专题07 几何最值模型之代数法求几何最值模型（均值不等式与判别式法）-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北京版）

专题07 几何最值模型之代数法求几何最值模型（均值不等式与判别式法） 几何中最值问题是中考的常见题型，变幻无穷，试题设计新颖，形式活泼，涵盖知识面广，综合性强。在各地中考数学试卷中，几何最值问题也是重难点内容，在中考数学试卷中通常出现在压轴题的位置。 本专题我们所讲的代数法求几何最值模型是对前面几何法求最值模型的一个补充，那首先我们弄明白什么是几何法？什么是代数法？若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法。若题目条件和结论能明显体现某种函数或代数关系，则可先建立目标函数或方程，再求函数或代数式的最值，这就是代数法。今天我们重点讲解代数法常见的两类方法：判别式法或基本不等式法，希望对大家有所帮助！ 1 模型1.线段的双中点模型 1 模型2.线段的多中点模型 2 2 模型1.基本不等式法求几何最值模型 有时候设取变量后，代数式并不太容易转化为二次函数，特别是含有分式与整式的混合代数式求最值显得特别麻烦，针对这种情况我们引入两个重要不等式： 1）（当a=b时，取等号）；2）（其中a、b为正数，当a=b时，取等号）； 1）（当a=b时，取等号）；2）（其中a、b为正数，当a=b时，取等号）； 证明：1）作差法：∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0，，当且仅当“a＝b”时，等号成立． 2）作差法： ∵0，∴，当且仅当“a＝b”时，等号成立． 例1．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图,中，，，在的同侧作正、正和正，则四边形面积的最大值是 ． 【答案】 【详解】延长交于点，∵在正和正中，∴， ∵，∴， ∴，∴平分，又∵，∴， ∵和都是等边三角形，∴，，， ∴，∴，∴， 同理可得：，∴，∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积，又∵， 在中，由勾股定理得：， ∴，∴，即四边形面积的最大值为，故答案为：． 例2．（24-25八年级·北京西城·期中）阅读材料：面积是几何图形中的重要度量之一，在几何证明中具有广泛应用．出入相补原理是中国古代数学中一条用于推证几何图形面积的基本原理，它包含以下基本内容：一个几何图形，可以切割成任意多块任何形状的小图形，总面积保持不变，总面积等于所有分割成的小图形的面积之和．基于以上原理，回答问题： (1)把边长为8的正方形按图1方式分割，分割之后_______（填“能”或“不能”）把图形重新拼成图2中长为13，宽为5的长方形；(2)如图3，a，b，c分别表示直角三角形的三边，比较大小：a2＋b2________c2； （a＋b）2________2ab；(3)观察图4，写出（ac＋bd）2与（a2＋b2）（c2＋d2）的大小关系：______． 【答案】(1)不能(2)＝；＞(3)（ac＋bd）2＜（a2＋b2）（c2＋d2） 【详解】（1）解：如图1，图2，∵S正方形=82=64，S长方形=5×13=65，∴S正方形S长方形，故答案为：不能； （2）解：如图3中，左边大正方形的面积：S大正方形=(a+b)2=a2+2ab+b2， 右边大正方形的面积：S大正方形=c2+4× ab=c2+2ab， ∴a2+2ab+b2= c2+2ab，∴a2+b2= c2，∵(a+b)2=a2+2ab+b2，∴a2+b2 =(a+b)2-2ab， ∵，∴，∴，故答案为：=， ； （3）解：如图4，，， ，∴，∴， 故答案为：． 例3．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）阅读材料： 已知，为非负实数， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6． 根据以上材料解答下列问题： 【灵活运用】（1）已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为________． （2）已知，求代数式的最小值． 【拓展运用】（3）某校要对操场的一个区域进行改造，利用一面足够长的墙体将该区域用围栏围成中间隔有两道围栏的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的围栏至少为多少米？ （4）如图2，四边形的对角线，相交于点，和的面积分别是4和12，求四边形面积的最小值． 【答案】（1），；（2）；（3）米；（4） 【详解】解：（1）令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为．故答案为：，； （2） 令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为．∴代数式的最小值为 （3）设花圃的宽为米，则长为米，所用的围栏 令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为．故：所用的围栏至少为米 （4）作，如图所示：由题意得： ∵ ∴四边形面积 令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为． ∴四边形面积的最小值为 例4．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）二次根式对于数学学习具有重要的意义，跟着小华的脚步，完成二次根式之美——最值导学案． 【极值定律之美】小华发现，平方数具有非负性可以推出许多有用的结论， 例如：，． (1)证明：对于任意正实数，，都有．(2)求的最大值，并标明等号成立的条件． 【数形结合之美】小华在研究二次根式最值问题时，发现运用图像能够更加方便的解决．如图1直观的证明了．(3)如图2，在轴及轴的负半轴上给定两点，点是第一象限上的一个动点，过点向坐标轴作垂线，分别交轴和轴于，两点，是直线上一点，满足（是给定的）．求的最小值及条件，并给出证明．(4)如图3，四边形的对角线，相交于点，，的面积分别是和，求的最小值． 【抽象代数之美】小华发现：对多个元的代数问题，需要一些游刃有余的处理． (5)设，，，都是正数，证明：． 【答案】(1)证明见解析．(2)的最大值为，此时． (3)的最小值为，此时，证明见解析． (4)当且仅当时，的最小值为． (5)证明见解析． 【详解】（1）证明：根据题意得：，故． （2）解：根据题意得：，，，， 当且仅当时，即时，取等号，的最大值为． （3）解：根据题意得：，即， ，，，，，， ，， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值为，此时． （4）根据题意设：，，的面积分别是和， 由等高三角形可知：，，， ， 当且仅当时，取等号，即的最小值为． （5）解：根据题意，；；；；， 将上述各式相加，得：， 故． 模型2.判别式法求几何最值模型 判别式法求几何最值的步骤： 首先主要引入两个变量：其中一个变量用x表示，另一个变量为所求量（一般为长度、比值的最值）用其他字母表示，常用y或其他字母表示即可；再根据题设条件建立关于x的一元二次方程；最后用Δ≥0来探求y的最大值与最小值。 注意：运用判别式法求最值时，必须同时求得变量的范围，因为方程有解，Δ≥0 所指的是在变量能取的范围内方程有解，这一点应切记。 例1．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，正方形中，点P是延长线上一动点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：设，正方形的边长为1，，则， 四边形为正方形，，， ，， ，，由题意可知：，此方程为一元二次方程， 则，，， ，，k的最小值为：， ，的最小值为，故答案为：． 例2．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，已知正方形ABCD的边长为8，动点E，F分别在边BC、AB上，∠EDF＝30°，△DEF面积的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】解：设AF＝m，CE＝n，则BF＝8﹣m，BE＝8﹣n， ∴S△DEF＝S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△BEF﹣S△DEC＝32，要使三角形DEF面积最小，则mn最大， 在BC延长线上作CF′＝AF，连接DF′， ∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠DAF＝∠DCF′＝90°， ∵AF＝CF′，∴△DAF≌△DCF′（SAS），∴∠1＝∠2，DF＝DF′， ∵∠EDF＝30°，∴∠1+∠3＝60°＝∠EDF′， ∵DE，DF′， 过点E作EH⊥DF′于H，∴EH＝DE•sin60°DE，∴S△EDF′EH•DF′CD•EF′， ∴8×（m+n），整理得：3m2n2﹣64（m﹣n）2﹣5×64×2mn+3×642＝0， ∵（m﹣n）2≥0，∴3m2n2﹣10×64mn+3×642≥0，∴mn≥3×64或mn， ∵m≤8，n≤8，∴mn≤64，∴mn，∴mn的最大值是 ∴△DEF面积的最小值是32，故答案为：． 例3．（23-24九年级上·陕西西安·期末）（1）教材再现：如图1，四边形为正方形，E为边上一点，将绕D点逆时针旋转至，画出旋转后的三角形． （2）问题探究：如图2，正方形中，，E、F分别在和边上，，的面积是否存在最小值，若存在，请求出它的最小值；若不存在，请说明理由．（3）综合应用：如图3，某小区内有一块三角形区域，其中，米，在边的中点D处修建一个公共厕所，在和边上分别确定点E、F，修两条笔直小路和（小路的宽度忽略不计），且，将四边形区域规划成儿童活动专区，其余区域为普通活动区域，根据需求，要使四边形的面积最大，是否存在这样的E、F点，若存在求出最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）面积的最小值为；（3）存在，四边形的最大值为： 【详解】（1）如图1，就是旋转后的三角形； （2）如图，将绕点逆时针旋转得到， ，，、、三点共线， 由旋转可知，，，， ，，， ，的面积的面积，， 的面积的面积，面积， ，，，，， ，且，， ，，，， ，或（舍去），的最小值为，面积的最小值为； （3）存在，理由如下：过点作于点，于点，则四边形是正方形， 求四边形的面积最大，即求和的和最小； ，点为的中点，， 由（2）中结论可知，的面积的面积，面积， ，，，， ，， ，，，， ，，，或（舍去）， 的最小值为，面积的最小值为， 四边形的最大值为：． 1．（23-24九年级上·湖北·周测）如图，正方形的边长为2，边在轴上，的中点与坐标原点重合，点是轴上的一个动点，求的最大值． 【答案】 【详解】解：∵正方形的边长为2，边在轴上，的中点与坐标原点重合， ∴点A的坐标为，点B的坐标为，显然当在原点右侧时，当在原点左侧时，∴当在原点右侧时的值一定大于在原点左侧时的值， ∴当取最大值时，点M一定在原点的右侧， ∴设点M的坐标为，∴，， ∴， 令，则， ∵，∴，∴， ∴，即，∴，∴， ∴，∴，即的最大值为． 2．（2024·陕西·模拟预测）问题提出：（1）如图1，在四边形中，已知：，，，的面积为8，求边上的高． 问题探究：（2）如图2在（1）的条件下，点是边上一点，且，，连接，求的面积 问题解决：（3）如图3，在（1）的条件下，点是边上任意一点，连接、，若，的面积是否存在最小值；若存在，求出最小值；若不存在；请说明理由． 【答案】（1）4；（2）；（3）存在，最小值为 【详解】（1）如图所示，作BC边上的高AM， ∵S△ABC=∴ 即BC边上的高为4； （2）如图所示，延长DA，过B点作BF⊥DA于点F，作BH⊥AE于点H， ∵，∴∠BCD=∠D=90°=∠F∴四边形BCDF为矩形， 又∵BC=CD=4∴四边形BCDF为正方形，∴DF=BF=BC=4， 又∵AD∥BC∴∠FAB=∠CBA 又∵∠EAB=∠CBA∴∠FAB=∠EAB ∵BF⊥AF，BH⊥AE∴BH=BF=4，在Rt△BCE和Rt△BHE中， ∵BE=BE，BH=BC=4∴Rt△BCE≌Rt△BHE（HL）∴EH=CE=2 同理可证Rt△BAF≌Rt△BAH（HL）∴AF=AH 设AD=a，则AF=AH=4-a 在Rt△ADE中，AD=a，DE=2，AE=AH+EH=4-a+2=6-a 由勾股定理得AD2+DE2=AE2，即 解得 ∴AE=6-a= S△ABE= （3）存在， 如图所示，延长DA，过B点作BF⊥DA于点F，作BH⊥AE于点H， 同（2）可得CE=EH，AF=AH，设AD=a，CE=EH=m，则DE=4-m，AF=AH=4-a 在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，即 整理得∴AE=AH+HE= 设△ABE的面积为y，则y= ∴整理得： ∵方程必有实数根∴整理得 ∴（注：利用求根公式进行因式分解） 又∵面积y≥0∴ 即△ABE的面积最小值为． 3．（23-24八年级下·北京海淀·期中）对平面上的两个图形，，若平移图形所得的图形与相交，则称为关于的“巡逻平移图形”，称关于的所有巡逻平移图形所组成的整体，为关于的“巡逻区域”，其面积为关于的“巡逻面积”． 示例：如下图，线段是线段关于线段的一个巡逻平移图形； 平行四边形是线段关于线段的巡逻区域． 注：图中每个小方格都是边长为1的正方形． (1)①请在图中画出线段关于线段的巡逻区域，其面积为______； ②已知线段和线段的长度分别为1，，且关于的巡逻面积为1，则的取值范围是______； (2)图中三角形区域关于平行四边形区域的巡逻面积为______； 注：此处所指的三角形区域，平行四边形区域，以及下文的正方形区域均包含内部的所有点． (3)①若线段关于某边长为1的正方形区域的巡逻面积为3，则线段长度的最小值为______； ②若正方形区域关于某长度为1的线段的巡逻面积为12，则边长的最小值为______． 【答案】(1)①画图见解析，8；②(2)(3)①；② 【详解】（1）解：①如图所示，平行四边形即为线段关于线段的巡逻区域，其面积为； ②如图所示，设，则平行四边形是线段关于线段的巡逻区域，即平行四边形是线段关于线段的巡逻区域，∴， 过点G作交延长线于M， ∵关于的巡逻面积为1，∴，∴，∴，∴； （2）解：如图所示，即为三角形区域关于平行四边形区域的巡逻区域， ∴三角形区域关于平行四边形区域的巡逻面积为； （3）解：①如图所示，是边长为1的正方形，则由平行四边形和正方形组成的区域即为线段关于正方形区域的巡逻区域，其中， 过点作于N，过点K作于M，∴， ∵，∴， 又∵，∴， ∴，∴，设， ∵线段关于正方形区域的巡逻面积为3， ∴平行四边形和正方形组成的区域的面积为3， ∴，∴，∴， 在中，由勾股定理得， ∴，， ∵，∴，∴，∴，∴线段长度的最小值为； ②如图所示，线段，则由平行四边形和正方形组成的区域即为区域S关于线段的巡逻区域， 过点C作于T，于W，∴， ∴四边形是矩形，∴，设，正方形区域S的边长为， ∵正方形区域关于线段的巡逻面积为12， ∴平行四边形和正方形组成的区域的面积为12，∴，∴，∴， 在中，由勾股定理得，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∴，∴，即， ∵都是非负数，∴，∴， ∴，即，∴， ∴由乘法的性质可得或， ∴或（舍去），∴边长的最小值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，完全平方公式的变形求值，矩形的性质与判断，全等三角形的性质与判定等等，正确画出对应的巡逻区域示意图是解题的关键． 4．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，有，，当且仅当时取等号． (1)当时，的最小值为______；当时，的最小值为______． (2)当时，求的最大值； (3)如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为8和18，设的面积为x，求四边形的最小面积．    【答案】(1)；(2)(3)50 【详解】（1）解：∵当时，，即，∴的最小值为； ∵当时，，∴，即， ∴，∴的最小值为；故答案为：；； （2）解：， ，，即 ∴，，即∴的最大值为． （3）解：已知， ，，则由等高三角形性质可知， ， ∴， ，因此四边形的面积， 当且仅当时取等号，即四边形面积的最小值为 ． 5．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法可以求二次三项式的最值：他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究．下面是该学习小组收集的素材，汇总如下．请根据素材帮助他完成相应任务： 关于最值问题的探究 素材1 “主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字母看成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程．例如：当时，方程可以看作关于x的一元二次方程．但若把a看成“主元”，x看作常数，则原方程可化为：．这就是一个关于a的一元一次方程了． 素材2 对于一个关于x的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其他的方法，比如：令．然后移项可得：再利用根的判别式来确定y的取值范围，这一方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值； 任务2 探索新知：若实数x、y满足．求的最大值．对于这一问题，该小组的同学有大致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令，则，将代入原式得________．若将新得到的等式看作关于字母x的一元二次方程，利用判别式可得的最大值为__________； 任务3 应用新知：如图，在平行四边形中，，．记，，当最大时，求此时b的值． 【答案】任务1：；任务2：，；任务3：． 【详解】任务1：解：根据素材中的判别式法，令．整理得． 关于x的一元二次方程，，解得：．故y的最小值为． 任务2：解：令，则．将代入，得． 把看作是关于x的一元二次方程，则， 解得则的最大值为．故答案为：，． 任务3：如图，过点B作，点E为垂足．根据题意，，，． 在，， 在中，即整理得，， 令，则，代入上式得到一个关于b的一元二次方程：． 解不等式得，则k的最大值为26，即的最大值为26． 把代入得．解方程得，，故当最大时，． 6．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）数学解题时类比是发现新问题、新结论的重要方法，是思维发展的重要途径．阅读下面材料，解答相关问题： 材料：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，还可以利用根的判别式解决问题，如下例： 例：求代数式的最小值； 方法1： ， 当时，的最小值是1． 则代数式的最小值为1． 方法2： 设 方程有实数根 ，解得， 则代数式的最小值为1． 请利用上述方法解决下列问题：(1)请选择上述一种方法求代数式的最大值； (2)请你根据方法2解决问题：若关于的二次三项式：（为常数）的最小值为，求的值． 【答案】(1)3(2)或 【详解】（1）解：设，方程有实数根， ，解得：，则代数式的最大值为3； （2）解：设，方程有实数根， ，解得：， 而（为常数）的最小值为，则，解得：或． 7．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）阅读理解: 材料1:对于一个关于x的二次三项式（）,除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外,还可以用其他的方法:比如先令（）,然后移项可得:,再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围,请仔细阅读下面的例子:例:求的取值范围: 解:令 , , 即; 材料2:在学习完一元二次方程的解法后,爱思考的小明同学又想到类比一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题,他的具体做法如下: 若关于x的一元二次方程（）有两个不相等的实数根､（）, 则关于x的一元二次不等式（）的解集为:或, 则关于x的一元二次不等式（）的解集为:; 请根据上述材料,解答下列问题:（1）若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为-6,则_____.（2）求出代数式的取值范围． 类比应用:（3）猜想:若中,,斜边（a为常数,）,则_____时,最大,请证明你的猜想． 【答案】（1）或；（2）或；（3）当时,最大． 【详解】解:（1）设，∴， ∴,即 ，根据题意可知,∴，解得:或； （2）设，可化为，即， ∴ ,即， 令,解得 ,，∴或； （3）猜想:当时,最大． 理由:设，，则，在中,斜边（a为常数,）， ∴ ，∴， ∴，即，∴，即 ， ∵，，∴，当时,有， ∴，即当时,最大． 8．（24-25九年级上·广东深圳·期中）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法可以求二次三项式的最值：他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究．下面是该学习小组收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务： 关于最值问题的探究 素材1 “主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字母看成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程．例如：当时，方程可以看作关于的一元二次方程．但若把看成“主元”，看作常数，则原方程可化为：，这就是一个关于的一元一次方程了． 素材2 对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其他的方法，比如：令，然后移项可得：再利用根的判别式来确定的取值范围，这一方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值． 任务2 探索新知：若实数、满足，求的最大值．对于这一问题，该小组的同学有大致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令，则，将代入原式得_____．若将新得到的等式看作关于字母的一元二次方程，利用判别式可得的最大值为_____． 任务3 应用新知：如图，在平行四边形中，，，记，，当最大时，求此时的值． 【答案】任务1：；任务2：，；任务3：． 【详解】任务1：解：根据素材中的判别式法，令．整理得． 关于x的一元二次方程，，解得：．故y的最小值为． 任务2：解：∵，令，则． 将代入，得． 把看作是关于x的一元二次方程，则， 解得则的最大值为． 任务3：如图，过点B作，点E为垂足． 根据题意，，，，． 在，， 在中，即整理得，， 令，则，代入上式得到一个关于b的一元二次方程：． 解不等式得，则k的最大值为26，即的最大值为26． 把代入得．解方程得，，故当最大时，． 9．（24-25九年级上·广东深圳·期中）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应任务： 关于根的判别式的探究 素材 对于一个关于的二次三项式，利用根的判别式可以求该多项式的最值．比如：求最小值，令，则，则，可解得，从而确定的最小值为2．这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值． 任务2 探索新知：若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为，求a的值； 任务3 应用新知：利用已有知识经验，求证：周长为的矩形中，正方形的面积最大． 【答案】任务1：；任务2：；任务3：见解析 【详解】任务1：解：设 任务2：解：令 又的最小值为－1； 任务3：设矩形的面积为，其中一边长为，另一边长为 ；  ；； 当时，有最大值，为 周长为的矩形中，正方形的面积最大． 10．（23-24八年级下·四川成都·期末）【探究发现】某校数学兴趣小组开展了如下探究活动． 如图1，在中，，于点D．设． （1）请完成下列填空． 小明说：可以用含a、b的代数式表示，则 ； 小颖说：也可以用含a、b、m的代数式表示，则 小芳说：由此可以用含a，b的代数式表示m，则 ； 小亮说：可以用含a、b的代数式表示的斜边上的中线的长为，则与m的大小关系为 ； （2）若的面积为6，求m的最大值． 【迁移应用】（3）如图2，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长）在此规划一个面积为32平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 【答案】（1），，；（2）（3）32 【详解】解：（1），． ，．． ，．整理得：．（取正值）． 设是的斜边上的中线． ①若为一般的直角三角形，则． ②若为等腰直角三角形．则． 综上．．故答案为：，，； （2）的面积为6，．． ，．，．的最大值为； （3）设图2中与墙平行的边长，垂直于墙的边长． 面积为32平方米，．由（1）得：， ．．．． 小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为32米． 11．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图1，在中，，，，．将绕点O依次旋转、和构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据． (1)请利用图1证明勾股定理；(2)请利用图1说明，并说明等号成立的条件； (3)请根据（2）的结论解决下面的问题：如图2，在四边形中，，．若，则这个四边形的最大面积为__________． 【答案】(1)见解析(2)见解析，(3) 【详解】（1）解：因为边长为c的正方形面积为， 它也可以看成是由4个直角三角形与1个边长为的小正方形组成的， 它的面积为，所以； （2）解：∵，∴，∴， 当且仅当时，等号成立； （3）解：设，依题意得，∴的面积为， 由（2）的结论知，∴，∴， 当且仅当时，四边形的面积最大，最大面积是．故答案为：． 12．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）某学习小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法不仅可以解一元二次方程，还可以用来求二次三项式的最值；他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究．下面是该学习小组收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务： 关于最值问题的探究 素材1 “主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字母看成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程 转化为我们熟悉的代数式或方程．例如：当时，方程可以看作关于的一元二次方程．但若把看成“主元”，看作常数，则方程可化为：，这就是一个关于的一元一次方程了 素材2 对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其他的方法，比如：令，然后移项可得：，再利用根的判别式来确定的取值范围，这一方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值． 任务2 探索新知：若实数、满足，求的最大值．对于这一问题，该小组的同学有大致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令，将代入原式得___将新得到的等式看作关于字母___  的一元二次方程，利用判别式可得的最大值为___． 任务3 应用新知：如图，在三角形中，，，记，，当最大时，求此时的值． 【答案】任务1：的最小值为；任务2：；；；任务3： 【详解】解：任务1：令，， ，解得，则的最小值为； 任务2：令，将代入原式得， 将新得到的等式看作关于字母的一元二次方程，整理得， ，解得，则的最大值为； 故答案为：；；； 任务3：过点A作于点D，如图， ∵， ，，∴，，， ∵，，∴，整理得， 令，则，代入，整理得， 将其看成关于a的一元二次方程，则，解得， 那么，最大为26，则有，，故当最大时，求此时． 2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 几何最值模型之代数法求几何最值模型（均值不等式与判别式法） 几何中最值问题是中考的常见题型，变幻无穷，试题设计新颖，形式活泼，涵盖知识面广，综合性强。在各地中考数学试卷中，几何最值问题也是重难点内容，在中考数学试卷中通常出现在压轴题的位置。 本专题我们所讲的代数法求几何最值模型是对前面几何法求最值模型的一个补充，那首先我们弄明白什么是几何法？什么是代数法？若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法。若题目条件和结论能明显体现某种函数或代数关系，则可先建立目标函数或方程，再求函数或代数式的最值，这就是代数法。今天我们重点讲解代数法常见的两类方法：判别式法或基本不等式法，希望对大家有所帮助！ 1 模型1.线段的双中点模型 1 模型2.线段的多中点模型 2 2 模型1.基本不等式法求几何最值模型 有时候设取变量后，代数式并不太容易转化为二次函数，特别是含有分式与整式的混合代数式求最值显得特别麻烦，针对这种情况我们引入两个重要不等式： 1）（当a=b时，取等号）；2）（其中a、b为正数，当a=b时，取等号）； 1）（当a=b时，取等号）；2）（其中a、b为正数，当a=b时，取等号）； 证明：1）作差法：∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0，，当且仅当“a＝b”时，等号成立． 2）作差法： ∵0，∴，当且仅当“a＝b”时，等号成立． 例1．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图,中，，，在的同侧作正、正和正，则四边形面积的最大值是 ． 例2．（24-25八年级·北京西城·期中）阅读材料：面积是几何图形中的重要度量之一，在几何证明中具有广泛应用．出入相补原理是中国古代数学中一条用于推证几何图形面积的基本原理，它包含以下基本内容：一个几何图形，可以切割成任意多块任何形状的小图形，总面积保持不变，总面积等于所有分割成的小图形的面积之和．基于以上原理，回答问题： (1)把边长为8的正方形按图1方式分割，分割之后_______（填“能”或“不能”）把图形重新拼成图2中长为13，宽为5的长方形；(2)如图3，a，b，c分别表示直角三角形的三边，比较大小：a2＋b2________c2； （a＋b）2________2ab；(3)观察图4，写出（ac＋bd）2与（a2＋b2）（c2＋d2）的大小关系：______． 例3．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）阅读材料： 已知，为非负实数， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6． 根据以上材料解答下列问题： 【灵活运用】（1）已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为________． （2）已知，求代数式的最小值． 【拓展运用】（3）某校要对操场的一个区域进行改造，利用一面足够长的墙体将该区域用围栏围成中间隔有两道围栏的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的围栏至少为多少米？ （4）如图2，四边形的对角线，相交于点，和的面积分别是4和12，求四边形面积的最小值． 例4．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）二次根式对于数学学习具有重要的意义，跟着小华的脚步，完成二次根式之美——最值导学案． 【极值定律之美】小华发现，平方数具有非负性可以推出许多有用的结论， 例如：，． (1)证明：对于任意正实数，，都有．(2)求的最大值，并标明等号成立的条件． 【数形结合之美】小华在研究二次根式最值问题时，发现运用图像能够更加方便的解决．如图1直观的证明了．(3)如图2，在轴及轴的负半轴上给定两点，点是第一象限上的一个动点，过点向坐标轴作垂线，分别交轴和轴于，两点，是直线上一点，满足（是给定的）．求的最小值及条件，并给出证明．(4)如图3，四边形的对角线，相交于点，，的面积分别是和，求的最小值． 【抽象代数之美】小华发现：对多个元的代数问题，需要一些游刃有余的处理． (5)设，，，都是正数，证明：． 模型2.判别式法求几何最值模型 判别式法求几何最值的步骤： 首先主要引入两个变量：其中一个变量用x表示，另一个变量为所求量（一般为长度、比值的最值）用其他字母表示，常用y或其他字母表示即可；再根据题设条件建立关于x的一元二次方程；最后用Δ≥0来探求y的最大值与最小值。 注意：运用判别式法求最值时，必须同时求得变量的范围，因为方程有解，Δ≥0 所指的是在变量能取的范围内方程有解，这一点应切记。 例1．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，正方形中，点P是延长线上一动点，则的最小值是 ． 例2．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，已知正方形ABCD的边长为8，动点E，F分别在边BC、AB上，∠EDF＝30°，△DEF面积的最小值是 ． 例3．（23-24九年级上·陕西西安·期末）（1）教材再现：如图1，四边形为正方形，E为边上一点，将绕D点逆时针旋转至，画出旋转后的三角形． （2）问题探究：如图2，正方形中，，E、F分别在和边上，，的面积是否存在最小值，若存在，请求出它的最小值；若不存在，请说明理由．（3）综合应用：如图3，某小区内有一块三角形区域，其中，米，在边的中点D处修建一个公共厕所，在和边上分别确定点E、F，修两条笔直小路和（小路的宽度忽略不计），且，将四边形区域规划成儿童活动专区，其余区域为普通活动区域，根据需求，要使四边形的面积最大，是否存在这样的E、F点，若存在求出最大面积；若不存在，请说明理由． 1．（23-24九年级上·湖北·周测）如图，正方形的边长为2，边在轴上，的中点与坐标原点重合，点是轴上的一个动点，求的最大值． 2．（2024·陕西·模拟预测）问题提出：（1）如图1，在四边形中，已知：，，，的面积为8，求边上的高． 问题探究：（2）如图2在（1）的条件下，点是边上一点，且，，连接，求的面积 问题解决：（3）如图3，在（1）的条件下，点是边上任意一点，连接、，若，的面积是否存在最小值；若存在，求出最小值；若不存在；请说明理由． 3．（23-24八年级下·北京海淀·期中）对平面上的两个图形，，若平移图形所得的图形与相交，则称为关于的“巡逻平移图形”，称关于的所有巡逻平移图形所组成的整体，为关于的“巡逻区域”，其面积为关于的“巡逻面积”． 示例：如下图，线段是线段关于线段的一个巡逻平移图形； 平行四边形是线段关于线段的巡逻区域． 注：图中每个小方格都是边长为1的正方形． (1)①请在图中画出线段关于线段的巡逻区域，其面积为______； ②已知线段和线段的长度分别为1，，且关于的巡逻面积为1，则的取值范围是______； (2)图中三角形区域关于平行四边形区域的巡逻面积为______； 注：此处所指的三角形区域，平行四边形区域，以及下文的正方形区域均包含内部的所有点． (3)①若线段关于某边长为1的正方形区域的巡逻面积为3，则线段长度的最小值为______； ②若正方形区域关于某长度为1的线段的巡逻面积为12，则边长的最小值为______． 4．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，有，，当且仅当时取等号． (1)当时，的最小值为______；当时，的最小值为______． (2)当时，求的最大值； (3)如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为8和18，设的面积为x，求四边形的最小面积．    5．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法可以求二次三项式的最值：他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究．下面是该学习小组收集的素材，汇总如下．请根据素材帮助他完成相应任务： 关于最值问题的探究 素材1 “主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字母看成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程．例如：当时，方程可以看作关于x的一元二次方程．但若把a看成“主元”，x看作常数，则原方程可化为：．这就是一个关于a的一元一次方程了． 素材2 对于一个关于x的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其他的方法，比如：令．然后移项可得：再利用根的判别式来确定y的取值范围，这一方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值； 任务2 探索新知：若实数x、y满足．求的最大值．对于这一问题，该小组的同学有大致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令，则，将代入原式得________．若将新得到的等式看作关于字母x的一元二次方程，利用判别式可得的最大值为__________； 任务3 应用新知：如图，在平行四边形中，，．记，，当最大时，求此时b的值． 6．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）数学解题时类比是发现新问题、新结论的重要方法，是思维发展的重要途径．阅读下面材料，解答相关问题： 材料：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，还可以利用根的判别式解决问题，如下例： 例：求代数式的最小值； 方法1： ， 当时，的最小值是1． 则代数式的最小值为1． 方法2： 设 方程有实数根 ，解得， 则代数式的最小值为1． 请利用上述方法解决下列问题：(1)请选择上述一种方法求代数式的最大值； (2)请你根据方法2解决问题：若关于的二次三项式：（为常数）的最小值为，求的值． 7．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）阅读理解: 材料1:对于一个关于x的二次三项式（）,除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外,还可以用其他的方法:比如先令（）,然后移项可得:,再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围,请仔细阅读下面的例子:例:求的取值范围: 解:令 , , 即; 材料2:在学习完一元二次方程的解法后,爱思考的小明同学又想到类比一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题,他的具体做法如下: 若关于x的一元二次方程（）有两个不相等的实数根､（）, 则关于x的一元二次不等式（）的解集为:或, 则关于x的一元二次不等式（）的解集为:; 请根据上述材料,解答下列问题:（1）若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为-6,则_____.（2）求出代数式的取值范围． 类比应用:（3）猜想:若中,,斜边（a为常数,）,则_____时,最大,请证明你的猜想． 8．（24-25九年级上·广东深圳·期中）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法可以求二次三项式的最值：他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究．下面是该学习小组收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务： 关于最值问题的探究 素材1 “主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字母看成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程．例如：当时，方程可以看作关于的一元二次方程．但若把看成“主元”，看作常数，则原方程可化为：，这就是一个关于的一元一次方程了． 素材2 对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其他的方法，比如：令，然后移项可得：再利用根的判别式来确定的取值范围，这一方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值． 任务2 探索新知：若实数、满足，求的最大值．对于这一问题，该小组的同学有大致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令，则，将代入原式得_____．若将新得到的等式看作关于字母的一元二次方程，利用判别式可得的最大值为_____． 任务3 应用新知：如图，在平行四边形中，，，记，，当最大时，求此时的值． 9．（24-25九年级上·广东深圳·期中）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应任务： 关于根的判别式的探究 素材 对于一个关于的二次三项式，利用根的判别式可以求该多项式的最值．比如：求最小值，令，则，则，可解得，从而确定的最小值为2．这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值． 任务2 探索新知：若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为，求a的值； 任务3 应用新知：利用已有知识经验，求证：周长为的矩形中，正方形的面积最大． 10．（23-24八年级下·四川成都·期末）【探究发现】某校数学兴趣小组开展了如下探究活动． 如图1，在中，，于点D．设． （1）请完成下列填空． 小明说：可以用含a、b的代数式表示，则 ； 小颖说：也可以用含a、b、m的代数式表示，则 小芳说：由此可以用含a，b的代数式表示m，则 ； 小亮说：可以用含a、b的代数式表示的斜边上的中线的长为，则与m的大小关系为 ； （2）若的面积为6，求m的最大值． 【迁移应用】（3）如图2，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长）在此规划一个面积为32平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 11．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图1，在中，，，，．将绕点O依次旋转、和构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据． (1)请利用图1证明勾股定理；(2)请利用图1说明，并说明等号成立的条件； (3)请根据（2）的结论解决下面的问题：如图2，在四边形中，，．若，则这个四边形的最大面积为__________． 12．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）某学习小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法不仅可以解一元二次方程，还可以用来求二次三项式的最值；他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究．下面是该学习小组收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务： 关于最值问题的探究 素材1 “主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字母看成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程 转化为我们熟悉的代数式或方程．例如：当时，方程可以看作关于的一元二次方程．但若把看成“主元”，看作常数，则方程可化为：，这就是一个关于的一元一次方程了 素材2 对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其他的方法，比如：令，然后移项可得：，再利用根的判别式来确定的取值范围，这一方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值． 任务2 探索新知：若实数、满足，求的最大值．对于这一问题，该小组的同学有大致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令，将代入原式得___将新得到的等式看作关于字母___  的一元二次方程，利用判别式可得的最大值为___． 任务3 应用新知：如图，在三角形中，，，记，，当最大时，求此时的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$