专题16 填空题（优选题压轴必刷练40题） -2025年中考数学高频考点专题专项训练（江苏专用）

专题16 填空题（优选题压轴必刷练40题） 试题说明：本部分试题优选江苏省2023-2024年各地区名校真题，模拟题。题目精良，解题技巧性强，涵盖知识点全面，难度主要以难度中上为主，更多以压轴题展现，适合学有余力的同学培优拔尖！题目解析思路清晰，过程完整。预祝2025年中考取得好成绩！ 1．（2024•射阳县校级一模）在比例尺为的盐都旅游地图上，测得大纵湖东晋水城与杨侍生态园的距离约为，则大纵湖东晋水城与杨侍生态园的实际距离约为 　　． 2．（2023•泰兴市二模）如图，将反比例函数的图象绕着坐标原点顺时针旋转，旋转后的图象与轴交于，，若，则　　． 3．（2024•宿迁三模）一种玻璃水杯的截面如图1所示，其左右轮廓线，为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图2若盛有部分水的水杯倾斜（即，水面正好经过点，则此时点到杯口的距离为 　　． 4．（2025•泗洪县一模）如图，正方形的边长为，点在的延长线上，且，动点从点开始，以的速度沿折线做匀速运动，同时动点从点出发，以相同的速度，沿做匀速运动．设点运动的时间为秒，四边形的面积为，若四边形的形状是平行四边形时，则的取值范围是 　　． 5．（2024•宝应县二模）要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，水管长应为 　　米． 6．（2024•玄武区校级模拟）如图，点是△外接圆的圆心，点是△的内心，连接，．若，则的度数为 　　． 7．（2024•连云港）如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点、，则 　　． 8． （2024•无锡）经过点且平行于轴的直线与二次函数的图象交于、两点在的左侧），将图象向右平移个单位长度后，所得的二次函数曲线与轴交于、两点在的左侧），若在轴上存在点使得四边形为菱形，则的值为 　　． 9．（2023•建湖县校级模拟）对于任意实数，，我们定义新运算“”： ，例如．若，是方程的两根，则的值为 　　． 10．（2024•宿城区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，，分别为轴、轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图象恰好过的中点，则点的坐标为 　　． 11．（2024•南通）如图，在△中，，．正方形的边长为，它的顶点，，分别在△的边上，则的长为 　　． 12．（2024•雨花台区模拟）已知，，且，则化简　　． 13．（2022•宜兴市二模）叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式来估算叶面的面积，其中，分别是稻叶的长和宽（如图，是常数，则由图1可知　　1（填“”“ ”或“” ．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图，大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中的值约为 　　（结果保留小数点后两位）． 14．（2024•玄武区校级模拟）如图，、、三点在一条直线上，和均为正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接、，以下结论正确的序号是 　　． ①；②；③；④． 15．（2024•金湖县一模）如图，在矩形中，点在上，且，，，点是线段上的一个动点，将点沿翻折得点，当时，　　． 16．（2024•武进区校级模拟）△和△是相同的两块含的三角板，，，设，如图1，先将△和△的边和重合，再将△绕着点按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中△保持不动，连接．如图2，取的中点，连接，当△的面积最大时，线段为 　　． 17．（2024•海陵区校级三模）已知正方形，为射线上一点（点除外），点为点关于的对称点，若是等腰三角形，则的度数是 　　． 18．（2024•海门区校级模拟）如图，在直角坐标系中，已知点，点为轴正半轴上一动点，连接，以为一边向下作等边，连接，则的最小值为 　　． 19．（2024•盐城三模）如图，在梯形中，，，，，是的中点，是边上一动点，将沿翻折得△，连接，在左侧有一点，使得△为等腰直角三角形，且，连接．则的最小值为 　　． 20．（2024•宿豫区三模）如图，在中，，，点、分别是边、的中点，点是线段上任意一点，将线段绕点按顺时针旋转得到线段，连接，是直线上一个动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，则线段长度的最小值是 　　． 21．（2024•宝应县三模）如图，点在线段上移动（不含点），，，，，若时，则　　． 22．（2024•秦淮区校级模拟）如图，菱形中，，，点是直线上一动点，点在直线上，若，则的最小值是 　　． 23．（2024•宿豫区二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点，，在网格线的交点上，则的值是 　　． 24．（2024•高新区模拟）如图，已知的两条直角边，，将绕着直角边中点旋转，得到，若的锐角顶点恰好落在的斜边上，斜边与交于点，则　　． 25．（2024•梁溪区校级模拟）如图，点的坐标是，点是以为直径的上的一动点，点关于点的对称点为点，则的最小值为 　　． 26．（2024•建邺区校级模拟）已知点为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在处旋转，保持两直角边始终交轴于、两点，为轴上一点，连接，，则四边形面积的最小值为　　． 27．（2024•玄武区校级模拟）定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”． 如图，已知，与之间的距离为2．“等高底” 的“等底” 在直线上，点在直线上，有一边的长是的倍．将绕点按顺时针方向旋转得到△，所在直线交于点，则　　． 28．（2024•淮安）如图，点是正六边形的边的中点，一束光线从点出发，照射到镜面上的点处，经反射后恰好经过顶点．已知正六边形的边长为2，则　　． 29．（2024•涟水县模拟）如图，在边长为8的正方形中，点为正方形的中心，点为边上的动点，连接，作交于点，连接，为的中点，为边上一点，且，连接，，则的最小值为 　　． 30．（2024•锡山区校级一模）如图，在中，，以为边在外作等腰，满足，，是边的中点，连结，作射线交折线段于点，若，，则的长为 　　． 31．（2024•新吴区二模）如图，已知扇形，，，点为弧的中点，是线段上一动点不与点，点重合）．将沿边翻折得到，若点落在扇形的边界上，此时的值为 　　． 32．（2024•海安市二模）如图，已知正方形的对角线、交于，是的中点，线段（点在点的左边）在直线上运动，连结、，若，，则的最小值是 　　． 33．（2024•无锡模拟）如图，将直角沿斜边翻折后点的对应点，点、是线段、上的动点，且，已知，，则线段的最小值为 　　． 34．（2024•玄武区校级模拟）如图，在矩形中，平分，交于点，，交于点，以，为边，作矩形，与相交于点．则下列结论： ①； ②若，，则； ③； ④当是的中点时，． 其中正确的结论是 　　．（填写所有正确结论的序号） 35．（2023•宿城区一模）如图，在矩形中，，，先将△沿翻折到△处，再将△沿翻折到△处，延长交于点，则的长为 　　． 36．（2023•苏州模拟）如图，在矩形中，，，是上一个动点，过点作，垂足为，连接，取中点，连接，则线段的最小值为 　　． 37．（2023•锡山区模拟）如图，已知四边形为矩形，，，点在上且，则　　；若点为平面内一点，且，连接，当时，的值为 　　． 38．（2023•锡山区校级四模）如图，在中，是斜边边上一点，且，分别过点、作、平行于，若，则与之间的最大距离为 　　． 39．（2023•锡山区校级模拟）已知四边形是矩形，，，为边上一动点且不与、重合，连接，如图，过点作交于点． ①若，那么的长 　　； ②将沿翻折，点恰好落在边上，那么的长 　　． 40．（2023•滨湖区二模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，则　　；是二次函数在第四象限内图象上一点，作轴交于，交于点，若是以为腰的等腰三角形，则线段的长为 　　． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 填空题（优选题压轴必刷练40题） 试题说明：本部分试题优选江苏省2023-2024年各地区名校真题，模拟题。题目精良，解题技巧性强，涵盖知识点全面，难度主要以难度中上为主，更多以压轴题展现，适合学有余力的同学培优拔尖！题目解析思路清晰，过程完整。预祝2025年中考取得好成绩！ 1．（2024•射阳县校级一模）在比例尺为的盐都旅游地图上，测得大纵湖东晋水城与杨侍生态园的距离约为，则大纵湖东晋水城与杨侍生态园的实际距离约为 　31　． 【思路点拨】图上距离除以比例尺，算出实际距离，进而把厘米换算成千米即可． 【规范解答】解：大纵湖东晋水城与杨侍生态园的实际距离约为， 故答案为：31． 【考点评析】此题考查有关比例线段的计算；注意厘米换算成千米应缩小100000倍． 2．（2023•泰兴市二模）如图，将反比例函数的图象绕着坐标原点顺时针旋转，旋转后的图象与轴交于，，若，则　　． 【思路点拨】将绕原点逆时针旋转，可得出其在反比例函数图象上的对应点．且．再根据，构造直角三角形，可求出点的坐标，进而解决问题． 【规范解答】解：将绕原点逆时针旋转，则其对应点在函数的图象上． 过点作轴的垂线，垂足为． 由题知，因为，． 所以，则． 在△中， ，且． 所以，． 即． 又点在函数图象上， 所以． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了反比例函数的图象和性质，以及待定系数法求函数表达式． 3．（2024•宿迁三模）一种玻璃水杯的截面如图1所示，其左右轮廓线，为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图2若盛有部分水的水杯倾斜（即，水面正好经过点，则此时点到杯口的距离为 　7　． 【思路点拨】建立合适的坐标系，求出抛物线的解析式，求点坐标，就可求出点到杯口的距离． 【规范解答】解：建立如图所示坐标系，作轴于点， 各点坐标为：，，，． 设， 把点坐标代入解析式得：， 解得， ， ，， ， ， ， 设， ，， ， 即， 解得（舍去），， ， ． 故答案为：7． 【考点评析】本题考查了二次函数的应用，关键是建立合适的坐标系，求出抛物线的解析式． 4．（2025•泗洪县一模）如图，正方形的边长为，点在的延长线上，且，动点从点开始，以的速度沿折线做匀速运动，同时动点从点出发，以相同的速度，沿做匀速运动．设点运动的时间为秒，四边形的面积为，若四边形的形状是平行四边形时，则的取值范围是 　　． 【思路点拨】结合所给的条件，观察图形可知，当点在上运动，同时点在上运动，四边形是平行四边形，由，且，得，则，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：根据题意，当，且时，四边形是平行四边形， ，，且点、点的速度都是， 当点在上运动，同时点在上运动，四边形是平行四边形， ，且， ， 解得， 的取值范围是， 故答案为：． 【考点评析】此题重点考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、动点问题的求解等知识与方法，正确理解与运用平行四边形的判定定理是解题的关键． 5．（2024•宝应县二模）要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，水管长应为 　　米． 【思路点拨】设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【规范解答】解：设抛物线的解析式为， 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，． 水管的长度是． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法是解题的关键． 6．（2024•玄武区校级模拟）如图，点是△外接圆的圆心，点是△的内心，连接，．若，则的度数为 　　． 【思路点拨】连接，由点是△的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【规范解答】解：如图，连接， 点是△的内心， 平分， ， ， 点是△外接圆的圆心， ， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 7．（2024•连云港）如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点、，则 　90　． 【思路点拨】根据半圆的度数为，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出结果． 【规范解答】是圆的直径， 所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为， 、、、所对的弧的和为半圆， ， 故答案为：90． 【考点评析】本题考查圆周角定理，根据半圆的度数为，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 8．（2024•无锡）经过点且平行于轴的直线与二次函数的图象交于、两点在的左侧），将图象向右平移个单位长度后，所得的二次函数曲线与轴交于、两点在的左侧），若在轴上存在点使得四边形为菱形，则的值为 　2　． 【思路点拨】先解方程得到抛物线与轴的交点坐标为，，再利用抛物线的平移得到，接着解方程得，，所以，则根据菱形的性质得到，然后利用两点间的距离公式得到，于是解方程可得到的值． 【规范解答】解：当时，， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，， 抛物线向右平移个单位长度后，所得的二次函数曲线与轴交于、两点在的左侧）， ， 当时，， 解得，， ，， ， 四边形为菱形， ， ， 解得，（舍去）， 即的值为2． 故答案为：2． 【考点评析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了菱形的性质、二次函数的性质和二次函数图象与几何变换． 9．（2023•建湖县校级模拟）对于任意实数，，我们定义新运算“”： ，例如．若，是方程的两根，则的值为 　　． 【思路点拨】根据新定义先将方程化为一元二次方程，由根与系数的关系求得，，再结合分式的加减及完全平方公式代入计算可求解． 【规范解答】解：由题意得即为， 化简得， ，是该方程的两根， ，， ， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，新定义，代数式求值，根据新定义将等式化为一元二次方程是解题的关键． 10．（2024•宿城区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，，分别为轴、轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图象恰好过的中点，则点的坐标为 　，　． 【思路点拨】利用△△，得到点是的中点，利用△△得到，求出的值，设，则，求得，再根据反比例函数系数的几何意义求得，从而求得，，根据三角形面积求得，再根据勾股定理即可求得，从而求得的坐标． 【规范解答】解：如图，连接，交于点， 矩形翻折，使点与原点重合，折痕为， ，， ， ， ， 而， △△ ，即点是的中点， 过点作于点，则是△的中位线， 则△△， 则， 而， 则， 解得， 点是反比例函数上的点， 则， 而， 故， 设，则， 则， 则， 解得，（负值已舍去）， 则，， 连接，作于， ，， 四边形是平行四边形， ， ， △△△， ，，， ， ， ， ， 为，， 故答案为：，． 【考点评析】此题考查了翻折变换，反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定与性质，坐标与图形变换对称，矩形的性质，面积的计算以及勾股定理等，解决本题的关键是综合运用以上知识，难度较大． 11．（2024•南通）如图，在△中，，．正方形的边长为，它的顶点，，分别在△的边上，则的长为 　　． 【思路点拨】过点作于点，证明△是等腰直角三角形，△是等腰直角三角形，证明△△，得，，设，，得，，求出的值，进而可以解决问题． 【规范解答】解：如图，过点作于点， ，， △是等腰直角三角形， ，， ， △是等腰直角三角形， ，， 四边形是正方形， ，， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， 设，， 正方形的边长为， ， ，， ，， 将代入整理得：， 解得， ， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，代入法解二元二次方程，解一元二次方程，解决本题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形． 12．（2024•雨花台区模拟）已知，，且，则化简　　． 【思路点拨】由，，即，，且可知、可看作方程的两不相等的实数根，继而知，，且，，将其代入到原式可得答案． 【规范解答】解：，，即，，且， 、可看作方程的两不相等的实数根， 则，， ，， 则原式 ， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查方程的解、韦达定理、二次根式的化简求值等知识点，根据、满足的等式判断出、可看作方程的两不相等的实数根且，，，是解题的关键． 13．（2022•宜兴市二模）叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式来估算叶面的面积，其中，分别是稻叶的长和宽（如图，是常数，则由图1可知　　1（填“”“ ”或“” ．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图，大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中的值约为 　　（结果保留小数点后两位）． 【思路点拨】根据矩形的面积大于叶的面积，即，可得，再把叶片的尖端可以近似看作等腰三角形，则稻叶可以分为等腰三角形及矩形两部分，再求出的大约值即可． 【规范解答】解：由图1可知，矩形的面积大于叶的面积，即， ， ， 由图2可知，叶片的尖端可以近似看作等腰三角形， 稻叶可以分为等腰三角形及矩形两部分， 矩形的长为，等腰三角形的高为，稻叶的宽为， ， 故答案为：，1.27． 【考点评析】本题主要考查数据的处理及应用，熟练掌握不等式的性质，理清题意，准确找出等量关系时解答此题的关键． 14．（2024•玄武区校级模拟）如图，、、三点在一条直线上，和均为正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接、，以下结论正确的序号是 　①③④　． ①；②；③；④． 【思路点拨】由“”可证，可得，由“”可证，可得，可证是等边三角形，可得，可证；故①正确；由面积法可证，由面积关系可得，故③正确；由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得，由线段的和差关系可证，故④正确，由面积关系可得，故②错误，即可求解． 【规范解答】解：和均为等边三角形， ，，， ，， 即， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ；故①正确； ，， ， ， 如图，过点作于，于， ， ，， ， ， ， ，故③正确； ，，， ， ， ，，， ， ， ， ， ，故④正确； ，， ， 点到的距离点到的距离， ， ，故②错误， 故答案为：①③④． 【考点评析】本题三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 15．（2024•金湖县一模）如图，在矩形中，点在上，且，，，点是线段上的一个动点，将点沿翻折得点，当时，　或7　． 【思路点拨】依据，即可得到点在的垂直平分线上．进而分两种情况：①点在的下方；②点在的上方．设，分别依据勾股定理列方程求解，即可得到的长． 【规范解答】解：， 点在的垂直平分线上． 分两种情况： ①如图所示，点在的下方． 过作，交于，则，，， 中，， ， 中，， ， 设，则， 中，， ， 解得， ； ②如图所示，点在的上方． 过作，交于，则，， 同理可得，， 设，则， 中，， ， 解得， ． 综上所述，的长为或7． 故答案为：或7． 【考点评析】本题主要考查了折叠问题以及矩形的性质的运用，解题的方法是设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 16．（2024•武进区校级模拟）△和△是相同的两块含的三角板，，，设，如图1，先将△和△的边和重合，再将△绕着点按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中△保持不动，连接．如图2，取的中点，连接，当△的面积最大时，线段为 　　． 【思路点拨】根据题意得出，则点在以为直径的圆上，过点作于点，推出当点为中点时，△的面积最大，此时，设，，则，，通过证明△△，求出，再证明△△，得出，求出即可解答． 【规范解答】解：，点为中点，， ， 点在以为直径的圆上， 如图，过点作于点， ，， 当取最大值时，△的面积最大，即当点为中点时，△的面积最大， 此时，，， ，， ， 令和相交于点， 设，，则，， ，， △△， ， 即， 解得， ， ，， △△， ， 即， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查三角形综合应用，直角三角形的性质，解直角三角形的相关内容，涉及旋转变换，与圆有关的计算问题，解题的关键是读懂题意，画出图形，灵活运用旋转的性质． 17．（2024•海陵区校级三模）已知正方形，为射线上一点（点除外），点为点关于的对称点，若是等腰三角形，则的度数是 　或或　． 【思路点拨】依据是等腰三角形，需要分三种情况讨论：①，②，③．分别依据轴对称的性质、等腰三角形的性质以及正方形的性质，即可得到的度数． 【规范解答】解：分三种情况讨论： ①如图所示，当时，， 在正方形中，， ， 又， ， ， 点为点关于的对称点， 垂直平分， ， ，即是等边三角形， ； ②如图所示，当时， 同理可得， 又正方形中，， ， 是等边三角形， ， 又， ， 中，； ③如图所示，当时， 同理可得， 又正方形中，， ， 是等边三角形， ， 又正方形中，， ， 中，； 综上所述，若是等腰三角形，则的度数是或或． 故答案为：或或． 【考点评析】本题主要考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质以及正方形的性质，解决问题的关键是利用分类思想，画出相应的图形，依据轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及正方形的性质进行推理计算． 18．（2024•海门区校级模拟）如图，在直角坐标系中，已知点，点为轴正半轴上一动点，连接，以为一边向下作等边，连接，则的最小值为 　2　． 【思路点拨】以为对称轴作等边，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可求，，则点在上移动，当时，有最小值，即可求解． 【规范解答】解：如图，以为对称轴作等边，延长交轴于， 是等边三角形，是等边三角形， ，，，， ， ， ， ， ，，， ， ，， ，， 点在上移动， 当时，有最小值， 此时，． 故答案为：2． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂线段最短，确定点的运动轨迹是解题的关键． 19．（2024•盐城三模）如图，在梯形中，，，，，是的中点，是边上一动点，将沿翻折得△，连接，在左侧有一点，使得△为等腰直角三角形，且，连接．则的最小值为 　　． 【思路点拨】连接，过作，取，连接，，过作，根据等腰直角三角形的性质得到，，，，推出，得到，得到，，根据折叠的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【规范解答】解：连接，过作，取，连接，，过作， ，， ，， △为等腰直角三角形， ，， ，， ， ， 是的中点，， ，， 将沿翻折得△， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 当、、三点共线时有最小值，最小值为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查翻折变换（折叠的性质），相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确记忆相关知识点是任解题关键． 20．（2024•宿豫区三模）如图，在中，，，点、分别是边、的中点，点是线段上任意一点，将线段绕点按顺时针旋转得到线段，连接，是直线上一个动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，则线段长度的最小值是 　　． 【思路点拨】在中，，，由勾股定理可得，因为点为的中点，可得，是等腰直角三角形；由点为的中点，可得，由勾股定理可得的长；由折叠可知，，；由三角形三边关系可得，所以当最大时，取得最小值． 【规范解答】解：在中，，， ， 点为的中点， ，， 是等腰直角三角形； 连接， 点为的中点， ， 在中，，，， ， 由折叠可知，，， ， 当最大时，取得最小值． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查折叠的性质，等腰直角三角形的性质与判定，三角形的三边关系；将放在三角形中，得出的范围是解题关键． 21．（2024•宝应县三模）如图，点在线段上移动（不含点），，，，，若时，则　3或5　． 【思路点拨】过点作于，设得出，然后用表示，的长，由三角形的面积可得结果． 【规范解答】解：过点作于， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，． 故答案为：3或5． 【考点评析】此题主要是考查了相似三角形，解直角三角形，勾股定理，能够熟练运用相似三角形的性质是解答此题的关键． 22．（2024•秦淮区校级模拟）如图，菱形中，，，点是直线上一动点，点在直线上，若，则的最小值是 　　． 【思路点拨】连接，作的外接圆，连接，，，．利用相似三角形的性质判断出，得出点的运动轨迹，可得结论． 【规范解答】解：连接，作的外接圆，连接，，，． 四边形是菱形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在上运动， ，， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质以及面积法的运用，解决问题的关键是利用相似三角形的对应边成比例得出当最短时，最短． 23．（2024•宿豫区二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点，，在网格线的交点上，则的值是 　　． 【思路点拨】连接并延长交于点，连接，则，，利用勾股定理求解的长，再解直角三角形可求解． 【规范解答】解：连接并延长交于点，连接，则，， ， ， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，圆的概念及性质，构造直角三角形是解题的关键． 24．（2024•高新区模拟）如图，已知的两条直角边，，将绕着直角边中点旋转，得到，若的锐角顶点恰好落在的斜边上，斜边与交于点，则　　． 【思路点拨】连接，根据，可说明，从而求出的长，再利用，得，设，则，，进而得出的值． 【规范解答】解：连接， ，， 由勾股定理得，， 点为的中点， ， 的锐角顶点恰好落在的斜边上， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 设，则，， ， 解得， 经检验，是方程的解， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，证明是解决问题的关键． 25．（2024•梁溪区校级模拟）如图，点的坐标是，点是以为直径的上的一动点，点关于点的对称点为点，则的最小值为 　　． 【思路点拨】根据题意可知点运动的根据是以为圆心，以为半径的圆，设，则点在直线上，可得当直线与相切且在的下方时，的值最小，此时的值最小，设此时直线与轴交于点，与轴交于点，与直线的切点为，则点，，，，然后根据，求出即可． 【规范解答】解：连接，， 点关于点的对称点为点，点是以为直径的上的一动点，， 点运动的根据是以为圆心，以为半径的圆， 设，则点在直线上， 当直线与相切且在的下方时，的值最小，此时的值最小， 设此时直线与轴交于点，与轴交于点，与直线的切点为，则点，，， ， ， ， ， 解得， 的最小值为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了直线与圆的位置关系，轴对称的性质，轨迹等知识，解题的关键是熟练掌握这些基本知识． 26．（2024•建邺区校级模拟）已知点为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在处旋转，保持两直角边始终交轴于、两点，为轴上一点，连接，，则四边形面积的最小值为　6　． 【思路点拨】先求出点的坐标，进而得出，只要最小时，四边形的面积最小，而时，最小，即可得出结论． 【规范解答】解：如图， 取的中点，连接， ， 点为直线上一点， ， ， 过点作于， ，， ， 要四边形的面积最小，即最小， 点，点在轴上， 当轴时，最小，最小值为， ， 故答案为6． 【考点评析】此题主要考查了点的坐标特点，三角形的面积公式，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，判断出最小时，四边形的面积最小． 27．（2024•玄武区校级模拟）定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”． 如图，已知，与之间的距离为2．“等高底” 的“等底” 在直线上，点在直线上，有一边的长是的倍．将绕点按顺时针方向旋转得到△，所在直线交于点，则　或或2　． 【思路点拨】①当时，画出图形分两种情况分别求得或；②当时，画出图形分两种情况讨论，求得． 【规范解答】解：①当时， Ⅰ．如图1，作于，于， “等高底” 的“等底”为，，与之间的距离为2，， ，， ，即， ， 绕点按顺时针方向旋转得到△， ， 设， ， ， ，即， ， ，． Ⅱ．如图4，此时等腰直角三角形， 绕点按顺时针方向旋转得到△， 是等腰直角三角形， ． ②当时， Ⅰ．如图5，此时是等腰直角三角形， 绕点按顺时针方向旋转得到△， ， ； Ⅱ．如图6，作于，则， ， ， 绕点按顺时针方向旋转，得到△时，点在直线上， ，即直线与无交点， 综上所述，的值为或或2． 【考点评析】本题属于几何变换综合题，主要考查了平行线的性质，旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，根据分类讨论的思想进行解答． 28．（2024•淮安）如图，点是正六边形的边的中点，一束光线从点出发，照射到镜面上的点处，经反射后恰好经过顶点．已知正六边形的边长为2，则　　． 【思路点拨】过作，连接，则易证是矩形，所以，再延长、交于点，于点，解△，求出和长度，设参，最后利用△△求参即可得解． 【规范解答】解：如图，延长、交于点，作于点，于点，则， 由反射光线的性质可知， ， 即， ， ， ， 设，则， ， 六边为正六边形， ， ， 是中点， ， 在△中，，， ， 在正六边形中，（含有等腰三角形中，底是腰的倍）， ，， △△， ，即， 解得， ， 连接， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了正六边形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 29．（2024•涟水县模拟）如图，在边长为8的正方形中，点为正方形的中心，点为边上的动点，连接，作交于点，连接，为的中点，为边上一点，且，连接，，则的最小值为 　　． 【思路点拨】如图，连接，，由题意知，，，，由，得，，证明，则，是等腰直角三角形，由是中点，则，，，如图，过作于，过作于，由，可知，，，四点共圆，由，可得，进而可得在线段上运动，如图，延长，作点关于对称的点，过作于，连接交于，连接，由题意知，，且，可知当，，三点共线时，值最小，在△中，由勾股定理得，，计算求解的值即可． 【规范解答】解：如图，连接，， 由题意知，，，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， 是中点， ， ，， 如图，过作于，过作于， ， ， ，，，四点共圆， ， ， 在线段上运动， 如图，延长，作点关于对称的点，过作于，连接交于，连接， 由题意知，， ， ，，三点共线时，值最小， ， 在△中，由勾股定理得，， 的最小值为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆的内接四边形，对称的性质，等腰三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识．解题的关键在于确定点的运动轨迹． 30．（2024•锡山区校级一模）如图，在中，，以为边在外作等腰，满足，，是边的中点，连结，作射线交折线段于点，若，，则的长为 　或　． 【思路点拨】分在和上两种情况：①当在上，分别延长，，并交于点，根据全等三角形的判定与性质，可得，根据相似三角形的判定与性质，，，设，根据，，列分式方程，然后整理得一元二次方程，求解即可得结论；②当在上时，连接，根据全等三角形的判定与性质，可得，设，根据，，根据勾股定理列出一元二次方程，求解即可得结论． 【规范解答】解：分在和上两种情况： ①当在上，分别延长，，并交于点，如图， ，是边的中点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ，， 设， ，， ，， ，， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，时，， 是原方程的解； ②当在上时，连接，如图， 设， ，是边的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）， 综上所述：的长为：或． 故答案为：或． 【考点评析】本题属于代数几何综合题，是中考填空题的压轴题，考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，矩形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，分式方程，一元二次方程，勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握以上知识并综合运用． 31．（2024•新吴区二模）如图，已知扇形，，，点为弧的中点，是线段上一动点不与点，点重合）．将沿边翻折得到，若点落在扇形的边界上，此时的值为 　或　． 【思路点拨】分三种情况讨论：①当点落在半径上，点与点关于点对称，从而可以得到，由点为弧的中点，，，可以求得的长；②当点落在半径上，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，连接，，，画出相应的图形，可以求出的长，可得的坐标和直线的解析式，得，，求出点的坐标，从而得到的长；③当落在上时，与重合，与重合，不符合题意． 【规范解答】解：分三种情况： ①当点落在半径上时，连接，如图， 则， ，点为弧的中点，的半径为2， ，， ； ②当点落在半径上时，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，连接，，，如图， 由已知可得：， 过点作于点， 同在上可知此时，，，， ， ， 点的横坐标为：，点的纵坐标为：， ，， 设直线的解析式为，过点，，， ， 解得， 直线的解析式为， 令直线与轴交于点， 当时，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ； ③当落在上时， 此时与重合，与重合，不符合题意． 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【考点评析】本题考查扇形中的翻折问题，解直角三角形，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握翻折的性质，分类讨论解决问题． 32．（2024•海安市二模）如图，已知正方形的对角线、交于，是的中点，线段（点在点的左边）在直线上运动，连结、，若，，则的最小值是 　　． 【思路点拨】取的中点，连接，，，且交于点，证明四边形为平行四边形，得出，由正方形的性质得出，则可得出，由勾股定理求出的长，则可得出答案． 【规范解答】解：正方形中，， ， ， 取的中点，连接，，，且交于点， 为的中点， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形是正方形， ，关于对称， ， ， 即与重合时，最小，最小值为的长， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 【考点评析】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，两点之间线段最短，勾股定理，能够将两线段和的最小值用一条线段的长表示是解题的关键． 33．（2024•无锡模拟）如图，将直角沿斜边翻折后点的对应点，点、是线段、上的动点，且，已知，，则线段的最小值为 　　． 【思路点拨】在上截取，连接，作与，作于，设，表示出，，，进而表示出，，，进而表示出，根据二次函数的最值，从而求得结果． 【规范解答】解：如图， 在上截取，连接，作与，作于， 设， ， ， ， ，， ， 在中，，， ，， ， 在中，， ， 当时，最小， 此时，，， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了解直角三角形，二次函数的最值等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造二次函数解析式． 34．（2024•玄武区校级模拟）如图，在矩形中，平分，交于点，，交于点，以，为边，作矩形，与相交于点．则下列结论： ①； ②若，，则； ③； ④当是的中点时，． 其中正确的结论是 　①②④　．（填写所有正确结论的序号） 【思路点拨】①根据矩形的性质证明是等腰直角三角形，进而可以判断； ②首先证明，证明，可得，可得四边形是正方形，所以，进而可以判断； ③根据勾股定理可得，根据，，即可判断； ④设，则，可得，所以，根据勾股定理可得，所以得，进而可以判断． 【规范解答】解：①在矩形中，，， 平分， ， 是等腰直角三角形， ， ；故①正确； ②，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ， ， ， ；故②正确； ③若，， ， ， ， ，， ；故③错误； ④当是的中点时， 设，则， ， ， ， ， ， ．故④正确． 综上所述：①②④． 故答案为：①②④． 【考点评析】本题属于中考填空题的压轴题，考查了正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到． 35．（2023•宿城区一模）如图，在矩形中，，，先将△沿翻折到△处，再将△沿翻折到△处，延长交于点，则的长为 　　． 【思路点拨】过点作的延长线于点，设与交于点，根据矩形性质和翻折性质，设，，利用勾股定理求出的值，证明△△，求出，然后证明△△，得，再由△△，得，求出，，证明△△，对应边成比例即可求出的长． 【规范解答】解：如图，过点作的延长线于点，设与交于点， 四边形是矩形， ，，， ， 由翻折可知：， ， ， 由翻折可知：，， ， ， 设， ， 在△中，根据勾股定理得： ， ， ， ， ， ，， △△， ， ， ， ，， ，，， △△， ， ，， ， △△， ， ， ，， ， ， ， △△， ， ， ． 故答案为：． 【考点评析】本题是相似形的综合题，难度大，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是作出辅助线构造相似三角形． 36．（2023•苏州模拟）如图，在矩形中，，，是上一个动点，过点作，垂足为，连接，取中点，连接，则线段的最小值为 　　． 【思路点拨】取的中点，连接，作于，作于，设，分别表示出，，，，进而表示出和，进而表示出，进一步得出结果． 【规范解答】解：如图， 取的中点，连接，作于，作于，设， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， ，， 是的中点， ，， ，， 在中， ， 当时，的最小值为， 故答案为：． 延长至，使，连接，， ， ，， ， 是的中点， ， 当时，最小，此时， 的最小值为：， 故答案为：． 【考点评析】本题方法一运用了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，二次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形．本题方法二运用了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的中位线定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形的中位线． 37．（2023•锡山区模拟）如图，已知四边形为矩形，，，点在上且，则　5　；若点为平面内一点，且，连接，当时，的值为 　　． 【思路点拨】设，由，可得，可解得的长是5；过作于，交于，分两种情况：当在左侧时，设，则，证明，可得，求出的值，再用勾股定理可得答案；当在右侧时，同理可得答案． 【规范解答】解：四边形为矩形，，， ， 设，则， ， ， 解得：， 的长是5； 过作于，交于， 当在左侧时，如图： ， ， 设，则， 四边形为矩形，， 四边形是矩形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， ，， ； 当在右侧时，如图： 设，则， 同理可得，，， ， ， ， 解得或（舍去）， ， 综上所述，为或． 故答案为：5；或． 【考点评析】本题属于四边形的综合题，考查矩形的性质及应用，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题． 38．（2023•锡山区校级四模）如图，在中，是斜边边上一点，且，分别过点、作、平行于，若，则与之间的最大距离为 　9　． 【思路点拨】方法一：当点在的左侧时，以为直径作圆，延长交于点，过点作于点，取的中点，根据平行线分线段定理可得，根据，是的中点，可得，设与之间的距离为，则，进而可以解决问题； 当点在的右侧时，过点作于点，延长交于点，证明，可得，由，设，，，，可得，，过点作于点，证明，可得，由，，，，整理得，因为二次函数开口向下，当对称轴时，取最大值，反映的是在正上方的左边，显然也是可以的线段虽然不能为负，你要理解实际意义，所以时，取得最大值为9，所以，进而可以解决问题． 方法二：延长交于点，根据，可得，所以定边定角隐圆，过点，作垂直，，垂足分别为，，距离最大就是最大，也就是最大，根据相似求出，，即可得． 【规范解答】解：方法一：如图，当点在的左侧时，以为直径作圆，延长交于点，过点作于点，取的中点，连接， ，，， ， ， ，是的中点， ， 设与之间的距离为， 则， 则与之间的最大距离为9； 如图，当点在的右侧时，过点作于点，延长交于点， ， ， ， ， 设，，， ，， 过点作于点， ， ， 得矩形， ， ， 在中，根据勾股定理，得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，，， ， ， ， 因为二次函数开口向下，当对称轴时，取最大值是9， 反映的是在正上方的左边， 时，取得最大值为9， ， ， 与之间的最大距离为9． 方法二：如图，延长交于点， ，，， ， ， ， 定边定角隐圆，过点，作垂直，，垂足分别为，， 距离最大就是最大，也就是最大， 所以此时， ， ． 故答案为：9． 【考点评析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，平行线之间的距离，勾股定理， 39．（2023•锡山区校级模拟）已知四边形是矩形，，，为边上一动点且不与、重合，连接，如图，过点作交于点． ①若，那么的长 　　； ②将沿翻折，点恰好落在边上，那么的长 　　． 【思路点拨】①求出，证明，得出，即可得出结果； ②过点作于，则四边形是矩形，得出，，由折叠的性质得出，，，证明△△，得出，则，由，得出，则，得出，设，则，，，则，，求出，，由，即可得出结果； 【规范解答】解：①， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：； 故答案为：； ②过点作于，如图所示： 则四边形是矩形， ，， 由折叠的性质得：，，， ， ， ， ， △△， ， ， ， ， ， ， 设，则，，， ，， ，， ， 解得：或， 或． 故答案为：2或． 【考点评析】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质、三角形面积的计算等知识，综合性强、涉及面广，难度大，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 40．（2023•滨湖区二模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，则　90　；是二次函数在第四象限内图象上一点，作轴交于，交于点，若是以为腰的等腰三角形，则线段的长为 　　． 【思路点拨】由可得，，，即得，，，故，从而；当时，过作轴于，设交轴于，可证，即得，，有，由，得，求出，故；当时，过作轴于，可证，得，，，，求出，由，可得，求得，故． 【规范解答】解：在中，令得，令得或， ，，， ，，， ， ； 当时，过作轴于，设交轴于，如图： ， 轴， ， ， ， ，， ， ，， ， ，， ， ，即， ， ； 当时，过作轴于，如图： ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ，， ， ，， ， 即， ， ， 线段的长为或． 故答案为：90，或． 【考点评析】本题考查二次函数综合应用，涉及函数图象上点坐标的特征，等腰三角形性质及应用，相似三角形判定及性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形判定定理 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$