第02讲：排列与排列数【9大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第三册）

第02讲：排列与排列数 【考点梳理】 · 考点一、排列的概念 · 考点二、排列数计算、方程和不等式问题 · 考点三：排列的证明问题 · 考点四：全排列问题 · 考点五：元素有限制的排列问题 · 考点六：相邻问题的排列问题 · 考点七：不相邻的排列问题 · 考点八：其他的排列模型 · 考点九：排列的综合问题 【知识梳理】 知识点一　排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 知识点二　排列相同的条件 两个排列相同的充要条件： (1)两个排列的元素完全相同． (2)元素的排列顺序也相同． 知识点三　排列数的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示． 知识点四　排列数公式及全排列 1．排列数公式的两种形式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n. (2)A＝. 2．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为A＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1. 【题型归纳】 题型一、排列的概念 1．（23-24高二下·陕西咸阳·期中）下列问题不属于排列问题的是（   ） A．从10个人中选2人分别去种树和扫地 B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C．从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表 D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数 2．（22-23高二上·全国）下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 3．（21-22高二·全国）下列问题是排列问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C．集合的含有三个元素的子集有多少个？ D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 题型二、排列数计算、方程和不等式问题 4．（23-24高二下·江苏扬）计算下列各题： (1)； (2)解方程：. 5． （20-21高二·全国） （1）解方程：； （2）解不等式：. 6．（2023高二·江苏）计算： (1)； (2)；(3)若，求x. 题型三：排列的证明问题 7．（24-25高二下·全国）证明下列等式． (1)； (2)． 8．（20-21高二·江苏）求证： (1)； (2)． 9． （20-21高二·全国） （1）用排列数表示 (n∈N*且n<55)； （2）计算； （3）求证：. 题型四：全排列问题 10．（23-24高二下·新疆·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的不同站法种数为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二下·山西太原·期末）北京时间2024年4月26日，神舟十七号航天员乘组和神舟十八号航天员乘组胜利会师“天宫”.随后，两个乘组要拍张“全家福”照片，向全国人民报平安.已知两个乘组各3人，每个乘组有一名指令长.拍照时，要求站两排，前排2人，后排4人.若两个指令长在前排，则不同的排法种数为（    ） A．24 B．48 C．360 D．720 12．（23-24高二下·安徽安庆·期末）某寝室4名室友拍毕业照，4位同学站成一排，其中甲乙两位同学必须相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法种数有（    ） A．24种 B．12种 C．8种 D．6种 题型五：元素有限制的排列问题 13．（24-25高二下·全国）某次会议安排甲、乙等六人的座位在第一排的号，其中甲的座位号为奇数，乙的座位号为偶数，且甲、乙不相邻，则这六人不同的座位安排方法种数为（    ） A．48 B．96 C．128 D．186 14．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知甲、乙、丙等5人站成一列，并要求甲站在乙、丙前面，则不同的安排方法的种数为（    ） A．24 B．26 C．32 D．40 15．（2024·江西新余·模拟预测）甲、乙等5人排成一行，则甲不站在5人正中间位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（     ）种. A． B． C． D． 题型六：相邻问题的排列问题 16．（24-25高二下·全国）四名男生和两名女生排一行进行合影，若要求男生甲与男生乙不相邻，且女生A和女生B相邻，则不同排法的种数有（    ） A．288种 B．144种 C．96种 D．72种 17．（24-25高二下·全国）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（    ） A．240种 B．188种 C．144种 D．120种 18．（23-24高二下·内蒙古·期末）有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本．若将其随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 题型七：不相邻的排列问题 19．（24-25高二下·全国）某校举办校运动会，某班级选出跑步较好的4人参加米接力赛，其中甲、乙两人不跑相邻棒的排法有（    ） A．8种 B．12种 C．16种 D．24种 20．（24-25高二下·全国）一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（    ） A．5760 B．5660 C．5642 D．5472 21．（2024·四川成都·模拟预测）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（    ） A．120种 B．24种 C．36种 D．12种 题型八：其他的排列模型 22．（2024·广东·模拟预测）甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有（ ） A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 23．（23-24高二下·上海·期末）某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲、乙必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．240 24．（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）春天来了，万物复苏，合肥六中乐之楼楼下的花坛里种了不同颜色的花．如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案数有（    ）    A．180 B．240 C．360 D．420 题型九：排列的综合问题 25．（24-25高三·上海·随堂练习）某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学， (1)其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为多少？ (2)要求语文与化学相邻，且数学不排第一节，则不同排法的种数为多少？ 26．（23-24高二下·陕西西安·期中）某种产品的加工需要经过6道工序． (1)若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，问有多少种加工顺序? (2)若其中某3道工序必须相邻．问有多少种加工顺序? (3)若其中某3道工序两两不能相邻，问有多少种加工顺序? 27．（23-24高二下·全国·课后作业）用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？（列式并计算） (1)六位数； (2)六位奇数； (3)能被5整除的六位数； (4)组成的六位数按从小到大顺序排列，第265个数是多少？ 【高分演练】 一、单选题 28．（23-24高二下·江苏南京）表示为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高二下·福建福州·期末）福厦高铁全线共设8个客运站：福州南、福清西、莆田、泉港、泉州东、泉州南、厦门北、漳州，则铁路部门应为福厦高铁线上的这8个站间准备不同的火车票的种数为（    ） A．28 B．56 C．64 D．112 30．（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 31．（24-25高二下·全国）为了丰富学生的课余生活，某校拟开展课外实践活动，有6种实践活动可供选择．若甲、乙、丙三名学生每人从中选择1种，且3人选择的实践活动不同，则不同的选法共有（    ） A．60种 B．80种 C．120种 D．150种 32．（23-24高二下·新疆阿克苏）现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，则不同的站法有（ ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 33．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（   ） A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法 D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法 34．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，要求数字1和4相邻，则这样的六位数的个数为（   ） A．192 B．240 C．360 D．720 35．（23-24高二下·贵州黔南·期末）黔南布依族苗族自治州辖12个县（市）：都匀市、福泉市、瓮安县、独山县、三都水族自治县、平塘县、荔波县、贵定县、龙里县、罗甸县、长顺县、惠水县，为了弘扬地方少数民族文化，州文化广电和旅游局决定在暑假期间到这12个县（市）举办文化宣传活动，每个县（市）安排一次活动，且不同时举行.若要求罗甸县、长顺县、惠水县相邻举行，则不同的时间安排种数为（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，唐胜杰与江新林相邻，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（    ） A．144种 B．204种 C．156种 D．240种 二、多选题 37．（24-25高二下·全国·课后作业）某市文化局组织了一次“送戏下乡”活动，共有个节目，且小品和相声各一个，若小品不排在第一位，相声不排在最后一位，则不同的排法种数为（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马炮、兵等均为象棋中的棋子．现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则下列说法正确的是（    ） A．共有120种排列方式． B．若两个“将”相邻，则有24种排列方式． C．若两个“将”不相邻，则有36种排列方式． D．若同色棋子不相邻，则有12种排列方式． 39．（23-24高二下·全国·课后作业）身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（ ） A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法 B．A与同学不相邻，共有种站法 C．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法 D．A不在排头，B不在排尾，共有504种站法 40．（23-24高二下·山东·期中）已知4位身高各不相同的男生和3位女生站成一排，则（    ） A．共有种不同的排法 B．若女生互不相邻，共1440种不同的排法 C．若男生站一起、女生站一起，共144种不同的排法 D．若男生从左到右身高逐渐增加，共有210种不同的排法 41．（23-24高二下·江苏镇江·期中）定义“圆排列”：从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为.圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以.现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则（    ） A．共有种排法 B．若两名女生相邻，则有种排法 C．若两名女生不相邻，共有种排法 D．若男生甲位置固定，则有种排法 42．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）2023年国外某智库发布尖端技术研究国家竞争力排名，在极超音速和水下无人机等23个领域中，中国在其中19个领域领先.某科技博主从这19个领域中选取了六个领域，准备在2024年1月1—6日对公众进行介绍，每天随机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一天介绍，则（    ） A．与相邻，共有240种排法 B．相隔一天介绍的方法种数为96 C．若与不相邻，共有480种排法 D．若在的前面，共有360种排法 三、填空题 43．（24-25高二下·全国）的值为 ． 44．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）五种不同商品在货架上排成一排，其中A，B两种必须连排，而C，D两种不能连排，则不同的排法共有 种． 45．（25-26高三上·上海·单元测试）五名同学国庆假期相约去珠海野狸岛日月贝采风观景，结束后五名同学排成一排照相留念，若甲、乙二人必须相邻，则不同的排法共有 种． 46．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为 （用数字作答） 47．（23-24高二下·贵州·期中）2024年3月5日至11日，第十四届全国人民代表大会第二次会议胜利召开.此次大会是高举旗帜、真抓实干、团结奋进的大会，全国人大代表不负人民重托、认真履职尽责，凝聚起扎实推进中国式现代化的磅礴力量.某村小校党支部包含甲、乙、丙、丁的10位党员开展“学习贯彻2024年全国两会精神”圆桌会议，根据会议要求：甲、乙必须相邻，甲、丙、丁不能相邻.则不同的座位安排有 种（用数字作答）. 四、解答题 48．（24-25高二下·全国）计算下列各式． (1)； (2)． 49．（23-24高二下·福建泉州·期中）将2个男生和4个女生排成一排： (1)男生不相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (2)男生不相邻且不在头尾的排法有多少种？（列式并用数字作答） (3)2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (4)4个女生顺序一定的排法有多少种？（列式并用数字作答） 50．（23-24高二下·贵州·期中）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次（无并列名次）．甲、乙两名同学去询问成绩，请你根据下面老师的回答分析，分别求5人的名次排列可能有多少种不同情况？ (1)老师对甲说：“很遗憾，你没有得到第一名”，对乙说：“你当然不会是最差的．” (2)老师说：“你们都没有得到第一名，你们也都不是最后一名，并且你们的名次相邻．” 51．（24-25高二上·全国）有3名男生和4名女生相约一起去观看电影，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的排法有多少种？ (2)女生互不相邻的排法有多少种？ (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的排法有多少种？ 52．（23-24高二下·浙江·期中）2024龙年春节档新片《热辣滚烫》是一部充满正能量，讲述感人故事的电影，影片通过主人公杜乐莹的成长历程，让我们感受到了奋斗和坚持的力量，激励着每个人在面对困难时勇敢向前．现有4名男生和2名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生互不相邻的坐法有多少种？ (2)若甲不坐最左端，乙不坐最右端，则不同排列方式共有多少种？ (3)若甲不坐在两端，乙和丙相邻，则不同排列方式共有多少种？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲：排列与排列数 【考点梳理】 · 考点一、排列的概念 · 考点二、排列数计算、方程和不等式问题 · 考点三：排列的证明问题 · 考点四：全排列问题 · 考点五：元素有限制的排列问题 · 考点六：相邻问题的排列问题 · 考点七：不相邻的排列问题 · 考点八：其他的排列模型 · 考点九：排列的综合问题 【知识梳理】 知识点一　排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 知识点二　排列相同的条件 两个排列相同的充要条件： (1)两个排列的元素完全相同． (2)元素的排列顺序也相同． 知识点三　排列数的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示． 知识点四　排列数公式及全排列 1．排列数公式的两种形式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n. (2)A＝. 2．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为A＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1. 【题型归纳】 题型一、排列的概念 1．（23-24高二下·陕西咸阳·期中）下列问题不属于排列问题的是（   ） A．从10个人中选2人分别去种树和扫地 B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C．从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表 D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数 【答案】B 【分析】根据排列的定义判断即可. 【详解】对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，因为工作内容不一样，故有顺序，属于排列问题，故A不满足题意； 对于B，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，没有顺序，所以不属于排列问题，故B满足题意； 对于C，从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表，因为科目不相同，故有顺序，属于排列问题，故C不满足题意； 对于D，从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数，数字所在位置有顺序，属于排列问题，故D不满足题意. 故选：B 2．（22-23高二上·全国·课后作业）下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 【答案】B 【分析】排列问题是与顺序有关的问题，据此对四个选项进行判断即可解决. 【详解】选项A：从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，选出的2人并未排序， 因而不是排列问题，不合题意； 选项B：10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人， 是排列问题，适合题意； 选项C：平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点 即可确定1条直线，这2个点不分顺序. 因而不是排列问题，不合题意； 选项D：从1，2，3，4四个数字中，任选两个数字相加即得1个结果， 这2个数字不分顺序，因而不是排列问题，不合题意. 故选：B． 3．（21-22高二·全国·课后作业）下列问题是排列问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C．集合的含有三个元素的子集有多少个？ D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 【答案】D 【分析】根据排列的定义逐个选项辨析即可. 【详解】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题； B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题； C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题； D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题． 故选：D 题型二、排列数计算、方程和不等式问题 4．（23-24高二下·江苏扬）计算下列各题： (1)； (2)解方程：. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据排列数公式计算，可得答案； （2）根据排列数公式化简可得一元二次方程，结合排列数性质，即可求得答案. 【详解】（1）； （2）由，得， 即，即， 解得或， 又因为且，故， 故的解为. 5．（20-21高二·全国·课后作业）（1）解方程：； （2）解不等式：. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据排列数的定义化简可求解； （2）根据排列数的定义化简可求解. 【详解】（1）原方程可化为， 化简得， 解得，或，或，或. 由，得，且. 所以原方程的解为. （2）原不等式可化为，其中，，整理得，即， 所以或. 因为，，所以，. 所以原不等式的解集为. 6．（2023高二·江苏）计算： (1)； (2)； (3)若，求x. 【答案】(1)720 (2)1 (3)x＝5 【分析】（1）（2）（3）利用排列数公式化简求值或列方程求解即可. 【详解】（1）； （2）； （3）由题设，则， 所以，则， 又，故. 题型三：排列的证明问题 7．（24-25高二下·全国）证明下列等式． (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】根据题意，结合排列数公式，准确化简、运算，即可求解. 【详解】（1）证明：由排列数的公式，可得： ． （2）证明：由排列数公式，可得． 8．（20-21高二·江苏·课后作业）求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用排列数公式化简可证得等式成立； （2）利用排列数公式化简可证得等式成立. 【详解】（1）证明：. （2）证明：. 9．（20-21高二·全国·课后作业）（1）用排列数表示 (n∈N*且n<55)； （2）计算； （3）求证：. 【答案】（1）；（2）1；（3）证明见解析. 【分析】（1）通过变形可知，利用排列数公式即得结论； （2）利用排列数公式计算即可； （3）利用排列数公式计算即可证明； 【详解】(1)∵中的最大数为，且共有个元素， ∴ (2) ； (3)∵ 所以. 题型四：全排列问题 10．（23-24高二下·新疆·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的不同站法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用捆绑法结合分步乘法计数原理求解即可. 【详解】首先，甲、乙、丙3人站在一起，对其全排列，共有种不同的站法， 然后我们把他们捆绑为一个整体， 再对这个整体和其他个人全排列，共有种不同的站法， 所以甲、乙、丙站在一起的不同站法种数为，故D正确. 故选：D 11．（23-24高二下·山西太原·期末）北京时间2024年4月26日，神舟十七号航天员乘组和神舟十八号航天员乘组胜利会师“天宫”.随后，两个乘组要拍张“全家福”照片，向全国人民报平安.已知两个乘组各3人，每个乘组有一名指令长.拍照时，要求站两排，前排2人，后排4人.若两个指令长在前排，则不同的排法种数为（    ） A．24 B．48 C．360 D．720 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及全排列问题列式计算即得. 【详解】依题意，排前排2人有种方法，排后排4人有种方法， 由分步乘法计数原理得不同排法种数是. 故选：B 12．（23-24高二下·安徽安庆·期末）某寝室4名室友拍毕业照，4位同学站成一排，其中甲乙两位同学必须相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法种数有（    ） A．24种 B．12种 C．8种 D．6种 【答案】D 【分析】先排甲乙，再根据全排列结合分步乘法公式计算. 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①甲，乙必须相邻且甲在乙的右边，将甲乙看成一个整体，有1种顺序， ②将甲乙整体与丙丁全排列，有种情况， 则有种排法. 故选：D 题型五：元素有限制的排列问题 13．（24-25高二下·全国）某次会议安排甲、乙等六人的座位在第一排的号，其中甲的座位号为奇数，乙的座位号为偶数，且甲、乙不相邻，则这六人不同的座位安排方法种数为（    ） A．48 B．96 C．128 D．186 【答案】B 【分析】根据甲的座位号为奇数，乙的座位号为偶数分类结合乘法原理及排列数计算即可. 【详解】先安排甲、乙，若甲坐1号座位，则乙可以坐4号或6号座位； 若甲坐3号座位，则乙可以坐6号座位； 若甲坐5号座位，则乙可以坐2号座位，共有4种安排方法． 在甲和乙的座位确定了的情况下，其余四人的座位安排方法有种， 故这六人不同的座位安排方法种数为． 故选：B． 14．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知甲、乙、丙等5人站成一列，并要求甲站在乙、丙前面，则不同的安排方法的种数为（    ） A．24 B．26 C．32 D．40 【答案】D 【分析】按照甲排第一，第二，第三位分类求解． 【详解】按甲的安排进行分类讨论.①甲排第一，则乙，丙等四人有（种）；②甲排第二，则乙、丙排后3位中的两位，有（种）； ③甲第三，则乙，丙排最后2位；有（种）.故共有（种）. 故选：D. 15．（2024·江西新余·模拟预测）甲、乙等5人排成一行，则甲不站在5人正中间位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（     ）种. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用间接法，先5人全排有种，去掉甲在中间的有种，乙在最左端的有种，然后加上甲在中间和乙在最左端的有种. 【详解】采用间接法，先5人全排有种，去掉甲在中间的有种，乙排最左端的有种， 然后加上甲在中间和乙在最左端的有种， 则共有种排法. 故选：D. 题型六：相邻问题的排列问题 16．（24-25高二下·全国）四名男生和两名女生排一行进行合影，若要求男生甲与男生乙不相邻，且女生A和女生B相邻，则不同排法的种数有（    ） A．288种 B．144种 C．96种 D．72种 【答案】B 【分析】利用插空法和捆绑法求解即可. 【详解】第一步：先对2名女生进行排队，有种排法； 第二步：将除甲和乙之外的人进行排队，有种排法； 第三步：甲、乙采用插空的方式，有种排法．所以共有种． 故选：B. 17．（24-25高二下·全国·课后作业）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（    ） A．240种 B．188种 C．144种 D．120种 【答案】D 【分析】先将“相声”与“小品”排在一起再与其它4个节目排序，最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样,即可得出答案. 【详解】先将“相声”与“小品”排在一起，有种排法，再与其它4个节目排序，有种排法， 最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样，所以有种． 故选：D. 18．（23-24高二下·内蒙古·期末）有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本．若将其随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】利用捆绑法可求得结果. 【详解】将本语文书捆绑、本数学书捆绑， 则相同科目的书相邻的排法种数为种. 故选：C. 题型七：不相邻的排列问题 19．（24-25高二下·全国）某校举办校运动会，某班级选出跑步较好的4人参加米接力赛，其中甲、乙两人不跑相邻棒的排法有（    ） A．8种 B．12种 C．16种 D．24种 【答案】B 【分析】利用不相邻问题插空法即可求解. 【详解】先对剩下两个人进行全排列，有种，此时有3个空位置，再对甲、乙两人进行排列，有种， 根据分步乘法计数原理，共有种排法． 故选：B 20．（24-25高二下·全国·课后作业）一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（    ） A．5760 B．5660 C．5642 D．5472 【答案】D 【分析】计算出所有情况后减去《大学》和《春秋》相邻的情况即可得. 【详解】四书、五经必须分别排在一起，共有种， 若《大学》和《春秋》相邻，则不符合条件，共有种， 则共有种． 故选：D. 21．（2024·四川成都·模拟预测）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（    ） A．120种 B．24种 C．36种 D．12种 【答案】D 【分析】先排红色棋子，再将黑色棋子插空，求出答案. 【详解】先将3个红色的“将”“车”“马”棋子进行全排列，有种选择， 3个红色棋子中间有2个空，将2个黑色的“将”“车”棋子进行插空，有种选择， 则同色棋子不相邻的排列方式有种. 故选：D 题型八：其他的排列模型 22．（2024·广东·模拟预测）甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有（ ） A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 【答案】D 【分析】将甲、乙两人看成一个人，根据n个不同元素围成的环状共有 种排法求解. 【详解】因为由于环状排列没有首尾之分，将n个不同元素围成的环状排列剪开看成n个元素排成一排，即共有种排法， 由于n个不同元素共有n种不同的剪法，则环状排列共有 种排法. 甲、乙两人相邻而坐，可将此2人当作1人看，即5人围一圆桌，有种坐法， 又因为甲、乙2人可换位，有2!种坐法，故所求坐法为种. 故选：D 23．（23-24高二下·上海·期末）某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲、乙必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．240 【答案】B 【分析】由分步乘法原理计算，先排甲乙，再从剩下4名同学任选2人排列即可. 【详解】分步完成： 甲不担任四辩，共有3种选择， 又因为乙也不担任四辩，共有2种选择， 从剩下4名同学任选2人，且任意排序，共有种， 所以一共有种. 故选：B. 24．（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）春天来了，万物复苏，合肥六中乐之楼楼下的花坛里种了不同颜色的花．如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案数有（    ）    A．180 B．240 C．360 D．420 【答案】D 【分析】依次求出5个花池栽了5种颜色的花卉，栽了4种颜色的花卉，栽了3种颜色的花卉的方法种数，再相加即得所求． 【详解】若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有种， 若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花， 或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，方法有种， 若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有种， 所以最多有种栽种方案. 故选：D 题型九：排列的综合问题 25．（24-25高三·上海·随堂练习）某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学， (1)其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为多少？ (2)要求语文与化学相邻，且数学不排第一节，则不同排法的种数为多少？ 【答案】(1)24 (2)36 【分析】（1）先将语文和英语捆绑在一起，作为一个新元素处理，再将此新元素与化学全排，再在3个空中选2个空将数学和物理插入即可； （2）先将语文与化学捆绑在一起，作为一个元素，再将四个元素全排，再减去数学排第一节的排法即可. 【详解】（1）先将语文和英语捆绑在一起，作为一个新元素处理，再将此新元素与化学全排，最后在3个空中选2个空将数学和物理插入即可， 所以不同的排课方法数为. （2）先将语文与化学捆绑在一起，作为一个元素，再将四个元素全排，最后减去数学排第一节的排法即可， 所以不同排法的种数为． 26．（23-24高二下·陕西西安·期中）某种产品的加工需要经过6道工序． (1)若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，问有多少种加工顺序? (2)若其中某3道工序必须相邻．问有多少种加工顺序? (3)若其中某3道工序两两不能相邻，问有多少种加工顺序? 【答案】(1)288； (2)144； (3)144. 【分析】（1）根据给定条件，利用有限制条件的排列问题，结合分步乘法计数原理计算即得. （2）根据给定条件，利用相邻问题，结合分步乘法计数原理计算即得. （3）根据给定条件，利用不相邻问题，结合分步乘法计数原理计算即得. 【详解】（1）先从另外4道工序中任选2道工序放在最前面与最后面，有种不同的排法， 再将其余的4道工序全排列，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序． （2）先排这3道工序，有种不同的排法， 再将它们看作一个整体，与其余的3道工序全排列，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序. （3）先排其余的3道工序，有种不同的排法，有4个空档， 再将这3道工序插入空档，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序. 27．（23-24高二下·全国·课后作业）用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？（列式并计算） (1)六位数； (2)六位奇数； (3)能被5整除的六位数； (4)组成的六位数按从小到大顺序排列，第265个数是多少？ 【答案】(1)600； (2)288； (3)216； (4)310245. 【分析】（1）先排首位，再排其它位的数字，再利用分步乘法计数原理可求得结果. （2）先排个位，然后排首位，再利用分步乘法计数原理可求得结果. （3）按个位数是0或5分类，结合两个原理列式计算即可. （4）讨论首位是1，首位是2和首位是3时的不同个数，再求出第264个数即可得解. 【详解】（1）先排首数，有种，最后排其它有种， 根据分步计数原理得，六位数有种. （2）先排个位数，有种， 由0不能在首位，则排首位有4种，最后排其它有种， 根据分步计数原理得，六位奇数有个. （3）能被5整除的六位数，则个位数是0或5， 个位数是0，则有种， 个位数是5，先排首位，0不作为首位，则有种排法，其余位置有种排法， 所以共有个. （4）首位数字不能为0，首位数字为1有种， 首位数字为2，有种， 首位数字为3，万位数字上为0，有种，此时所有6位数有个， 所以第264个数是，第265个数是. 【高分演练】 一、单选题 28．（23-24高二下·江苏南京）表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由排列数公式求解． 【详解】由排列数公式可得：． 故选：B． 29．（23-24高二下·福建福州·期末）福厦高铁全线共设8个客运站：福州南、福清西、莆田、泉港、泉州东、泉州南、厦门北、漳州，则铁路部门应为福厦高铁线上的这8个站间准备不同的火车票的种数为（    ） A．28 B．56 C．64 D．112 【答案】B 【分析】由排列的定义求解． 【详解】火车票是要分出发站与到达站，是有顺序的，故不同的火车票的种数为：， 故选：B 30．（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排列数公式化简并求解不等式. 【详解】不等式中，，化为， 整理得，解得，因此， 所以不等式的解集是. 故选：A 31．（24-25高二下·全国·课后作业）为了丰富学生的课余生活，某校拟开展课外实践活动，有6种实践活动可供选择．若甲、乙、丙三名学生每人从中选择1种，且3人选择的实践活动不同，则不同的选法共有（    ） A．60种 B．80种 C．120种 D．150种 【答案】C 【分析】由排列的概念求解即可. 【详解】甲、乙、丙三名学生每人从6种实践活动中选择1种，3人选择的实践活动不同， 则选法共有种． 故选：C 32．（23-24高二下·新疆阿克苏·阶段练习）现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，则不同的站法有（ ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】C 【分析】根据捆绑法和插入法即可得到答案. 【详解】甲、乙相邻捆绑作为一全元素，丙、丁不相邻用插入法． 由题意不同站法数为：． 故选：C. 33．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（   ） A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法 D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法 【答案】C 【分析】根据捆绑法、特殊位置的排列和插空法计算，依次判断选项即可. 【详解】A：如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”， 此时，共有种不同的排法，故A错误； B：如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”， 此时，共有种不同的排法种数，故B错误； C：如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制， 此时，共有种不同的排法种数，故C正确； D：如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中， 此时，共有种不同的排法种数，故D错误. 故选：C． 34．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，要求数字1和4相邻，则这样的六位数的个数为（   ） A．192 B．240 C．360 D．720 【答案】A 【分析】根据题意和首位非零的要求，将六位数分成三类，在每一类中，再运用相邻元素捆绑法求出方法数，最后根据分类加法计数原理即可求得. 【详解】依题意，可将这样的六位数分成三类： 第一类，首位是1，则第二位必须是4，其余四个数位可将另外四个数字全排即可，有种方法； 第二类，首位是4，则第二位必须是1，其余四个数位可将另外四个数字全排即可，有种方法； 第三类，首位从中人去一个，有种，再将看成一个元素，与另外三个数字在四个位置上全排有种， 再考虑的顺序，有种，故由分步乘法计数原理，有种方法. 由分类加法计数原理可知，这样的六位数共有个. 故选：A. 35．（23-24高二下·贵州黔南·期末）黔南布依族苗族自治州辖12个县（市）：都匀市、福泉市、瓮安县、独山县、三都水族自治县、平塘县、荔波县、贵定县、龙里县、罗甸县、长顺县、惠水县，为了弘扬地方少数民族文化，州文化广电和旅游局决定在暑假期间到这12个县（市）举办文化宣传活动，每个县（市）安排一次活动，且不同时举行.若要求罗甸县、长顺县、惠水县相邻举行，则不同的时间安排种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先把3个县捆绑在一起，看成一个整体，再与其他9个县（市）合在一起共10个县（市）进行全排列，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，先把罗甸县、长顺县、惠水县这3个县捆绑在一起，看成一个整体，有种排法； 再与其他9个县（市）合在一起共10个县（市）进行全排列共种， 根据分步相乘计数原理，共有种排法． 故选：C． 36．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，唐胜杰与江新林相邻，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（    ） A．144种 B．204种 C．156种 D．240种 【答案】C 【分析】先应用捆绑解决相邻，再分海鹏站位置分类，最后应用分步解决问题. 【详解】第一步，唐胜杰、江新林2人相邻，有种排法； 第二步，分景海鹏站最右边与景海鹏不站最左边与最右边两种情况讨论 第一种情况：景海鹏站最右边，共有种排法； 第二种情况：景海鹏不站最左边与最右边，则共有种排法， 故总共有种排法.    故选：C. 二、多选题 37．（24-25高二下·全国·课后作业）某市文化局组织了一次“送戏下乡”活动，共有个节目，且小品和相声各一个，若小品不排在第一位，相声不排在最后一位，则不同的排法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据直接法和间接法进行排列组合，即可得解. 【详解】直接法： 若小品排在最后一位，有种不同的排法； 若小品排在第二到第六位之间，则相声可以排在除最后一位和小品占据以外的任何位置，有种不同的排法； 则共有种不同的排法，A正确； 间接法： 不管条件限制共有种不同的排法； 当小品在第一位或相声在最后一位时，有种不同的排法， 当小品在第一位且相声在最后一位时，有种情况； 故共有，D正确； 故选：AD. 38．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马炮、兵等均为象棋中的棋子．现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则下列说法正确的是（    ） A．共有120种排列方式． B．若两个“将”相邻，则有24种排列方式． C．若两个“将”不相邻，则有36种排列方式． D．若同色棋子不相邻，则有12种排列方式． 【答案】AD 【分析】A选项，由全排列知识进行求解，B选项，相邻问题进行捆绑，再由排列知识求出答案；C选项，不相邻问题插空法进行求解；D选项，先将2个黑色的棋子进行全排列，再插空即可. 【详解】A选项，由排列知识可得共有种排列方式，故A正确； B选项，两个“将”捆绑，有种情况，再和剩余的3个棋子进行全排列， 故共有种情况，故B错误； C选项，两个“将”不相邻，先将剩余3个棋子进行全排列，共有4个空， 再将两个“将”插空，故共有种情况，故C错误； D选项，将2个黑色的棋子进行全排列，共有3个空， 再将3个红色的棋子进行插空，则有种排列方式，故D正确. 故选：AD. 39．（23-24高二下·全国·课后作业）身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（ ） A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法 B．A与同学不相邻，共有种站法 C．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法 D．A不在排头，B不在排尾，共有504种站法 【答案】ABD 【分析】由定序排列即可判断A；由插空法即可判断B；由捆绑法即可判断C；分类讨论A的位置即可判断D． 【详解】对于A，将三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有种站法， 故A正确； 对于B，先排，共有种站法，A与同学插空站，有种站法， 故共有种站法，故B正确； 对于C，将三位同学捆绑在一起，且A只能在C与D的中间，有2种情况， 捆绑后有种站法，故共有种站法，故C错误； 对于D，当在排尾时，随意站，则有种站法； 当不在排头也不在排尾时，有种，有种，剩下同学随意站有种， 共有种， 故A不在排头，B不在排尾，共有种站法，故D正确； 故选：ABD． 40．（23-24高二下·山东·期中）已知4位身高各不相同的男生和3位女生站成一排，则（    ） A．共有种不同的排法 B．若女生互不相邻，共1440种不同的排法 C．若男生站一起、女生站一起，共144种不同的排法 D．若男生从左到右身高逐渐增加，共有210种不同的排法 【答案】ABD 【分析】利用排列计数问题，结合相邻与不相邻、定序逐项分析列式即可. 【详解】对于A，7个人全排列，共有种不同的排法，A正确； 对于B，先排男生，再把女生插入空隙，有种，B正确； 对于C，分别把男生、女生视为一个整体排列，共有种，C错误； 对于D，7个人全排列，而男生的排列方法只占，共有种，D正确. 答案：ABD 41．（23-24高二下·江苏镇江·期中）定义“圆排列”：从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为.圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以.现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则（    ） A．共有种排法 B．若两名女生相邻，则有种排法 C．若两名女生不相邻，共有种排法 D．若男生甲位置固定，则有种排法 【答案】ABD 【分析】结合圆排列的定义结合捆绑法，插空法及特殊值法分别判断各个选项即可. 【详解】对于A：现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，共有种排法，A选项正确； 对于B：若两名女生相邻，则有种排法，B选项正确； 对于C：若两名女生不相邻，共有种排法，C选项错误； 对于D：若男生甲位置固定，考虑以甲为基准的顺逆时针排列，则有种排法，D选项正确. 故选：ABD. 42．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）2023年国外某智库发布尖端技术研究国家竞争力排名，在极超音速和水下无人机等23个领域中，中国在其中19个领域领先.某科技博主从这19个领域中选取了六个领域，准备在2024年1月1—6日对公众进行介绍，每天随机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一天介绍，则（    ） A．与相邻，共有240种排法 B．相隔一天介绍的方法种数为96 C．若与不相邻，共有480种排法 D．若在的前面，共有360种排法 【答案】ACD 【分析】相邻捆绑法可判断A，特殊情况优先考虑，先安排，再排列，可判断，不相邻插空法可判断，定序问题用除法可判断. 【详解】对于A，与相邻，用捆绑法，共有种排法，故A正确； 对于，相隔一天介绍的方法种数为，故错误； 对于，若与不相邻，用插空法，共有种排法，故正确； 对于，若在的前面，属于定序问题，共有种排法，故正确； 故选： 三、填空题 43．（24-25高二下·全国·课后作业）的值为 ． 【答案】18或22 【分析】根据排列数的含义求得m的范围，利用排列数公式即可求得答案. 【详解】由已知可得，结合，解得或3， 当时，， 当时，． 故答案为：18或22 44．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）五种不同商品在货架上排成一排，其中A，B两种必须连排，而C，D两种不能连排，则不同的排法共有 种． 【答案】 【分析】根据捆绑和插入法，结合分步计数原理即可求解. 【详解】由题意，设五种商品编号分别为， 其中A，B两种必须连排，C，D两种不能连排， 将A，B两种看作一种商品与进行排列，共有（种）， 共形成个空，选择个空，将C，D插入，共有（种）， 则不同的排法共有：（种）, 故答案为: 45．（25-26高三上·上海·单元测试）五名同学国庆假期相约去珠海野狸岛日月贝采风观景，结束后五名同学排成一排照相留念，若甲、乙二人必须相邻，则不同的排法共有 种． 【答案】48 【分析】利用捆绑法将甲、乙二人看做一个整体求解即可. 【详解】先将甲、乙二人看做一个整体，和另外三个人排成一排，有种排法， 再排甲、乙二人内部，有种排法， 由分步乘法计数原理知，共有种排法. 故答案为：48. 46．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为 （用数字作答） 【答案】 【分析】将与捆绑，然后要求在的左边，在的右边，结合倍缩法可得结果. 【详解】由题意可知，与相邻，则将与捆绑， 然后要求在的左边，在的右边， 由捆绑法和倍缩法可知，不同的排法种数为种. 故答案为：. 47．（23-24高二下·贵州·期中）2024年3月5日至11日，第十四届全国人民代表大会第二次会议胜利召开.此次大会是高举旗帜、真抓实干、团结奋进的大会，全国人大代表不负人民重托、认真履职尽责，凝聚起扎实推进中国式现代化的磅礴力量.某村小校党支部包含甲、乙、丙、丁的10位党员开展“学习贯彻2024年全国两会精神”圆桌会议，根据会议要求：甲、乙必须相邻，甲、丙、丁不能相邻.则不同的座位安排有 种（用数字作答）. 【答案】43200 【分析】甲和乙必须相邻，采用捆绑法，甲和丙不能相邻，采用插空法，结合圆排列，再根据分步乘法原理计算即可. 【详解】甲和乙必须相邻，采用捆绑法，将其看作一个整体，与除丙丁外的其他6人排成一圈，共有种排列. 甲和丙，丁不能相邻，采用插空法，甲和乙与除了丙丁外的其他6人排成一圈后形成7个空，但甲与丙丁不能相邻，故丙丁只有6个空位可选，有种选择， 根据分步乘法原理可知，不同的排法总数为. 故答案为：43200    . 四、解答题 48．（24-25高二下·全国·课后作业）计算下列各式． (1)； (2)． 【答案】(1)480 (2)16 【分析】（1）（2）利用排列数的计算公式直接计算即可得结果. 【详解】（1）； （2）. 49．（23-24高二下·福建泉州·期中）将2个男生和4个女生排成一排： (1)男生不相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (2)男生不相邻且不在头尾的排法有多少种？（列式并用数字作答） (3)2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (4)4个女生顺序一定的排法有多少种？（列式并用数字作答） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】(1)先对女生排列再用插空法可得答案； (2)先对女生排列根据插空法选择中间3个位置中的两个排列即可求得结果； (3)根据间接法总的减去对立面可求得结果； (4)先确定4个女生顺序，再排一个男生根据插空法，然后根据插空法排另外一个男生可求得结果. 【详解】（1）先对女生排列有种方法，再用插空法排列有种方法，则总计有种方法； （2）先对女生排列有种方法，男生不相邻且也不排到两头，可根据去掉头尾两空的插空法排列有,则总计有种方法； （3）6个人全排列有种方法，一个男生和甲相邻有种方法， 另外一个男生和甲相邻有种方法，两个男生都和甲相邻有种方法， 所以两个男生都不和甲相邻的排法有 种； （4）先确定4个女生顺序，则有5个空根据插空法第一个男生有种， 然后根据插空法排另外一个男生有种，则总计有种方法. 50．（23-24高二下·贵州·期中）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次（无并列名次）．甲、乙两名同学去询问成绩，请你根据下面老师的回答分析，分别求5人的名次排列可能有多少种不同情况？ (1)老师对甲说：“很遗憾，你没有得到第一名”，对乙说：“你当然不会是最差的．” (2)老师说：“你们都没有得到第一名，你们也都不是最后一名，并且你们的名次相邻．” 【答案】(1)78 (2)24 【分析】（1）利用间接法，结合排列组合知识求解； （2）甲、乙两人名次为2，3或3，4，，再用分步乘法计数原理求解. 【详解】（1）由题意得，甲的名次不是第一，乙的名次不是第五，所以5人的名次不同的排列情况有（种）． （2）由题意得，甲、乙两人名次为2，3或3，4，所以5人的名次不同的排列情况有（种）． 51．（24-25高二上·全国·课后作业）有3名男生和4名女生相约一起去观看电影，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的排法有多少种？ (2)女生互不相邻的排法有多少种？ (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的排法有多少种？ 【答案】(1)576 (2)144 (3)960 【分析】（1）根据相邻问题捆绑法即可求解， （2）根据不相邻问题插空法即可求解， （3）结合捆绑法和插空法即可求解. 【详解】（1）先将4名女生排在一起，有种排法，将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理，共有（种）排法． （2）先将3名男生排好，共有种排法，在这3名男生中间以及两边共4个空位中插人4名女生，共有种排法， 再由分步乘法计数原理，可得共有（种）排法． （3）先将甲、乙、丙以外的其余4人排好，共有种排法，由于甲、乙相邻，则有种排法， 最后将排好的甲、乙这个整体与丙分别插人原先排好的4人产生：的5个空隙中，共有种排法， 由分步乘法计数原理，可得共有（种）排法． 52．（23-24高二下·浙江·期中）2024龙年春节档新片《热辣滚烫》是一部充满正能量，讲述感人故事的电影，影片通过主人公杜乐莹的成长历程，让我们感受到了奋斗和坚持的力量，激励着每个人在面对困难时勇敢向前．现有4名男生和2名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生互不相邻的坐法有多少种？ (2)若甲不坐最左端，乙不坐最右端，则不同排列方式共有多少种？ (3)若甲不坐在两端，乙和丙相邻，则不同排列方式共有多少种？ 【答案】(1)480 (2)504 (3)144 【分析】（1）插空法求解不相邻问题； （2）直接法及间接法计算特殊位置问题； （3）直接法及间接法计算相邻问题. 【详解】（1）不相邻问题插空法，先排4个男生共有种方法，把2个女生插空有种方法，所以不同排列方式共有种： （2）方法一：“间接法”，不同排列方式共有种 方法二：“直接法”，一类甲坐最右端，有种坐法：另一类甲坐中间四个位置中的一个，有种坐法．故有种不同坐法． （3）方法一：共有6个位置，因为甲不坐在两端，所以甲有4种坐法， 当甲确定时，要求乙和丙相邻，共有3种可能， 所以不同排列方式共有种． 方法二：第一步乙、丙相邻共有种方法，第二步乙、丙与余下的三人全排列共有种方法，第三步把甲插入到中间的3个空挡，有种方法，故共有种不同的坐法． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$