确的有（    ） A．集合的元素按乘法得到一个八元集合 B．若非零元，则有： C．若，则有： D．若非零元，则有： 【答案】ACD 【知识点】复数综合 【分析】对于A，利用已知条件求出所求集合为即可；对于B，直接给出反例，即可；对于C，利用的定义计算即可；对于D，利用C选项的结果验证即可. 【详解】对于A，由于，，，，故集合的元素按乘法可以得到集合，容易验证该集合中任意两个元素的乘积还在该集合中，故集合的元素按乘法得到的集合是八元集合，故A正确； 对于B，取，，则，故B错误； 对于C，若，设，，则 ，故C正确； 对于D，根据题目中的定义有，从而. 所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义的理解，只有理解了定义，方可求解所求的问题. 2．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知在复数集中，等式对任意复数恒成立，复数，，，在复平面上对应的4个点为某个单位圆内接正方形的4个顶点，，则满足条件的不同集合个数为 ． 【答案】10 【知识点】复数综合 【分析】由一元二次方程，复数根互为共轭复数根，一元四次方程可以分解为两个一元二次方程，因此四个根应该两两互为共轭复数根（或实数根），因此圆心在轴上，据此分类讨论可求得结论. 【详解】 ， 对比系数可得，， ，， 复数，，，在复平面上对应的4个点为某个单位圆内接正方形的4个顶点 情况1，四个根两两互为共轭复数，故圆心在轴上，设单位的圆心为， 不妨设，， ，， ， 类似计算可得， ，， 因为， 所以只能为负整数，又集合元素的互异性，从而可得，此时集合的个数为5个， 情况2，四个根有2个为实数，另外2个为共轭复数故圆心在轴上，设单位的圆心为， 不妨设，，，， 计算可得，， ，， 因为，所以只能为负整数，又集合元素的互异性， 从而可得，此时集合的个数为5个， 综上：满足条件的不同的个数为10. 故答案为：10. 【点睛】关键点点睛：重点在于一元二次方程，复数根互为共轭复数根，进而确定一元四次方程可以分解为两个一元二次方程，从而4个根两两互为共轭复数根，进而确定圆心，从而分类讨论求解. 3．（24-25高三上·吉林·期中）如图1点，我们知道复数可用点表示.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍.如图2，已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，点所对应的复数分别为.若，以为边作正方形，点在下方，若长度为，则复数 . 【答案】 【知识点】求复数的模、复数乘、除运算的三角表示 【分析】设，先相继求出、、对应的复数，再求，由条件列方程求，由此可得结论； 【详解】设，设对应的复数为，对应的复数为，则， ， 设对应的复数为，所以， 所以， 由已知可得， 所以， 又，所以， 所以， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，解决对于此类问题的关键是对新定义的透彻理解，解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决. 4．（24-25高一上·浙江宁波·期中）我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则. 其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，. (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作正方形. （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求证：. 【答案】(1)， (2)（ⅰ）存在，；（ⅱ）证明见解析 【知识点】三角表示下复数的几何意义 【分析】（1）根据复数三角形式运算的几何意义与运算法则求复数，. （2）（ⅰ）设，，借助复数三角形式的运算，用表示出点的坐标，求的长度，根据长度为，看看是否存在即可. （ⅱ）根据，把表示成与有关的三角函数，结合角的取值范围，求函数值域即可. 【详解】（1）连接，因为四边形，， 所以，又，所以，即， 因为， 所以， ， 所以，. （2）设，，则， 设对应的复数为，则， （ⅰ）设对应的复数为，， 设对应的复数为，所以， 所以， 由已知可得， 所以，又，所以，所以. （ⅱ）设对应的复数为， 所以， 所以，又，，， 所以 所以， 所以，所以，又， 所以，所以的范围为. 【点睛】方法点睛：求函数最值的问题，常用的方法有： （1）转化为二次函数在给定区间上的值域，求解； （2）利用基本（均值）不等式求解； （3）通过换元，转化成三角函数的值域问题求解； （4）分析函数的单调性，利用单调性求值域. 5．（23-24高一下·浙江杭州·期末）对于，记为关于的“差比模”.若取遍，记关于的“差比模”的最大值为，最小值为，若，则称关于的“差比模”是协调的. (1)若，求关于的“差比模”； (2)若，是否存在，使得关于的“差比模”是协调的？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)若且，若关于的“差比模”是协调的，求的值. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3) 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】（1）由“差比模”定义代入复数，由复数的代数运算及求模可得； （2）由，利用共轭复数的性质与模的性质可得，利用基本不等式可得可知不存在，使得关于的“差比模”是协调的； （3）设，由平方整理再结合辅助角公式可得，利用三角函数有界性可得关于的不等式，由此可解得，结合韦达定理与题意关于的“差比模”是协调的，化简可求. 【详解】（1）由题意得， 故关于的“差比模”为. （2）先证明共轭复数有如下性质：若任意，则. 证明：设， 则， 而， 故. ； ； 故. 综上，共轭复数的性质得证. 记当“差比模”取最大值时的复数为，即. 由已知发现， 由已证明共轭复数的性质与复数模的性质可得 因为， 所以若当时取得，则时取到， 故可知， 由取遍，不恒为常数，则， 故由基本不等式可得， 故不存在，使得关于的“差比模”是协调的. （3）且，设， 则， 平方整理可得： 所以， 即， 平方整理得：， 令，设方程， 则， 故方程有两个不等的实数根，设为，不妨设. 由题意知， ， 则，且， 故方程有两不等的正实数根， 由关于的不等式， 解得， 则，， 由已知关于的“差比模”是协调的，则， 所以， 利用韦达定理，， 则有， 化简可得， 故． 【点睛】结论点睛：有关共轭复数及模的常用性质有： （1）任意，则； （2）任意，则. 一、单选题 1．（24-25高三上·山西·期末）已知，，且，其中i是虚数单位，则（   ） A．10 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】复数代数形式的乘法运算、求复数的模、复数的相等 【分析】应用复数的乘法运算，再根据复数相等列方程计算求参，最后应用模长公式计算即可. 【详解】由得：， 所以解得， 所以. 故选:D. 2．（东北三省部分高中联盟2025届高三下学期联合调研模拟数学试题）已知复数满足，则复数的虚部是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的除法运算、求复数的实部与虚部 【分析】根据复数代数形式的运算法则求出复数，再确定其虚部. 【详解】因为，，. 所以. 所以复数的虚部为：. 故选：A 3．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数的除法运算、在各象限内点对应复数的特征 【分析】设，根据题意，，利用复数的除法运算，得出，求出复数对应的点的坐标，即可求出结果. 【详解】设， 因为复数在复平面内所对应的点位于第一象限， 所以，， 又， 所以， 所以复数对应的点的坐标为，位于第四象限. 故选：D. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）复数，的共轭复数是，在复平面内，复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时，在复平面上以，A，B三点为顶点的图形是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数乘、除运算的三角表示 【分析】利用复数的三角形式，可得，可求的最大值，进而求得，计算可判断图形的形状. 【详解】，．， ， 当时，取得最大值， 即当，，即，时，取最大值， 此时，． 又，， ． ． 又， ，且， 该图形为等腰三角形． 故选：D． 5．（2025年全国第八届章鱼杯I卷（高中组）数学试题）设复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C．0或 D．0或 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的相等 【分析】由集合相等得出为虚数，然后确定，只能是，再设且，代入求解． 【详解】由题意为虚数，所以，从而由题意集合中唯一的正实数相等，即，所以， 若，则或，不合题意，舍去， 因此，由共轭复数的性质有， 设且，由得， 所以，由于，故解得，， 故选：A． 6．（24-25高三上·山东青岛·期末）实系数一元三次方程在复数集内有3个根，则，，．设是方程的3个根，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】根据给定条件，列式代入计算即得. 【详解】由是方程的3个根，得， 所以 . 故选：B 7．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）若复数，且，则（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【知识点】共轭复数的概念及计算、求复数的模、复数的相等 【分析】根据复数相等可得的值，计算即可得到. 【详解】根据复数相等可得，解得， ∴，， ∴. 故选：C. 8．（24-25高三上·重庆·阶段练习）法国数学家佛朗索瓦·韦达最早发现了代数方程的根与系数之间的关系，因此人们把这个关系称为韦达定理，韦达定理也可用于复数系一元二次方程中，即这也是因式分解中的“十字相乘法”. 设 (为坐标原点)的三个顶点为复平面上的三点，它们分别对应复数， 且 则的面积为（   ） A．6 B．6 C．12 D． 【答案】A 【知识点】复数的平方根与立方根、复数代数形式的乘法运算、复数的坐标表示 【分析】根据题意可知知 是方程 的两根，再利用因式分解可得 ，即得 在复平面上的顶点坐标，即可求解. 【详解】 ， 根据韦达定理知 是方程 的两根， 因式分解可得方程两根为 ，不妨设 ， 则 在复平面上的顶点坐标为 ， 所以，故A正确. 故选 ：A. 二、多选题 9．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）已知复数，（）（为虚数单位），则（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据共轭复数的概念求，复数模的定义求，判断A，根据复数的乘法运算法则求，结合复数的模的定义求，由此判断B，结合复数的乘法法则，模的定义求判断C，结合复数的模的几何意义判断D. 【详解】对于A，复数的共轭复数， 所以，， 所以，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，因为，，因为，所以，C正确； 对于D，若，则， 所以点到点的距离小于等于， 故点在以为圆心，为半径的圆上或圆内， 所以原点到的距离的最大值为原点到圆心的距离加半径， 所以，D正确， 故选：ACD． 10．（24-25高三上·河北·期末）已知z，，是复数，则以下正确的是（    ） A．复数z对应的点在第三象限，则复数对应的点在第四象限 B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】A根据共轭复数的几何意义判断；B利用向量表示复数，再由向量的三角不等式判断；C、D设，，且，应用复数共轭复数、加法、乘法运算化简整理判断. 【详解】对于A：由z对应的点与对应的点关于x轴对称，则复数z对应的点在第三象限，则复数对应的点在第二象限，错误； 对于B：设，在复平面对应向量分别为，，则，，正确； 对于C、D：设，，且， 则，C正确； ，D正确， 故选：BCD 三、填空题 11．（2025高三·全国·专题练习）在复平面内，复数、所对应的点分别为、，对于下列四个等式：（1）；（2）；（3）；（4）.其中恒成立的等式的个数是 【答案】2 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的乘方 【分析】通过举反例排除（1）；利用复数的四则运算和复数的模的定义推理计算即得（2）；利用平面向量数量积的定义易得（3）成立；利用向量数量积的定义式分析即可排除（4）. 【详解】对于（1），取，则，，显然，（1）错； 对于（2），设，， 则， 所以， ，（2）对； 对于（3），由平面向量数量积的定义可得，（3）对； 对于（4），因为，则， 所以，，（4）错. 故恒成立的等式有（2）、（3）共2个. 故答案为：2 12．（2024高三·全国·专题练习）已知复数，并且，则的最大值为 ． 【答案】0 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的相等、基本不等式求和的最小值、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】先根据复数相等得出，再结合基本不等式计算求出最大值即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，因为， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为． 故答案为：0. 四、解答题 13．（24-25高一上·河南周口·期末）对任意一个非零复数，定义集合．. (1)设是方程的一个根，试用列举法表示集合； (2)若复数，求证． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】集合新定义、复数的除法运算、复数的乘方、列举法表示集合 【分析】（1）求解方程得，，再由有理指数幂及的运算性质可得，同理求得，则可求； （2）由，可知存在，使得，则对任意，有，结合是正奇数，得，即． 【详解】（1）由，得， ，， 当时，，， ， 当时，，， ． 综上，. （2）， 存在，使得． 于是对任意，， 由于是正奇数，， . 14．（2024高三·全国·专题练习）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点. (1)设，.求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)， 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算、复数的三角表示 【分析】（1）根据复数和共轭复数的性质即可证明； （2）设，则，由已知，，，列等式即可求解； （3）设复数，利用三角函数有界性即可求解. 【详解】（1）设，， 所以，， 因为，，所以，且， 所以是实数； （2）设，则， 因为，， 所以，所以①， 又， 所以②， 联立①②，解得，， 所以； （3）因为，设， 则， 因为，所以， 所以，. 15．（23-24高一下·河北·期中）在复平面内复数，，其所对应的点为，，为坐标原点，是虚数单位． (1)求与； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的坐标表示、已知复数的类型求参数 【分析】（1）根据条件，利用复数的运算，即可求出；再利用复数的几何意义，得，，即可求解； （2）设是方程的一个实根，利用复数相等，得到，即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以，又， 得到，，所以． （2）设是方程的一个实根，则． 根据复数相等的意义知 解得：，，． 所以，当时，原方程有一实根． 16．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知常数，设关于的方程． (1)在复数范围内求解该方程． (2)当时，设该方程的复根分别为，证明： (3)如果多项式的系数是复数，那么称该多项式为复系数多项式．已知任何一元次）复系数多项式方程至少有一个复根．证明：有个复数根（重根按重数计）． (4)将题设的常数“”改为“”，并证明：（2）仍然成立． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4)答案见解析 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】（1）根据分类讨论得到不同的方程再求解方程的根； （2）在一元二次方程中，根据判别式的不同情况，求解根验证韦达定理即可证明； （3）通过方程分解因式的方法层层递进即可得证； （4）由（3）得复系数二次方程有两个复数根，结合分解因式和对应系数相等，得到证明； 【详解】（1）当时，方程有无数个根，所有根组成的集合是； 当时，方程无根； 当时，方程的根为； 时，配方得． ①当时，方程有两个实根 ． ②当时，方程化为， 由于，因此． 由于，因此， 故方程有两个复根． （如果认为，然后把两种情况合并成一种情况，则只能得1分． 因为我们只曾定义过，但从来没有规定过，而也不能推出． 这是因为开方这种运算本身仅对非负实数而言，对负数是没有意义的． 就算，那为什么不是？我们从来没定义过对负数开根是什么概念，更没有规定过根号下有负数时的运算规则．） 再次强调：不是，“”不能写成“”，i仅仅只是人为规定的一个抽象的数，它满足． （2）①当时， ②当时，根据复数的运算法则，得 （如果和（1）一样认为合并情况的话，只能得1分） （3）一元次复系数多项式方程至少有一个复根， 不妨设该方程的一个复根为，则必然能够分解出一个因式，即． 由复数的运算法则可知，方程是一元次复系数多项式方程． 不妨设该方程的一个复根为，则必然能够分解出一个因式，即． 重复该过程，最终， 其中为常数，．显然有个复数根（重根按重数计）． （4）由（3）得复系数二次方程有两个复数根，分别设为，则原方程可化为， 即， 和原方程比较系数，得 即． 17．（23-24高一上·江西鹰潭·期末）已知： ①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式. ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式. ③方程（为正整数）有个不同的复数根. (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合； (3)复数，求. 【答案】(1) (2) (3). 【知识点】复数的乘方、复数范围内分解因式、复数范围内方程的根、三角表示下复数的乘方与开方 【分析】（1）根据题意可得，从而可求； （2）设，依题意可得，，从而得到，，对赋值，可求出复数的值所组成的集合； （3）依题意得，即方程的根为，分析可得，再令即可求解. 【详解】（1）依题意，， 所以 ， ∴. （2）设，则 因此，，则，，解得，， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为0，，，，，. 因此对应的依次为1，，，，，， 所以所求的集合是. （3）当时，，， 则，，， 因此关于的方程的根为，则， 又，，，…， 由此，则， 令，得， 而2019为奇数，所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$