专题17 解答题（优选题压轴必刷练40题） -2025年中考数学高频考点专题专项训练（江苏专用）

专题17 解答题（优选题压轴必刷练40题） 试题说明：本部分试题优选江苏省2023-2024年各地区名校真题，模拟题。题目精良，解题技巧性强，涵盖知识点全面，难度主要以难度中上为主，更多以压轴题展现，适合学有余力的同学培优拔尖！题目解析思路清晰，过程完整。预祝2025年中考取得好成绩！ 1．（2024•苏州模拟）某校开展了“学习二十大”的知识竞赛（百分制），七、八年级学生参加了本次活动．为了解两个年级的答题情况，该校从每个年级各随机抽取了30名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．七年级成绩的频数分布直方图如图： （数据分成五组：，，，； ．七年级成绩在的数据如下（单位：分），85，85，85，85，85，85，85，85，88，89． ．七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80.4 141.04 八年级 80.4 83 84 86.10 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中　85　，　　； （2）下列推断合理的是 　　； ①样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小； ②若八年级小明同学的成绩是84分，可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩． （3）竞赛成绩80分及以上记为优秀，该校七年级有600名学生，估计七年级成绩优秀的学生人数． 【思路点拨】（1）分别根据中位数和众数的定义解答即可； （2）分别根据方差和中位数的意义解答即可； （3）用700乘样本中达到优秀学生所占比例即可． 【规范解答】解：（1）把七年级30个学生的成绩从小到大排列，排在第15和第16个数分别是85，85，故中位数； 七年级30个学生的成绩中出现次数最多的是85，故众数． 故答案为：85；85； （2）由题意可知，样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小，故①说法正确； 若八年级小明同学的成绩是84分，高于八年级成绩的中位数，所以能推断他的成绩成绩高于八年级一半或者一半以上，故②说法错误； 故答案为：①； （3）（名， 答：估计七年级成绩优秀的学生人数大约为340名． 【考点评析】本题考查频数分布直方图、众数、中位数、样本估计总体，能够从统计图中获取必要信息是解答本题的关键． 2．（2024•沭阳县模拟）如图，在四边形中，平分，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【思路点拨】（1）根据两组角对应相等，两个三角形相似即可解决问题； （2）结合（1）根据相似三角形对应边成比例代入值即可解决问题． 【规范解答】（1）证明：平分， ， ， ； （2）解：由（1）知：， ， ， ， ，（负值已经舍去）． 【考点评析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． 3．（2024•沭阳县模拟）某商店以15元/件的价格购进了某种商品，在销售过程中发现，每日销售量y（件）与销售单价x（元）之间可看作一次函数关系，当售价为18元/件时，每日可售出54件；当售价为20元/件时，每日可售出50件，在销售过程中销售单价不低于进价且每件的利润不高于进价的80%． （1）求每日销售量y与售价单价x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围． （2）设每日销售这种商品的利润为w（元），当销售单价x为多少时，销售这种商品每日的利润最大？最大利润是多少？ （3）若希望每日利润不低于400元，请直接写出售价x的范围． 【思路点拨】（1）设每日销售量y与售价单价x之间的函数关系式为y＝kx+b，利用待定系数法即可求出每日销售量y与售价单价x之间的函数关系式，再根据在销售过程中销售单价不低于进价且每件的利润不高于进价的80%列不等式组求出自变量的取值范围即可； （2）由题意得到w＝﹣2（x﹣30）2+450，根据二次函数的性质即可求解； （3）当w＝400时，﹣2（x﹣30）2+450＝400，解得，又由15≤x≤27即可求解． 【规范解答】解：（1）设每日销售量y与售价单价x之间的函数关系式为y＝kx+b， 则， 解得， ∴y＝﹣2x+90， 由题意可得，， ∴15≤x≤27， ∴y＝﹣2x+90，其中15≤x≤27； （2）w＝（﹣2x+90）（x﹣15）＝﹣2x2+120x﹣1350＝﹣2（x﹣30）2+450， ∵二次项系数为负，当x≤30时，y随x的增大而增大，15≤x≤27， ∴当x＝27时，y最大值＝432， ∴当销售单价x＝27时，销售这种商品每日的利润最大，最大利润是432元； （3）当w＝400时，﹣2（x﹣30）2+450＝400， 解得， ∵15≤x≤27 ∴售价x的范围为25≤x≤27． 【考点评析】本题主要考查二次函数的实际应用，不等式组的实际应用，正确进行计算是解题关键． 4．（2024•睢宁县校级模拟）运动是一切生命的源泉，运动使人健康、使人聪明、使人快乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格，某中学为了解学生一周在家运动时长（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集的数据整理分析，共分为四组．，．，．，．，其中每周运动时间不少于3小时为达标），绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查了 　120　名学生； （2）请补全频数分布直方图，并计算在扇形统计图中组所对应扇形的圆心角的度数； （3）若该校有学生2000人，试估计该校学生一周在家运动时长不足2小时的人数． 【思路点拨】（1）将组人数除以所占百分比即可求出共调查了多少名学生； （2）将调查的总人数减去组，组，组频数即可求出组人数，再补全频数分布直方图；将组频数除以调查人数乘以即可求出扇形统计图中组所对应扇形的圆心角的度数； （3）将样本中一周在家运动时长不足2小时的人数除以调查人数，再乘以2000，即可估计该校学生一周在家运动时长不足2小时的人数． 【规范解答】解：（1）组36人，占比， 在这次抽样调查中，共调查了（名， 故答案为：120； （2）组频数为：， 补全频数分布直方图如下： 扇形统计图中组所对应扇形的圆心角的度数为：； （3）该校学生一周在家运动时长不足2小时的人数约为：（人， 答：估计该校学生一周在家运动时长不足2小时的人数约为700人． 【考点评析】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键， 5．（2024•鼓楼区校级三模）某学校组织学生采摘山楂制作冰糖葫芦（每串冰糖葫芦由5颗山楂制成）．同学们经过采摘、筛选、洗净等环节，共得到的山楂．甲、乙两位同学各随机分到了15颗山楂，他们测量了每颗山楂的重量（单位：，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．甲同学的山楂重量的折线图： ．乙同学的山楂重量： 8，8.8，8.9，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.6，9.8，10，10，10，10，10 ．甲、乙两位同学的山楂重量的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 甲 9.5 9.2 乙 9.5 9.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中，的值； （2）对于制作冰糖葫芦，如果一串冰糖葫芦中5颗山楂重量的方差越小，则认为这串山楂的品相越好． ①甲、乙两位同学分别选择了以下5颗山楂制作冰糖葫芦．据此推断：品相更好的是 　甲　（填写“甲”或“乙” ； 甲 9.2 9.2 9.2 9.2 9.1 乙 9.4 9.4 9.4 8.9 8.8 ②甲同学从剩余的10颗山植中选出5颗山楂制作一串冰糖葫芦参加比赛，首先要求组成的冰糖葫芦品相尽可能好，其次要求冰糖葫芦的山楂重量尽可能大．他已经选定的三颗山楂的重量分别为9.4，9.5，9.6，则选出的另外两颗山楂的重量分别为 　　和 　　； （3）估计这些山楂共能制作多少串冰糖葫芦． 【思路点拨】（1）根据中位数和众数的概念，即可求解； （2）①根据方差的定义，即可求解； ②根据题意可知，剩余两个山楂的重量应该尽可能大，且接近已有的三个山楂的重量，以保证方差最小，据此解答即可． （3）已知总重量和调查的平均数，用总数量除以调查的平均数先求出大概有多少个山楂， 再用山楂数除以每串冰糖葫芦的山楂数即可求出能制作多少串冰糖葫芦． 【规范解答】解：（1）根据甲的折线图可以看出，这组数据从小到大排列，中间第8个数为9.4， 也就是说这组数据的中位数为9.4，所以； 根据乙同学的山楂重量数据可以发现，重量为10克出现的次数最多， 也就是说这组数据的众数为10，所以． 故答案为：9.4，10． （2）①根据题意可知甲同学的5个冰糖葫芦重量分布于之间，乙同学的5个冰糖葫芦重量分布于， 从中可以看出，甲同学的5个数据比乙同学的5个数据波动较小， 所以，甲同学的5个冰糖葫芦重量的方差较小，故甲同学冰糖葫芦品相更好． ②要求数据的差别较小，山楂重量尽可能大， 可供选择的有9.3、9.6、9.9， 当剩余两个为9.3、9.6，这组数据的平均数为9.48， 方差为：， 当剩余两个为9.6、9.9，这组数据的平均数为9.6， 方差为：， 当剩余两个为9.3、9.9，这组数据平均数为9.54， 方差为：， 据此，可发现当剩余两个为9.3、9.6，方差最小，山楂重量也尽可能大． 故答案为：甲；9.3、9.6． （3）7.6千克克， （个， （串， 答：能制作160串冰糖葫芦． 【考点评析】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键． 6．（2024•宿迁二模）为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图，将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图，测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） （1）求支点离桌面的高度；（计算结果保留根号） （2）小吉通过查阅资料，当面板绕点转动时，面板与桌面的夹角满足时，能保护视力．当从变化到的过程中，问面板上端离桌面的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，， 【思路点拨】（1）过点作于点，过点作于点，易得四边形为矩形，那么可得，，所以，利用的三角函数值可得长，加上长即为支点离桌面的高度； （2）过点作，过点作于点，分别得到与所成的角为和时的值，相减即可得到面板上端离桌面的高度增加或减少了． 【规范解答】解：（1）过点作于点，过点作于点， ． 由题意得：， 四边形为矩形， ，． ， ． ， ． ． 答：支点离桌面的高度为； （2）过点作，过点作于点， ． ，， ． 当时，； 当时，； 当从变化到的过程中，面板上端离桌面的高度是增加了，增加了约． 【考点评析】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键．用到的知识点为：． 7．（2024•沭阳县校级二模）如图大楼的高度为，小可为了测量大楼顶部旗杆的高度，他从大楼底部处出发，沿水平地面前行到达处，再沿着斜坡走到达处，测得旗杆顶端的仰角为．已知斜坡与水平面的夹角，图中点，，，，，在同一平面内（结果精确到 （1）求斜坡的铅直高度和水平宽度． （2）求旗杆的高度． （参考数据：，，， 【思路点拨】（1）在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答； （2）过点作，垂足为，根据题意可得：，则，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【规范解答】解：（1）在中，，， ， ， 斜坡的铅直高度约为，水平宽度约为； （2）过点作，垂足为， 由题意得：， ， 在中，， ， ， 旗杆的高度约为． 【考点评析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 8．（2024•无锡）已知二次函数的图象经过点和点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点，、，都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围； （3）若点、在直线上，问：在该二次函数图象上是否存在点、，使得四边形是正方形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）由待定系数法即可求解； （2）点，、，都在这个二次函数的图象上，则，则，而，即可求解； （3）当在下方时，设直线的表达式为：，联立上式和抛物线的表达式得：，得到，则，即可求解；当在上方时，同理可解． 【规范解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）由题意得：， 点，、，都在这个二次函数的图象上， 则， ， 设，则， 由得， 则， ， ； （3）是正方形，设正方形的边长为， 当在下方时， 由点、的坐标知，直线和轴的夹角为，设直线交轴于点，作于点， 则， 故设直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 则，， 则， 直线和轴的夹角为，则， 即， 解得：（舍去）或2， 则； 当在上方时， 同理可得：， 解得：或（舍去）， 则， 故的长度为：或． 【考点评析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 9．（2024•泗阳县校级二模）如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线与轴的交点的坐标及△的面积； （3）直接写出一次函数的值小于反比例函数值的的取值范围． 【思路点拨】（1）先把点坐标代入代入，求出得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）根据轴上点的坐标特征确定点坐标，然后根据三角形面积公式和△的面积进行计算； （3）观察函数图象得到当或时，一次函数图象都在反比例函数图象下方． 【规范解答】解：在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为：， 把代入， 得，解得， 则点坐标为． 把，分别代入， 得，解得， 一次函数的解析式为； （2）， 当时，， 点的坐标为：， △的面积△的面积△的面积 ； （3）由图象可知，当或时，一次函数的值小于反比例函数的值． 【考点评析】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题以及待定系数法的运用，灵活运用待定系数法是解题的关键，注意数形结合思想的正确运用． 10．（2024•南通）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 　　 　　 　　 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知△的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：　　． 【变式思考】 （2）已知△的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④，△中，，点在边上，．以点为圆心，长为半径作弧与线段相交于点，过点作任意直线与边，分别交于，两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 【思路点拨】（1）根据等腰三角形性质可得，再运用解直角三角形即可求得答案； （2）过点作于，于，过点作于，运用等腰三角形性质可得，利用，即可求得答案； （3）根据题目要求画图，设，运用等腰三角形性质和三角形内角和定理可求得，过点作于，于，过点作于，利用，即可求得答案． 【规范解答】解：（1）如图③， ，平分， ， 在△中，， ， 两腰之和为，两腰之积为， 猜想：， 证明：如图， ，平分， ， 在△中，， ，， ； 故答案为：，，，； （2）． 证明：如图，过点作于，于，过点作于， 则， 平分，，， ， 在△中，， ， ， ； （3）补全图形如图所示： 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 如图，过点作于，于，过点作于， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 为定长，和为定值， 为定值， 即为定值． 【考点评析】本题是几何综合题，考查了等腰三角形性质，角平分线性质，三角形面积，解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形是解题关键． 11．（2024•滨湖区二模）已知，、分别为的边、上的动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为． （1）如图，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的值； （3）若，，的面积为24，求的取值范围． 【思路点拨】（1）根据翻折的性质，可得和依然平行，从而得到，再根据平行四边形的性质以及翻折的性质推出，再根据平行四边形的性质推出，从而得出△和全等，从而根据四边形的判定定理进行求证即可； （2）根据翻折的性质，可以得出翻折后和的大小，设，根据角直角三角形的各边关系，分别求出，，的长度，进一步求出的长度，同理再求出的长，即可求解； （3）当时，最小，当与重合时，最大，根据三角形相似和勾股定理，求解的最小及最大值即可． 【规范解答】（1）证明：由折叠性质得， ， ， ， ， ， △△， ， 四边形为平行四边形； （2）解：延长交于，如图： 四边形为平行四边形，， 是菱形， 设， ， ，， ， 由翻折的性质可知，，，，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ； （3）解：求取值范围即是求取值范围， 当时，最小， 作， ，的面积为24， ， ， 设， ， ， 解得， 的最小值为； 当与重合时，最大， 在中， ， ， 最大值为， ． 【考点评析】本题主要考查了相似形综合题，合理运用翻折的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、解直角三角形以及相似三角形的判定与性质是本题解题的关键． 12．（2024•梁溪区校级一模）已知△中，，，，点、分别在边、边上（点不与点重合，点不与点重合），联结，将△沿着直线翻折后，点恰好落在边上的点处．过点作，交射线于点．设，， （1）如图1，当点与点重合时，求的值； （2）如图2，当点在线段上时，求关于的函数解析式，并写出定义域； （3）当时，求的长． 【思路点拨】（1）根据直角三角形的性质求出，，．由垂直的定义求出，由题意可得：，即可求解． （2）根据题意得出，根据直角三角形的性质证明△△，根据相似三角形的性质即可求解． （3）分两种情况讨论：①当点在线段上时，②当点在的延长线上时，利用勾股定理和相似三角形的性质即可求解． 【规范解答】解：（1）在△中，，，， ，，， ， ， ，， ， 由题意可得：， ． （2）由题意可知：，，， ， ，， ， 在△中，，，， ，， ， △△， ， ，， ， ． （3）①当点在线段上时， ， ， 由（2）得△△， ， 即， ， ， ，， 过点作，垂足为点， ，， 在△中，， ， （负值舍去）， ． ②当点在的延长线上时， ， ， 由题意得，， △△， ，即， ， ， ，， 过点作，垂足为点． ，，， ． 综上，或． 【考点评析】本题考查了相似形的综合应用，主要考查直角三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理． 13．（2024•天宁区校级模拟）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，是抛物线在直线上方图象上一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）求△面积的最大值，并求此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线在点、之间的部分（含点、沿轴向下翻折，得到图象．现将图象沿直线平移，得到新的图象与线段只有一个公共点，请直接写出图象的顶点横坐标的取值范围． 【思路点拨】（1）利用待定系数法即可求得答案； （2）令，可求得：，，再运用待定系数法求得直线的解析式为，如图1，设，过点作轴交直线于点，则，利用，即可运用二次函数求最值的方法求得答案； （3）运用翻折变换的性质可得图象的函数解析式为：，顶点坐标为，进而根据平移规律可得：当点平移到线段上时，图象与线段刚好有一个交点；当图象平移到经过点时，图象向右方平移刚好经过点时和离开点时，两处分别是临界情况，分别求解即可． 【规范解答】解：（1）抛物线与轴交于点， ， 解得：， 该抛物线的解析式为：； （2）在中，令， 得：， 解得：，， ，， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 如图1，设，过点作轴交直线于点， 则， ， ， 当时，取得最大值， 此时，点的坐标为，； （3）如图2，抛物线在点、之间的部分（含点、沿轴向下翻折，得到图象， ，顶点为， 图象的函数解析式为：，顶点坐标为， 直线的解析式为，直线的解析式为， 设图象向左平移个单位长度，则向上平移个单位长度，则点平移后的对应点为， 当点在直线上时，， 解得， 点平移后的横坐标， 时，线段与图象有一个交点； 设图象向左平移个单位长度，则向上平移个单位长度， 平移后的函数图象经过点时，， 解答或， 点横坐标向右平移5个单位长，则；点横坐标向右平移2个单位长，则； 时，线段与图象有一个交点；时，线段与图象有一个交点； 图象的顶点横坐标的取值范围为：或． 【考点评析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，抛物线的翻折、平移变换，二次函数最值问题和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用函数图象上点的坐标特征推知点的坐标的取值范围．掌握二次函数的基本性质，翻折和平移变换的性质，以及准确分类讨论是解题关键． 14．（2024•沭阳县校级模拟）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图①，已知和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，且． （1）观察猜想小华将绕点逆时针旋转，连接，，设的延长线交于点，如图②，当点与点重合时： ①的值为 　　； ②的度数为 　　度； （2）类比探究：如图③，小芳在小华的基础上继续旋转，连接，，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由； （3）拓展延伸：若，，当所在的直线垂直于时，直接写出的长． 【思路点拨】（1）①如图②中，设交于点．证明，推出； ②依据，推导出，进而得到，可得结论； （2）如图③中，设交于点．证明，可得结论； （3）分两种情形：如图④中，当于时，如图④中，当时，延长交于．分别求出，可得结论． 【规范解答】解：（1）①如图②中，设交于点． ，都是等腰直角三角形， ，，， ，； ， ； ②， ， ， ， 故答案为：，45； （2），仍然成立，理由如下： 如图③中，设交于点． ，都是等腰直角三角形， ，，， ，， ， ，， ， ， ，； （3）如图中，当于时， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 如图④中，当时，延长交于． 同理可得，，， ， 综上所述，的长为或． 【考点评析】本题考查了相似形综合应用，掌握等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 15．（2024•武进区校级二模）如图，已知矩形中，，，点是边上一动点，过点作，垂足为点，联结，过点作，交边于点（点与点不重合）． （1）当是的中点时，求证：； （2）当的长度取不同值时，在 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； （3）延长交边于点，联结， 与 能否相似，若能相似，求出此时的长；若不能相似，请说明理由． 【思路点拨】（1）根据直角三角形斜边上中线的性质可知，再根据角之间的互余关系得到，从而证明； （2）根据平行线的性质以及互余关系证明和相似，从而可以证明是个定值； （3）因为和为钝角，所以当 与相似时，这两个角相等，根据三角函数的定义求出的值，从而求得的值． 【规范解答】（1）证明：，是中点， ， ， ， ， 又，， ， ； （2）解：存在长度不变． ，， ， ， ， 又，， ， ， ， ； （3）解：能相似． 连接，过作于，如图： ， ， ， ， 由（2）知，， ， 又， 四边形为矩形， ， 当时，， ， ， ， ． 【考点评析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握特殊几何图形的性质是解题的关键． 16．（2024•亭湖区三模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点、，已知，． （1）求抛物线的表达式，并求出点的坐标． （2）点是抛物线（第一象限内）上的一个动点，连接，，当面积最大时，求点的坐标． （3）若点坐标固定为，是抛物线上除点之外的一个动点，当与的面积相等求出点的坐标． 【思路点拨】（1）用待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）由面积，即可求解； （3）过点作直线交轴于点，得到直线的表达式为：，即可求解；过点作直线，得到直线的表达式为：，即可求解． 【规范解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 令，则（舍去）或， 即； （2）过点作轴交于点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则面积， ，故当时，面积最大， 此时点； （3）由（2）知，直线的表达式为：， 过点作直线交轴于点， 则直线的表达式为：，则点， 则， 联立和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或3，即点， 则点下方取点，使，则点， 过点作直线， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：， 则点，或，， 综上，点的坐标为：或，或，． 【考点评析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行线的性质、面积的计算等，用平行线的方法处理面积之间的关系是解题的关键． 17．（2024•天宁区校级一模）【综合与实践】 【问题背景】 在四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点． 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时， ①求证：△△； ②当是中点时，　67.5　度； 【深入探究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，当为的中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上，且满足，当△是直角三角形时，请直接写出的长． 【思路点拨】（1）①利用正方形的性质和全等三角形的判定定理解答即可； ②利用全等三角形的性质和三角形的内角和定理得到，再利用垂直平分线的性质得到，，再利用正方形的性质和三角形的内角和定理解答即可； （2）过点作，交于点，利用三角形的中位线定理得到，；设，则，再利用相似三角形的判定与性质解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当时，设，则，，利用相似三角形的判定与性质解答即可；当时，过点作，交的延长线于点，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得，再利用等腰直角三角形的性质解答即可． 【规范解答】（1）①证明：四边形为正方形， ，． 在△和△中， ， △△； ②解：连接，如图， △△， ， ，， ． ， ． 是中点， 为的垂直平分线， ， ． 四边形为正方形， ， ． 故答案为：67.5； （2）过点作，交于点，如图， ，为的中点， 为△的中位线， ，． 设，则， ． ， △△， ， ， （负数不合题意，舍去）， ． ． （3）的长为或或2．理由： 四边形是矩形，，， ，， ，． ， ， ， ． ①当时，如图， 设，则，． ， ． ，， △△， ， ， 解得：或． 或． ②当时，过点作，交的延长线于点，如图， ，， ， △△， ， ， ， ，， ． ，， ， ， ， ， ． 综上，的长为或或2． 【考点评析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的中位线，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 18．（2024•淮安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图象交于点．已知点坐标为，点坐标为． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）点在线段上，过点且平行于轴的直线交于点，交反比例函数图象于点．当时，求点的坐标． 【思路点拨】（1）把点代入，解方程得到反比例函数的表达式为，把点，点代入，解方程组得到一次函数的表达式为； （2）设，得到，求得，由，列方程得到，，于是得到点的纵坐标为，把代入即可得到结论． 【规范解答】解：（1）把点代入得， ， 解得， 反比例函数的表达式为， 把点，点代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）设， 平行于轴， ， ， ， ， 解得， ，， 点的纵坐标为， 把代入得，， 点的坐标为，． 【考点评析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象点的坐标特征，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 19．（2024•高新区一模）某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分点”，请认真阅读下面的操作过程并完成相应的学习任务． 如图1，①分别以点，为圆心，大于的长为半径在两侧画弧，四段弧分别交于点，点；②连接，，，作射线；③以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；④连接，交于点．点即为的一个三等分点（即． 学习任务： （1）填空：四边形的形状是 　菱形　，你的依据是 　　； （2）证明：； （3）如图2，若交于点，，，将绕着点旋转，当点的对应点落在直线上时，求的长． 【思路点拨】（1）利用菱形的判定与性质解答即可； （2）利用菱形的性质，平行线的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点在线段上时，连接，利用等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质得到，；设与交于点，利用平行线的性质，相似三角形的判定与性质得到，利用勾股定理求得，，则；当点在射线上时，连接，利用①的结论和方法解答即可． 【规范解答】（1）解：由作法可知：， 四边形的形状是菱形， 依据是：四条边相等的四边形为菱形． 故答案为：菱形；四条边相等的四边形为菱形； （2）证明：四边形的形状是菱形， ， ， ． ，， ， ， ， ． ． （3）解：①当点在线段上时，连接，如图， ，， 为等边三角形， ，． ， ． 在和中， ， ， ， 为等边三角形， ，， ． ． 设与交于点， ， ， ． 同理：， ． ， ， ，． ，． ． ②当点在射线上时，连接，如图， 由①知：，，， ， ． ． 综上，的长为或． 【考点评析】本题主要考查了基本作图，菱形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，分类讨论的思想方法，熟练掌握菱形的判定与性质和直角三角形的性质是解题的关键． 20．（2024•涟水县模拟）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答． （1）问题背景 如图1，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，当时，　　； 如图2，连接，当点恰好落在上时，其他条件不变，则　　； （2）探究迁移 如图3，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请写出与之间的数量关系式（用含的式子表示），并说明理由； （3）拓展应用 如图4，在（1）的条件下，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长． 【思路点拨】（1）根据翻折的性质以，全等三角形的性质平角的概念求出，再根据相似三角形的性质，得出和的关系即可求解； （2）根据（1）中三角形的全等与相似条件不变，得出不变，再根据和的关系，和的关系即可； （3）构造相似三角形，根据三角形相似的性质，得出和相等，然后根据相似三角形的性质和勾股定理求出的长，即为的长． 【规范解答】解：（1）， ， ，， 由翻折的性质可知，， ， ， 又， ， 又， △， ， 由翻折的性质可知，，， ， ， 四边形为正方形， ， ， ，， ， △， ， ，即， 故答案为：，2； （2），理由如下： 由（1）可知，，， ， ； （3）过作，交延长线于，作的平分线，交于，如图， ， ，，， ， 又， △， ， ，， △， ， ， ，， ， ， ， 设， 四边形为菱形， ， ， ， ，， ，， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即的长为． 【考点评析】本题主要考查了正方形和菱形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，合理构造相似三角形是解题的关键． 21．（2024•徐州）在△中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． （1）如图（1），在△中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． （2）如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个△，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；② 是钝角（保留作图痕迹，不写作法）． （3）若△为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）． 【思路点拨】（1）证△△即可得证； （2）依据题意作出尺规作图，由（1）我们发现当是直角三角形时，，所以我们需要找到一个点满足到这个点的距离等于直角三角时的，这时很容易想到轨迹圆； （3）分类讨论，①当时，根据第二问可得出锐角三角形时的位置，再利用勾股定理求出临界值范围即可，②当时，同①方法． 【规范解答】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， △△， ， ， 点是点的“关联点”． （2）解：如图，△即为所求， 作法提示：①作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，为半径作圆； ③过作交于点； ④以为圆心，为半径画圆，则点在上且在直线右侧． 简证：在以为直径的圆上运动， ， 根据第一问很容易得出， ， ． （3）①当时， 如图所示，结合第（2）问，我们发现当点在直线左侧、的右侧时，△是锐角三角形， 此时， ，且，， ， 在△中，， 在△中，， ； ②当时，同理可得； 综上，或． 【考点评析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、尺规作图等内容，熟练掌握相关知识和正确理解题意是解题的关键． 22．（2024•大丰区三模）将正方形的边绕点逆时针旋转至，记旋转角为．连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，， （1）如图1，当时，的形状为 　等腰直角三角形　，连接，可求出的值为 　　； （2）当且时． ①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； ②当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请求出的值． 【思路点拨】（1）由正方形的性质得，，，，由旋转的性质得，，推出为等边三角形，，，，，易证为等腰直角三角形，得出，，再证，即可得出结果； （2）①由旋转的性质得，，推出，，，易证是等腰直角三角形，得出，由正方形的性质得，，再证明△，即可得出结论； ②若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论：第一种以为边时，则，此时点在线段的延长线上，此时点与点重合，，即可得出结果；第二种以为对角线时，由平行四边形的性质得，点为中点，证明△△，得出，则，，，即可得出结果． 【规范解答】解：（1）如图1所示： 四边形是正方形， ，，，， 由旋转的性质得：，， ，为等边三角形，， ，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ，， ，即， ， ， ， 故答案为：等腰直角三角形，； （2）①两个结论仍然成立，理由如下： 连接，如图2所示： 由旋转的性质得：，， ， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形为正方形， ，， ， ， ， △， ， （1）中的两个结论不变，依然成立； ②若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论： 第一种：以为边时，则， 此时点在线段的延长线上，如图3所示： 此时点与点重合， ， ； 第二种：当以为对角线时，如图4所示： 四边形是平行四边形， ，点为中点， ， ， ， ， ， ， ，， △△， ， ， ，， ， 综上所述，的值为3或1． 【考点评析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、分类讨论等知识，证明△与进行分类讨论是解题的关键． 23．（2024•东海县一模）【观察与猜想】 （1）如图1，在矩形中，点、分别在边、上，连接与交于点，若，且，，则　　； 【类比探究】 （2）如图2，在平行四边形中，点、分别在边、上，连接与交于点，当与满足什么关系时，成立？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点在边上，连接与交于点，当时，求的值． 【思路点拨】（1）证明，根据相似比即可求解； （2）当时，可证明得到，再证明，得到，由此可得，即； （3）如图所示，过点作交延长线于，过点作交延长线于，则四边形是平行四边形，证明，则，再证，得，则，在上取一点，使，连接，证是等边三角形，得，，然后证，得，设，则，，进而由，得出方程，求出，即可解决问题． 【规范解答】解：（1）四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：； （2）当时，成立，理由如下： ，， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ，即； （3）如图所示，过点作交延长线于，过点作交延长线于，则四边形是平行四边形， ，，， 同（2）可得， 在上取一点使得，连接， ，， ， 是等边三角形， ，， ； ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， 解得， ， ． 【考点评析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质，等边三角形的性质与判定等等，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 24．（2024•淮安区二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，且． （1）求一次函数、反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出的的取值范围； （3）反比例函数图象上是否存在点，使四边形为菱形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由． 【思路点拨】（1）先根据题意得出点坐标，再将、两点的坐标代入求出的值，故可得出一次函数的解析式，把点代入反比例函数即可得出的值，进而得出结论； （2）利用图象法，写出反比例函数图象和一次函数图象的上方的自变量的取值范围即可； （3）根据菱形的性质即可得出结论． 【规范解答】解：（1），，， 为的中点，即， ，， 将与代入得： ， 解得：， 一次函数解析式为， 将代入反比例解析式得：，即反比例函数解析式为． （2）观察图象可知，时，的取值范围． （3）如图所示， 点， ，， 以、为边构造菱形， 四边形为菱形， 垂直且平分， 轴，， 点， 反比例函数解析式为， 当时，， 点在反比例函数的图象上． 【考点评析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 25．（2024•沭阳县模拟）某班级准备召开主题班会，现从由3名男生和2名女生所组成的班委中，随机选取产生主持人． （1）若选取一人担任主持人，则恰好是女生担任主持人的概率为　　； （2）若选取两人担任主持人，求两名主持人恰好为一男一女的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出求解过程） 【思路点拨】（1）直接利用概率公式计算； （2）画出树形图展示所有20种等可能的结果数，再找出恰好为一男一女的结果数，然后根据概率公式求解． 【规范解答】解：（1）若选取一人担任主持人，则恰好是女生担任主持人的概率为； 故答案为； （2）画出树形图为： 共有20种等可能的结果数，其中恰好为一男一女的结果数为12， 所以（主持人恰好为一男一女）． 【考点评析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率． 26．（2024•沭阳县模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求这条抛物线的函数解析式； （2）是抛物线上一动点（不与点，，重合），过点分别作轴和对称轴的垂线，垂足为，． ①如图，若点在第三象限，求的最大值； ②直线交直线于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，请直接写出四边形的周长． 【思路点拨】（1）把点和点的坐标代入，利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）①根据抛物线的解析式设点的坐标为，则有，，所以可得，然后根据点与对称轴的位置关系分情况求出的最大值即可； ②利用勾股定理可求出，根据对称性可证四边形是菱形，因为轴，可知△△，设点的坐标为，从而可得：，当点在第三象限时，根据点是和的交点，所以可得，从而可得：，解方程求出的值，可得四边形的周长；当点在第二象限时，可得，从而可得：，解方程求出的值，可得四边形的周长． 【规范解答】解：（1）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．把点，点的坐标代入得： ， 解得：， 抛物线的解析是； （2）①抛物线的对称轴为， 已知抛物线与轴交于点和点， 当时，得：， 得到：，， 点的坐标为， 设点的坐标为， 点在第三象限， ，， ，， ， 当时，， 整理得：， 当时，有最大值，最大值为； 当时，； 综上所述，若点在第三象限，的最大值为； ②四边形的周长为或．理由如下： 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 设点的坐标为， 如图1，当点在第三象限时，过点作轴， 可知四边形是矩形， ， 点和点关于对称， ，， 轴， ， ， ， ， 四边形是菱形， 轴， △△， ， ， 解得：， 设直线的解析式是，把点、点的坐标代入得： ， 解得：， 直线的解析式是， 点的坐标为， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）， ， 四边形的周长为； 当点在第二象限时，如图2， 则有， 解得：，， ， 四边形的周长为， 综上所述，四边形的周长为或． 【考点评析】本题属于二次函数综合题，主要考查了求一次函数和二次函数的解析式、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、轴对称性质，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形菱形，根据相似三角形的性质和菱形的性质找到边之间的关系，用代数式表示出线段的数量，再根据线段的长度列方程求解． 27．（2024•梁溪区校级一模）在中，，是边上一点，将沿着翻折到， （1）如图1，若、、三点共线， ①求证：； ②若，，求的长． （2）如图2，若，点是中点，，求的面积． 【思路点拨】（1）①由四边形是平行四边形，可得，根据将沿着翻折到，有，故，从而； ②证明，可得，故，有，即可得，，求出，从而； （2）过作于，过作于，由为中点，，将沿着翻折到，可得，，设，知，解得，，即得，设，由，解得，从而，由平行四边形面积公式可得答案． 【规范解答】（1）①证明：四边形是平行四边形， ， ， 将沿着翻折到， ， ， ； ②解：将沿着翻折到， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，， ，， 由①知， ， ， ， ； （2）解：过作于，过作于，如图： 为中点，， ， 将沿着翻折到， ，， ， ，即， 设，则， ， ， 解得， ， ， ，即， 设，则， ，， ， ， 解得或（舍去）， ， ， 的面积为． 【考点评析】本题考查四边形综合应用，涉及翻折变换，相似三角形判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是掌握翻折的性质和平行四边形性质． 28．（2024•锡山区校级一模）在平面直角坐标系中，抛物线、为常数）的对称轴为直线，与轴交点坐标为． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）点、点均在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为，点的横坐标为．将此抛物线上、两点之间的部分（含、两点）记为图象． ①当点在轴上方，图象的最高与最低点的纵坐标差为6时，求的值； ②设点，点，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连结，当△（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，求的取值范围． 【思路点拨】（1）根据对称轴求出的值，再由抛物线与轴的交点坐标求出的值； （2）①首先推导出、的坐标为，，当时，，求出的值，当时，，求出的值，再结合题意确定符合条件的值即可； ②分四种情况：当时，当时，当时，当时，分别根据△（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点，求得的取值范围即可． 【规范解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴交点坐标为， ， 此抛物线对应的函数表达式为； （2）①抛物线解析式为， 令，得：， 解得：或， 故抛物线与轴的交点为，，对称轴为直线；顶点坐标为， 由题意得：，， 当时，如图1， ， 解得：或（不合题意，舍去）； 当时，如图2， ， 解得：（不合题意，舍去）， 综上所述：图象的最高点与最低点的纵坐标差为6时，的值为； ②当时，如图3， ，， ， 由旋转得：，， ， 直线的解析式为， 联立方程组得：， 整理得：， △（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点， △， ； 当时，如图4，△（不含内部）和二次函数在范围上的图象没有公共点； 当时，如图5，△（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点， ，，， 点在抛物线上， ， 解得：（舍去）或， ； 当时，如图6，△（不含内部）和二次函数在范围上的图象有两个公共点，（舍去） 综上所述：当或时，△（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点． 【考点评析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． 29．（2024•工业园区校级模拟）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“佳点”．如图1，△中，点是边上一点，连接，若，则称点是△中边上的“佳点”． （1）如图2，已知，在四边形中，平分于点，，求证：点是△中边上的“佳点”； （2）关于直角三角形斜边上的“佳点”个数有　③　（填写正确的序号）． ①1个；②2个；③1个或2个；④1个或2个或3个． （3）如图③，△中，，，，点是边上的“佳点”，求线段的长． 【思路点拨】（1）证明△△，然后得到，再根据中点的定义即可得到结论； （2）根据“佳点”的定义利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半和直角三角形斜边上的高把该三角形分成了两个相似的直角三角形的性质即可判断直角三角形的“佳点”个数； （3）根据三角函数，转化为边的比例，求出，，，结合点的位置分类讨论，利用已知定义建立方程即可求解． 【规范解答】（1）证明：在四边形中，平分于点， ， ，， △△， ， ， ， 点是△中边上的“佳点”； （2）解：若直角三角形为非等腰直角三角形， 则斜边上的中线与斜边的交点和斜边上的高与斜边的交点都是直角三角形有一个“佳点”，共两个； 若直角三角形为等腰直角三角形，则斜边上的高与中线重合，故只有一个“佳点”， 综上，直角三角形有1或者2个“佳点”， 故答案为：③； （3）解：作于， ， ， 设，则，， ， ， 解得， ，，， 设， 如图①，当点在点左侧时， 由点是边上的“佳点”有， ， 解得：或（舍去）， ； 如图②，当点在点右侧时， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）， ， 综上：的长为2或． 【考点评析】本题属于相似形综合题，主要考查三角形相似的判定和性质，本题要结合已知“佳点”的定义求解是关键． 30．（2024•工业园区校级模拟）【项目式学习】如图，抛物线与轴分别交于、两点、分别在原点左右两侧），与轴交于点，点为抛物线上第一象限内一动点，过点、点的直线交轴于点，过点、点的直线交轴于点，连接、、，试探究、、、之间的数量关系．为探究该问题，拟采用研究问题的一般路径一一由特殊到一般的研究方式： （1）设，，． ①若点的横坐标为2，计算： 　2　， 　　； 比较大小： 　　（填“”、“ ”或“” ． ②若点的横坐标为，上述、之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （2）根据上述研究经验，当、两点的横坐标为、时，、、、之间的数量关系仍然成立吗？请说明理由． （3）若，求出的取值范围． 【思路点拨】（1）①由已知确定函数的解析式，求出，，的坐标，再由待定系数法求出直线与直线的解析式，从而得到，点坐标，分别计算即可； ②同理①，由待定系数法求出直线与直线的解析式，从而得到，点坐标，分别计算即可； （2）分别求出，，，的坐标，由待定系数法求出直线与直线的解析式，从而得到，点坐标，分别计算即可； （3）令，根据面积公式求出的表达式为，再求的范围即可． 【规范解答】解：（1）①当，，时，， 当时，， 解得：或， ，， ，， ， 点的横坐标为2， ， 当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， ， 同理可求直线的解析式为， ， ，， ， ， 故答案为：2，2，； ②仍成立，理由如下： 点的横坐标为， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， ， 同理可求直线的解析式为， ， ，， ， ； （2）、、、之间的数量关系仍然成立；理由如下： 、两点的横坐标为、， ， ，，，，， 设，， 同（1）得直线的解析式为， 同理直线的解析式为， ，，，， ， ； （3） ， 令， ， ， ， ． 【考点评析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，待定系数法求函数的解析式的方法，准确计算是解题的关键． 31．（2024•宿迁）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动． 【操作判断】 操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点，沿折叠，使边与边重合，得到折痕． 把正方形纸片展平，得图④，折痕、与的交点分别为、． 根据以上操作，得　45　． 【探究证明】 （1）如图⑤，连接，试判断△的形状并证明； （2）如图⑥，连接，过点作的垂线，分别交、、于点、、．求证：． 【深入研究】 若，请求出的值（用含的代数式表示）． 【思路点拨】【操作判断】根据折叠的性质即可解答； 【探究证明】（1）证明△△，△△，得到，即可解答； （2）根据等腰直角三角形的性质证明△，利用平行线的性质及折叠的性质，即可得证； 【深入研究】根据旋转的性质及勾股定理证明△△，设，分别求出，，即可解答． 【规范解答】【操作判断】解：如图， 由题意可得，， ， ， ， 故答案为：45； 【探究证明】（1）解：方法一：△为等腰直角三角形，证明如下： 由题意可得， 正方形， ， ， △△， ， ， ， △△， ， △为等腰直角三角形； 方法二：， 、、、四点共圆， ， ， 即， △为等腰直角三角形； （2）证明：△为等腰直角三角形， ，， ， ，， ， △， ， ， ， 翻折， ， ， ， ， ， ； 【深入研究】解：方法一：将△旋转至△，连接，如图， △△， ，，， ， ， ， ，， ， △△， ， ， 由（2）知△△，四边形为矩形， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， 解得，， ． 方法二：如图，延长交延长线于点， 则， 由于的长度已知，所以只需求出的长度即可， 由（2）知为的中点，且， 点为的中点，即， ， ， 即， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查相似形的综合应用，主要考查折叠的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，掌握这些性质定理是解题的关键． 32．（2024•昆山市一模）我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． （1）如图1，是等边三角形，在上任取一点、除外），连接，我们把绕点逆时针旋转，则与重合，点的对应点．请根据给出的定义判断，四边形 　是　（选择是或不是）等补四边形． （2）如图2，等补四边形中，，，若，求的长． （3）如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值． 【思路点拨】（1）根据旋转的性质得：，，再证明四边形有一对角互补，根据等补四边形的定义可得结论； （2）如图2，将绕点顺时针旋转得，先证明、、三点共线，根据旋转的性质可知：，根据三角形的面积公式可得的长； （3）如图3，作辅助线：将绕点逆时针旋转的大小，得，先证明、、三点共线，则，当时，的面积最大，从而得结论． 【规范解答】解：（1）由旋转得：，， ， ， 四边形是等补四边形． 故答案为：是； （2）如图2，，， 将绕点顺时针旋转得， ，，， ， ， ， ， 、、三点共线， ， ， ， （负值舍去）； （3）， 将绕点逆时针旋转的大小，得，如图3， ，，， ， ， 、、三点共线， ， 当时，的面积最大，． 四边形面积的最大值为8． 【考点评析】本题属于四边形综合题，考查了利用旋转作全等三角形，三角形和四边形的面积，等补四边形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用旋转作辅助线，构造全等三角形解决问题． 33．（2024•淮安模拟）如图：反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，其中点坐标为． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围； （3）一次函数的图象与轴交于点，点是反比例函数图象上的一个动点，若，求此时点的坐标． 【思路点拨】（1）把点坐标代入中求出得到反比例函数解析式，把点坐标代入中求出得到一次函数解析式； （2）由函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可； （3）设，先利用一次解析式解析式确定，再根据三角形面积公式得到，然后解绝对值方程得到的值，从而得到点坐标． 【规范解答】解：（1）把代入得， 反比例函数解析式为， 把代入得，解得， 一次函数解析式为； （2）点和点关于直线对称， ， 由函数图象可得：当时，或； （3）设， 当时，， ， ， ，解得， 或． 【考点评析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式． 34．（2024•南京模拟）已知二次函数其图象与轴交于，两点在的左侧），且点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）如图1，已知将线段平移至线段（点，的对应点分别为，，使点，都在抛物线上．试判断直线是否将四边形分成面积相等的两部分，请说明理由； （3）如图2，若直线与抛物线交于，两点，求证：的内心在轴上． 【思路点拨】（1）将点代入，求出，即可； （2）先求出的长，在根据对称性求得，的坐标，从而求得平行四边形的中心坐标，再判定直线经过平行四边形的中心，即可得出结论； （3）联立一次函数和二次函数解析式，求得、坐标，再求得设直线、的解析式，得到交轴于，与轴交于，从而得出直线和直线关于轴对称，即得出结论． 【规范解答】解：（1）把代入，得： ， 解得：， 二次函数的解析式为：； （2）直线将四边形分成面积相等的两部分．理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， ，， ， 将线段平移至线段（点，的对应点分别为，， ，， 、关于直线对称， 横坐标为6，的横坐标为， 当时，， ，， ，， 平行四边形的对称中心是， 把代入，得， 直线经过平行四边形的对称中心是， 直线将四边形分成面积相等的两部分． （3）证明：如图2， 作于，于， 由得： ，， 设， ，， ，， 设直线的解析式为：， ， ， ， 同理可得：直线的解析式为， 交轴于，与轴交于， 直线和直线关于轴对称， 的内心在轴上． 【考点评析】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数及其图象性质，二次函数图象与一次函数的交点与方程组的关系，一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式和二次函数及其图象性质． 35．（2024•连云港二模）（1）【问题发现】 如图1，在中，，，点为的中点，以为一边作正方形，点与点重合，易知，则线段与的数量关系是 　　； （2）【拓展研究】 在（1）的条件下，将正方形绕点旋转至如图2所示的位置，连接，，．请猜想线段和的数量关系，并证明你的结论； （3）【结论运用】 在（1）（2）的条件下，若的面积为8时，当正方形旋转到、、三点共线时，请直接写出线段的长． 【思路点拨】（1）根据正方形的性质和勾股定理得到即可求解； （2）根据等腰直角三角形和正方形的性质证得，，进而可证得，利用相似三角形的性质可得结论； （3）先利用等腰直角三角形的性质求得，，进而，设，则，根据题意分两种情况，利用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：（1）四边形是正方形， ，， ， ，点与点重合， ， 故答案为：； （2），理由如下： 在中，，， ， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ； （3）在中，，，的面积为8， ，则（负值舍去）， ， 由（1）知，， 设，则， 、、三点共线， 有两种情况： ①如图1， 在中，，， 由得， 解得（负值舍去）； ②如图②， 在中，，， 由得， 解得（负值舍去）； 综上，满足条件的线段值为或． 【考点评析】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的性质，以及分类讨论和方程的思想的运用是解答的关键． 36．（2024•溧阳市模拟）如图1，的余切值为2，，点是线段上的一动点（点不与点、重合），以点为顶点的正方形的另两个顶点、都在射线上，且点在点的右侧，联结，并延长，交射线于点． （1）点在运动时，下列的线段和角中，　④⑤　是始终保持不变的量（填序号）； ①；②；③；④；⑤；⑥； （2）设正方形的边长为，线段的长为，求与之间的函数关系式，并写出定义域； （3）如果△与△相似，但面积不相等，求此时正方形的边长． 【思路点拨】（1）作于，交于，如图，利用三角函数的定义得到，设，则，利用勾股定理得，解得，即，，设正方形的边长为，则，，由于，则可判断为定值；再利用得到，则可判断为定值；在△中，利用勾股定理和三角函数可判断在变化，在变化，在变化； （2）易得四边形为矩形，则，证明△△，利用相似比可得到与的关系式； （3）由于，△与△相似，且面积不相等，利用相似比得到，讨论：当点在点点右侧时，则，所以，当点在点点左侧时，则，所以，然后分别解方程即可得到正方形的边长． 【规范解答】解：（1）作于，交于，如图， 在△中，， 设，则， ， ，解得， ，， 设正方形的边长为， 在△中，， ， ， 在△中，， 为定值； ， ， 为定值； 在△中，， 而在变化， 在变化，在变化， 在变化， 所以和是始终保持不变的量； 故答案为④⑤； （2）易得四边形为矩形，则， ， △△， ， 即， （3），△与△相似，且面积不相等， ，即， ， 当点在点点右侧时，， ， 解得， 当点在点点左侧时，， ， 解得， 综上所述，正方形的边长为或． 【考点评析】本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质． 37．（2024•鼓楼区校级模拟）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨，的交点．点为抛物线的顶点，点，在抛物线上，、关于轴对称．分米，点到轴的距离是0.6分米，，两点之间的距离是4分米． （1）求抛物线的表达式； （2）分别延长，交抛物线于点，，求，两点之间的距离； （3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求的值． 【思路点拨】（1）根据题意得到，，，设抛物线的解析式为，代入求解即可得到答案； （2）分别求出，所在直线的解析式，求出与抛物线的交点，即可得到答案； （3）求出抛物线与坐标轴的交点得到，表示出新抛物线找到交点得到，根据面积公式列方程求解即可得到答案． 【规范解答】解：（1）设抛物线的解析式为， 由题意可得，，， ，， 把点坐标代入所设解析式中得， 解得， ； （2）设的解析式为，的解析式为， 分别将，代入，， 得，， 解得，， 的解析式为，的解析式为， 联立直线解析式与抛物线， 得， 解得，（舍去）； 得， 得，（舍去）， ，， ，两点之间的距离为； （3）当时，， 解得， ， 抛物线向右平移个单位， ， 当时，， 当时，， 解得， ， ， ， 解得，（不符合题意舍去），，（不符合题意舍去）， 综上所述：或4． 【考点评析】本题考查二次函数综合应用，主要考查待定系数法求解析式，解题的关键是熟练掌握函数与坐标轴的交点求法及平移的规律：左加右减，上加下减． 38．（2024•徐州模拟）问题提出 （1）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．已知，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易证： 　　（选填“”或“” ，从而可得： 　　（选填“”“ ”或“” ； 问题探究 （2）在题（1）条件下，若，，求正方形的边长； 问题解决 （3）如图2，工人谢师傅现计划在一块如图所示的矩形材料中加工出一块四边形材料，要求加工出的材料中，点，分别在边，上，同时工厂为了能继续利用加工后的剩余材料，要求点落在边上，且满足，已知矩形的边，，若谢师傅加工材料时选择的长度为4，请问的长度是否满足要求，并计算说明． 【思路点拨】（1）根据证明得，进而可证； （2）由勾股定理得，则，设正方形的边长为，则，，得，求解即可； （3）延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于点，连接，则四边形是正方形，得，设，则，证，得，则，然后在中，由勾股定理得出方程，求解即可． 【规范解答】解：（1）四边形是正方形， ，， 由旋转的性质得， ，，，， ，即， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：，； （2）在中， 由勾股定理得， 则， 设正方形的边长为， 则，， ， 解得， 即正方形的边长是12． （3）的长度满足要求，理由如下： 延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于点，连接，如图所示， 则四边形是正方形， ， 设，则， ， ， ， ， ， 由（1）得：， 在中， 由勾股定理得：， 解得， 即的长是8，而， ，满足要求． 【考点评析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握正方形的性质、证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 39．（2024•邗江区校级模拟）如图1，在矩形中，，，点以的速度从点向点运动，点以的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒，是△的外接圆． （1）当时，的半径是 　　，与直线的位置关系是 　　； （2）在点从点向点运动过程中，当与矩形相切时，求的值． （3）连接，交于点，如图2，当时，的值是 　　． 【思路点拨】（1）先求出，的长，根据勾股定理可得的长，根据直角三角形的外接圆直径是斜边即可求解； （2）如图3，根据切线的性质作辅助线，则，，由列方程即可求解； （3）如图4，作辅助线，构建全等三角形，证明，，最后根据勾股定理列方程即可求解． 【规范解答】解：（1）如图1，过作于，交于， 四边形是矩形， ，， 的直径是，， 当时，，， ，， ，， ， 的半径为， ，是的中点， ， 是△的中位线， ， ， 与直线的位置关系是相离； 故答案为：，相离； （2）如图3，当与相切时，设切点为，连接并延长交于，则，， 则，， ， ， △中，， ， ， 解得：； 当与相切时，设切点为，连接并延长交于，则，， 则，， ， ， ， ， 解得：； 综上所述：当与矩形相切时或； （3）如图4，过作，交的延长线于点，连接， ，， ， ，， ， ， △△， ， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：（舍，． 故答案为：． 【考点评析】本题四边形和圆的综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，添加恰当辅助线是本关键． 40． （2024•南京三模）解决几何问题时常常通过图形变换构造相似（全等）三角形等，从而快速获得解决问题的途径 （1）如图①，在四边形中，，，连接，写出、与之间的数量关系，并说明理由． （2）如图②，是四边形的对角线，，，，，，求的值． （3）如图③，在等腰中，，点，分别在边，上，，点在内，连接，，，，，若，则的最小值是 　　． 【思路点拨】（1）作交延长线于点，证明，则，，即，而为等腰直角三角形，故； （2）作，且，作，则，证明，则，可证明，故，即，推导得出，则解，得，则，在中，由勾股定理得，即可得到．故； （3）连接，过点作，且，连接，，作的外接圆，连接，，，，先证明，则，故，因此的最小值为，而，故，由，知当点、、三点共线 时，取得最小值，可求，，故，因此，即的最小值为． 【规范解答】解：（1）；理由如下： 作交延长线于点，如图①， ，即， ， ， ， ， ， ， ，，即，， 为等腰直角三角形， ， ，即； （2）作，且，作，如图②， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 而， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ； （3）连接，过点作，且，连接，，作的外接圆，连接，，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 当点，，三点共线时，的最小值为， ，， ， ， ， ， ， 当点、、三点共线时，取得最小值， ，， ， ， ， ， 同理：， ， ， ， ， ， ，即的最小值为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，三角形三边关系求最值，圆周角定理，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形和相似三角形 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 解答题（优选题压轴必刷练40题） 试题说明：本部分试题优选江苏省2023-2024年各地区名校真题，模拟题。题目精良，解题技巧性强，涵盖知识点全面，难度主要以难度中上为主，更多以压轴题展现，适合学有余力的同学培优拔尖！题目解析思路清晰，过程完整。预祝2025年中考取得好成绩！ 1．（2024•苏州模拟）某校开展了“学习二十大”的知识竞赛（百分制），七、八年级学生参加了本次活动．为了解两个年级的答题情况，该校从每个年级各随机抽取了30名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．七年级成绩的频数分布直方图如图： （数据分成五组：，，，； ．七年级成绩在的数据如下（单位：分），85，85，85，85，85，85，85，85，88，89． ．七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80.4 141.04 八年级 80.4 83 84 86.10 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中　　，　　； （2）下列推断合理的是 　　； ①样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小； ②若八年级小明同学的成绩是84分，可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩． （3）竞赛成绩80分及以上记为优秀，该校七年级有600名学生，估计七年级成绩优秀的学生人数． 2．（2024•沭阳县模拟）如图，在四边形中，平分，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 3．（2024•沭阳县模拟）某商店以15元/件的价格购进了某种商品，在销售过程中发现，每日销售量y（件）与销售单价x（元）之间可看作一次函数关系，当售价为18元/件时，每日可售出54件；当售价为20元/件时，每日可售出50件，在销售过程中销售单价不低于进价且每件的利润不高于进价的80%． （1）求每日销售量y与售价单价x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围． （2）设每日销售这种商品的利润为w（元），当销售单价x为多少时，销售这种商品每日的利润最大？最大利润是多少？ （3）若希望每日利润不低于400元，请直接写出售价x的范围． 4．（2024•睢宁县校级模拟）运动是一切生命的源泉，运动使人健康、使人聪明、使人快乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格，某中学为了解学生一周在家运动时长（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集的数据整理分析，共分为四组．，．，．，．，其中每周运动时间不少于3小时为达标），绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查了 　　名学生； （2）请补全频数分布直方图，并计算在扇形统计图中组所对应扇形的圆心角的度数； （3）若该校有学生2000人，试估计该校学生一周在家运动时长不足2小时的人数． 5．（2024•鼓楼区校级三模）某学校组织学生采摘山楂制作冰糖葫芦（每串冰糖葫芦由5颗山楂制成）．同学们经过采摘、筛选、洗净等环节，共得到的山楂．甲、乙两位同学各随机分到了15颗山楂，他们测量了每颗山楂的重量（单位：，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．甲同学的山楂重量的折线图： ．乙同学的山楂重量： 8，8.8，8.9，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.6，9.8，10，10，10，10，10 ．甲、乙两位同学的山楂重量的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 甲 9.5 9.2 乙 9.5 9.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中，的值； （2）对于制作冰糖葫芦，如果一串冰糖葫芦中5颗山楂重量的方差越小，则认为这串山楂的品相越好． ①甲、乙两位同学分别选择了以下5颗山楂制作冰糖葫芦．据此推断：品相更好的是 　　（填写“甲”或“乙” ； 甲 9.2 9.2 9.2 9.2 9.1 乙 9.4 9.4 9.4 8.9 8.8 ②甲同学从剩余的10颗山植中选出5颗山楂制作一串冰糖葫芦参加比赛，首先要求组成的冰糖葫芦品相尽可能好，其次要求冰糖葫芦的山楂重量尽可能大．他已经选定的三颗山楂的重量分别为9.4，9.5，9.6，则选出的另外两颗山楂的重量分别为 　　和 　　； （3）估计这些山楂共能制作多少串冰糖葫芦． 6．（2024•宿迁二模）为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图，将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图，测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） （1）求支点离桌面的高度；（计算结果保留根号） （2）小吉通过查阅资料，当面板绕点转动时，面板与桌面的夹角满足时，能保护视力．当从变化到的过程中，问面板上端离桌面的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，， 7．（2024•沭阳县校级二模）如图大楼的高度为，小可为了测量大楼顶部旗杆的高度，他从大楼底部处出发，沿水平地面前行到达处，再沿着斜坡走到达处，测得旗杆顶端的仰角为．已知斜坡与水平面的夹角，图中点，，，，，在同一平面内（结果精确到 （1）求斜坡的铅直高度和水平宽度． （2）求旗杆的高度． （参考数据：，，， 8．（2024•无锡）已知二次函数的图象经过点和点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点，、，都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围； （3）若点、在直线上，问：在该二次函数图象上是否存在点、，使得四边形是正方形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 9．（2024•泗阳县校级二模）如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线与轴的交点的坐标及△的面积； （3）直接写出一次函数的值小于反比例函数值的的取值范围． 10．（2024•南通）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 　　 　　 　　 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知△的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：　　． 【变式思考】 （2）已知△的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3） 如图④，△中，，点在边上，．以点为圆心，长为半径作弧与线段相交于点，过点作任意直线与边，分别交于，两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 11．（2024•滨湖区二模）已知，、分别为的边、上的动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为． （1）如图，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的值； （3）若，，的面积为24，求的取值范围． 12．（2024•梁溪区校级一模）已知△中，，，，点、分别在边、边上（点不与点重合，点不与点重合），联结，将△沿着直线翻折后，点恰好落在边上的点处．过点作，交射线于点．设，， （1）如图1，当点与点重合时，求的值； （2）如图2，当点在线段上时，求关于的函数解析式，并写出定义域； （3）当时，求的长． 13．（2024•天宁区校级模拟）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，是抛物线在直线上方图象上一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）求△面积的最大值，并求此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线在点、之间的部分（含点、沿轴向下翻折，得到图象．现将图象沿直线平移，得到新的图象与线段只有一个公共点，请直接写出图象的顶点横坐标的取值范围． 14．（2024•沭阳县校级模拟）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图①，已知和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，且． （1）观察猜想小华将绕点逆时针旋转，连接，，设的延长线交于点，如图②，当点与点重合时： ①的值为 　　； ②的度数为 　　度； （2）类比探究：如图③，小芳在小华的基础上继续旋转，连接，，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由； （3）拓展延伸：若，，当所在的直线垂直于时，直接写出的长． 15．（2024•武进区校级二模）如图，已知矩形中，，，点是边上一动点，过点作，垂足为点，联结，过点作，交边于点（点与点不重合）． （1）当是的中点时，求证：； （2）当的长度取不同值时，在 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； （3）延长交边于点，联结， 与 能否相似，若能相似，求出此时的长；若不能相似，请说明理由． 16．（2024•亭湖区三模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点、，已知，． （1）求抛物线的表达式，并求出点的坐标． （2）点是抛物线（第一象限内）上的一个动点，连接，，当面积最大时，求点的坐标． （3）若点坐标固定为，是抛物线上除点之外的一个动点，当与的面积相等求出点的坐标． 17．（2024•天宁区校级一模）【综合与实践】 【问题背景】 在四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点． 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时， ①求证：△△； ②当是中点时，　　度； 【深入探究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，当为的中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上，且满足，当△是直角三角形时，请直接写出的长． 18．（2024•淮安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图象交于点．已知点坐标为，点坐标为． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）点在线段上，过点且平行于轴的直线交于点，交反比例函数图象于点．当时，求点的坐标． 19．（2024•高新区一模）某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分点”，请认真阅读下面的操作过程并完成相应的学习任务． 如图1，①分别以点，为圆心，大于的长为半径在两侧画弧，四段弧分别交于点，点；②连接，，，作射线；③以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；④连接，交于点．点即为的一个三等分点（即． 学习任务： （1）填空：四边形的形状是 　　，你的依据是 　　； （2）证明：； （3）如图2，若交于点，，，将绕着点旋转，当点的对应点落在直线上时，求的长． 20．（2024•涟水县模拟）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答． （1）问题背景 如图1，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，当时，　　； 如图2，连接，当点恰好落在上时，其他条件不变，则　　； （2）探究迁移 如图3，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请写出与之间的数量关系式（用含的式子表示），并说明理由； （3）拓展应用 如图4，在（1）的条件下，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长． 21．（2024•徐州）在△中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． （1）如图（1），在△中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． （2）如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个△，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；② 是钝角（保留作图痕迹，不写作法）． （3）若△为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）． 22．（2024•大丰区三模）将正方形的边绕点逆时针旋转至，记旋转角为．连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，， （1）如图1，当时，的形状为 　　，连接，可求出的值为 　　； （2）当且时． ①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； ②当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请求出的值． 23．（2024•东海县一模）【观察与猜想】 （1）如图1，在矩形中，点、分别在边、上，连接与交于点，若，且，，则　　； 【类比探究】 （2）如图2，在平行四边形中，点、分别在边、上，连接与交于点，当与满足什么关系时，成立？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点在边上，连接与交于点，当时，求的值． 24．（2024•淮安区二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，且． （1）求一次函数、反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出的的取值范围； （3）反比例函数图象上是否存在点，使四边形为菱形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由． 25．（2024•沭阳县模拟）某班级准备召开主题班会，现从由3名男生和2名女生所组成的班委中，随机选取产生主持人． （1）若选取一人担任主持人，则恰好是女生担任主持人的概率为　　； （2）若选取两人担任主持人，求两名主持人恰好为一男一女的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出求解过程） 26．（2024•沭阳县模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求这条抛物线的函数解析式； （2）是抛物线上一动点（不与点，，重合），过点分别作轴和对称轴的垂线，垂足为，． ①如图，若点在第三象限，求的最大值； ②直线交直线于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，请直接写出四边形的周长． 27．（2024•梁溪区校级一模）在中，，是边上一点，将沿着翻折到， （1）如图1，若、、三点共线， ①求证：； ②若，，求的长． （2）如图2，若，点是中点，，求的面积． 28．（2024•锡山区校级一模）在平面直角坐标系中，抛物线、为常数）的对称轴为直线，与轴交点坐标为． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）点、点均在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为，点的横坐标为．将此抛物线上、两点之间的部分（含、两点）记为图象． ①当点在轴上方，图象的最高与最低点的纵坐标差为6时，求的值； ②设点，点，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连结，当△（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，求的取值范围． 29．（2024•工业园区校级模拟）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“佳点”．如图1，△中，点是边上一点，连接，若，则称点是△中边上的“佳点”． （1）如图2，已知，在四边形中，平分于点，，求证：点是△中边上的“佳点”； （2）关于直角三角形斜边上的“佳点”个数有　　（填写正确的序号）． ①1个；②2个；③1个或2个；④1个或2个或3个． （4） 如图③，△中，，，，点是边上的“佳点”，求线段的长． 30．（2024•工业园区校级模拟）【项目式学习】如图，抛物线与轴分别交于、两点、分别在原点左右两侧），与轴交于点，点为抛物线上第一象限内一动点，过点、点的直线交轴于点，过点、点的直线交轴于点，连接、、，试探究、、、之间的数量关系．为探究该问题，拟采用研究问题的一般路径一一由特殊到一般的研究方式： （1）设，，． ①若点的横坐标为2，计算： 　　， 　　； 比较大小： 　　（填“”、“ ”或“” ． ②若点的横坐标为，上述、之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （2）根据上述研究经验，当、两点的横坐标为、时，、、、之间的数量关系仍然成立吗？请说明理由． （3）若，求出的取值范围． 31．（2024•宿迁）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动． 【操作判断】 操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点，沿折叠，使边与边重合，得到折痕． 把正方形纸片展平，得图④，折痕、与的交点分别为、． 根据以上操作，得　　． 【探究证明】 （1）如图⑤，连接，试判断△的形状并证明； （2）如图⑥，连接，过点作的垂线，分别交、、于点、、．求证：． 【深入研究】 若，请求出的值（用含的代数式表示）． 32．（2024•昆山市一模）我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． （1）如图1，是等边三角形，在上任取一点、除外），连接，我们把绕点逆时针旋转，则与重合，点的对应点．请根据给出的定义判断，四边形 　　（选择是或不是）等补四边形． （2）如图2，等补四边形中，，，若，求的长． （3）如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值． 33．（2024•淮安模拟）如图：反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，其中点坐标为． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围； （3）一次函数的图象与轴交于点，点是反比例函数图象上的一个动点，若，求此时点的坐标． 34．（2024•南京模拟）已知二次函数其图象与轴交于，两点在的左侧），且点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）如图1，已知将线段平移至线段（点，的对应点分别为，，使点，都在抛物线上．试判断直线是否将四边形分成面积相等的两部分，请说明理由； （3）如图2，若直线与抛物线交于，两点，求证：的内心在轴上． 35．（2024•连云港二模）（1）【问题发现】 如图1，在中，，，点为的中点，以为一边作正方形，点与点重合，易知，则线段与的数量关系是 　　； （2）【拓展研究】 在（1）的条件下，将正方形绕点旋转至如图2所示的位置，连接，，．请猜想线段和的数量关系，并证明你的结论； （3）【结论运用】 在（1）（2）的条件下，若的面积为8时，当正方形旋转到、、三点共线时，请直接写出线段的长． 36．（2024•溧阳市模拟）如图1，的余切值为2，，点是线段上的一动点（点不与点、重合），以点为顶点的正方形的另两个顶点、都在射线上，且点在点的右侧，联结，并延长，交射线于点． （1）点在运动时，下列的线段和角中，　　是始终保持不变的量（填序号）； ①；②；③；④；⑤；⑥； （2）设正方形的边长为，线段的长为，求与之间的函数关系式，并写出定义域； （3）如果△与△相似，但面积不相等，求此时正方形的边长． 37．（2024•鼓楼区校级模拟）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨，的交点．点为抛物线的顶点，点，在抛物线上，、关于轴对称．分米，点到轴的距离是0.6分米，，两点之间的距离是4分米． （1）求抛物线的表达式； （2）分别延长，交抛物线于点，，求，两点之间的距离； （3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求的值． 38．（2024•徐州模拟）问题提出 （1）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．已知，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易证： 　　（选填“”或“” ，从而可得： 　　（选填“”“ ”或“” ； 问题探究 （2）在题（1）条件下，若，，求正方形的边长； 问题解决 （3）如图2，工人谢师傅现计划在一块如图所示的矩形材料中加工出一块四边形材料，要求加工出的材料中，点，分别在边，上，同时工厂为了能继续利用加工后的剩余材料，要求点落在边上，且满足，已知矩形的边，，若谢师傅加工材料时选择的长度为4，请问的长度是否满足要求，并计算说明． 39．（2024•邗江区校级模拟）如图1，在矩形中，，，点以的速度从点向点运动，点以的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒，是△的外接圆． （1）当时，的半径是 　　，与直线的位置关系是 　　； （2）在点从点向点运动过程中，当与矩形相切时，求的值． （3）连接，交于点，如图2，当时，的值是 　　． 40． （2024•南京三模）解决几何问题时常常通过图形变换构造相似（全等）三角形等，从而快速获得解决问题的途径 （1）如图①，在四边形中，，，连接，写出、与之间的数量关系，并说明理由． （2）如图②，是四边形的对角线，，，，，，求的值． （3）如图③，在等腰中，，点，分别在边，上，，点在内，连接，，，，，若，则的最小值是 　　． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$