专题07 特殊的平行四边形中的的图形变换模型之翻折（折叠）模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题07 特殊的平行四边形中的的图形变换模型之翻折（折叠）模型 几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。翻折以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、勾股、相似以及三角函数（而相似与三角函数需要到九年级才会学习），从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.矩形的翻折模型 2 模型2.菱形的翻折模型 9 模型3.正方形的翻折模型 14 20 【知识储备】 折叠问题的解决,大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化,是解决这类问题的突破口。有了“折”就有了”形”--轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”--线段之间、角与角之间的数量关系。"折” 就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。特殊平行四边形中的折叠问题,还要考虑特殊平行四边形本身的性质,有时也需要用到计算工具：相似和勾股定理。 折叠的性质:重合部分是全等图形,对应边、对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。 模型1.矩形的翻折模型 例1．（2023春·辽宁营口·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，点为的中点，连接，将沿着翻折得到，连接，则的长为（    ） A．3.6 B．4.8 C．7.2 D．8.6 例2．（2023春·陕西西安·八年级校考期末）如图，在矩形中，，，是上一个动点，是上一点点不与点重合．连接，将沿翻折，使点的对应点落在边上，连接，若，则的面积为(    )    A． B． C． D． 例3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，矩形中，，，将沿对角线翻折，使点落在处，与轴交于点，则点的坐标为 ．    例4．（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿直线翻折，点落B在点F处，连结，则的长为（    ）    A．6 B． C． D． 例5．（2023春·四川南充·八年级期末）如图，现有一张长方形纸片，将长方形纸片沿直线翻折，使点B与点D重合，折痕分别交边于点E，F，点A的对应点为，则折痕的长为（    ）    A． B． C．5 D． 例6．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在矩形中，，．点O为矩形的对称中心，点E为边上的动点，连接并延长交于点F．将四边形沿着翻折，得到四边形，边交边于点G，连接，则的面积的最小值为（    ）    A．18－3 B． C． D． 例7．（2023春·辽宁抚顺·八年级校联考期中）如图，矩形纸片中，，，点E、G分别在上，将、分别沿翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重合．当A、P、F、E四点在同一直线上时，线段长为（    ） A． B． C． D． 例8．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践： 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线． (1)如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则＝        °，＝        ； (2)如图2，若F为的中点，平分，，，求的度数及的长； (3)，，若F为的三等分点，请直接写出的长 ． 模型2.菱形的翻折模型 例1．（2023春·广西来宾·八年级校考期末）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与、重合），折痕为，若，，则的长为 ．    例2．（2023·安徽·统考一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A’MN，连结A’C，则A’C长度的最小值是（      ）. A． B． C． D．2 例3．（2023·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点A落在的中点处，折痕为，点，分别在边，上，则的长为（   ） A． B． C． D． 例4．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为（    ） A． B． C． D． 例5．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝16，BD＝12，E是边AD上一点，直线OE交BC于点F，将菱形沿直线EF折叠，使点B的对应点为B'，点A的对应点为A′，若AE＝4，则的长等于 ． 例6．（2023秋·重庆·九年级专题练习）如图，在菱形中，，，点是的中点，点是上一点，以为对称轴将折叠得到，以为对称轴将折叠得到，使得点落到上，连接．下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 模型3.正方形的翻折模型 例1．（2023·陕西渭南·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是CD的中点，将△BCE沿BE翻折至△BFE，G是BE的中点，连接FG，则FG的长度是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF＝2，则BF2＝（    ） A．4＋4 B．6＋4 C．12 D．8＋4 例3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，是一个正方形纸片，、分别为、的中点，沿过点的折痕将翻折，使点落在上如图的点，折痕交于点，那么(    ) A． B． C． D． 例 4．（2023春·重庆·八年级专题练习）如图，在正方形中，，点、分别在边、上，沿翻折，使点的对应点恰好落在边的中点处，若点的对应点为，则线段的长为 ；若线段的垂直平分线分别交、于点、，则 . 例5．（2023·四川广元·统考一模）如图，在正方形中，，点E在边上，且，将沿对折至，延长交边于点G，连接，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 （填序号）． 例6．（2023·江苏扬州·校考二模）如图，将正方形沿着、翻折，点、的对应点分别是点、，若，则 ．    例7．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）问题情境：如图1，在正方形中，，点是边上一点（点不与重合），将沿直线翻折，点落在点处． (1)如图2，当点落在对角线上时，求的长．(2)如图3，连接分别交于点，点，连接并延长交于点，当为中点时，试判断与的位置关系，并说明理由．    (3)如图4，在线段上取一点，且使，连接，则在点从点运动到点的过程中，的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由． 1．（2024·湖北·八年级专题练习）如图，折叠菱形纸片，使得对应边过点C，若，当时，的长是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏·八年级专题练习）如图，菱形的对角线相交于点O，，，将菱形按如图所示的方式折叠，使点B与O重合，折痕为，则五边形的周长为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·湖北恩施·八年级校考期末）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，P为AB的中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC的度数是（　　） A．45° B．60° C．75° D．80° 4．（2024·河北邢台·八年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，，点E在边AD上，，点F在边BC上，将四边形CDEF沿EF所在的直线翻折，点D恰好落在点O处，点C落在点处．下列结论中，正确的有（    ） ①；②过点O作于点P，是等腰直角三角形；③AB的长为 A．3个 B．2个 C．0个 D．1个 5．（2024·重庆合川·八年级统考期末）如图，在矩形中，，为的中点，连接，将沿所在直线翻折至四边形所在平面内，得，延长与交于点，若，则四边形的面积为（　　）    A． B．8 C．12 D．16 6．（2024·重庆南岸·八年级校联考期中）如图，四边形是一张矩形纸片，，若沿过点的折痕将角翻折，使点落在上的处，折痕交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·陕西西安·八年级校考期末）如图，正方形ABCD的边长为5，点E是CD上的一点，且DE＝2，将正方形沿AE翻折，点D落在点M处，延长EM交BC于点F，则BF的长为（　　） A． B． C． D． 8．（2024·内蒙古·中考真题）如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点．是边上一点，是上一点，连接．若与关于直线对称，则的周长是（    ）    A． B． C． D． 9．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为 ．    10．（2023·吉林·统考中考真题）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为 度．    11．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．    12．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ．    13．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．    14．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则的长等于 ．    15．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处不与、重合，折痕为，若，，则的长为 ． 16．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．    17．（2023春·河南商丘·八年级统考期末）如图，点在正方形的边上（不与点重合），连接，将沿翻折，使点落在点处，作射线交于点，交于点，连接． (1)求证：．(2)过点作交射线于点．①求的度数；②直接写出线段与之间的数量关系．    18．（2023·山西临汾·统考二模）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在矩形中，为边上一点，为边上一点，连接，分别将和沿翻折，的对应点分别为，且三点共线．           观察发现：（1）如图1，若为边的中点，，点与点重合，则__________，__________．问题探究：（2）如图2，若，求的长． 拓展延伸：（3），若为的三等分点，请直接写出的长． 13 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 特殊的平行四边形中的的图形变换模型之翻折（折叠）模型 几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。翻折以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、勾股、相似以及三角函数（而相似与三角函数需要到九年级才会学习），从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.矩形的翻折模型 2 模型2.菱形的翻折模型 9 模型3.正方形的翻折模型 14 20 【知识储备】 折叠问题的解决,大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化,是解决这类问题的突破口。有了“折”就有了”形”--轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”--线段之间、角与角之间的数量关系。"折” 就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。特殊平行四边形中的折叠问题,还要考虑特殊平行四边形本身的性质,有时也需要用到计算工具：相似和勾股定理。 折叠的性质:重合部分是全等图形,对应边、对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。 模型1.矩形的翻折模型 例1．（2023春·辽宁营口·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，点为的中点，连接，将沿着翻折得到，连接，则的长为（    ） A．3.6 B．4.8 C．7.2 D．8.6 【答案】C 【详解】解：连接与相交于点G，如图， 根据轴对称的性质可得，，，， ∵点为的中点，∴， 在中，，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，， ∵，∴，∴．故选：C． 例2．（2023春·陕西西安·八年级校考期末）如图，在矩形中，，，是上一个动点，是上一点点不与点重合．连接，将沿翻折，使点的对应点落在边上，连接，若，则的面积为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作于点，    四边形为矩形，，，，，， 由折叠可知， ， ，，， 设则在中，， ，解得：，，， ，四边形为矩形，， ，，，， 设则在中，， ，解得：，，故选：B． 例3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，矩形中，，，将沿对角线翻折，使点落在处，与轴交于点，则点的坐标为 ．    【答案】 【详解】解：由题意可知：，，， 设，则，又，，， 在中，，即， 解得：，点的坐标为，故答案为：． 例4．（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿直线翻折，点落B在点F处，连结，则的长为（    ）    A．6 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接交于点，    将沿直线翻折，点落在点处， 点、关于对称，，，，点为的中点，， 又，，，则， ，，．故选：B． 例5．（2023春·四川南充·八年级期末）如图，现有一张长方形纸片，将长方形纸片沿直线翻折，使点B与点D重合，折痕分别交边于点E，F，点A的对应点为，则折痕的长为（    ）    A． B． C．5 D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，过点F作于H，∵四边形是矩形， ∴，∴， 由折叠的性质可得， ∴，∴，设，则， 在中，由勾股定理得，∴，解得， ∴，∴， ∵，∴四边形是矩形， ∴，，∴，∴，故选B．    例6．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在矩形中，，．点O为矩形的对称中心，点E为边上的动点，连接并延长交于点F．将四边形沿着翻折，得到四边形，边交边于点G，连接，则的面积的最小值为（    ）    A．18－3 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在上截取，连接，    由折叠得：，又，， ，最短时，也就最短，而当时，最短， 此时，点为矩形的对称中心，，即的最小值是4， 在中，点为矩形的对称中心， 长度是矩形对角线长度的一半，即是5，定值，度数也不变，是定值， 当最小值时，面积最小．过点作， 点为矩形的对称中心，  ， 中，， 中，，， 面积的最小值是．故选：D． 例7．（2023春·辽宁抚顺·八年级校联考期中）如图，矩形纸片中，，，点E、G分别在上，将、分别沿翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重合．当A、P、F、E四点在同一直线上时，线段长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在矩形纸片中，，，∴，，， ∵将沿翻折，翻折后点C与点F重合， ∴，，，∴， 设，∴，， ∵，∴，解得：，∴， ∵将沿翻折，翻折后点B与点P重合， ∴，，，∴， 设，则， ∵，∴，∴，∴线段GP长为，故选：B． 例8．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践： 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线． (1)如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则＝        °，＝        ； (2)如图2，若F为的中点，平分，，，求的度数及的长； (3)，，若F为的三等分点，请直接写出的长 ． 【答案】(1)45；2(2)；(3)2或 【详解】（1）∵，四边形是矩形， ∴四边形是正方形，∴，， ∵将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H， ∴，，∵，∴， ∵F为的中点，∴， ∵将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H， ∴，，设，则，∴， ∵，∴，∴，∴．故答案为：45；2； （2）如图2，延长，交于点M， ∵平分，∴，由折叠的性质可知，，， ∴，∴， ∵，，∴和均为等腰直角三角形， ∴，，∴，即，解得． （3）分两种情况：①当时，如图3，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，， 由折叠的性质可知，，，∴， ∵，∴，，∴， 在和中， ，∴，∴， 设，，，∴，解得，∴． ②当时，如图4，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，， 由折叠的性质可知，，，∴， ∵，∴，，设，，， ∵，∴，解得，∴． 综上可知，的长为2或． 模型2.菱形的翻折模型 例1．（2023春·广西来宾·八年级校考期末）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与、重合），折痕为，若，，则的长为 ．    【答案】/2.5/ 【详解】解：作于，由折叠的性质可知，，四边形是菱形，      ，，为等边三角形，， 设，则，在中，，， 在中，，即， 解得，，，故答案为：． 例2．（2023·安徽·统考一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A’MN，连结A’C，则A’C长度的最小值是（      ）. A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，过点M作MF⊥DC于点F， ∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°， ∴∠FMD=30°，∴FD=MD=，∴FM=DM×cos30°=， ∴MC=，∴A′C=MC-MA′=-1．故选B． 例3．（2023·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点A落在的中点处，折痕为，点，分别在边，上，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接、， 四边形为菱形，，，，是等边三角形， 是中点，，，，， ∵CD∥AB，，由折叠可得， ，，．故选：A． 例4．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，∵是的垂直平分线，∴， ∵，∴是等边三角形，∴， ∵四边形是菱形，∴，∴， ∵菱形纸片沿折叠，点对应点为点，∴， ∴，故选D； 例5．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝16，BD＝12，E是边AD上一点，直线OE交BC于点F，将菱形沿直线EF折叠，使点B的对应点为B'，点A的对应点为A′，若AE＝4，则的长等于 ． 【答案】6 【详解】解：四边形是菱形，， ， ， 在和中，，， ，，由折叠的性质得：，故答案为：6． 例6．（2023秋·重庆·九年级专题练习）如图，在菱形中，，，点是的中点，点是上一点，以为对称轴将折叠得到，以为对称轴将折叠得到，使得点落到上，连接．下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A.由折叠可知和分别是和的平分线． 又，，故选项A正确． B.又点与点关于对称，，又，，故选项B正确． C和D.如答图，过点作于点．    ，，，易知，， 设，，， 点是的中点，折叠后点落到上，点与点重合，． 易知点共线，． ，，解得． ，， ，故选项C正确，选项D错误．综上，故选：D． 模型3.正方形的翻折模型 例1．（2023·陕西渭南·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是CD的中点，将△BCE沿BE翻折至△BFE，G是BE的中点，连接FG，则FG的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵将△BCE沿BE翻折至△BFE，∴，∴为直角三角形， 则，故选C． 例2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF＝2，则BF2＝（    ） A．4＋4 B．6＋4 C．12 D．8＋4 【答案】D 【详解】解：过点F作FG⊥BC交于G点，由折叠可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°， 设正方形的边长为x，∵EF＝2，∴DE＝2，EC＝x﹣2，ACx， 在Rt△EFC中，EC2＝FE2+FC2，∴（x﹣2）2＝4+（﹣x）2，解得x＝22，∴FC＝x﹣x＝2， ∵∠ACB＝45°，∴FG＝CG，∴BG2， 在Rt△BFG中，BF2＝BG2+GF2＝（2）2+2＝8+4，故选：D． 例3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，是一个正方形纸片，、分别为、的中点，沿过点的折痕将翻折，使点落在上如图的点，折痕交于点，那么(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是正方形，∴，， ∵、分别为、的中点，∴，∴四边形是矩形， ∴，，根据折叠的性质：， 在中，，∴，∴， ∴．故选：A． 例 4．（2023春·重庆·八年级专题练习）如图，在正方形中，，点、分别在边、上，沿翻折，使点的对应点恰好落在边的中点处，若点的对应点为，则线段的长为 ；若线段的垂直平分线分别交、于点、，则 . 【答案】 5 【详解】解：∵四边形是正方形，∴，， ∵是的中点，∴，由折叠性质可知， 设，则，由勾股定理得，即，解得， ∴；如图，过点作于，连接，易知，， 由折叠性质可知，，，设，则， 由勾股定理得，即，解得， ∴，∴，∴， ∵是的垂直平分线，∴，，， 设，则，∵，， ∴，解得，∴，∴， 在中，由勾股定理得．故答案为：5；． 例5．（2023·四川广元·统考一模）如图，在正方形中，，点E在边上，且，将沿对折至，延长交边于点G，连接，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③④⑤ 【详解】解：∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG = 90°，∴，故①正确； ∵，∴，∴， 设，则，在中，由勾股定理得：， 即：，解得：，∴，∴，故②正确； ∵，∴，∵是等腰三角形，， ∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴， ∴， ∴，∴，故③正确； ∵，，∴，故④正确； ∵，又∵，∴， ∴，故⑤正确；故答案为：①②③④⑤． 例6．（2023·江苏扬州·校考二模）如图，将正方形沿着、翻折，点、的对应点分别是点、，若，则 ．    【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形，∴，由折叠可知，，， ∵，， ∴，即：，∴， ∴，故答案为：． 例7．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）问题情境：如图1，在正方形中，，点是边上一点（点不与重合），将沿直线翻折，点落在点处． (1)如图2，当点落在对角线上时，求的长．(2)如图3，连接分别交于点，点，连接并延长交于点，当为中点时，试判断与的位置关系，并说明理由．    (3)如图4，在线段上取一点，且使，连接，则在点从点运动到点的过程中，的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见解析．(3) 【详解】（1）根据折叠的性质可知，，∴． ∵，∴为等腰直角三角形．∴．∴． ∴．∴．∴．∴． （2），理由如下：如图所示，连接，交于点．       根据题意可知为线段的垂直平分线，∴．∵为中点，∴，即． （3）如图所示，在线段上取一点，使，连接，． 在和中，∴．∴．∴． 观察图形可知，当点，，在同一条直线上时，最小，最小值为． ∴． 1．（2024·湖北·八年级专题练习）如图，折叠菱形纸片，使得对应边过点C，若，当时，的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，延长交于点G， ∵四边形是菱形，，∴，∴ 由折叠的性质可知，∵，∴， 又∵，∴，∴，∴， 设，则，∴， 在中，依据勾股定理可得，∴， 解得，（负值已舍去）∴，故选B． 2．（2024·江苏·八年级专题练习）如图，菱形的对角线相交于点O，，，将菱形按如图所示的方式折叠，使点B与O重合，折痕为，则五边形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是菱形，∴，，， ∴，∴， ∴是等边三角形，∴，∴， ∵折叠，∴，，∴，， ∴，， ∴，，∴和是等边三角形， ∴，，∵，， ∴是的中位线，∴， ∴五边形AEFCD的周长：，故选：A． 3．（2024·湖北恩施·八年级校考期末）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，P为AB的中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC的度数是（　　） A．45° B．60° C．75° D．80° 【答案】C 【详解】解：如图：连接BD， ∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°， ∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°， ∴∠PDC=90°，∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°， 在△DEC中，∠DEC=180°-（∠CDE+∠C）=75°．故选C． 4．（2024·河北邢台·八年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，，点E在边AD上，，点F在边BC上，将四边形CDEF沿EF所在的直线翻折，点D恰好落在点O处，点C落在点处．下列结论中，正确的有（    ） ①；②过点O作于点P，是等腰直角三角形；③AB的长为 A．3个 B．2个 C．0个 D．1个 【答案】D 【详解】解：①四边形是矩形，，， ，，， 四边形沿所在的直线翻折，点恰好落在点处，，， 是的外角，，①错误，不符合题意； ②过点作于点，如图所示：，，由①得，，， 是等腰直角三角形．故②正确，符合题意；③在中，设，则由②得， 是等腰直角三角形，即，解得，， 过点作，如图所示：，，， ，，，四边形是矩形， ，，故③错误，不符合题意； 正确的结论只有②．即一个正确的结论，故选：D． 5．（2024·重庆合川·八年级统考期末）如图，在矩形中，，为的中点，连接，将沿所在直线翻折至四边形所在平面内，得，延长与交于点，若，则四边形的面积为（　　）    A． B．8 C．12 D．16 【答案】A 【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，， ∵为的中点，∴， ∵沿所在直线翻折至四边形所在平面内，得， ∴，，，连接，如图：    ∴，∴，∴， 设，则,，，， 在中，，即，解得：（负值舍去）， ∴，∴，∴．故选：A． 6．（2024·重庆南岸·八年级校联考期中）如图，四边形是一张矩形纸片，，若沿过点的折痕将角翻折，使点落在上的处，折痕交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形为矩形，，，， 根据折叠可得，，，，，， ，，．故选：． 7．（2023·陕西西安·八年级校考期末）如图，正方形ABCD的边长为5，点E是CD上的一点，且DE＝2，将正方形沿AE翻折，点D落在点M处，延长EM交BC于点F，则BF的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接AF，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD＝BC＝5， ∵DE＝2，∴CE＝3，由折叠的性质得：ME＝DE＝2，∠AME＝∠D＝90°，AM＝AD， ∴∠AMF＝90°，AB＝AM，在Rt△ABF和Rt△AMF中，， ∴Rt△ABF≌Rt△AMF（HL），∴BF＝MF，设BF＝MF＝x，则CF＝5﹣x，EF＝2+x， 在Rt△CEF中，由勾股定理得：32+（5﹣x）2＝（x+2）2，解得：x＝，∴BF＝，故选：D． 8．（2024·内蒙古·中考真题）如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点．是边上一点，是上一点，连接．若与关于直线对称，则的周长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：正方形的边长为2， ∴，∴， ∵与关于直线对称，∴，， ∴，，∴， ∴，∴， ∴的周长是，故选：A． 9．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为 ．    【答案】 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，        ∵正方形的边长为1，四边形与四边形的面积比为3∶5， ∴，设，则，则 ∴即 ∴ ∴，∴， ∵折叠，∴，∴，∵，∴， 又,∴，∴ 在中，即解得：，故答案为：． 10．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为 度．    【答案】 【详解】解：∵正五边形的每一个内角为， 将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则， ∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为， ∴，， 在中，，故答案为：． 11．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．    【答案】 【详解】解：四边形是平行四边形，，， 由折叠得：，，，， ，，，， 四边形是平行四边形，． 故答案：． 12．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ．    【答案】/ 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，    ∵在中，，，， ∴，∴， 在中， ∵将沿折叠得到，当点恰好落在上时，∴ 又∴∴∴ 设，∴在中， ∴解得：（负整数）故答案为：． 13．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．    【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形，∴， ∵折叠，∴，在中， ∴，∴设，则， ∵折叠，∴，在中，， ∴，解得：，∴，∴的坐标为，故答案为：． 14．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则的长等于 ．    【答案】 【详解】解：过点A作于点Q，∵四边形为菱形，， ∴，，∴， ∵由沿折叠所得，∴，∴， ∵，，∴，则， ∴，∴，故答案为：．    15．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处不与、重合，折痕为，若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：作于，由折叠的性质可知，，由题意得，， 四边形是菱形，，， 为等边三角形，，设，则， 在中，，，在中，， 即，解得，，即，故答案为：． 16．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．    【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形，∴， ∵折叠，∴，在中， ∴，∴设，则， ∵折叠，∴，在中，， ∴，解得：，∴，∴的坐标为，故答案为：． 17．（2023春·河南商丘·八年级统考期末）如图，点在正方形的边上（不与点重合），连接，将沿翻折，使点落在点处，作射线交于点，交于点，连接．    (1)求证：．(2)过点作交射线于点．①求的度数；②直接写出线段与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析(2)①；② 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，∴， ∴，∴， ∴，∴； （2）①如图，∵点D与点F关系对称，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴； ②过点A作点P，    ∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，， ∴，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∵，∴． 18．（2023·山西临汾·统考二模）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在矩形中，为边上一点，为边上一点，连接，分别将和沿翻折，的对应点分别为，且三点共线．           观察发现：（1）如图1，若为边的中点，，点与点重合，则__________，__________．问题探究：（2）如图2，若，求的长． 拓展延伸：（3），若为的三等分点，请直接写出的长． 【答案】（1）；；（2）；（3）6或 【详解】解：（1）在矩形中，为边的中点，， ∴，，∵折叠后点与点重合， ∴，， ∴，， ∴ 在中，， ∴，解得；故答案为:；． （2）如图1，延长交于点，       由折叠的性质可知，．∵， 和均为等腰直角三角形，． ，即，解得，． （3）6或．分两种情况：①当时，如图2，过点作交的延长线于点，连接， 则四边形为矩形，，由折叠的性质可知，．． 在和中，，∴,∴． 设，，解得．∴，； ②当时，如图3，过点作交的延长线于点，连接，    则四边形为矩形，．由折叠的性质可知， ．．设，则． ，， 解得，．综上，的长为6或． 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$