专题07 特殊的平行四边形中的的图形变换模型之翻折（折叠）模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题07 特殊的平行四边形中的的图形变换模型之翻折（折叠）模型 几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。翻折以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、勾股、相似以及三角函数（而相似与三角函数需要到九年级才会学习），从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.矩形的翻折模型 2 模型2.菱形的翻折模型 8 模型3.正方形的翻折模型 13 20 【知识储备】 折叠问题的解决,大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化,是解决这类问题的突破口。有了“折”就有了”形”--轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”--线段之间、角与角之间的数量关系。"折” 就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。特殊平行四边形中的折叠问题,还要考虑特殊平行四边形本身的性质,有时也需要用到计算工具：相似和勾股定理。 折叠的性质:重合部分是全等图形,对应边、对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。 模型1.矩形的翻折模型 例1．（2023春·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，在矩形纸片中，点在边上，将沿翻折得到，点落在上．若，，则（    ）cm． A． B． C． D． 例2．（2023春·河南商丘·八年级统考期末）如图，在长方形中．，，将沿翻折，使得点D落在边上处，则的长是（    ）    A．3 B．4 C． D． 例3．（2023春·广东潮州·八年级统考期末）如图矩形沿着对角线翻折，点落在点处，与相交于点，若．(1)求证：；(2)求的长．    例4．（2023春·湖北·八年级专题练习）如图，在长方形中，，，为上一点，将沿翻折至，，与分别相交于点，，且．则的长为（    ） A． B． C． D． 例5．（2023春·广东韶关·八年级统考期末）把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为．若，，则的长为（    ）    A．3 B．4 C．4.8 D．5 例6．（2023春·江苏连云港·八年级统考期末）如图，矩形中，，，点O为矩形的对称中心，点E为边上的动点，连接并延长交于点F．将四边形沿着翻折，得到四边形边交边于点G，连接、，则的面积的最小值为 ．    例7．（2023春·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，，，则矩形ABCD的周长为（    ） A．18cm B．18.4cm C．19.6cm D．20cm 例8．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线． (1)如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则＝        °，＝        ； (2)如图2，若F为的中点，平分，，，求的度数及的长； (3)，，若F为的三等分点，请直接写出的长 ． 模型2.菱形的翻折模型 例1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG＝2，AD＝6，则BE的长为（　　） A． B． C．3 D．3.5 例2．（2023春·河北保定·八年级统考期末）如图，在平行四边形中，，M是边的中点，N是边上的动点，将沿所在的直线翻折得到，连接．对于结论I、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论I：当时，四边形是菱形； 结论Ⅱ：当点在线段上时，的长度为 A．I对Ⅱ不对 B．I不对Ⅱ对 C．I、Ⅱ都不对 D．I、Ⅱ都对    例3．（2023·山东八年级统考期末）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点P处，折痕为MN，点M，N分别在边AB，AD上，则BM：AM的值为（    ） A． B． C． D． 例4．（2023春·山东临沂·八年级统考期中）如图，菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在（为中点）所在的直线上，得到经过点的折痕．则的大小为（    ）    A． B． C． D． 例5．（2023·浙江·九年级期末）对角线长分别为6和8的菱形如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，两点重合，是折痕．若，则的长为 ． 例6．（2023·安徽安庆·校考三模）如图，在菱形中，，，点E是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠使落在直线上，点B的对应点为点H，折痕为且交于点F．（1） ；（2）若点E是的中点，则的长为 ．    模型3.正方形的翻折模型 例1．（2023·河南洛阳·统考二模）如图，正方形的边长为4，点F为边的中点，点P是边上不与端点重合的一动点，连接．将沿翻折，点A的对应点为点E，则线段长的最小值为（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·广西玉林·统考模拟预测）如图，在正方形ABCD的边AB上取一点E，连接CE，将△BCE沿CE翻折，点B恰好与对角线AC上的点F重合，连接DF，若BE＝2，则△CDF的面积是（　　） A．1 B．3 C．6 D． 例3．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E，F分别为AB，CD的中点，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在EF上的点A′处，则EG＝ cm． 例 4．（2023·天津河东·统考二模）如图，若该正方形ABCD边长为10，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边恰好经过点A，过点A作，垂足分别为G，若，则的长度为 ． 例5．（2023·山东济南·八年级统考期中）如图，正方形中，，点E在边上，且，将沿对折至，延长交边于点G，连接，，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是 ． 例6．（2023·广东深圳·统考中考模拟）如图在正方形中，，将沿翻折，使点对应点刚好落在对角线上，将沿翻折，使点对应点落在对角线上，求 . 例7．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）问题情境：如图1，在正方形中，，点是边上一点（点不与重合），将沿直线翻折，点落在点处． (1)如图2，当点落在对角线上时，求的长．(2)如图3，连接分别交于点，点，连接并延长交于点，当为中点时，试判断与的位置关系，并说明理由．    (3)如图4，在线段上取一点，且使，连接，则在点从点运动到点的过程中，的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由． 1．（2024·重庆·九年级专题练习）如图，在菱形中，，，点是的中点，点是上一点，以为对称轴将折叠得到，以为对称轴将折叠得到，使得点落到上，连接．下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为，与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，菱形ABCD中，点E在AD上，将△ABE沿着BE翻折，点A恰好落在CD上的点F处．若∠A=65°，则∠DFE的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（2023春·重庆铜梁·八年级校考期末）如图，在矩形中，点P在边上，连接，将沿翻折得到，沿翻折得到，与交于点E．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（2023春·广东八年级期中）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片翻折，使点C恰好落在对角线交点O处，折痕为，点E在边上，则的长为（　　） A．12 B．15 C．10 D．15 6．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，正方形的边长为10，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 7．（2023·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）在矩形中，，，点E在边上，连接，将沿翻折，得到，交于点F，连接．若点F为的中点，则的长度为 ． 8．（2023春·福建泉州·八年级统考期中）已知：如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、将矩形纸片沿着翻折，使点与点重合，点与点重合，连接，①如图1，若，，则 ；②如图2，直线分别交平行四边形的边、于点、，将平行四边形沿着翻折，使点与点重合，点与点重合，连接，若，，，则四边形的面积是 ． 9．（2023·浙江金华·九年级校考期中）如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在边上的处，点落在点处，折痕为，点，分别在边，上，若为直角三角形，则的长为 ． 10．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．    11．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ．    12．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为 ．    13．（2024·四川南充·中考真题）如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，，若平分，，则的长为 ．    14．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）已知矩形纸片，，，点P在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点B的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 15．（2024·山东威海·中考真题）将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则 ． 16．（2024·江西·九年级统考期中）【操作体验】如图，在正方形中，点在边上，点在边上．将四边形沿直线翻折，得到四边形，顶点落在边上的点（不与点、重合）处，点落在正方形右侧的点处，与相交于点． （1）在图1中，若，，则______，的度数为____________ 【操作体验】（2）当时，如图2，求证：． 【操作体验】（3）利用图3探究，当正方形边长不变时，随着折痕的变化，的周长是否会发生变化？如果会，请说明变化规律；如果不会，请加以证明，并探究正方形周长与的周长的关系．      17．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践： 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线． (1)如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则＝        °，＝        ； (2)如图2，若F为的中点，平分，，，求的度数及的长； (3)，，若F为的三等分点，请直接写出的长 ． 18．（2023·江苏·统考中考真题）综合与实践 定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形．（1）概念理解：当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（）与长的比值是_________． （2）操作验证：用正方形纸片进行如下操作（如图（2））： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为； 第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为． 试说明：矩形是1阶奇妙矩形．   　　  　　  　　   （3）方法迁移：用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．（4）探究发现：小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形边上（不与端点重合）任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 特殊的平行四边形中的的图形变换模型之翻折（折叠）模型 几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。翻折以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、勾股、相似以及三角函数（而相似与三角函数需要到九年级才会学习），从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.矩形的翻折模型 2 模型2.菱形的翻折模型 8 模型3.正方形的翻折模型 13 20 【知识储备】 折叠问题的解决,大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化,是解决这类问题的突破口。有了“折”就有了”形”--轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”--线段之间、角与角之间的数量关系。"折” 就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。特殊平行四边形中的折叠问题,还要考虑特殊平行四边形本身的性质,有时也需要用到计算工具：相似和勾股定理。 折叠的性质:重合部分是全等图形,对应边、对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。 模型1.矩形的翻折模型 例1．（2023春·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，在矩形纸片中，点在边上，将沿翻折得到，点落在上．若，，则（    ）cm． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵将沿翻折得到，点F落在上， ∴，，， ∵，∴， ∵四边形是矩形，∴，，∴，∴， 在中，，∴，∴，∴，故选B． 例2．（2023春·河南商丘·八年级统考期末）如图，在长方形中．，，将沿翻折，使得点D落在边上处，则的长是（    ）    A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是矩形，，∴，，， ∵将沿翻折，使得点D落在边上处，∴，， 在直角三角形中，，∴， 设，则，在直角三角形中，根据勾股定理可得：， 即，解得：；即；故选：C． 例3．（2023春·广东潮州·八年级统考期末）如图矩形沿着对角线翻折，点落在点处，与相交于点，若．(1)求证：；(2)求的长．    【答案】(1)见解析；(2)5． 【详解】（1）证明：在矩形中， 由翻折的性质可知， ∴ 在与中，∴ （2）解：设，则 ∵ ∵ 在中∴∴解得．∴ 例4．（2023春·湖北·八年级专题练习）如图，在长方形中，，，为上一点，将沿翻折至，，与分别相交于点，，且．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，， 根据题意得：，∴，，， ∵，，，∴，∴，，∴， 设，则，，∴，， 根据勾股定理得：，即，解得：，∴，故选：D 例5．（2023春·广东韶关·八年级统考期末）把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为．若，，则的长为（    ）    A．3 B．4 C．4.8 D．5 【答案】D 【详解】解：∵长方形中，，∴，， 由折叠的性质可得：，设，则， 根据勾股定理得出：，解得：，即，故选：D． 例6．（2023春·江苏连云港·八年级统考期末）如图，矩形中，，，点O为矩形的对称中心，点E为边上的动点，连接并延长交于点F．将四边形沿着翻折，得到四边形边交边于点G，连接、，则的面积的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：在上截取，连接，    由折叠得：，又，，， 最短时，也就最短，而当时，最短， 此时，点为矩形的对称中心，，即的最小值是5， 在中，∵点O为矩形的对称中心， 长度是矩形对角线长度的一半，即是5，定值，度数也不变，是定值， 当最小值时，面积最小．过点O作， 点为矩形的对称中心，， 中，，中，， ，面积的最小值是．答案：． 例7．（2023春·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，，，则矩形ABCD的周长为（    ） A．18cm B．18.4cm C．19.6cm D．20cm 【答案】C 【详解】解：如图所示， ∵将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH， ∴EA＝EM，BE＝EM，∠AEH＝∠HEM，∠BEF＝∠FEM，∠EMH＝∠A＝90°，∴AB＝AE+EB＝2EM， ∵∠AEH+∠HEM+∠BEF+∠FEM＝180°，∴∠HEF＝∠HEM+∠FEM180°＝90°， 同理，∠EFG＝∠FGH＝90°，∴四边形EFGH是矩形， ∵EH＝3cm，EF＝4cm，∴HF5（cm）， ∵EM•HF＝EH•EF，  ∴EM（cm），∴AB＝2（cm）， 由折叠知，AH＝HM，BF＝MF，DH＝HN，CF＝NF， ∴AH+DH+BF+CF＝HM+MF+HN+NF，∴AD+BC＝2HF＝2×5＝10， ∵AD＝BC，∴AD＝5，∴矩形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2（5）＝19.6（cm），故选：C． 例8．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践： 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线． (1)如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则＝        °，＝        ； (2)如图2，若F为的中点，平分，，，求的度数及的长； (3)，，若F为的三等分点，请直接写出的长 ． 【答案】(1)45；2(2)；(3)2或 【详解】（1）∵，四边形是矩形，∴四边形是正方形，∴，， ∵将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H， ∴，，∵，∴， ∵F为的中点，∴， ∵将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H， ∴，，设，则，∴， ∵，∴，∴，∴．故答案为：45；2； （2）如图2，延长，交于点M， ∵平分，∴，由折叠的性质可知，，， ∴，∴， ∵，，∴和均为等腰直角三角形， ∴，，∴，即，解得． （3）分两种情况：①当时，如图3，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，， 由折叠的性质可知，，，∴， ∵，∴，，∴， 在和中， ，∴，∴， 设，，，∴，解得，∴． ②当时，如图4，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，，由折叠的性质可知，，，∴， ∵，∴，，设，，， ∵，∴，解得，∴． 综上可知，的长为2或． 模型2.菱形的翻折模型 例1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG＝2，AD＝6，则BE的长为（　　） A． B． C．3 D．3.5 【答案】A 【详解】解：作EH⊥BD于H，由折叠的性质可知，EG＝EA，∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝BD＝AD＝6， 设BE＝x，则EG＝AE＝6﹣x，在Rt△EHB中，BH＝x，EH＝x， 在Rt△EHG中，EG2＝EH2+GH2，即（6﹣x）2＝（x）2+（4﹣x）2， 解得，x＝，∴BE＝，故选：A． 例2．（2023春·河北保定·八年级统考期末）如图，在平行四边形中，，M是边的中点，N是边上的动点，将沿所在的直线翻折得到，连接．对于结论I、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论I：当时，四边形是菱形； 结论Ⅱ：当点在线段上时，的长度为 A．I对Ⅱ不对 B．I不对Ⅱ对 C．I、Ⅱ都不对 D．I、Ⅱ都对    【答案】D 【详解】解：由折叠可知，，， 若，∵，∴， ∴，即四边形是菱形，故结论I正确； 连接，过点C作，如下图所示，    ∵是平行四边形，， ∴，∴，∴ 又∵M是边的中点，∴在中，，由勾股定理得，， ∵，∴的长度为，∴Ⅱ正确，故选：D． 例3．（2023·山东八年级统考期末）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点P处，折痕为MN，点M，N分别在边AB，AD上，则BM：AM的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，， 四边形为菱形，，，，是等边三角形， 是中点，，，，， ，，由折叠可得，设，∴，， ，即， ，．故答案为：B． 例4．（2023春·山东临沂·八年级统考期中）如图，菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在（为中点）所在的直线上，得到经过点的折痕．则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，    四边形为菱形，，为等边三角形，，， 为的中点，为的平分线，即， ，由折叠的性质得到， 在中，．故选：B． 例5．（2023·浙江·九年级期末）对角线长分别为6和8的菱形如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，两点重合，是折痕．若，则的长为 ． 【答案】4 【详解】解：连接、，如图， 点为菱形的对角线的交点，，，， 在中，，，， 在和中，，， 过点折叠菱形，使，两点重合，是折痕，， ，，故答案为：4． 例6．（2023·安徽安庆·校考三模）如图，在菱形中，，，点E是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠使落在直线上，点B的对应点为点H，折痕为且交于点F．（1） ；（2）若点E是的中点，则的长为 ．    【答案】 【详解】解：（1）由翻折可得，，， ，，即．故答案为：． （2）四边形为菱形，，， 由翻折可得，，，， 点是的中点，，，即点与点重合． ，点，，三点在同一条直线上． 过点作，交的延长线于点．    ，，，，，， 由翻折可得，，设，则，， 由勾股定理可得，解得，．故答案为：． 模型3.正方形的翻折模型 例1．（2023·河南洛阳·统考二模）如图，正方形的边长为4，点F为边的中点，点P是边上不与端点重合的一动点，连接．将沿翻折，点A的对应点为点E，则线段长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接BF，则EF≥BF－BE，当点B、E、F在同一条直线上时，EF的长度有最小值，如图 由翻折的性质，BE=AB=4，在正方形ABCD中，BC=CD=4，∠C=90°， ∵点F为边的中点，∴CF=2，∴，∴；故选：B． 例2．（2023·广西玉林·统考模拟预测）如图，在正方形ABCD的边AB上取一点E，连接CE，将△BCE沿CE翻折，点B恰好与对角线AC上的点F重合，连接DF，若BE＝2，则△CDF的面积是（　　） A．1 B．3 C．6 D． 【答案】B 【详解】如图连接BD交AC于O， ∵ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，AC⊥BD，DO＝BO，∠BAC＝45°， ∵△BCE沿CE翻折，∴BE＝EF＝2，BC＝CF，∠EFC＝90°， ∵∠BAC＝45°，∠EFC＝90°，∴∠EAF＝∠AEF＝45°，∴AF＝EF＝2，∴AE＝2， ∴AB＝2+2＝BC＝CF，∴BD＝AB＝4+2，∴OD＝2+， ∵S△CDF＝×CF×DO＝3+4，故选B． 例3．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E，F分别为AB，CD的中点，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在EF上的点A′处，则EG＝ cm． 【答案】 【详解】解：∵ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E、F分别为AB，CD的中点， ∴AE＝DF＝2cm，EF＝AD＝4cm， ∵沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在EF上的点A′处，∴AG＝A′G，AD＝A′D＝4cm， 在Rt△DFA′中，，∴， 在Rt△A′EG中，设EG＝x，则A′G=AG=(2−x)cm，， 即，解得．故答案为：． 例 4．（2023·天津河东·统考二模）如图，若该正方形ABCD边长为10，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边恰好经过点A，过点A作，垂足分别为G，若，则的长度为 ． 【答案】 【详解】延长AG交BC于点E， 则， ． ∵正方形ABCD边长为10，． 在中，， ， 由折叠的性质得，，故答案为：． 例5．（2023·山东济南·八年级统考期中）如图，正方形中，，点E在边上，且，将沿对折至，延长交边于点G，连接，，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【详解】解：由折叠的性质知：AD=AF，EF=DE，∠D=∠AFE=90°，∠AED=∠AEF， ∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠D=90°， ∴AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），故①正确； ∴BG=FG，∠AGB=∠AGF，∵AB=6，且CD=3DE，EF=DE=CD=2，CE=4， 设BG=FG=x，则CG=6-x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6-x）2+42=（x+2）2， 解得x=3．∴BG=3=6-3=CG；故②正确； ∵CG=BG，BG=GF，∴CG=GF，∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF． 又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；∴∠AGB=∠AGF， ∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF， ∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；故③正确； ∵S△GCE=GC•CE=×3×4=6，故④错误．∵∠BAG=∠FAG，∠DAE=∠FAE， 又∵∠BAD=90°，∴∠GAE=45°，∴∠AGB+∠AED=∠AGF+∠AEF=180°-∠GAE=135°，故⑤错误． 综上，①②③正确，故答案为：①②③． 例6．（2023·广东深圳·统考中考模拟）如图在正方形中，，将沿翻折，使点对应点刚好落在对角线上，将沿翻折，使点对应点落在对角线上，求 . 【答案】 【详解】作于点，由折叠可知：，， ∴正方形边长 ∴.故答案为. 例7．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）问题情境：如图1，在正方形中，，点是边上一点（点不与重合），将沿直线翻折，点落在点处． (1)如图2，当点落在对角线上时，求的长．(2)如图3，连接分别交于点，点，连接并延长交于点，当为中点时，试判断与的位置关系，并说明理由．    (3)如图4，在线段上取一点，且使，连接，则在点从点运动到点的过程中，的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见解析．(3) 【详解】（1）根据折叠的性质可知，，∴． ∵，∴为等腰直角三角形．∴． ∴．∴．∴． ∴．∴． （2），理由如下：如图所示，连接，交于点．       根据题意可知为线段的垂直平分线，∴． ∵为中点，∴，即． （3）如图所示，在线段上取一点，使，连接，． 在和中，∴．∴．∴． 观察图形可知，当点，，在同一条直线上时，最小，最小值为． ∴． 1．（2024·重庆·九年级专题练习）如图，在菱形中，，，点是的中点，点是上一点，以为对称轴将折叠得到，以为对称轴将折叠得到，使得点落到上，连接．下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A.由折叠可知和分别是和的平分线． 又，，故选项A正确． B.又点与点关于对称，，又，，故选项B正确． C和D.如答图，过点作于点．    ，，，易知，， 设，，， 点是的中点，折叠后点落到上，点与点重合，． 易知点共线，． ，，解得． ，， ，故选项C正确，选项D错误．综上，故选：D． 2．（2024·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为，与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：连接，∵四边形是菱形，∴，，∴是等边三角形，∵E是边的中点，∴，∴， 由折叠得，∴，∵，∴，故①正确； ∵，∴，∴， ∴，即，故②正确；连接，由折叠得，∴，∵，∴，∴，故③正确； 过点F作于点M，∵， ∴，由折叠得，∴，∴， ∵，∴，设，则， ∴，，∵，∴，∴， ∴四边形的面积， ∴，故④错误；故选：B． 3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，菱形ABCD中，点E在AD上，将△ABE沿着BE翻折，点A恰好落在CD上的点F处．若∠A=65°，则∠DFE的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由翻折变换可知，AB=FB，∠A=∠EFB=65°， ∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C=65°，∴BF=BC， ∴∠BFC=∠C=65°，∴∠DFE=180°-∠EFB-∠BFC =180°-65°-65° =50°，故选：D． 4．（2023春·重庆铜梁·八年级校考期末）如图，在矩形中，点P在边上，连接，将沿翻折得到，沿翻折得到，与交于点E．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵矩形中，∴，∴， 由折叠的性质得，∴， ∴，由折叠的性质得， ∴，故选：A. 5．（2023春·广东八年级期中）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片翻折，使点C恰好落在对角线交点O处，折痕为，点E在边上，则的长为（　　） A．12 B．15 C．10 D．15 【答案】C 【详解】解：四边形是矩形，，， 由翻折不变性可知：，，是等边三角形， ，，∴， ∴，，故选：C． 6．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，正方形的边长为10，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：正方形的边长为，，， 点是边的中点，，连接，        ，将沿翻折得到，， ，当点、、三点共线时，最小， ∴的最小值为故选：A． 7．（2023·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）在矩形中，，，点E在边上，连接，将沿翻折，得到，交于点F，连接．若点F为的中点，则的长度为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点C'作C'H⊥AD于点H， ∵点F为AD的中点，AD＝BC＝ ，∴AF＝DF＝， ∵将△DEC沿DE翻折，∴CD＝C'D＝3，∠C＝∠EC'D＝90°， 在Rt△DC'F中，C'F＝＝1，∵S△C'DF＝×DF×C'H＝×C'F×C'D， ∴×C'H＝1×3，∴C'H＝，∴FH＝， ∴AH＝AF+FH＝，在Rt△AC'H中，AC'＝．故答案为：． 8．（2023春·福建泉州·八年级统考期中）已知：如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、将矩形纸片沿着翻折，使点与点重合，点与点重合，连接，①如图1，若，，则 ；②如图2，直线分别交平行四边形的边、于点、，将平行四边形沿着翻折，使点与点重合，点与点重合，连接，若，，，则四边形的面积是 ． 【答案】 15 【详解】解：①如图，连接，则，四边形为矩形，，， ，，，， 在中，， 根据折叠的性质可得，，，，，， ，，，， 在和中，，，，， ，四边形为菱形，设，则， 在中，，，解得：，， ，；故答案为：； ②如图，过点作的延长线于点， 四边形为平行，，，，，，， 根据折叠的性质可得，，，，， ，，，，， 在和中，，，，， ，四边形为菱形，，，，， 设，则，，在中，， ，解得：，，．故答案为：15． 9．（2023·浙江金华·九年级校考期中）如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在边上的处，点落在点处，折痕为，点，分别在边，上，若为直角三角形，则的长为 ． 【答案】或/或 【详解】解：菱形中，，， 分两种情况讨论，（1）当时，如图所示： 则，为等腰直角三角形， 设，则，由，可得， 解得，即，； （2）当时，如图所示：则，为等腰直角三角形， ，， ，综上可知，的长为或．故答案为：或． 10．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．    【答案】 【详解】解：四边形是平行四边形，，， 由折叠得：，，，， ，，，， 四边形是平行四边形，． 故答案：． 11．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ．    【答案】/ 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，    ∵在中，，，， ∴，∴， 在中， ∵将沿折叠得到，当点恰好落在上时，∴ 又∴∴∴ 设，∴在中， ∴解得：（负整数）故答案为：． 12．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为 ．    【答案】 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，        ∵正方形的边长为1，四边形与四边形的面积比为3∶5， ∴，设，则，则 ∴即 ∴ ∴，∴， ∵折叠，∴，∴，∵，∴， 又,∴，∴ 在中，即解得：，故答案为：． 13．（2024·四川南充·中考真题）如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，，若平分，，则的长为 ．    【答案】 【详解】如图，过作于点，于点，∴    ∵四边形是矩形，∴，，∴四边形是矩形， ∵平分，∴，，∴四边形是正方形， 由折叠性质可知：，，∴， ∴，， 在中，由勾股定理得，故答案为：． 14．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）已知矩形纸片，，，点P在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点B的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】或2 【详解】解：∵四边形为矩形，∴，，，当时，如图所示： ∵，∴点在上，根据折叠可知：，， 设，则，∴， ，在中，根据勾股定理得：， 即，解得：，即； 当，如图所示：根据折叠可知：，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∵，∴；综上分析可知：或2．故答案为：或2， 15．（2024·山东威海·中考真题）将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则 ． 【答案】 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形，∴，∴，∴， 又∵，∴，∴，， ∴，， ∴，， 设，则，在中，，即， 解得：，故答案为． 16．（2024·江西·九年级统考期中）【操作体验】 如图，在正方形中，点在边上，点在边上．将四边形沿直线翻折，得到四边形，顶点落在边上的点（不与点、重合）处，点落在正方形右侧的点处，与相交于点． （1）在图1中，若，，则______，的度数为____________ 【操作体验】（2）当时，如图2，求证：． 【操作体验】（3）利用图3探究，当正方形边长不变时，随着折痕的变化，的周长是否会发生变化？如果会，请说明变化规律；如果不会，请加以证明，并探究正方形周长与的周长的关系．      【答案】（1），；（2）见解析；（3）不会，三角形的周长是正方形周长的一半，证明见解析 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，∴，， ∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴在中，， 由折叠的性质可知：，∴， ∴，由折叠的性质可知：，， ∵，∴，∴， ∵，∴， 故答案为，； （2）证明：∵四边形是正方形，∴，， 由折叠的性质可知：，， ∵，∴在中，，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，由折叠的性质可知：，， ∴在中，，∴， （3）解：的周长不会发生变化，理由如下： ∵四边形是正方形，∴，， 设正方形边长为，，∴，， ∴周长为，设周长为， 由折叠的性质可得：，，∴， ∵，∴，∴， ∴，，得， ∵四边形的周长为，∴的周长是四边形的周长的， ∴当正方形边长不变时，随着折痕的变化，的周长不会发生变化，的周长是正方形周长的． 17．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践： 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线． (1)如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则＝        °，＝        ； (2)如图2，若F为的中点，平分，，，求的度数及的长； (3)，，若F为的三等分点，请直接写出的长 ． 【答案】(1)45；2(2)；(3)2或 【详解】（1）∵，四边形是矩形， ∴四边形是正方形，∴，， ∵将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H， ∴，，∵，∴， ∵F为的中点，∴， ∵将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H， ∴，，设，则，∴， ∵，∴，∴，∴．故答案为：45；2； （2）如图2，延长，交于点M， ∵平分，∴，由折叠的性质可知，，， ∴，∴， ∵，，∴和均为等腰直角三角形， ∴，，∴，即，解得． （3）分两种情况：①当时，如图3，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，， 由折叠的性质可知，，，∴， ∵，∴，，∴， 在和中， ，∴，∴， 设，，，∴，解得，∴． ②当时，如图4，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，， 由折叠的性质可知，，，∴， ∵，∴，，设，，， ∵，∴，解得，∴． 综上可知，的长为2或． 18．（2023·江苏·统考中考真题）综合与实践 定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形．（1）概念理解：当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（）与长的比值是_________． （2）操作验证：用正方形纸片进行如下操作（如图（2））： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为； 第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为． 试说明：矩形是1阶奇妙矩形．   　　  　　  　　   （3）方法迁移：用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．（4）探究发现：小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形边上（不与端点重合）任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【详解】解：（1）当时，，故答案为：． （2）如图（2），连接，            设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得 设，则根据折叠，可得，， 在中，，∴， 在中，∴ 解得：∴∴矩形是1阶奇妙矩形． （3）用正方形纸片进行如下操作（如图）： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，再对折，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为； 第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为． 矩形是2阶奇妙矩形， 理由如下，连接，设正方形的边长为，根据折叠可得，则， 设，则 根据折叠，可得，， 在中，，∴， 在中， ∴解得：∴ 当时，∴矩形是2阶奇妙矩形． （4）如图（4），连接诶，设正方形的边长为1，设，则， 设，则根据折叠，可得，， 在中，，∴， 在中， ∴整理得， ∴四边形的边长为 矩形的周长为，∴四边形的周长与矩形的周长比值总是定值 36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$