专题07 重要的几何模型之中点模型（斜边中线、中位线、中点四边形）-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题07 重要的几何模型之中点模型（斜边中线、中位线、中点四边形） 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.直角三角形斜边中线模型 2 模型2.中位线模型 21 模型3.中点四边形模型 50 76 模型1.直角三角形斜边中线模型 直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1）直角三角形斜边中线模型（单中线模型） 条件：如图，若AD为斜边上的中线； 结论：（1）；（2），为等腰三角形；（3），． 证明：取AC的中点E，连接DE，∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=， ∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB，∴∠DEC=∠BAC=90°，∴DE垂直平分AC， ∴AD=CD，∴；∴，为等腰三角形； ∵AD=CD，∴，∵，∴，同理：． 2）直角三角形斜边中线模型（双中线模型） 条件：如图，在由两个直角三角形组成的图中，M为BC边的中点，（直角在BC的同侧和异侧两类） 结论：（1）；（2）． 证明：∵，M为BC边的中点，∴，，∴ ∴，∵，∴，同理： ∴，∴．（同侧和异侧证明一致） 模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时） 例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，为边上的中线，为边上的中线，若，则的长为（　　）    A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】解：∵，由勾股定理得，， ∵，为边上的中线，∴，，∴， ∵为边上的中线，∴，∴由勾股定理得，，故选：C． 例2．（23-24八年级下·北京海淀·期末）如图，在中，，平分，点是的中点，，则 ． 【答案】20 【详解】∵平分，∴ ∵，平分，∴ ∵点是的中点，∴∴．故答案为：20． 例3．（2023·陕西咸阳·统考二模）如图，菱形的对角线，相交于点O，点E为的中点，若，则菱形 的周长是（        ）    A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【详解】∵菱形的对角线，相交于点O，∴， ∵点E为的中点，，∴，∴，故菱形的周长为16．故选C． 例4．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，四边形中，，，连接．是的中点，连接．若，则的面积为 ．    【答案】/ 【详解】解：，是的中点，， ，，， ，， ， ，故答案为：． 例5．（2023·浙江嘉兴·统考二模）在中，，点分别是的中点，点是上的一个动点，连结，作交于点，连结． 点从点向点运动的过程中，的最小值为 ．    【答案】/ 【详解】解：如图，作于，取中点，连接，，    ，，，，， 是中点，，，是中点，，， 是的中点，，，， ，， ，，的最小值是，故答案为： 例6．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，于点，于点，为边的中点，连接，．(1)求证：；(2)，，求的周长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵于点D，于点E，∴， ∵为边的中点，∴，∴． （2）解：由（1）得，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∵，∴是等边三角形，∵，∴的周长为． 模型2.中位线模型 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 中点三角形：三角形三边中点的连线组成的三角形，其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一。 梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 图1 图2 1）三角形的中位线模型： 条件：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E， 结论：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。 证明：如图1，过点C作交延长于点F，∴， ∵是的中位线，∴，∴，∴， ∴，又∵，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，； ∵，∴，，∴△ADE∽△ABC。 2）梯形的中位线模型： 条件：如图2，在梯形中，，、分别是两腰、的中点， 结论：（1），； （2）梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高。 证明：连接并延长，交延长线于点，，． 是的中点，．，． ，．点是的中点，又点是的中点， 是的中位线，，．． ，，．，． ∵梯形的面积=，∴梯形的面积==中位线的长×高。（为梯形的高） 模型运用条件：构造中位线（出现多个中点时）。 例1．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）在中（如图），点、分别为、的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点、分别为、的中点，是的中位线， ，，，．故选：D． 例2．（2023·陕西咸阳·校考二模）如图，点为正方形的边的中点，连接，点，，分别为，，上的点，连接，，取，，的中点，，连接，已知正方形的边长为4，若，则的长为 ．    【答案】 【详解】解：过点作于点，如图：      ∵四边形是正方形，∴，， ∵，∴，∴四边形为矩形，∴，∴， ∵，，∵， ∴，，∴， 在和中，，∴，  ∴， 在中，，∴， ∵点，分别是线段，的中点，∴是的中位线， ∴，即．故答案为：． 例3．（2023下·四川广安·八年级校考阶段练习）如图，在菱形中，边长为1，，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去，…，则四边形的面积是 ． 【答案】 【详解】解：菱形，，，为等边三角形， ，等边的高为，， 顺次连接菱形各边中点，可得四边形，四边形为矩形， ,同理可得， ，……．故答案为：． 例4．（2020·湖北黄石·中考真题）如图，在中，，点H、E、F分别是边、、的中点，若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】∵∠ACB＝90°，点H是边AB的中点，∴AB＝2CH， ∵点E、F分别是边AC、BC的中点，∴AB＝2EF∴CH=EF∵，∴=4 故选：B． 例5．（2023·北京海淀·校考模拟预测）如图，为的弦，，且，若点M、N分别是、的中点，则长的最大值是（　　）    A．4 B．5 C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，∵点M、N分别是、的中点，∴，    ∴当取得最大值时，就取得最大值，连接并延长交于点，连接， ∵是的直径，∴，∵，，∴， ∴，∴，∴长的最大值为，故选：C； 例6．（2024·青海西宁·二模）在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路． （1）【知识回顾】在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决，请写出已知，求证，并证明三角形中位线定理． （2）【数学发现】如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你沿着将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形． 如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？ 【证明猜想】（3）证明（2）的结论，并在“，”的条件下，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）画图见解析，猜想：，；（3）证明见解析，6； 【详解】解：（1）已知：在中，分别是的中点，求证：： 证明：如图所示，过点C作交延长线与F， ∵分别是的中点，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴四边形是平行四边形， ∴，∴； （2）如图所示，延长交延长线于M，则把延剪开后放置到的位置，即为所求；猜想：，； （3）连接并延长，交延长线于点， ，．是的中点，． ，．，． 点是的中点，又点是的中点，是的中位线， ，．． ，，．，． ∵，，∴。 模型3.中点四边形模型 中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形。 中点四边形是中点模型中比较经典的应用。中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块。 推广与应用 1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和。 2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的。 结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形． 条件：如图1，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，结论：四边形MNPQ为平行四边形。 证明：∵点M、N是AC、AB的中点，∴，， 同理：，，∴MN=PQ，，∴四边形是平行四边形， 图1 图2 结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形） 条件：如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，结论：四边形MNPQ为矩形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC⊥DB，∴MN⊥MQ，∴四边形MNPQ为矩形。 结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形） 条件：如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，结论：四边形MNPQ为菱形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC=DB，∴MN=MQ，∴四边形MNPQ为菱形。 图3 图4 结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形． 条件：如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB， 结论：四边形MNPQ为正方形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴，，， ∵AC=DB，AC⊥DB，∴MN=MQ，MN⊥MQ，，∴四边形MNPQ为正方形。 例1．（2024·河南信阳·模拟预测）顺次连接四边形各边的中点得到四边形，要使四边形是菱形，可以添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】添加．如图，，、、、分别是线段、、、的中点， 则、分别是、的中位线，、分别是、的位线， ，， 当时，成立，则四边形是菱形．故选：C． 例2．（2023·江苏南通·统考二模）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（    ） A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝DC D．AB⊥DC 【答案】D 【详解】解：∵E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点， ∴GF∥EH∥CD，GE∥FH∥AB，∴四边形EGFH为平行四边形，∠GFB=∠DCB，∠HFC=∠ABC， 若四边形EGFH为矩形，则有∠GFH=90°， ∴∠GFB+∠HFC=90°，∴∠DCB+∠ABC=90°，∴AB⊥DC；故选D． 例3．（2023·辽宁抚顺·中考模拟）如图，，是四边形的对角线，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，连接，，，，要使四边形为正方形，则需添加的条件是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】点，分别是，的中点，点，分别是，的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，四边形为平行四边形， 当时，，平行四边形是菱形； 当时，，即，菱形是正方形；故选． 例4．（2023·云南昆明·统考二模）如图，在任意四边形中，，，，分别是，，，上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（    ） A．当，，，是各边中点，且时，四边形为菱形 B．当，，，是各边中点，且时，四边形为矩形 C．当，，，不是各边中点时，四边形可以为平行四边形 D．当，，，不是各边中点时，四边形不可能为菱形 【答案】D 【详解】解：A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点时，连接AC、BD，如图，则由三角形的中位线定理可得：EH=BD，EH∥BD；FG=BD，FG∥BD，所以EH=FG，EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形； 当AC＝BD时，∵EH=BD，EF=AC，∴EF=EH，故四边形EFGH为菱形，故A正确； B．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，如上图，由三角形的中位线定理可得：EH∥BD，EF∥AC，所以EH⊥EF，故平行四边形EFGH为矩形，故B正确； C．如图所示，若EF∥HG，EF＝HG，则四边形EFGH为平行四边形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故C正确； D．如图所示，若EF＝FG＝GH＝HE，则四边形EFGH为菱形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故D错误；故选：D． 例5．（2023上·河南郑州·九年级统考期中）如图，在中，，点是斜边的中点，分别以点，为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，得到四边形，依次连接四边形四条边中点得到四边形，若，那么四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=2，∠C=60°，∴BC=2AC=4，AB =AC=2 ∵BD=CD，∴AD=DB=DC=2，由作图可知，四边形ADBE是菱形，∴中点四边形GHIJ是矩形， ∵AD=AC=DC，∴∠ADC=60°，∵AE∥DB，∴∠EAD=∠ADC=60°， ∵AE=AD，∴△AED是等边三角形，∴AD=DE=2，∵AJ=JE，AI=ID，∴IJ= DE=1, ∵BH=DH，AI=ID，∴IH=AB =∴四边形GHIJ的周长=2（1+ ）=2+2故选：B． 例6．（2024上·广东佛山·九年级校考阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】：（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【性质探究】：（2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系； 【问题解决】：（3）如图2．以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”； 【拓展应用】：如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点． （4）试探索与的数量关系，并说明理由．（5）若，求的最小值．    【答案】（1）D；（2），；（3）证明见解析；（4），理由见解析；（5）的最小值为 ． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，所以其中点四边形是正方形； （2），．理由如下：∵四边形是“中方四边形”，∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，，∴，． （3）如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K，          ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴、，，分别是、、、的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． （4）如图，记、的中点分别为E、F， ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴； （5）如图， 连接交于O，连接、， 当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴的最小值， 由性质探究（1）知：， 又∵M，N分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴的最小值， 由拓展应用（4）知：； 又∵， ∴， ∴的最小值为． 1．（2023·西藏·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．点E、F分别是AB，AO的中点，且AC＝8，则EF的长度为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝8，BO＝DO＝BD， ∴BO＝DO＝BD＝4，∵点E、F是AB，AO的中点， ∴EF是△AOB的中位线，∴EF＝BO＝2，故选：A． 2．（2023·广东佛山·校考三模）如图，在中，，，是边上的中线，把线段沿着方向平移到点B，使得点C与点B重合，连接，，与相交与点O，则下列结论：①四边形为菱形；②；③；④的面积为四边形面积的一半．其中正确结论的个数为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：∵在，是边上的中线，，∴， 由平移可得，，，∴四边形为平行四边形， ∵，∴四边形为菱形，①正确，故符合要求；∵四边形为菱形，∴为中点， 又∵是的中点，∴为的中位线，∴，②正确，故符合要求； ∵四边形为菱形，∴，∴，③正确，故符合要求； ∵是的中线，∴，由菱形的性质可得， ∴，④正确，故符合要求；综上，正确的结论个数为4，故选：A． 3．（2024·福建宁德·校考模拟预测）如图，在中，，D为斜边的中点，E，F分别是的中点，若，则的长为（　　）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：在中，，，D为斜边的中点，则， ∵E，F分别是的中点，∴是的中位线，∴，故选：A． 4．（2024下·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，，且，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，…按此规律进行下去．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ）    结论Ⅰ：当时，四边形是正方形；结论Ⅱ：当时，四边形的周长是10． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】A 【详解】解：∵顺次连接四边形各边的中点，得到四边形， ∴， ∵，∴四边形矩形， 当时， ∴∴四边形是正方形，即结论Ⅰ正确； 当时，， ∴,∴,， ∴四边形的周长为20；∴ ∴， ∴四边形的周长为14；∴, ∴， ∴四边形的周长为10，即结论Ⅱ正确．故选A． 5．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，在四边形中，分别是的中点．下列结论： ①四边形是平行四边形；②当时，四边形是菱形； ③当时，四边形是矩形．其中所有正确结论的序号是（   ）． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【详解】解：①，分别是，的中点， 是的中位线，，，同理，，， ，，四边形是平行四边形；故①正确，符合题意； ②，分别是，的中点，是的中位线，，， 当时，，四边形是菱形； 当与满足条件时，四边形是菱形，故②正确，符合题意； ③，，，， 当时，，，， 平行四边形是矩形，当时，四边形不一定是矩形， 故③错误，不符合题意；故选：A． 6．（23-24八年级下·重庆·开学考试）如图，在中，是边上的中点，连接，把沿直线翻折，得到，连接，分别与交于点，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D．8.5 【答案】B 【详解】∵在中，是边上的中点，∴， 由折叠知， 垂直平分，∴，∴，，∴， ∵，，∴,∴， ∴，∴，∴．故选：B． 7．（2022·四川南充·中考真题）数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在外选择一点C，测得两边中点的距离为（如图），则A，B两点的距离是 m． 【答案】20 【详解】解：∵点D、E为AC，BC的中点，∴DE为∆ABC的中位线， ∵DE=10，∴AB=2DE=20，故答案为：20． 8．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）如图，在菱形中，对角线，相交于点，为边的中点．若，，则菱形的面积为 ．    【答案】96 【详解】解：∵四边形是菱形，，∴，，， ∵在中，为边的中点．， ∴，∴，则， ∴菱形的面积为，故答案为：96． 9．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，菱形中，，面积为，对角线与相交于点，过点作，交延长线于点，连接，则 ． 【答案】 【详解】解：菱形中，，， 菱形的面积为，，，， ，，，菱形的对角线与相交于点，是的中点，又，，故答案为：． 10．（23-24八年级下·广西防城港·阶段练习）如图，在中，，是边上的高，、分别是、边的中点，若，，则的周长为 ． 【答案】12 【详解】解：，，，， 是的高，， 、分别是、的中点，，，，，， 的周长；故答案为：12 11．（24-25九年级上·广东·课后作业）如图，在四边形中，点分别是边的中点，，，则 °． 【答案】142 【详解】解：如图，连接， ∵点分别是边的中点，，， ，，，． 12．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，菱形的边长为4，，过点B作交于点E，连接，F为的中点，连接，交于点G，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，取为的中点， ∵菱形的边长为4，，∴，，， ∵F为的中点，H为的中点，∴，是的中位线， ∴，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴， ∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴， 在中，由勾股定理得：，故答案为：． 13．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在四边形中，E、F、G、H分别是，，，的中点，且，下列结论：①四边形是菱形；②；③平分；④，其中正确结论的序号是 ．      【答案】①②③ 【详解】解：、、、分别是、、、的中点， ，，，，，， ，，四边形是菱形，∴四边形是菱形，故①正确； ∴，平分故②、③正确； 当，如图所示：，分别为，中点，连接并延长交于点，    ∵为中点，∴，∵，∴， ∵，∴∴，∴， ∵点为中点， ∴，∴只有当时，④才成立，故④错误， 故答案为：①②③． 14．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点．，在点从移动到（点不动）的过程中，则线段 ． 【答案】 【详解】连接分别是的中点为的中位线， 是矩形 ，故答案为：． 15．（24-25九年级上·福建三明·阶段练习）定义：顺次连结四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形中，顺次连结各边中点E、F、G、H得到的四边形叫做四边形的中点四边形． 利用三角形中位线的相关知识解决下列问题：(1)求证：四边形是平行四边形； (2)当对角线满足下列条件时，请你探究中点四边形的形状：(写出结果并证明)当时， 四边形是 ． 【答案】(1)见解析(2)矩形 【详解】（1）证明：连接， ∵点E、F、G、H是四边形各边中点，∴ ∴，，∴四边形是平行四边形； （2）解：∵点E、F、G、H是四边形各边中点，∴， ∵，∴， ∵四边形是平行四边形，∴四边形是矩形．故答案为：矩形． 16．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，分别是边的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)这个中点四边形的形状是 ； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，分别为的中点，试判断四边形的形状并证明． 【答案】(1)平行四边形 (2)菱形，见解析 【详解】（1）解：中点四边形是平行四边形；理由如下：连接，如图1所示： ，，，分别是边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，，，， 四边形是平行四边形；故答案为：平行四边形； （2）解：四边形为菱形．理由如下：连接与，如图2所示： ∵和为等边三角形，，，，， 在和中，，，， ，，，分别是边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，，， ，，四边形是平行四边形； ，，四边形为菱形． 16．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）【探究】（1）如图①，在中，，D是的中点，连接．若，则______； 【应用】（2）如图②，在中，，是边上的高，E、F分别是、边的中点，若，，求的周长； 【拓展】（3）如图③，四边形中，，连接、．M是的中点，连接、．若的面积为32，则的长为______． 【答案】（1）；（2）的周长为12；（3）16 【详解】解：（1）∵在中，，是的中点，， ∴，∴，故答案为：； （2）在中，，，，∴ ∵、分别是、边的中点，∴是的中位线，∴， ∵是边上的高，∴，∴和都是直角三角形， ∵、分别是、边的中点，∴， ∴的周长为； （3）∵，是的中点，∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，∵的面积为32， ∴∴，∴，故答案为：16． 17．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）【定理证明】如图①，在中，，是斜边上的中线，求证：，请根据下面的提示，结合图①，写出完整的证明过程． 证明：延长至点E，使，连接、， 【结论应用】如图②，在四边形中，，，、分别是、的中点，当，时，______； 【拓展】如图③，是斜边上的中线，，，点是边上的一个点，过点分别作和的垂线，垂足为、．当点在边上移动时，则　　． 【答案】【定理证明】见解析；【结论应用】；【拓展】 【详解】[定理证明]证明：延长到点，使，连接、，则， 是斜边上的中线，，四边形是平行四边形， ，平行四边形是矩形，，． [结论应用]解：如图，连接、， ，为中点，，，，， 是中点，，，，、分别是边、的中点， ，，．故答案为：； [拓展]解：如图，连接，在中，，，， 是斜边上的中线，， ， ，，，即， ，，故答案为：． 18．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，，垂足为，，垂足为，点是的中点，，交于点．（相关知识点提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．）(1)如图1，，求证：是等边三角形；(2)如图2，，试猜想是不是等边三角形？如果是等边三角形，请加以证明；如果不是等边三角形，请说明理由；(3)在（2）的条件下，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析(2)是等边三角形，理由见解析(3) 【详解】（1）证明：，，是等边三角形， ，垂足为，，垂足为，、分别是、边的中点， 又点是的中点，，，， ，是等边三角形； （2）解：是等边三角形．理由如下：，，， ，在中，， 点是的中点，，，， ，，， ，是等边三角形； （3）解：，，，， ，，． 19．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）综合与探究：如图1，四边形中，分别是的中点，顺次连接．(1)如图1，在四边形内一点，使，其他条件不变，试探究四边形的形状，并说明理由．(2)在（1）的条件下，若，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析(2) 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下：如图所示，连接， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴， ∵分别是的中点， ∴，∴，∴四边形是菱形； （2）解：如图，设交于O，交于T，∵，∴， 又∵，∴，∴， ∵分别是的中点，∴，∴， ∴四边形是正方形，∴． 20．（2023·河南信阳·校考三模）数学兴趣小组的同学在学习中点知识时，遇到如下一个问题：如图①，在边长为4的正方形中，点是边的中点，，连接，点分别是的中点，连接，求的长．小组成员展开讨论，方法多样、其中小佳同学的做法最具有推广性． 小佳同学是这样思考的： 题目中有两个中点，我想到用中位线，但是这两个中点所在的线段是交叉状态，所以可以通过轴对称将它变成“共顶点”的图形、这样就可以构造出三角形的中位线．具体如下：如图②．过点作，垂足为，易证四边形是矩形，连接、则点也是的中点，连接，则是的中位线，计算出的长度即可求出的长度． 根据以上信息，请回答以下问题：(1)点是中点的依据是__________________________ (2)请根据小佳同学的思路写出具体的证明过程．(3)如图③，在中，，，将绕着点顺时针旋转，，分别是，的中点，当点落在的边上时（不包含顶点），求的长度．      【答案】(1)矩形的对角线平分且相等(2)见解析(3)的长度为2或 【详解】（1）解：由题意可知：四边形是矩形，， 点是对角线的中点，，，点是的中点， 点是的中点的依据是：矩形的对角线平分且相等，故答案为：矩形的对角线平分且相等； （2）解：如图①，过点作，垂足为，连接，   ， 四边形是正方形，， ，，四边形是矩形， 点是对角线的中点，点是的中点． 点是的中点，点是的中点，是的中位线，， 正方形边长为4，点是的中点，， 四边形是矩形，，， 在中，由勾股定理可得，； （3）解：当点落在边上时，分两种情况，情况1，落在边上，情况2，落在边上， 在中，，，，，， 情况1：当点落在边上时，如图②，   ，   ， 由旋转可知：，，是等边三角形， 此时点恰好与点重合，且，，分别是，的中点，； 情况2：方法一：当点落在边上时，分别以和为对角线构造矩形，如图③，连接，则点和点为的中点， 是的中位线，延长，交于点，， 在中，， 由勾股定理可得，，； 方法二：如图③，矩形和矩形， ，，是等腰直角三角形， ，，， 综上所述：当点落在的边上时（不包含顶点），的长度为2或． 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 重要的几何模型之中点模型（斜边中线、中位线、中点四边形） 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.直角三角形斜边中线模型 2 模型2.中位线模型 21 模型3.中点四边形模型 50 76 模型1.直角三角形斜边中线模型 直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1）直角三角形斜边中线模型（单中线模型） 条件：如图，若AD为斜边上的中线； 结论：（1）；（2），为等腰三角形；（3），． 证明：取AC的中点E，连接DE，∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=， ∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB，∴∠DEC=∠BAC=90°，∴DE垂直平分AC， ∴AD=CD，∴；∴，为等腰三角形； ∵AD=CD，∴，∵，∴，同理：． 2）直角三角形斜边中线模型（双中线模型） 条件：如图，在由两个直角三角形组成的图中，M为BC边的中点，（直角在BC的同侧和异侧两类） 结论：（1）；（2）． 证明：∵，M为BC边的中点，∴，，∴ ∴，∵，∴，同理： ∴，∴．（同侧和异侧证明一致） 模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时） 例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，为边上的中线，为边上的中线，若，则的长为（　　）    A． B． C． D．3 例2．（23-24八年级下·北京海淀·期末）如图，在中，，平分，点是的中点，，则 ． 例3．（2023·陕西咸阳·统考二模）如图，菱形的对角线，相交于点O，点E为的中点，若，则菱形 的周长是（        ）    A．8 B．12 C．16 D．20 例4．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，四边形中，，，连接．是的中点，连接．若，则的面积为 ．    例5．（2023·浙江嘉兴·统考二模）在中，，点分别是的中点，点是上的一个动点，连结，作交于点，连结． 点从点向点运动的过程中，的最小值为 ．    例6．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，于点，于点，为边的中点，连接，．(1)求证：；(2)，，求的周长． 模型2.中位线模型 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 中点三角形：三角形三边中点的连线组成的三角形，其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一。 梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 图1 图2 1）三角形的中位线模型： 条件：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E， 结论：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。 证明：如图1，过点C作交延长于点F，∴， ∵是的中位线，∴，∴，∴， ∴，又∵，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，； ∵，∴，，∴△ADE∽△ABC。 2）梯形的中位线模型： 条件：如图2，在梯形中，，、分别是两腰、的中点， 结论：（1），； （2）梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高。 证明：连接并延长，交延长线于点，，． 是的中点，．，． ，．点是的中点，又点是的中点， 是的中位线，，．． ，，．，． ∵梯形的面积=，∴梯形的面积==中位线的长×高。（为梯形的高） 模型运用条件：构造中位线（出现多个中点时）。 例1．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）在中（如图），点、分别为、的中点，则（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·陕西咸阳·校考二模）如图，点为正方形的边的中点，连接，点，，分别为，，上的点，连接，，取，，的中点，，连接，已知正方形的边长为4，若，则的长为 ．    例3．（2023下·四川广安·八年级校考阶段练习）如图，在菱形中，边长为1，，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去，…，则四边形的面积是 ． 例4．（2020·湖北黄石·中考真题）如图，在中，，点H、E、F分别是边、、的中点，若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例5．（2024·青海西宁·二模）在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路． （1）【知识回顾】在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决，请写出已知，求证，并证明三角形中位线定理． （2）【数学发现】如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你沿着将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形． 如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？ 【证明猜想】（3）证明（2）的结论，并在“，”的条件下，求的长． 模型3.中点四边形模型 中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形。 中点四边形是中点模型中比较经典的应用。中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块。 推广与应用 1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和。 2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的。 结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形． 条件：如图1，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，结论：四边形MNPQ为平行四边形。 证明：∵点M、N是AC、AB的中点，∴，， 同理：，，∴MN=PQ，，∴四边形是平行四边形， 图1 图2 结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形） 条件：如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，结论：四边形MNPQ为矩形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC⊥DB，∴MN⊥MQ，∴四边形MNPQ为矩形。 结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形） 条件：如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，结论：四边形MNPQ为菱形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC=DB，∴MN=MQ，∴四边形MNPQ为菱形。 图3 图4 结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形． 条件：如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB， 结论：四边形MNPQ为正方形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴，，， ∵AC=DB，AC⊥DB，∴MN=MQ，MN⊥MQ，，∴四边形MNPQ为正方形。 例1．（2024·河南信阳·模拟预测）顺次连接四边形各边的中点得到四边形，要使四边形是菱形，可以添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·江苏南通·统考二模）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（    ） A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝DC D．AB⊥DC 例3．（2023·辽宁抚顺·中考模拟）如图，，是四边形的对角线，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，连接，，，，要使四边形为正方形，则需添加的条件是（ ） A．， B．， C．， D．， 例4．（2023·云南昆明·统考二模）如图，在任意四边形中，，，，分别是，，，上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（    ） A．当，，，是各边中点，且时，四边形为菱形 B．当，，，是各边中点，且时，四边形为矩形 C．当，，，不是各边中点时，四边形可以为平行四边形 D．当，，，不是各边中点时，四边形不可能为菱形 例5．（2023上·河南郑州·九年级统考期中）如图，在中，，点是斜边的中点，分别以点，为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，得到四边形，依次连接四边形四条边中点得到四边形，若，那么四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 例6．（2024上·广东佛山·九年级校考阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】：（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【性质探究】：（2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系； 【问题解决】：（3）如图2．以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”； 【拓展应用】：如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点． （4）试探索与的数量关系，并说明理由．（5）若，求的最小值．    1．（2023·西藏·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．点E、F分别是AB，AO的中点，且AC＝8，则EF的长度为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 2．（2023·广东佛山·校考三模）如图，在中，，，是边上的中线，把线段沿着方向平移到点B，使得点C与点B重合，连接，，与相交与点O，则下列结论：①四边形为菱形；②；③；④的面积为四边形面积的一半．其中正确结论的个数为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2024·福建宁德·校考模拟预测）如图，在中，，D为斜边的中点，E，F分别是的中点，若，则的长为（　　）    A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2024下·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，，且，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，…按此规律进行下去．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ）    结论Ⅰ：当时，四边形是正方形；结论Ⅱ：当时，四边形的周长是10． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 5．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，在四边形中，分别是的中点．下列结论： ①四边形是平行四边形；②当时，四边形是菱形； ③当时，四边形是矩形．其中所有正确结论的序号是（   ）． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．（23-24八年级下·重庆·开学考试）如图，在中，是边上的中点，连接，把沿直线翻折，得到，连接，分别与交于点，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D．8.5 7．（2022·四川南充·中考真题）数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在外选择一点C，测得两边中点的距离为（如图），则A，B两点的距离是 m． 8．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）如图，在菱形中，对角线，相交于点，为边的中点．若，，则菱形的面积为 ．    9．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，菱形中，，面积为，对角线与相交于点，过点作，交延长线于点，连接，则 ． 10．（23-24八年级下·广西防城港·阶段练习）如图，在中，，是边上的高，、分别是、边的中点，若，，则的周长为 ． 11．（24-25九年级上·广东·课后作业）如图，在四边形中，点分别是边的中点，，，则 °． 12．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，菱形的边长为4，，过点B作交于点E，连接，F为的中点，连接，交于点G，则的长为 ． 13．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在四边形中，E、F、G、H分别是，，，的中点，且，下列结论：①四边形是菱形；②；③平分；④，其中正确结论的序号是 ．      14．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点．，在点从移动到（点不动）的过程中，则线段 ． 15．（24-25九年级上·福建三明·阶段练习）定义：顺次连结四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形中，顺次连结各边中点E、F、G、H得到的四边形叫做四边形的中点四边形． 利用三角形中位线的相关知识解决下列问题：(1)求证：四边形是平行四边形； (2)当对角线满足下列条件时，请你探究中点四边形的形状：(写出结果并证明)当时， 四边形是 ． 16．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，分别是边的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)这个中点四边形的形状是 ；(2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，分别为的中点，试判断四边形的形状并证明． 16．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）【探究】（1）如图①，在中，，D是的中点，连接．若，则______； 【应用】（2）如图②，在中，，是边上的高，E、F分别是、边的中点，若，，求的周长； 【拓展】（3）如图③，四边形中，，连接、．M是的中点，连接、．若的面积为32，则的长为______． 17．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）【定理证明】如图①，在中，，是斜边上的中线，求证：，请根据下面的提示，结合图①，写出完整的证明过程． 证明：延长至点E，使，连接、， 【结论应用】如图②，在四边形中，，，、分别是、的中点，当，时，______； 【拓展】如图③，是斜边上的中线，，，点是边上的一个点，过点分别作和的垂线，垂足为、．当点在边上移动时，则　　． 18．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，，垂足为，，垂足为，点是的中点，，交于点．（相关知识点提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．）(1)如图1，，求证：是等边三角形；(2)如图2，，试猜想是不是等边三角形？如果是等边三角形，请加以证明；如果不是等边三角形，请说明理由；(3)在（2）的条件下，若，，求的长度． 19．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）综合与探究：如图1，四边形中，分别是的中点，顺次连接．(1)如图1，在四边形内一点，使，其他条件不变，试探究四边形的形状，并说明理由．(2)在（1）的条件下，若，求四边形的面积． 20．（2023·河南信阳·校考三模）数学兴趣小组的同学在学习中点知识时，遇到如下一个问题：如图①，在边长为4的正方形中，点是边的中点，，连接，点分别是的中点，连接，求的长．小组成员展开讨论，方法多样、其中小佳同学的做法最具有推广性． 小佳同学是这样思考的： 题目中有两个中点，我想到用中位线，但是这两个中点所在的线段是交叉状态，所以可以通过轴对称将它变成“共顶点”的图形、这样就可以构造出三角形的中位线．具体如下：如图②．过点作，垂足为，易证四边形是矩形，连接、则点也是的中点，连接，则是的中位线，计算出的长度即可求出的长度． 根据以上信息，请回答以下问题：(1)点是中点的依据是__________________________ (2)请根据小佳同学的思路写出具体的证明过程．(3)如图③，在中，，，将绕着点顺时针旋转，，分别是，的中点，当点落在的边上时（不包含顶点），求的长度．      16 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$