专题15 选择题（优选题压轴必刷练40题） -2025年中考数学高频考点专题专项训练（江苏专用）

专题15 选择题（优选题压轴必刷练40题） 试题说明：本部分试题优选江苏省2023-2024年各地区名校真题，模拟题。题目精良，解题技巧性强，涵盖知识点全面，难度主要以难度中上为主，更多以压轴题展现，适合学有余力的同学培优拔尖！题目解析思路清晰，过程完整。预祝2025年中考取得好成绩！ 1．（2023·江苏南京·模拟预测）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏南通·模拟预测）某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数换算为人的质量，已知随着的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3．则下列说法不正确的是（   ）． A．在一定范围内，越大，越小 B．当时，的阻值为 C．当踏板上人的质量为时， D．若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是 3．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点(点不与点重合)，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏南京·模拟预测）已知点，，在下列某一函数图像上．且那么这个函数是（　　） A． B． C． D． 5．（2024·江苏南通·模拟预测）如图，在边长为1的正方形中，E为边上一点，连接，将沿对折，A点恰好落在对角线上的点F处．延长，与边交于点G，延长，与的延长线交于点H，则下列说法：①为等腰直角三角形；②≌；③；④；⑤．其中正确的说法有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024·江苏无锡·一模）如图，在中，．分别为上的动点，且，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 7．（2024·江苏连云港·二模）如图，已知矩形纸片，其中，，现将纸片进行如下操作： 第一步，如图①将纸片对折，使与重合，折痕为，展开后如图②； 第二步，再将图②中的纸片沿对角线折叠，展开后如图③； 第三步，将图③中的纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在对角线上的点H处，如图④． 则的长为（    ）    A． B． C． D．3 8．（2024·江苏无锡·一模）如图，在菱形中，已知，点在的延长线上，点在的延长线上，，则以下结论：①；②与相似；③当时，则；④当时，．其中正确的是（    ） A． ①③ B．②③ C．①④ D．①③④ 9．（2024·江苏徐州·二模）如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线、，它们交于点．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，若的长为2，则面积的最小值是（    ） A．4 B．8 C． D． 10．（2024·江苏南通·二模）如图1，等腰中，，，点D从点B出发，沿方向运动，于点E，的面积随着点D的运动形成的函数图象（拐点左右两段都是抛物线的一部分）如图2所示，以下判断正确的是（    ） A．函数图象上点的横坐标表示的长 B．当点D为的中点时，点E为线段的三等分点 C．两段抛物线的开口大小不一样 D．图象上点的横坐标为3时，纵坐标为 11．（2024·江苏泰州·二模）如图，矩形中，，，点F在上，且，E是边上的一动点，M、N分别是、上的点，，，则在点E从B向C运动的过程中，线段所扫过的图形面积是（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 12．（2024·江苏无锡·三模）如图，在四边形中，，对角线、交于点O，且．若，则的最小值为（    ） A．16 B．4 C．9 D．2 13．（2024·江苏苏州·二模）如图，已知正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，得到正方形，连结并延长交于点，设正方形的面积为，正方形的面积为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．（2024·江苏苏州·一模）如图，矩形中，，与边、对角线均相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为（   ） A．6 B．7 C． D． 15．（2024·江苏常州·二模）如图，在中，，，．将绕点A顺时针旋转得到，边上的一点P旋转后的对应点为Q，连接，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 16．（2024·江苏南京·二模）如图，O是正六边形的中心，图中可以通过一次旋转与重合的三角形（自身除外）的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 17．（2024·江苏无锡·二模）在菱形中，，E是对角线上的一个三等分点，点D关于的对称点为，射线与菱形的边交于点F，则的长为（     ） A． B．或 C．或 D．或 18．（2024·江苏无锡·二模）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“方内点”． 对于下列四个结论： ①点是一次函数图象的“2方内点”； ②函数图象上不存在“2方内点”； ③若直线的“方内点”有两个，则； ④当函数的“方内点”恰有3个时，符合条件的的值也有3个．其中正确的序号为（    ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 19．（2024·江苏扬州·三模）如图，正方形中，为的中点，于延长交于点延长交于点于，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 20．（2024·江苏宿迁·模拟预测）二次函数图象如图，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若，且，．其中正确的序号是（    ） A．①②⑤ B．①②③ C．②④⑤ D．②③⑤ 21．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，为坐标原点，的两个顶点，，点在边上，，点为的中点，点为边上的动点，则使四边形周长最小的点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 22．（2024·江苏无锡·中考真题）已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论： ①是函数的“1级关联范围”； ②不是函数的“2级关联范围”； ③函数总存在“3级关联范围”； ④函数不存在“4级关联范围”． 其中正确的为（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 23．（2024·江苏淮安·模拟预测）小明同学利用计算机软件绘制了某一函数的图象，如图所示．由学习函数的经验，可以推断这个函数可能是（    ） A． B． C． D． 24．（2024·江苏·模拟预测）如图，正方形的顶点在函数的图象上，已知点的坐标为，点的横坐标为，则的值为（　　） A． B． C． D． 25．（2024·江苏泰州·模拟预测）如图所示，在矩形中，F是上一点，平分交于点E，且，垂足为点M，，，则的长是（    ） A． B． C．1 D． 26．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，边长为的正方形中，交于点，正方形绕着点旋转，直线与直线交于点，当时， 的值是（　　） A． B． C． D． 27．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 B． 28．（22-23九年级上·无锡·期中）如图，在正方形中，点E是上一点（不与C，D两点重合），连接，过点C作于点F，交对角线于点G，交边于点H，连接．下列结论①；②；③当E是的中点时，；④当时，；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．（2023·江苏无锡·一模）定义：在平面直角坐标系xOy中，若某函数的图象上存在点，满足，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”．例如：时，点即为函数的“2倍点”． ①点是函数的“1倍点”； ②若函数存在唯一的“3倍点”，则b的值为； ③若函数的“m倍点”在以点为圆心，2m为半径的圆内，则m为大于1的所有整数． 上述说法正确的有（        ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 30．（2023·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点A，与轴相交于点，四边形是平行四边形，直线经过点，且与轴相交于点与相交于点，记四边形，的面积分别为，则等于（    ）    A． B． C． D． 31．（2023·江苏无锡·二模）如图，正方形中，，E，F分别是边上的动点，，连接DE，CF交于点P，过点P作，且，在下列结论中：①；②；③在运动过程中，线段最小值为；④当的度数最大时，的长为，其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．（2023·江苏镇江·三模）如图，在中，，分别以为边向上作正方形，正方形，正方形，连结经过点，连结分别交于点，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 33．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（   ）    A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为 34．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是（   ）    A． B． C． D．2 35．（2018·江苏扬州·一模）如图，中，，的角平分线和的外角平分线相交于点．过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 36．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与坐标轴分别交于A，B两点，点C在x轴正半轴上，且．点P为线段（不含端点）上一动点，将线段绕点O顺时针旋转得线段，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 37．（2024·安徽·二模）如图，中，是边的中点，过点作分别交于点（不与重合），取中点，连接并延长交于点，连接．随着点位置的变化，下列结论中错误的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的周长有最小值为 D．四边形的面积有最小值为9 38．（2024·江苏无锡·一模）如图，直线与x轴、y轴交于点A、C，点B的坐标为，连接，，P是线段上一动点，连接，作的垂线交线段于点D，以、为边作矩形，连接，与交于点F．下列结论：①；②点P在移动过程中，；③当时，；④当线段的长度取得最小值时，点P的坐标为．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 39．（2024·江苏无锡·三模）如图，是的直径，是的弦，且与交于点，过分别作垂线，垂足记作和．现有下列结论：若，，则的最小值为3；若，，则；若，，则的最大值为；若，，为定值．其中正确的为（    ）． A． B． C． D． 40．（2023·江苏南通·二模）如图，在中，，，，为的中点，是边上一个动点，连接，过点作，交边于点．设的长为，的面积为，，则与的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 选择题（优选题压轴必刷练40题） 试题说明：本部分试题优选江苏省2023-2024年各地区名校真题，模拟题。题目精良，解题技巧性强，涵盖知识点全面，难度主要以难度中上为主，更多以压轴题展现，适合学有余力的同学培优拔尖！题目解析思路清晰，过程完整。预祝2025年中考取得好成绩！ 1．（2023·江苏南京·模拟预测）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为天，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【规范解答】解：设规定时间为天， 由题意得，， 故选：． 2．（2023·江苏南通·模拟预测）某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数换算为人的质量，已知随着的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3．则下列说法不正确的是（   ）． A．在一定范围内，越大，越小 B．当时，的阻值为 C．当踏板上人的质量为时， D．若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是 【答案】C 【思路点拨】本题考查了函数与图象，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象获取信息．根据所给函数图象，可判断A、B选项；根据函数关系式和函数图象，分别求出质量为和时的阻值，可判断C选项；根据函数图象和一次函数的增减性，可判断D选项． 【规范解答】解：A、由图2可知，在一定范围内，越大，越小，原说法正确，不符合题意； B、由图2可知，当时，的阻值为，原说法正确，不符合题意； C、由图3关系式可知，当踏板上人的质量为时，，由图2可知，时，，原说法错误，符合题意； D、当电压表量程为时，由图2可知，当，阻值最小为， 由可知，随着的增大而减小，则当时，有最大值， ，解得：，即该电子体重秤可称的最大质量是，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 3．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点(点不与点重合)，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查正多边形和圆、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键； 根据正多边形的边数求出圆心角的度数．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【规范解答】解：连接，， 为正五边形， ， ； 故选：B 4．（2024·江苏南京·模拟预测）已知点，，在下列某一函数图像上．且那么这个函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，利用函数的增减性逐一判断，即可求解；掌握一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质是解题的关键. 【规范解答】解：A.在上时，，故不符合题意； B.在上时，，故不符合题意； C.在上时，，故不符合题意； D.在上时，，故符合题意； 故选：D． 5．（2024·江苏南通·模拟预测）如图，在边长为1的正方形中，E为边上一点，连接，将沿对折，A点恰好落在对角线上的点F处．延长，与边交于点G，延长，与的延长线交于点H，则下列说法：①为等腰直角三角形；②≌；③；④；⑤．其中正确的说法有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路点拨】①根据对称及正方形的性质即可判断；②可证，为公共边，根据可证明三角形全等；③可证，可判断③错误；④可证，有，可求出，进而求出的长，即可判断；⑤过作于，另交于点，可证≌，而，，则可判断． 【规范解答】解：①∵四边形为正方形，为对角线， ∴， ∵翻折之后为， ∴≌， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， 故①正确； ②∵为等腰直角三角形，为正方形的对角线，    ∴， ∵、关于对称， ∴ 在和中， ∴≌ 故②正确； ③∵、关于对称， ∴， 又∵， ∴， 故③错误； ④∵，与对称， ∴，， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴ 有， ∴， ∴， 故④正确； ⑤过作于，设交于点，    ∵， ∴， ∴，， 在中，， ， 在和中， ∴≌， ∴， 而，， ∴． 故⑤正确． 正确的说法有①②④⑤， 故选D． 【考点评析】本题主要考查了正方形的性质，对称的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，找到相应线段和角度的相等，并证明相应三角形全等是求解的关键． 6．（2024·江苏无锡·一模）如图，在中，．分别为上的动点，且，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形的三边关系、勾股定理，过点B作，且，作于点，交的延长线于点，证得，推出，可得，求出即可求解，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 【规范解答】解：过点B作，且，作于点，交的延长线于点，如图： , , 在和中， ， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 设， ， ， 解得：， ，， ， ， ， 的最小值， 故选B． 7．（2024·江苏连云港·二模）如图，已知矩形纸片，其中，，现将纸片进行如下操作： 第一步，如图①将纸片对折，使与重合，折痕为，展开后如图②； 第二步，再将图②中的纸片沿对角线折叠，展开后如图③； 第三步，将图③中的纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在对角线上的点H处，如图④． 则的长为（    ）    A． B． C． D．3 【答案】A 【思路点拨】过点M作于点G，根据勾股定理求得，由折叠可知，，，进而得出，，利用等角的余角相等可得，则，于是可得，由等腰三角形的性质可得，易证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【规范解答】如图，过点M作于点G，    ∵四边形为矩形，， ∴，， 在中，， 根据折叠的性质可得，，，，， ∴， ∴为等腰三角形，， ∵，， ∴， ∴为等腰三角形，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A． 【考点评析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，根据矩形和折叠的性质推理论证出，以此得出点M为的中点是解题关键． 8．（2024·江苏无锡·一模）如图，在菱形中，已知，点在的延长线上，点在的延长线上，，则以下结论：①；②与相似；③当时，则；④当时，．其中正确的是（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④ 【答案】A 【思路点拨】利用证明，得，，可知①正确；根据是等边三角形，再利用角的和差关系，由，，得与不相似，可知②错误；过点作于，过点作于点，利用含的直角三角形的性质及勾股定理，分别表示出，作比即可判断③④，从而得到答案． 【规范解答】解：如图所示： 四边形是菱形， ，， ， ，是等边三角形， ， ， ， 在与中， ， ， ，，故①正确； ，， 是等边三角形， ， ， ， 在菱形中，已知，则， ， ， 与不相似，故②错误； 过点作于，过点作于点， ，， ， 设菱形的边， 在中，，，则， ，，则； 在中，，则，， ，则； 过点作于，如图所示： 是等边三角形， ， 在中，，，则， ，，则； ， ，， ， 在中，，，则， ， ，则； ；；故③正确，④错误； 综上所述，正确的是①③， 故选：A． 【考点评析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，特殊的直角三角形的性质等知识．综合性较强，熟练掌握各定理是解题的关键． 9．（2024·江苏徐州·二模）如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线、，它们交于点．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，若的长为2，则面积的最小值是（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 先证明，则，推出，由题意知，E在以A为圆心，2为半径的圆上运动，如图，当在下方且与相切时，线段最短，面积的最小；再证明四边形是正方形，则，由勾股定理得，，则，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【规范解答】解：∵和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图：由题意知，E在以A为圆心，2为半径的圆上运动， ∵， ∴当在下方且与相切时，点M到距离最小，面积的最小 ∵， ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴． 故选：A． 10．（2024·江苏南通·二模）如图1，等腰中，，，点D从点B出发，沿方向运动，于点E，的面积随着点D的运动形成的函数图象（拐点左右两段都是抛物线的一部分）如图2所示，以下判断正确的是（    ） A．函数图象上点的横坐标表示的长 B．当点D为的中点时，点E为线段的三等分点 C．两段抛物线的开口大小不一样 D．图象上点的横坐标为3时，纵坐标为 【答案】D 【思路点拨】第二个图形中点在两段函数中，是关键点．结合第一个图形，可得此时点D移动到点C，E在AB的中点，那么．．可得．判断A选项；作于点H．可得，根据相似三角形的判定与性质可得E为的四等分点，从而判断B选项；分为当D在上时及当D在上时，两种情况分别求出函数解析式，从而判断C选项；把代入当D在上时的函数解析式中可求得面积的值，判断出D选项． 【规范解答】解：∵点在两段函数中，即点D与点C重合时． ∵等腰中，，，， ∴． ∴． ∴． ∴点横轴表示的长，故A错误； 如图，作于点H． 又∵是等腰三角形， ∴． ∵， ∴． ， ∵D为中点， ， ∴． ∴． ∴点E为线段的四等分点，故B错误； 当D在上时，为x，则， ∴， 当D在上时，为x，则， ∴． ∵两个二次函数的二次项的比例系数的绝对值相等， ∴两段抛物线的开口大小一样，故C错误； 当时，点D在上， ∴，故D正确． 故选D 【考点评析】本题考查动点问题的函数图象．得到拐点在图形中表示的意义是解决本题的关键．用到的知识点为：若两个二次函数中二次项的比例系数的绝对值相等，则两个二次函数的形状相同． 11．（2024·江苏泰州·二模）如图，矩形中，，，点F在上，且，E是边上的一动点，M、N分别是、上的点，，，则在点E从B向C运动的过程中，线段所扫过的图形面积是（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【思路点拨】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质知识，分情况进行讨论，当E与或当E与重合时找到的位置，结合图象即可判断扫过区域的形状并求出面积，解题的关键是作出正确的图形． 【规范解答】解：如图所示：连接，当点E与点重合时，，， 当点E与点重合时，，， ，，， ， ， 四边形为平行四边形， 扫过的区域为平行四边形， 同上理可得，， ，和的距离为， 线段所扫过的图形面积是， 故选：A． 12．（2024·江苏无锡·三模）如图，在四边形中，，对角线、交于点O，且．若，则的最小值为（    ） A．16 B．4 C．9 D．2 【答案】D 【思路点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线将条件集中在同一个三角形中求解． 作交的延长线于，作于，设，表示出，解斜三角形，进而求得结果． 【规范解答】解：如图，作交的延长线于，作于， ∵， ， ∵， 四边形是平行四边形， ，， ， 设，则， 在中，，， ，， ， 在中， ， 当时，，即 ． 故选：D． 13．（2024·江苏苏州·二模）如图，已知正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，得到正方形，连结并延长交于点，设正方形的面积为，正方形的面积为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】用代数分别表示全等直角三角形两直角边的长及正方形面积，再根据全等三角形性质推理求得全等直角三角形两直角边的长，利用垂直平分线的判定证明后可得，最后利用相似三角形性质即可求解． 【规范解答】解：设全等直角三角形长直角边为，短直角边为，，， ，， 依题得：， ， ， ，， ，， ，， 在线段的垂直平分线上， 在线段的垂直平分线上， 即是的垂直平分线， ， 正方形中，， ， ， ， ， ，， ． 故选：． 【考点评析】本题考查的知识点是正方形的性质、垂直平分线的判定、全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练 掌握相似三角形的判定与性质． 14．（2024·江苏苏州·一模）如图，矩形中，，与边、对角线均相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为（   ） A．6 B．7 C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了矩形的判定与性质、切线的性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和判定，作出合适的辅助线是解题的关键．设与、分别相切于点G、H，连接、、、，连接并延长交于E，过点E作于F，过点O作于K，设，则，可证得，得出，即，求得，再运用勾股定理可得，故当时，． 【规范解答】设与、分别相切于点G、H，连接、、、，连接并延长交于E，过点E作于F，过点O作于K，如图， 则，， ，，， 平分， ， 四边形是矩形， ，，， ，， 平分，，， ， ， ， ， ， 设，则， ，， ， ，即， ， ，， ， 设的半径为r，则， ，， ， ，即， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 是的切线， ， ， 当时，． 故选：D． 15．（2024·江苏常州·二模）如图，在中，，，．将绕点A顺时针旋转得到，边上的一点P旋转后的对应点为Q，连接，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是旋转的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，化为最简二次根式，作出适当的辅助线是解本题的关键． 如图，作关于直线的对称点，连接，过作于，由，当三点共线时，最小，再进一步利用勾股定理可得答案． 【规范解答】解：如图，作关于直线的对称点，连接，过作于， ∴，共线，， 由旋转可得：，， ∴， 当三点共线时，最小， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ∴的最小值是； 故选B 16．（2024·江苏南京·二模）如图，O是正六边形的中心，图中可以通过一次旋转与重合的三角形（自身除外）的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【思路点拨】本题考查旋转的性质，正多边形和圆，理解旋转的性质是正确解答的关键．根据旋转的定义逐项进行判断即可． 【规范解答】解：将，即将①绕着点逆时针旋转到与重合时，就与重合； 将，即将②绕着点顺时针旋转到与重合时，就与重合； 将，即将③绕着的中点，逆时针旋转与重合； 将，即将④绕着点顺时针旋转到与重合时，就与重合； 将，即将⑤绕着点逆时针旋转到与重合时，就与重合； 即图中①，②，③，④，⑤可以通过1次旋转与重合， 故选：D． 17．（2024·江苏无锡·二模）在菱形中，，E是对角线上的一个三等分点，点D关于的对称点为，射线与菱形的边交于点F，则的长为（     ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【思路点拨】根据E是上的一个三等分点，可分成两种情况求解，先根据对称性得到边长，然后根据三角形相似以及直角三角形的勾股定理可求得结果． 【规范解答】解：连接交于点，如图， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， 分两种情况：①当时，如图，连接与交点， 由对称性可知，， ， ， 设，则，即， 在中，， 即， 解得：(舍去)，， ， ， ， ， ， ∴． ②当时，连接， 由对称性可知，， 过点作于点，如图， ， ， ， 设，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：(舍)，， ∴， 即， 综上，的长为或． 故选：B． 【考点评析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，解题的关键是证明相似三角形解决问题． 18．（2024·江苏无锡·二模）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“方内点”． 对于下列四个结论： ①点是一次函数图象的“2方内点”； ②函数图象上不存在“2方内点”； ③若直线的“方内点”有两个，则； ④当函数的“方内点”恰有3个时，符合条件的的值也有3个．其中正确的序号为（    ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【思路点拨】本题为新定义题型，考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，函数图象上点的坐标特征．根据“a方内点”的定义，逐一判断即可． 【规范解答】解：①点到x轴距离为2，到y轴的距离等于1，不大于2， 故是一次函数图像的“2方内点”；故①正确； ②当时，，则点到y轴的距离为2，到x轴的距离为，不大于2，即点是函数图像上的“2方内点”；故②错误； ③若直线的“方内点”有两个， 由题意知，函数图象的“方内点”是指函数图象上点落在以原点为中心，边长为1且相邻两边分别与x轴、y轴平行的正方形边上， 如图，当时，，即直线过定点， 当时，直线与有无数个“方内点”， 对于直线，把点代入中，， 解得：， 当时，直线与正方形的边有两个交点，表明有两个“方内点”，故③正确； ④抛物线的“方内点”是函数图象上落在以原点为中心，边长为且相邻两边分别平行于x轴与y轴的正方形上的点，如下图； 当抛物线顶点在直线上时，抛物线恰有三个“方内点”， 此时：，解得：（舍去）； 当抛物线经过点时，抛物线恰有三个“方内点”， 此时，整理得：， 解得：（舍去）； 当抛物线经过点时，抛物线恰有三个“方内点”， 此时，整理得：， 解得：（舍去）； 综上，a的值恰有三个，分别为， 故④正确； 故正确的有①③④， 故选：C． 19．（2024·江苏扬州·三模）如图，正方形中，为的中点，于延长交于点延长交于点于，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【思路点拨】根据题意可证即可判定①；如图所示，过点作于点，，交延长线于点，可证四边形是矩形，再证，可得四边形是正方形，由正方形的性质可判定②；如图所示，过点作于点，于点，可得四边形是正方形，，再证，由此即可判定③；设，运用相似三角形的判定和性质可得，由此可判定④；由此即可求解． 【规范解答】解：①， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴，故①正确； ②， 如图所示，过点作于点，，交延长线于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由①得，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，故②正确； ③， 如图所示，过点作于点，于点， 同理可得，四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④， 根据③中图示可得，， 设，，则， ∵， ∴， ∴, 根据勾股定理可得，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，即，故④错误； 综上所述，正确的有：①②③， 故选：． 【考点评析】本题主要考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质的综合运用是解题的关键． 20．（2024·江苏宿迁·模拟预测）二次函数图象如图，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若，且，．其中正确的序号是（    ） A．①②⑤ B．①②③ C．②④⑤ D．②③⑤ 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时（即，对称轴在轴左侧；当与异号时（即，对称轴在轴右侧；常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于；根据抛物线开口方向得，由抛物线对称轴为直线，得到，即，由抛物线与轴的交点位置得到，所以；根据二次函数的性质得当时，函数有最大值，则当时，，即；根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在的右侧，则当时，，所以；把先移项，再分解因式得到，而，则，即，然后把代入计算得到． 【规范解答】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ，即，所以②正确； 抛物线与轴的交点在轴上方， ， ，所以①错误； 抛物线对称轴为直线， 函数的最大值为， 当时，，即，所以③正确； 抛物线与轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在的右侧 当时，， ，所以④错误； ， ， ， ， 而， ，即， ， ，所以⑤正确． 故选：D 21．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，为坐标原点，的两个顶点，，点在边上，，点为的中点，点为边上的动点，则使四边形周长最小的点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查轴对称—最短路线问题，等腰三角形的判定和性质，两直线的交点坐标等知识点．根据已知条件得到，，求得，，得到，，在轴正半轴取点，使，连接交于点，连接交于，连接，，推出垂直平分，则点与点关于直线对称，此时四边形周长最小，，求得直线为，直线的解析式为，解方程组即可得到结论．正确的找到点的位置是解题的关键． 【规范解答】解：∵，， ∴，， ∴， ∵，点为的中点， ∴，， ∴，， 在轴正半轴取点，使，连接交于点，连接交于，连接，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即平分， ∴，， ∴垂直平分，则点与点关于直线对称， ∴，， ∴， 当点与点重合时，取“”号，此时四边形周长最小， 设直线为，过点， ∴， 解得：， ∴直线为， 直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 解方程组得：， ∴． 故选：C．    22．（2024·江苏无锡·中考真题）已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论： ①是函数的“1级关联范围”； ②不是函数的“2级关联范围”； ③函数总存在“3级关联范围”； ④函数不存在“4级关联范围”． 其中正确的为（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【思路点拨】本题考查了新定义，一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质． 推出在时，，即，即可判断①；推出在时，，即，即可判断②；③设当，则， 当函数存在“3级关联范围”时，整理得，即可判断③；设，则，当函数存在“4级关联范围”时，，求出m和n的值，即可判断④． 【规范解答】解：①当时，，当时，， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴在时，，即， ∴是函数的“1级关联范围”；故①正确，符合题意； ②当时，，当时，， ∵对称轴为y轴，， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴在时，，即， ∴是函数的“2级关联范围”，故②不正确，不符合题意； ③∵， ∴该反比例函数图象位于第一象限，且在第一象限内，y随x的增大而减小． 设当，则， 当函数存在“3级关联范围”时， 整理得：， ∵，， ∴总存在， ∴函数总存在“3级关联范围”；故③正确，符合题意； ④函数的对称轴为， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， 设，则， 当函数存在“4级关联范围”时，， 解得：， ∴是函数的“4级关联范围”， ∴函数存在“4级关联范围”，故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①③， 故选：A． 23．（2024·江苏淮安·模拟预测）小明同学利用计算机软件绘制了某一函数的图象，如图所示．由学习函数的经验，可以推断这个函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了函数图象，一次函数图象，反比例函数图象等知识．熟练掌握函数图象，一次函数图象，反比例函数图象是解题的关键． 由图象可知，当时，随着的增大先增大后减小，A中，由，可知当时，随着的增大而减小，进而可判断A的正误；B中为与的和，如图，由一次函数图象与反比例函数图象可知，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，进而可判断B的正误；C中当时，，的图象经过点，进而可判断C的正误；D中当，无意义，进而可判断D的正误． 【规范解答】解：由图象可知，当时，随着的增大先增大后减小， A中，由，可知当时，随着的增大而减小，故不符合要求； B中为与的和，如图， 由一次函数图象与反比例函数图象可知，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，故符合要求； C中当时，，的图象经过点，故不符合要求； D中当，无意义，故不符合要求； 故选：B． 24．（2024·江苏·模拟预测）如图，正方形的顶点在函数的图象上，已知点的坐标为，点的横坐标为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，过作，过作于，过作于，设，，则有，，，，由四边形是正方形得，，又，故有，证明，根据性质得，，则，，然后解方程即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图，过作，过作于，过作于， 设，， ∴， ∵， ∴， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 整理得：， 解得：或（舍去）， 故选：． 25．（2024·江苏泰州·模拟预测）如图所示，在矩形中，F是上一点，平分交于点E，且，垂足为点M，，，则的长是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定以及相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键在于利用三角形相似构造方程求得对应边的长度． 根据已知证，利用勾股定理求出的长，再证明，得出，然后证明，得出对应边成比例，建立关于a、x的方程，求解即可． 【规范解答】解：∵平分交于点E，且， ， ∴， 又∵， ∴， 设， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故选：D． 26．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，边长为的正方形中，交于点，正方形绕着点旋转，直线与直线交于点，当时， 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】设交于M，交于N，交于O，作于T交于R．证明，得到，再证明，得到，再证明，，则，由勾股定理得到，则，，证明四边形是矩形，得到，则，则． 【规范解答】解：如图，设交于M，交于N，交于O，作于T交于R． ∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 27．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【思路点拨】首先利用待定系数法确定该抛物线解析式，进而确定抛物线顶点的坐标；结合的长度，且是定值，故只需取最小值，即可使得的周长最小．过点作关于轴和轴对称的点，分别计算两种情况下的周长再取最小值即可． 【规范解答】解：根据题意，抛物线的对称轴为，且经过点， 则有，解得， ∴该抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线顶点的坐标为， ∵的长度，且是定值，所以只需取最小值，即可使得的周长最小， 如图1，过点作关于轴对称的点，连接，与轴的交点即为所求的点， 则，， 设直线的解析式为， 将点和点代入， 可得，解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵， 且， ∴此时的周长； 同理，如图2，过点作关于轴对称的点，连接，与轴的交点即为所求的点， 则， 设直线的解析式为， 将点和点代入， 可得，解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵， 且， ∴此时的周长； ∵， ∴， ∴点在轴上时，的周长最小，此时点的坐标是． 故选：A． 【考点评析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题关键是分类讨论，避免遗漏． 28．（22-23九年级上·无锡·期中）如图，在正方形中，点E是上一点（不与C，D两点重合），连接，过点C作于点F，交对角线于点G，交边于点H，连接．下列结论①；②；③当E是的中点时，；④当时，；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路点拨】通过证明≌推出，；利用角平分的性质可证中边的高与中边的高相等，通过“等底等高”证明；证明∽，∽，求出相关线段长度，可知当E是的中点时，；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，两个等高的三角形面积比等于底长的比，可证． 【规范解答】解：四边形是正方形， ，． ， ， ， ，即． 在和中， ， ≌， ，．故①正确； 四边形是正方形， ，即是的角平分线， 点G到边与边的距离相等， 即中边的高与中边的高相等， 又， ，故②正确； 设正方形的边长为， 当E是的中点时，，， 由勾股定理得：，， ，， ∽， ， ． ，， ∽， ， 即， ， ， ， ， ， 当E是的中点时，，故③正确； 当时，， ， ， ∽， ， 中边的高与中边的高相等，， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确． 综上，正确的有4个． 故选D． 【考点评析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形面积公式，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，解题的关键是从图形中找出全等三角形和相似三角形． 29．（2023·江苏无锡·一模）定义：在平面直角坐标系xOy中，若某函数的图象上存在点，满足，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”．例如：时，点即为函数的“2倍点”． ①点是函数的“1倍点”； ②若函数存在唯一的“3倍点”，则b的值为； ③若函数的“m倍点”在以点为圆心，2m为半径的圆内，则m为大于1的所有整数． 上述说法正确的有（        ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】C 【思路点拨】根据函数的“倍点”的定义即可判断①；确定函数存在唯一的“3倍点”，则，满足，两函数有唯一一个交点，△，求得的值可判断②；根据定义可知：“倍点”的横纵坐标是与的公共解，计算可得其解为且，根据函数的“倍点”，再以点为圆心，半径长为的圆内，列不等式求得解集即可判断③． 【规范解答】解：①当时， ，， 点是函数的“1倍点”； ①正确； ②当时，， 函数存在唯一的“3倍点”， ， ， ， ； ②错误； ③， ， 函数的“倍点”为， 如图所示，直线与交于点，连接，过点作轴于， ， ， ， 为正整数， 的所有整数． ③正确． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，新定义，两函数图象的交点，关键是将新定义转化为常规知识进行解答．难度较大，是中考压轴题． 30．（2023·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点A，与轴相交于点，四边形是平行四边形，直线经过点，且与轴相交于点与相交于点，记四边形，的面积分别为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】求出点A的坐标为，点B的坐标为，根据平行四边形性质得出点的坐标为，求出直线的解析式为，得出点D的坐标为，求出直线的解析式为：，的解析式为，求出点E的坐标为，得出，求出，，即可求出结果． 【规范解答】解：把代入得：， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， 把代入得：， ∴点B的坐标为， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴点的坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点D的坐标为， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴的解析式为， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，故C正确． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数与x轴，y轴的交点问题，直线围成的三角形的面积，平行四边形的性质，解题的关键是求出点E的坐标． 31．（2023·江苏无锡·二模）如图，正方形中，，E，F分别是边上的动点，，连接DE，CF交于点P，过点P作，且，在下列结论中：①；②；③在运动过程中，线段最小值为；④当的度数最大时，的长为，其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】根据正方形的性质和证得，再根据全等三角形的性质即可判定①；证明，根据相似三角形的性质可得，再结合即可判定②；如图：取的中点G，连接，由直角三角形的性质和勾股定理可得、，再说明当A、P、G三点共线时，有最小值，然后求解即可判定③；先说明四边形是菱形，再说明点Q在以H为圆心，2为半径的圆弧上运动，进而可知当当与相切时，的度数最大；然后可知即可判定④． 【规范解答】解：∵正方形， ∴,， 又∵， ∴， ∴，即①正确； ∵， ∴， ∵， ∴,即， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即②正确； 如图：取的中点G，连接， ∵， ∴， 在中，, 在中，，当A、P、G三点共线时，有最小值，,即③正确； 如图：作且,则， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴点Q在以H为圆心，2为半径的圆弧上运动， ∴当与相切时，的度数最大， 如图：作于延长线M,则是的切线， ∴,故④错误． 所以正确的有3个．    故选C． 【考点评析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、切线的性质等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键． 32．（2023·江苏镇江·三模）如图，在中，，分别以为边向上作正方形，正方形，正方形，连结经过点，连结分别交于点，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】延长，相交于点K，过点C作，设交于点T，连接，可证明，得出，，，进而可证经过点H，证明，得出，利用等角对等边以及余角的性质可证，证明，得出，，进而得出，再证明，可得出，求出，，，，易证得出，得出，易证得出． 【规范解答】解∶延长，相交于点K，过点C作，设交于点T，连接，    ∵正方形，正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，， 又， ∴经过点H， ∵正方形，正方形， ∴，，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，，， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【考点评析】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与判断，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造相似三角形求解是解题的关键． 33．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（   ）    A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为 【答案】A 【思路点拨】延长，则是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当点与重合时，则三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解． 【规范解答】解：如图所示，    延长， 依题意 ∴是等边三角形， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， 则为的中点 如图所示，    设的中点分别为， 则 ∴当点在上运动时，在上运动， 当点与重合时，即， 则三点共线，取得最小值，此时， 则， ∴到的距离相等， 则， 此时 此时和的边长都为2，则最小， ∴， ∴ ∴， 或者如图所示，作点关于对称点，则，则当三点共线时，    此时 故A选项错误， 根据题意可得三点共线时，最小，此时，则，故B选项正确； 周长等于， 即当最小时，周长最小， 如图所示，作平行四边形，连接，    ∵，则 如图，延长,，交于点， 则， ∴是等边三角形， ∴， 在与中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，则， ∴是直角三角形，    在中， ∴当时，最短， ∵ ∴周长的最小值为，故C选项正确； ∵ ∴四边形面积等于    ∴当的面积为0时，取得最小值，此时，重合，重合 ∴四边形面积的最小值为，故D选项正确， 故选：A． 【考点评析】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当点与重合时得出最小值是解题的关键． 34．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是（   ）    A． B． C． D．2 【答案】C 【思路点拨】连接，如图，根据折叠的性质得到，，当点、、三点共线时，最小，此时的最小值，根据勾股定理得到，得到长度的最小值，设，则，根据勾股定理得到根据三角形的面积公式得到的面积是． 【规范解答】解：连接，如图，   沿翻折至， ， ，， ， 当点、、三点共线时，最小，此时的最小值， 四边形是矩形， ， ，， ， 长度的最小值， 设，则， ， ， ， ， 解得，， 的面积是， 故选：． 【考点评析】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，线段的最值问题．本题的综合性强，属于常见的中考压轴题．熟练掌握折叠的性质，勾股定理，是解题的关键． 35．（2018·江苏扬州·一模）如图，中，，的角平分线和的外角平分线相交于点．过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【思路点拨】①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出，再根据角平分线的定义然后利用三角形的内角和定理整理即可得解； ②证明得出，，即可判断②； ③再利用角角边证明全等，然后根据全等三角形对应边相等得到，从而得解； ④根据，，由三角形三条高所在直线交于一点可知可得，然后求出，再根据等角对等边可得，再根据等腰直角三角形两腰相等可得，然后求出，根据直角三角形斜边大于直角边，，从而得出④错误． 【规范解答】解：①∵的角平分线和的外角平分线相交于点， 在中 ，故①正确； ， ， 为的角平分线， ， 在和中 ， ，；故②正确； ③，即：，， 则由三角形三条高所在直线交于一点可知， ，， ， ， ， ， 与都是等腰直角三角形， ，， ， ， 不成立，故③错误， ④， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述①②④正确． 故选：． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 36．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与坐标轴分别交于A，B两点，点C在x轴正半轴上，且．点P为线段（不含端点）上一动点，将线段绕点O顺时针旋转得线段，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题过点P作轴，过点Q作轴，结合旋转的性质，证明，得到，，设，，推出过点的直线是上，记直线与x轴交与点N，根据勾股定理算出，根据垂线段最短可知当时，的长最短，证明，利用相似的性质即可解题． 【规范解答】解：如图，过点P作轴，过点Q作轴， 即， 直线l：与坐标轴交于A、B两点， ，， 由旋转可知：，， ， ， 在和中， ， ， ，， 设，． 点中，． ，即， 点是直线上的点， 记直线与x轴交与点N， 则，， ， 根据垂线段最短可知当时，的长最短， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：A． 【考点评析】本题主要考查了一次函数图像与坐标轴的交点、三角形全等的性质和判定、垂线段最短，相似三角形的性质和判定，解题的关键在于作辅助线构造全等三角形，再灵活的运用相关性质定理即可解题． 37．（2024·安徽·二模）如图，中，是边的中点，过点作分别交于点（不与重合），取中点，连接并延长交于点，连接．随着点位置的变化，下列结论中错误的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的周长有最小值为 D．四边形的面积有最小值为9 【答案】D 【思路点拨】A选项：连接，中点，，∴，∴即可求解；B选项：取中点N，连接交于点K，过点B作的对称点，连接，，当点三点共线取得最小值，由对称得，可求，在中，，∴；C选项：连接，先证明，则为等腰直角三角形，，而最小值为，则； D选项：连接，，可证四边形是矩形，设，则， 则． 【规范解答】解：连接，∵等腰，， ∴，， ∵点D为边的中点，∴,， ∵中点，，∴，∴， 即，当点A、P、D共线时等号成立，故A正确； 连接，∵，∴， ∵，∴， ∴，∵， ∴， ∴，而， ∴为等腰直角三角形， ∴，∵最小值为， ，故C正确，不符合题意； 连接，，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，， ， ， ， ， ， ， 同理可证：，又∵， ∴ ， 四边形是矩形， ∵，设，则， ， 的最大值为9，故D错误，符合题意． 取中点N，连接交于点K，过点B作的对称点，连接， 由上知点P为中点，∴为中位线，， ∴， ∵，当点三点共线取得最小值， ∵，，∴， 由对称得，可求， 在中，，∴， 故B正确，不符合题意． 故选：D． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，矩形的判定与性质，线段最值等问题，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 38．（2024·江苏无锡·一模）如图，直线与x轴、y轴交于点A、C，点B的坐标为，连接，，P是线段上一动点，连接，作的垂线交线段于点D，以、为边作矩形，连接，与交于点F．下列结论：①；②点P在移动过程中，；③当时，；④当线段的长度取得最小值时，点P的坐标为．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路点拨】首先求出，，然后证明出四边形是矩形，然后得到点B，P，D，A，E五点共圆，然后利用圆内接四边形对角互补得到，得到，即可判断①；首先根据矩形的性质得到，然后根据题意求出的最大值和最小值即可判断②；首先得到当时，点P为的中点，然后根据题意证明出，即可得到，进而判断③；过P作于N，过F作于H，则四边形是矩形，证明，得出，设，则，，，同理可证，设，则，，证明，得出，求出，，证明，可得，整理得，利用二次函数的性质求解即可． 【规范解答】∵直线与x轴、y轴交于点A、C， ∴当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∵点B的坐标为， ∴四边形是矩形， ∴，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴点B，P，D，A，E五点共圆， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵四边形是矩形， ∴， ∵P是线段上一动点， ∴点D在线段上运动， ∴当点D和点O重合时，最大，即的长度， ∵， ∴的最大值为10，即的最大值为10； 当时，即点D和点A重合时，的长度最小，即的长度，为6， ∴的最小值为6，即的最小值为6， ∴点P在移动过程中，，故②正确； 如图所示，当时， ∵， ∴此时点P为的中点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点B，P，D，A，E五点共圆， ∴， 又∵， ∴， ∴，故③正确； 过P作于N，过F作于H，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， 同理可证， ∴设，则，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 同理可证， ∴，即， 整理得， ∵， ∴当时，有最大值，则有最小值， 此时， 故④错误； 故选：C． 【考点评析】本题考查了解析的判断与性质，一次函数的应用，圆周角定理，相似三角形的判断与性质，正切等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 39．（2024·江苏无锡·三模）如图，是的直径，是的弦，且与交于点，过分别作垂线，垂足记作和．现有下列结论：若，，则的最小值为3；若，，则；若，，则的最大值为；若，，为定值．其中正确的为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质等知识点，综合应用所学知识成为解题的关键． ①如图：过O作,连接，先说明当H和C重合时，最小，且最小值为，然后根据垂径定理、勾股定理解答即可；②如图：过O作,连接，根据圆周角定理、垂径定理可得，然后根据正弦的定义计算判断即可；③设，运用含角的直角三角形的性质、勾股定理表示出，然后列出函数解析式，再运用二次函数的性质求最值即可；先求出，设,则，再通过证明相似三角形得到，,然后作差判断即可． 【规范解答】解：①：如图：过O作,连接，易得：，即当H和C重合时，最小，且最小值为， ∵，，， ∴， ∴,即最小值为3，①正确； ②如图：连接, ∵， ∴, ∵ ∴, ∴，即②正确； ③设 ∵，， ∴，则， ∴， ∵，, ∴， ∴， ∴, ∴ 设，则抛物线的对称轴为：， ∵， ∴当时，y由最大值，即的最大值为，即③错误； ④∵，， ∴， ∴, 设,则， ∵, ∴, ∴， ∴,即，解得：； 同理可得：, ∴，即④正确． 综上，正确的有①②④． 故选D． 40．（2023·江苏南通·二模）如图，在中，，，，为的中点，是边上一个动点，连接，过点作，交边于点．设的长为，的面积为，，则与的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】先求出，则，，，过点作于，过点作于，延长到，使，连接，，则，，设，则，，，证和全等得，再利用勾股定理得，，再证，进而求得，，根据列出函数关系式，进而根据函数的解析式及题目中的选项即可得出答案． 【规范解答】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 为的中点， ， 又，， 过点作于，过点作于，延长到，使，连接，，如图： 在中，，， ， ， 设，则， 在中，， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ，， 为线段的垂直平分线， ， ， ， ， ，， ， 而， ， 即， 整理得：， ， ， 当时，，当时，，顶点坐标为， 该函数图象是抛物线，与轴交于点，顶点为，且过点， 故选：A． 【考点评析】此题主要考查了动点问题的函数图象，垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象与性质，勾股定理，解直角三角形，掌握以上知识点是解答本题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$