专题01 余弦定理（6大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（苏教版2019必修第二册）

专题01 余弦定理 目录 【题型一 利用余弦定理解三角形 】 2 【题型二 利用余弦定理判断三角形形状】 3 【题型三 余弦定理与三角形面积】 3 【题型四 余弦定理与三角形中线】 4 【题型五 余弦定理与三角形角平分线】 5 【题型六 余弦定理的实际应用 】 7 一、余弦定理 （1）余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； （2）余弦定理的推论 ； ； 二、解三角形 （1）解三角形 一般地,三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. （2）余弦定理在解三角形中的应用 ①已知三角形的三边解三角形 连续用余弦定理求出两角；由三角形内角和定理求出第三个角. ②已知两边和它们的夹角解三角形 用余弦定理求出第三边；用余弦定理求出第二个角；由三角形内角和定理求出第三个角. ③已知两边及其中一边的对角解三角形 例如已知及角,可以根据余弦定理列出以边为未知数的一元二次方程,根据解一元二次方程的方法,求边,然后应用余弦定理和三角形内角和定理,求出其他两个角. 【题型一 利用余弦定理解三角形 】 1．（24-25高三上·江苏镇江·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）在中，角的对边分别是，若，则最小角的正弦值为 . 3．（24-25高三上·广东·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，且．当取最小值时，则 ． 4．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，，为线段上的点，且．若，则 ． 5．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）在中，，点D在BC上，满足，． (1)若，求的面积； (2)求余弦值的最小值． 【题型二 利用余弦定理判断三角形形状】 1．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 2．（24-25高一·全国·期中）若，且，那么是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 3．（23-24高一下·江苏镇江·期中）在中，分别是内角所对的边，且满足，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰钝角三角形 C．等边三角形 D．以上结论均不正确 4．（23-24高三上·河北张家口·期中）在中，若，则的形状为（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 5．（24-25高一·全国·课后作业）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则该三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【题型三 余弦定理与三角形面积】 1．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的面积的最大值为 ． 2．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）在中，内角的对边长分别为，若且，则 ，面积的值为 ． 3．（24-25高一·江苏·假期作业）在中，已知且，则面积的最大值是 ． 4．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）的三个内角，，所对的边分别为，，，，，则面积的最大值是 . 5．（23-24高一下·四川广安）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为 ． 【题型四 余弦定理与三角形中线】 1．（2025高一上·浙江台州·专题练习）如图，在中，点在斜边的中线上，连结，过点作交于点．若点恰好为的中点，且，，则的长是 ． 2．（23-24高三上·浙江宁波·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)若，BC边上的中线，求的面积． 3．（23-24高一下·浙江台州·专题练习）已知中，角所对的边长分别为，且，为边上一点，且. 4．（22-23高一下·河北·期中）已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，，且. (1)求角C； (2)若为的中线，且，求的面积. 5．（2023·湖南常德·二模）在中，，，边中线. (1)求的值； (2)求的面积． 【题型五 余弦定理与三角形角平分线】 1．（多选）（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）已知中，在上，为的角平分线，为中点，则（    ） A． B．的面积为 C． D． 2．（23-24高二上·湖南长沙·开学考试）在△ABC中，，，，∠BAC的角平分线交BC于D，则 ． 3．（24-25高三上·山东淄博·期中）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积的最大值； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 4．（2024·江苏常州·三模）在 中，已知. (1)求的值； (2)若是的角平分线，求的长． 5．（2024·江苏连云港·模拟预测）在△中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且，． (1)证明：； (2)从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知，求△的面积． 条件①：△的中线； 条件②：△的角平分线． 【题型六 余弦定理的实际应用 】 1．（24-25高三上·陕西商洛·期末）位于处的雷达接收到在其正东方向相距海里的处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于处雷达北偏东且与处雷达相距30海里的处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广西·期中）一艘轮船北偏西方向上有一灯塔，此时二者之间的距离为海里，该轮船以海里时的速度沿南偏西的方向直线航行，行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为（   ） A．18海里 B．16海里 C．14海里 D．12海里 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，为测量某大厦的高度，小明选取了大厦的一个最高点，点在大厦底部的射影为点，两个测量基点与在同一水平面上，他测得米，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则该大厦的高度 米． 4．（2024高二下·安徽·学业考试）如图，城市在观察站的北偏东方向上且相距，在观察站的北偏西方向上相距.则观察站和相距 km. 5．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑.蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地.如图，某学生为测量蜚英塔的高度，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，，求蜚英塔的高度. 一、单选题 1．（22-23高一下·浙江台州·期末）如图，在中，D是BC的中点，E是AC上的点，，，，，则（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 2．（23-24高一下·内蒙古通辽·阶段练习）图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．受其启发，某同学设计了一个图形，该图形是由三个全等的钝角三角形与中间的一个小正三角形拼成的一个大正三角形，如图2所示，若，，则（    ）    A． B． C． D．的面积为 3．（23-24高一下·河北·期中）在中，角的对边分别为，点是的内心.若，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 4．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知在平面四边形中，，，，，则当变化时，的最大值为 ． 5．（23-24高一下·山东淄博·期中）如图所示，在等腰直角中，为中点，分别是线段上的动点，且，当时，则的值为 . 6．（2024·四川绵阳·模拟预测）在钝角中，，，分别是的内角，，所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是 . 7．（23-24高一下·浙江·期中）已知中，点、分别是重心和外心，点为边中点，且，，则边的长为 ． 8．（2024·安徽池州·模拟预测）在中，是的角平分线，且的面积为1，当最短时， ． 9．（2022高二下·浙江温州·学业考试）在中，，，，，的面积为，则的长为 . 四、解答题 10．（24-25高三上·安徽亳州·期末）如图，在平面四边形中，，，平分. (1)若，，求； (2)若，求. 11．（23-24高一下·陕西榆林·期末）在锐角三角形中，内角所对应的边分别为，，，点，分别为边的中点，满足. (1)求边，，之间的关系； (2)求的值域. 12．（23-24高一下·安徽铜陵·期末）在锐角三角形中，内角所对应的边分别为，点分别为边的中点，满足. (1)求的值； (2)求的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 余弦定理 目录 【题型一 利用余弦定理解三角形 】 2 【题型二 利用余弦定理判断三角形形状】 5 【题型三 余弦定理与三角形面积】 8 【题型四 余弦定理与三角形中线】 11 【题型五 余弦定理与三角形角平分线】 15 【题型六 余弦定理的实际应用 】 20 一、余弦定理 （1）余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； （2）余弦定理的推论 ； ； 二、解三角形 （1）解三角形 一般地,三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. （2）余弦定理在解三角形中的应用 ①已知三角形的三边解三角形 连续用余弦定理求出两角；由三角形内角和定理求出第三个角. ②已知两边和它们的夹角解三角形 用余弦定理求出第三边；用余弦定理求出第二个角；由三角形内角和定理求出第三个角. ③已知两边及其中一边的对角解三角形 例如已知及角,可以根据余弦定理列出以边为未知数的一元二次方程,根据解一元二次方程的方法,求边,然后应用余弦定理和三角形内角和定理,求出其他两个角. 【题型一 利用余弦定理解三角形 】 1．（24-25高三上·江苏镇江·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积、基本不等式求和的最小值 【分析】运用数量积定义和余弦定理，结合基本不等式计算. 【详解】，∴，∴， ∴ ， 所以， 故选：A． 2．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）在中，角的对边分别是，若，则最小角的正弦值为 . 【答案】/ 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、余弦定理解三角形、向量数乘的有关计算、利用平面向量基本定理求参数 【分析】将题设条件化为，利用向量，不共线得到的关系，进而判断得最小角为，再利用余弦定理与基本关系式即可得解. 【详解】因为， 所以，则， 又，不共线，所以，则，， 所以边最小，则角最小，故， 由余弦定理可得， 所以. 故答案为：. 3．（24-25高三上·广东·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，且．当取最小值时，则 ． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】由已知结合余弦定理得，代入结合基本不等式得取得最小值的取等条件为，从而，进而求出. 【详解】由及余弦定理得：，整理得， 则，当且仅当，即时取等号， 此时，，则， 故答案为： 4．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，，为线段上的点，且．若，则 ． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】引入未知数，利用向量的加减运算，数量积运算，余弦定理把，，再建立等式求解即可． 【详解】解：不妨设，则， 由余弦定理：， 解得： ， ， 故答案为：． 5．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）在中，，点D在BC上，满足，． (1)若，求的面积； (2)求余弦值的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）设，在中和中，分别用余弦定理表示出，由等式解出，面积公式求的面积； （2）设，，由，余弦定理得，代入中结合基本不等式求最小值. 【详解】（1）设，则，． 在中，． 在中， ，解得，故， 所以． （2）设，，则，． 因为，所以， 即，整理得． 在中， ， 当且仅当，即，时取等号， 经检验，此时三角形存在，符合题意． 所以∠ADC余弦值的最小值为． 【题型二 利用余弦定理判断三角形形状】 1．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】先化简，再结合余弦定理可得，所以得，令，代入前面的式子可求出，然后根据三边的关系可判断三角形的形状. 【详解】由，得， 化简得， 所以由余弦定理得， 因为，所以， 所以，令，则 ，得，得， 所以， 所以为直角三角形， 故选：A 2．（24-25高一·全国·期中）若，且，那么是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由给定边的关系式结合余弦定理求出角A，再由正弦定理角化边，结合边的关系式可得c=b即可推理作答. 【详解】由，得， 化简得， 所以，由余弦定理得， 因为，所以， 因为， 所以，由正余弦定理角化边得，化简得， 所以，即为等边三角形． 故选：B 3．（23-24高一下·江苏镇江·期中）在中，分别是内角所对的边，且满足，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰钝角三角形 C．等边三角形 D．以上结论均不正确 【答案】C 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用余弦定理化简已知条件，由此确定正确答案. 【详解】由于，所以为锐角， 由余弦定理得，则为锐角. 由以及余弦定理得， ，由于，所以，即， 所以，所以三角形是等边三角形. 故选：C 4．（23-24高三上·河北张家口·期中）在中，若，则的形状为（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】根据二倍角公式以及正余弦定理边角互化即可求解. 【详解】由二倍角公式可得,由正弦定理可得， 由余弦定理边角互化可得：， 化简得， 因此或，故为直角三角形， 故选：B 5．（24-25高一·全国·课后作业）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则该三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【知识点】余弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由余弦定理得到，结合，得到，判断出三角形为直角三角形. 【详解】∵， ∴， 由余弦定理可得：， 整理可得：，① ∵， ∴，② 由①②得， ∴该三角形是直角三角形. 故选：A 【题型三 余弦定理与三角形面积】 1．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】先由已知条件结合余弦定理和求出，再由余弦定理结合基本不等式求出最大值，即可由正弦定理形式面积公式求出面积最大值. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 整理得，由，得为锐角， 而，解得， 由及余弦定理，得， 解得，当且仅当时取等号， 因此，所以面积的最大值为. 故答案为：. 2．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）在中，内角的对边长分别为，若且，则 ，面积的值为 ． 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理找到变量之间的关系求解第一空，利用三角形面积公式结合给定条件求解第二空即可. 【详解】因为， 所以由余弦定理得， 所以，化简得， 也可得到，化简得， 又可得到，化简得， 解得，，由余弦定理得， ，而在中，故， 而设面积为，所以， ，而，所以. 故答案为：； 3．（24-25高一·江苏·假期作业）在中，已知且，则面积的最大值是 ． 【答案】/ 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】设，可得的面积的表达式，再由余弦定理可得的表达式，进而可得三角形面积的最大值． 【详解】因为且， 设，则， 又因为， 所以． 当，即时取等号． 故答案为：． 4．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）的三个内角，，所对的边分别为，，，，，则面积的最大值是 . 【答案】3 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】利用余弦定理表示出，再表示出，再利用可得答案； 【详解】因在三角形中，则由三角形三边关系可得， 又利用余弦定理有：    ， 又， 则    . 得，当且仅当，即时取等号. 故面积的最大值是； 故答案为：3 5．（23-24高一下·四川广安）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为 ． 【答案】2 【知识点】求三角形面积的最值或范围、余弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】结合倍角公式、正弦定理、余弦定理化简得，即，故，可得B的范围，即可根据求得结果 【详解】由题，， 由正弦定理得，，故， 由余弦定理得，故， 故，当是，取等号，故，， 故，故最大值为2， 故答案为：2 【题型四 余弦定理与三角形中线】 1．（2025高一上·浙江台州·专题练习）如图，在中，点在斜边的中线上，连结，过点作交于点．若点恰好为的中点，且，，则的长是 ． 【答案】2 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据题意先求得，，由余弦定理可得，进而可得. 【详解】 由题意，在中，， 故，， 在中，， 故， 由题意，故， 故答案为：2 2．（23-24高三上·浙江宁波·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)若，BC边上的中线，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据三角形内角和，先把换成，再用两角和与差的三角函数公式展开化简，可得结论； （2）借助余弦定理和三角形面积公式求解. 【详解】（1）因为， 即， 所以， 又因为，所以，所以． （2）方法1：因为， 所以，即， 所以①；   由余弦定理得，②； 所以由①②得， 所以． 方法2：由余弦定理得： ， 因为， 所以①；    又②；     所以由①②得，     所以． 3．（23-24高一下·浙江台州·专题练习）已知中，角所对的边长分别为，且，为边上一点，且. 【答案】(1) 【知识点】求15°等特殊角的正切、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）设，在中由余弦定理得，在中由余弦定理得； 【详解】（1）如下图所示，    在中，设，由余弦定理得 即，得， 所以， 在中，由余弦定理得， 则，所以 4．（22-23高一下·河北·期中）已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，，且. (1)求角C； (2)若为的中线，且，求的面积. 【答案】(1) (2)或 【知识点】特殊角的三角函数值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）运用正弦定理角化边解方程即可. （2）在中运用余弦定理求得CD的值，进而求得a的值，结合三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）由题可得， 由正弦定理得， 则. 因为， 所以. （2） 如图，在中，， 即，解得：或， 所以或. ①当时，， ②当时，， 故的面积为或. 5．（2023·湖南常德·二模）在中，，，边中线. (1)求的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换得出的值； （2）由余弦定理得出，最后由面积公式得出的面积． 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得 因为，所以，因为，所以. （2）因为，，可知为等腰三角形. 在中，由余弦定理可得 即，解得. 所以的面积为. 【题型五 余弦定理与三角形角平分线】 1．（多选）（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）已知中，在上，为的角平分线，为中点，则（    ） A． B．的面积为 C． D． 【答案】ABD 【知识点】几何图形中的计算、三角形面积公式及其应用 【分析】根据条件利用余弦定理，可求出，求出后，可直接利用三角形面积公式计算出的面积，故可知正确；利用余弦定理求出的余弦及正弦值，在三角形中，利用正弦定理可求得的长，判断出;在中,利用正弦定理可求出的长，判断出 【详解】如图：    在三角形中，由余弦定理， ，故，故，正确； 由余弦定理可知：，， 平分，， ， 在三角形中，由正弦定理可得：， 故，故不正确. 在中， 由余弦定理得：， ，故正确； 故选： 2．（23-24高二上·湖南长沙·开学考试）在△ABC中，，，，∠BAC的角平分线交BC于D，则 ． 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】根据所给条件，利用余弦定理及三角形面积公式求解. 【详解】如图所示，记，，，    由余弦定理可得，， 即， 因为，解得， 由可得， ， 解得． 故答案为： 3．（24-25高三上·山东淄博·期中）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积的最大值； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】基本不等式求积的最大值、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）利用正弦定理与和角公式将题设等式化成，借助于三角形即可求得角； （2）由余弦定理得，利用基本不等式求得，即得的面积的最大值； （3）利用三角形角平分线定理推得，再由余弦定理推得，最后运用余弦定理即可求得的值. 【详解】（1）由和正弦定理， 可得， 因， 代入可得， 因,则，故， 又因,故； （2）由余弦定理，， 因，，代入整理得：， 由，当且仅当时等号成立，此时， 而的面积， 在中，由，，和，易得， 即当时，的面积的最大值为； （3） 如图，因平分,且，则,即， 在中，由余弦定理，， 即得，则， 故. 4．（2024·江苏常州·三模）在 中，已知. (1)求的值； (2)若是的角平分线，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】二倍角的余弦公式、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）先利用余弦定理求出边的长，再利用正弦定理求出 （2）利用三角形的面积公式及面积关系，建立关于边的关系式求解即可得到答案 【详解】（1）在中，由余弦定理 整理得 解得或 由于，所以 因为，所以，所以 由正弦定理得：，故 （2）设， 由及三角形的面积公式可得： 整理得 在中，由余弦定理 由得 则 5．（2024·江苏连云港·模拟预测）在△中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且，． (1)证明：； (2)从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知，求△的面积． 条件①：△的中线； 条件②：△的角平分线． 【答案】(1)证明见解析 (2)条件① ，条件② 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用余弦定理计算即可； （2）分别选择条件①②，利用余弦定理和正弦定理分析计算即可. 【详解】（1）因为，由余弦定理可得：， 又，设， 则，解得或（舍）， 故； （2）由，可得，又，故， 选①：△的中线， 在△中 解得或（舍），故．又 ，   则； 选②： 在△中，由正弦定理得， 在△中，由正弦定理得． 又，，得， 由，得，                      在△中， 解得，又，                       所以； 综上，条件① ，条件②. 【题型六 余弦定理的实际应用 】 1．（24-25高三上·陕西商洛·期末）位于处的雷达接收到在其正东方向相距海里的处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于处雷达北偏东且与处雷达相距30海里的处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角度测量问题 【分析】由余弦定理解三角形可得. 【详解】如图，由题意可得．在中，由余弦定理可得 海里， 故甲船至少需要航行的海里数为． 故选：C.    2．（24-25高二上·广西·期中）一艘轮船北偏西方向上有一灯塔，此时二者之间的距离为海里，该轮船以海里时的速度沿南偏西的方向直线航行，行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为（   ） A．18海里 B．16海里 C．14海里 D．12海里 【答案】C 【知识点】角度测量问题 【分析】根据题意作出图示，然后利用余弦定理求解出结果. 【详解】记轮船的初始位置为，灯塔的位置为，半小时后轮船的位置为，如图所示. 依题意得海里，海里，. 在中，由余弦定理得， 所以海里，即行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为海里. 故选：C. 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，为测量某大厦的高度，小明选取了大厦的一个最高点，点在大厦底部的射影为点，两个测量基点与在同一水平面上，他测得米，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则该大厦的高度 米． 【答案】204 【知识点】高度测量问题 【分析】设米，根据余弦定理列方程求解． 【详解】设米，因为在点处测得点的仰角为，所以， 所以米． 因为在点处测得点的仰角为，所以米． 在中，由余弦定理可得， 即，解得． 故答案为：204. 4．（2024高二下·安徽·学业考试）如图，城市在观察站的北偏东方向上且相距，在观察站的北偏西方向上相距.则观察站和相距 km. 【答案】 【知识点】距离测量问题 【分析】由条件可得，，，利用余弦定理求 【详解】由条件可得，，， 由余弦定理可得， 所以， 故. 故答案为：. 5．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑.蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地.如图，某学生为测量蜚英塔的高度，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，，求蜚英塔的高度. 【答案】35米 【知识点】高度测量问题 【分析】设由图中角的关系得到，，再由余弦定理求解即可； 【详解】设米， 在中，，则米. 在中，，则米. 因为， 所以由余弦定理得， 整理得，得. 所以蜚英塔的高度为35米. 一、单选题 1．（22-23高一下·浙江台州·期末）如图，在中，D是BC的中点，E是AC上的点，，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】作的四等分点，使得，然后在三角形与三角形中，使用余弦定理表示出，再结合，两次使用余弦定理，从而解得所需要的边长，解出. 【详解】设在三角形与三角形中， 解得：    作的四等分点，且,由题意知，， 又因为，所以,, 又，所以, 在三角形与三角形中， 化简得: ,代入解得：, 从而解得： 故选：D. 二、多选题 2．（23-24高一下·内蒙古通辽·阶段练习）图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．受其启发，某同学设计了一个图形，该图形是由三个全等的钝角三角形与中间的一个小正三角形拼成的一个大正三角形，如图2所示，若，，则（    ）    A． B． C． D．的面积为 【答案】ABD 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】设，则，由余弦定理及三角形面积公式即可逐项求解. 【详解】设，则， 在中，， 由余弦定理可得，， 即， 整理得， 解得，或（舍去）， 所以，，故A、B正确， 所以，故C错误， 所以， 所以的面积为，故D正确. 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了用余弦定理解三角形及三角形的面积公式，解题的关键是由余弦定理求出的长度. 3．（23-24高一下·河北·期中）在中，角的对边分别为，点是的内心.若，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】用定义求向量的数量积、二倍角的余弦公式、余弦定理边角互化的应用 【分析】先由平面向量的数量积得，再结合余弦定理即可求出，于是由，结合半角公式和诱导公式即可推出的取值范围，即可得解. 【详解】因为， 所以， 则由余弦定理得， 整理得， 所以由余弦定理，当且仅当时，等号成立， 又为三角形的内角， 所以，， 又且，所以， 因为点是的内心，故，分别为，的角平分线， 所以， 则， 因为，所以，即，故符合题意的有ABC. 故选：ABC 三、填空题 4．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知在平面四边形中，，，，，则当变化时，的最大值为 ． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、辅助角公式、正弦定理解三角形 【分析】设 利用余弦定理表示出，并用正弦定理得到，在中用余弦定理得，从而利用三角函数性质进行求解. 【详解】设 在中,由余弦定理得,, 即, 又由正弦定理得, 故, 又因为,所以在中,由余弦定理得, , 所以， 化简得， 因此当，且，故当且仅当时， 有最大值为，所以 故答案为: . 5．（23-24高一下·山东淄博·期中）如图所示，在等腰直角中，为中点，分别是线段上的动点，且，当时，则的值为 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】依题意，设，由余弦定理求出,在中表示出，在中表示出，联立解方程求出，回代求出. 【详解】因,则,, 又为中点，则,, 设,则由余弦定理，，同理 ， 在中，由余弦定理，， 在中，，故得，， 化简得，，解得，（舍去）， 故. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查余弦定理的应用，属于难题. 考虑到是线段上的动点，设,将相关边用它来表示，再通过的两种表示形式联立方程，解之即得. 6．（2024·四川绵阳·模拟预测）在钝角中，，，分别是的内角，，所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】延长交于，由为的重心，可得，根据，利用余弦定理可得，进而可得为锐角，设为钝角，则，，，进而计算可得，利用余弦定理可得的取值范围. 【详解】延长交于，如下图所示： 为的重心，为中点且，，，； 在中，； 在中，； ，，即， 整理可得：，为锐角； 设为钝角，则，，， ，， 解得：，，， ， 又为锐角，，即的取值范围为. 【点睛】本题考查余弦定理的综合应用，利用已知求得是关键，考查运算求解能力，难度较大. 7．（23-24高一下·浙江·期中）已知中，点、分别是重心和外心，点为边中点，且，，则边的长为 ． 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、余弦定理解三角形、数量积的运算律 【分析】由数量积的定义得出外心满足性质：，，由中线向量性质，再由数量积的运算得出，利用平方后求得，然后利用余弦定理即可得长． 【详解】如图，连接，作于，则是的中点，， ， 同理， ， ， 所以， 又， 即，， 所以，即， 由余弦定理得， 所以. 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：由数量积的定义得出外心满足性质：，，结合求出是解决本题的关键. 8．（2024·安徽池州·模拟预测）在中，是的角平分线，且的面积为1，当最短时， ． 【答案】/ 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】记，，然后计算得到，再使用余弦定理说明，并通过基本不等式的取等条件得知当取到最小值时，，最后通过即得结果. 【详解】记，，则，从而. 因为， 且， 所以，且， 从而. 在中，由余弦定理可得： ， 当且仅当即时取等号. 所以当取到最小值时，，此时， 所以． 故答案为：. 9．（2022高二下·浙江温州·学业考试）在中，，，，，的面积为，则的长为 . 【答案】3 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】令，，由余弦定理可得①，在中由余弦定理可得②，由得③，解①②③组成的方程组可得答案. 【详解】令，因为，所以， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 因为，所以， 整理得①， 在中，由余弦定理可得， 整理得②， 因为，，所以， 因为，的面积为，所以的面积为， 所以，整理得③， 由①②③得，或， 当时，，当时，， 因为，所以，所以， 则的长为. 故答案为：.    【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用余弦定理由、三角形的面积建立等量关系式，考查了学生的思维能力、运算能力. 四、解答题 10．（24-25高三上·安徽亳州·期末）如图，在平面四边形中，，，平分. (1)若，，求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据条件求的长，在中，由余弦定理可求. （2）设，，表示，在中利用余弦定理结合同角三角函数基本关系可求和，由此可得结果. 【详解】（1）∵平分，∴，故， ∵，， ∴，， 在中，由余弦定理得. （2）设，则. 设，则，， 在中，由余弦定理得， ∵，∴， ∴，， ∴. 11．（23-24高一下·陕西榆林·期末）在锐角三角形中，内角所对应的边分别为，，，点，分别为边的中点，满足. (1)求边，，之间的关系； (2)求的值域. 【答案】(1) (2) 【知识点】垂直关系的向量表示、余弦定理边角互化的应用、用基底表示向量、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）用、表示出，，根据数量积的运算律及定义得到，再由余弦定理计算可得； （2）由三角形为锐角三角形及余弦定理求出，即可得到的范围，再由余弦定理得到，利用换元法及对勾函数的性质计算可得. 【详解】（1）连接，， 因为点分别为边的中点， 可得， ， 又因为，则， 整理得，即， 由余弦定理可知，则， 所以. （2）因为为锐角三角形， 所以，即，，， 又因为，则，，可得，即， 则， 令，则，可得， 令，可知在上单调递减，在上单调递增， 且，， 可得，即， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是推导出的范围，再由余弦定理及（1）的结论得到. 12．（23-24高一下·安徽铜陵·期末）在锐角三角形中，内角所对应的边分别为，点分别为边的中点，满足. (1)求的值； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、数量积的运算律、余弦定理解三角形 【分析】（1）用、表示出，，根据数量积的运算律及定义得到，再由余弦定理计算可得； （2）由三角形为锐角三角形及余弦定理求出，即可得到的范围，再由余弦定理得到，利用换元法及对勾函数的性质计算可得. 【详解】（1）连接，，点分别为边的中点， 所以， ， 因为，所以， 所以， 所以， 由余弦定理，所以， 所以，所以. （2）因为为锐角三角形， 所以，即，，， 又， 所以，，所以，即， 所以， 令，则， 所以，令，则在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以，所以，即的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是推导出的范围，再由余弦定理及（1）的结论得到. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$