专题07 最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题07 最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型 将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造桥）再也不是问题！ 2 模型1.将军遛马模型 2 模型2.将军造桥（过桥）模型 6 12 模型1.将军遛马模型 已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）； 点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 例1．（2024上·江苏南通·八年级统考期中）如图，中，，，，若D，E是边上的两个动点，F是边上的一个动点，，则的最小值为（　　） A．3 B． C． D．3 例2．（2024·山东潍坊·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，是轴上的一条动线段，且，当取最小值时，点坐标为______. 例3．（2024·山东·八年级专题练习）如图，四边形是平行四边形，，，，点、是边上的动点，且，则四边形周长的最小值为______．    例4．（2024·黑龙江·校考模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且．连接，．则周长的最小值是______． 模型2.将军造桥（过桥）模型 已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 图2 将军造桥（过桥）模型：如图2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 图2 例1．（2024.山东八年级月考）有一条以互相平行的直线为岸的河流，其两侧有村庄和村庄，现在要在河上建一座桥梁（桥与河岸垂直），使两村庄之间的路程最短，从作图痕迹上来看，正确的是（    ） A．  B．  C．   D．   例2．（2024上·湖北·九年级联考自主招生）如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为　　    A． B． C．14 D．12 例3．（2024.广东深圳市九年级期中）如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M． （1）请直接写出点A的坐标为_____，点B的坐标为_____； （2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为_____； 例4．（2024·内江·中考模拟预测）如图，已知直线，、之间的距离为8，点P到直线的距离为6，点Q到直线的距离为4，PQ=，在直线l1上有一动点A，直线上有一动点B，满足AB⊥，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ= ． 例5．（2024·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．    例6．（2024·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在中，，，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是________．    1．（2024上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与y轴交于点A（0，6），与x轴的负半轴交于点B，且∠BAO＝30°， M、N是该直线上的两个动点，且MN＝2，连接OM、ON，则△MON周长的最小值为 （      ） A．2＋3 B．2＋2 C．2＋2 D．5＋ 2．（2023·广西·二模）已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为(   ) A．2 B．1+3 C．3+ D． 3．（2024.山东九年级校考一模）如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线y＝x上的一条动线段且PQ＝（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（　　） A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1） 4．（2024·安徽·校联考模拟预测）如图，在四边形中，对角线相交于点，，，则的最小值为（    ）    A．8 B． C． D． 5．（2024上·江苏南通·八年级统考期中）如图，中，，，，若D，E是边上的两个动点，F是边上的一个动点，，则的最小值为（　　） A．3 B． C． D．3 6．（23-24成都市八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中有，两点．将直线：向上平移个单位长度得到直线，点在直线上，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，，，则折线的长的最小值为 ． 7．（2024.广东深圳市八年级期中）如图，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=4，OC=10，∠A=60°，线段EF垂直平分OD，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E'关于x轴对称，连接BP、E'M，则BP+PM+ME'的长度的最小值为 ． 8．（2024广东·九年级期中）如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B（0，4），则四边形ABCD周长的最小值为 _________________． 9．（2024上·浙江·八年级周测）如图，为等腰直角三角形，，点在的延长线上，且，将沿方向平移得到，连接，，则的周长的最小值为 ．      10．（2023·江苏盐城·统考三模）如图，在中，，，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是 ．    11．（2024上·重庆沙坪坝·八年级校考阶段练习）已知点函数的图象上有两个动点，且，则四边形的周长最小值是 ． 12．（2023下·辽宁鞍山·八年级统考期末）如图，河的两岸有，两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得，两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽3米，且，两点之间的水平距离为12米，则的最小值是 米．    13．（23-24八年级下·山东威海·期中）如图，在平行四边形中，，，将线段沿着直线上下平移得到线段，连接，，则的最小值是 ． 14．（2024·江苏苏州·校考二模）如图，在中，．如果在三角形内部有一条动线段，且，则的最小值为________．    15．（23-24八年级下·重庆秀山·期中）在平行四边形中，连接，若，点为边上一点，连接，交于点．如图，若，，点在边上，，且平分，线段（点在点的左侧）在线段上运动，且，连接，，请直接写出的最小值． 16．（2024北京西城八年级期中）作图题（不写作法） （）如图，一个牧童从点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线． （）如图，直线是一条河，，是两个村庄，欲在上的某处修建一个水泵站，向，两地供水，要使所需管道的长度最短，在图中标出点．（保留作图过程） （）如图，在一条河的两岸有，两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段表示．试问：桥建在何处，才能使到的路程最短呢？请在图中画出桥的位置．（保留作图过程） 17．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）（1）问题提出如图①，在中，，点D，E分别是的中点．若点M，N分别是和上的动点，则的最小值是______． （2）问题探究：如图②，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处，才能使从A到B的路径最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A作河岸的垂线，使，为河宽，连接，与河的一岸交于点N，此时在点N处建桥，可使从A到B的路径最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由． 18．（2023上·重庆万州·九年级校考期中）如图，直线的图象与轴和轴分别交于点和点，的垂直平分线与轴交于点，与交于点，连接．(1)如图1，求的长；(2)如图2，若点是射线上的动点，点和点是轴上的两个动点，且，当的面积为时，求的最小值。 19．（2023·广东深圳·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知平行四边形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，B、C在第一象限内，且OA＝6，OC＝3，∠AOC＝45°． （1）顶点B的坐标为　　，顶点C的坐标为　　；（2）设对角线AC、OB交于点E，在y轴上有一点D（0，﹣1），x轴上有一长为1个单位长度的可以左右平移的线段MN，点M在点N的左侧，连接DM、EN，求DM+EN的最小值；（3）如图2，若直线l：y＝kx+b过点P（0，﹣2），且把平行四边形OABC的面积分成1：2的两部分，请直接写出直线l的函数解析式． 20．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型 将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造桥）再也不是问题！ 2 模型1.将军遛马模型 2 模型2.将军造桥（过桥）模型 6 12 模型1.将军遛马模型 已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）； 点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 例1．（2024上·江苏南通·八年级统考期中）如图，中，，，，若D，E是边上的两个动点，F是边上的一个动点，，则的最小值为（　　） A．3 B． C． D．3 【答案】A 【详解】解：如图，过点C作关于的对称点，连接，交于点N；过作，且，过作于点F，交AB于点E， ∵，， ∴四边形是平行四边形，∴， 又∵关于对称，∴，∴，即的最小值为， ∵，，∴，∴，， 过作，则，又∵，∴四边形是矩形， ∴，， ∵，，∴， 在中，，， ∴，∴， ∴’故选：A． 例2．（2024·山东潍坊·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，是轴上的一条动线段，且，当取最小值时，点坐标为______. 【答案】 【详解】解：如图把点4向右平移1个单位得到E（1，1），作点E关于x轴的对称点F（1，-1），连接BF，BF与x轴的交点即为点Q，此时4P+PQ+QB的值最小. 设最小BF的解析式为y=kx+b，则有解得 ∴直线BF的解析式为y=x-2，令y=0，得到x=2.∴Q（2.0）故答案为（2，0）. 例3．（2024·山东·八年级专题练习）如图，四边形是平行四边形，，，，点、是边上的动点，且，则四边形周长的最小值为______．    【答案】 【详解】如下图，将点沿向右平移2个单位长度得到点，作点关于的对称点，连接，交于点，在上截取，连接，，∴，， 此时四边形的周长为， 当点、、三点共线时，四边形的周长最小， ，，，经过点，，， ，，， ，四边形周长的最小值为，故答案为：． 例4．（2024·黑龙江·校考模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且．连接，．则周长的最小值是______． 【答案】/ 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、，过点作，且点在上方，，连接交于点，取，连接，． ，．，，∴四边形为平行四边形，． ，，三点共线，此时的周长最小． ，，即，， 周长的最小值为：．故答案为：． 模型2.将军造桥（过桥）模型 已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 图2 将军造桥（过桥）模型：如图2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 图2 例1．（2024.山东八年级月考）有一条以互相平行的直线为岸的河流，其两侧有村庄和村庄，现在要在河上建一座桥梁（桥与河岸垂直），使两村庄之间的路程最短，从作图痕迹上来看，正确的是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】D 【详解】解：根据轴对称确定最短路线问题，过村庄作河岸的垂线并且等于河的宽度， 然后与村庄连接与河岸相交于一点，过点作与相交于点， 连接，则即为最短路径，如图  所示，故选：D． 例2．（2024上·湖北·九年级联考自主招生）如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为　　    A． B． C．14 D．12 【答案】C 【详解】解：延长到，使得，延长到，使得，连接交河道于点，，得到两座桥，，此时的值最小．    ∴四边形是平行四边形，∴，同理：=， 延长交的延长线于点．∴，， ∴，， 在中，， ， 的最小值为14．故选：C． 例3．（2024.广东深圳市九年级期中）如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M． （1）请直接写出点A的坐标为_____，点B的坐标为_____； （2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为_____； 【答案】（1）（﹣2，2），（4，2）；（2）（2，）； 【详解】解：（1）如图1中， 在Rt△ADO中，∵∠A=60°，∴∠AOD=30°．∵AD=2，∴OD =2，∴A（﹣2，2）， ∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，∴DB=6﹣2=4，∴B（4，2）； （2）如图1中，连接OP． ∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE=． ∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四边形OPME′是平行四边形，∴OP=EM， ∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，∴当O、P、B共线时，BP+PM+ME′的长度最小．∵直线OB的解析式为y=x，∴P（2，）．故答案为（2，）． 例4．（2024·内江·中考模拟预测）如图，已知直线，、之间的距离为8，点P到直线的距离为6，点Q到直线的距离为4，PQ=，在直线l1上有一动点A，直线上有一动点B，满足AB⊥，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ= ． 【答案】16 【详解】作PE⊥于E交于F，在PF上截取PC=8，连接QC交于B，作BA⊥于A，此时PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D． 在Rt△PQD中，∵∠D=，PQ=，PD=18，∴DQ= =， ∵AB=PC=8，ABPC，∴四边形ABCP是平行四边形，∴PA=BC， 又CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC= ==16．故答案为：16． 例5．（2024·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．    【答案】 【详解】解：如图，过点E作交于点I，连接．       ∵中，，，∴，∴， ∴，．∵，，∴． ∵，∴四边形为平行四边形，∴．同理可得出． ∵，，∴四边形为平行四边形， ∴，∴四边形为平行四边形，   ∴，∴，∴当最小时，最小． ∵当点I，H，C三点共线时，最小，∴此时最小，如图， ∵，∴．∵∴四边形为平行四边形，∴，， ∵，，∴，∴，∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 例6．（2024·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在中，，，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是________．    【答案】 【详解】作交于点E，在取，连接，延长至点，使，连接，作于点，如下图： ，，为等边三角形，， ，，四边形为平行四边形， 同理得四边形与四边形为平行四边形， ，，，    ， 中，， 中， ，的最小值是． 1．（2024上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与y轴交于点A（0，6），与x轴的负半轴交于点B，且∠BAO＝30°， M、N是该直线上的两个动点，且MN＝2，连接OM、ON，则△MON周长的最小值为 （      ） A．2＋3 B．2＋2 C．2＋2 D．5＋ 【答案】B 【详解】解：如图作点O关于直线AB的对称点O’，作且，连接O’C交AB于点D，连接ON，MO， ∴四边形MNOC为平行四边形，∴，，∴， 在中，，即， 当点M到点D的位置时，即当O’、M、C三点共线，取得最小值， ∵，，设，则，，解得：， 即：，，，解得：，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， 在中，，即：，∴，选：B． 2．（2023·广西·二模）已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为(   ) A．2 B．1+3 C．3+ D． 【答案】A 【详解】解：如图，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条河岸，则MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN． 根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短． ∵AB＝10千米，BC＝1+3+4＝8千米，∴在RT△ABC中，， 在RT△AB′C中，B′C＝1+3＝4千米，∴AB′＝千米；故选A． 3．（2024.山东九年级校考一模）如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线y＝x上的一条动线段且PQ＝（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（　　） A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1） 【解答】解：作点B关于直线y＝x的对称点B'（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y＝x，并沿MN向下平移单位后得A'（2，0）连接A'B'交直线y＝x于点Q，如图 理由如下：∵AA'＝PQ＝，AA'∥PQ∴四边形APQA'是平行四边形 ∴AP＝A'Q ∵AP+PQ+QB＝B'Q+A'Q+PQ且PQ＝ ∴当A'Q+B'Q值最小时，AP+PQ+QB值最小 根据两点之间线段最短，即A'，Q，B'三点共线时A'Q+B'Q值最小 ∵B'（0，1），A'（2，0） ∴直线A'B'的解析式y＝﹣x+1 ∴x＝﹣x+1，即x＝ ∴Q点坐标（，） 故选：A． 4．（2024·安徽·校联考模拟预测）如图，在四边形中，对角线相交于点，，，则的最小值为（    ）    A．8 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作，过点作，相交于点，连接，过点作于点．∵，，∴四边形是平行四边形，∴，．    ∵，∴． 当A，B，E三点在同一条直线上时，，此时取得最小值，． ∵，，∴，， 在中，，，， ∴，∴，即的最小值为． 5．（2024上·江苏南通·八年级统考期中）如图，中，，，，若D，E是边上的两个动点，F是边上的一个动点，，则的最小值为（　　） A．3 B． C． D．3 【答案】A 【详解】解：如图，过点C作关于的对称点，连接，交于点N；过作，且，过作于点F，交AB于点E， ∵，， ∴四边形是平行四边形，∴， 又∵关于对称，∴，∴，即的最小值为， ∵，，∴，∴，， 过作，则，又∵，∴四边形是矩形， ∴，， ∵，，∴， 在中，，， ∴，∴， ∴’故选：A． 6．（23-24成都市八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中有，两点．将直线：向上平移个单位长度得到直线，点在直线上，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，，，则折线的长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，将点沿轴向下平移个单位得到，以为斜边，作等腰直角三角形，则点，连接，是等腰直角三角形，，， 将直线：向上平移个单位长度得到直线，，， ，，， ，，，四边形是平行四边形， ，， 当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，即有最小值， 点，点，， 折线的长的最小值为，故答案为：． 7．（2024.广东深圳市八年级期中）如图，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=4，OC=10，∠A=60°，线段EF垂直平分OD，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E'关于x轴对称，连接BP、E'M，则BP+PM+ME'的长度的最小值为 ． 【答案】 【详解】解:如图：连接OP 在Rt△ADO中，∠A=60°，AD=4，∴OD=4，∴A（-4，4） ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=OC=10，∴DB=10-4=6，∴B（6，4） ∵线段EF垂直平分OD∴OE=OD=2，∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°， ∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE=2， ∵OE=OE'∴PM=OE'，PM//OE'，∴四边形OPM E'是平行四边形，∴OP=EM， ∵PM=2是定值，∴PB+ME'=OP+PB的值最小时，BP+PM+M E'的长度最小， ∴当O、P、B共线时，BP+PM+M E'的长度最小 ∴BP+PM+M E'的最小值为OB+PM=．故答案为． 8．（2024广东·九年级期中）如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B（0，4），则四边形ABCD周长的最小值为 _________________． 【答案】 【详解】解：如图，在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形， ∵B（0，4），A（﹣1，0），∴OB＝4，OA＝1，∴OE＝3，AB＝， 作点A关于直线x＝1的对称点A'，∴A'（3，0），AD＝A'D， ∴AD+DE＝A'D+DE，即A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长， 在Rt△A'OE中，由勾股定理得A'E＝， ∴C四边形ABCD最小值＝AB+CD+BC+AD＝AB+CD+A'E＝+1+5＝+6．故答案为：． 9．（2024上·浙江·八年级周测）如图，为等腰直角三角形，，点在的延长线上，且，将沿方向平移得到，连接，，则的周长的最小值为 ．      【答案】 【详解】解：如图，作点关于点的对称点，连接、、、，   ， 由平移的性质可得：，，， ，，，， 由对称的性质可得：，，，， ，当、、在同一直线上时，的值最小，为， 为等腰直角三角形，，， ，在中，，，， ，的最小值为， 的周长的最小值为，故答案为：． 10．（2023·江苏盐城·统考三模）如图，在中，，，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是 ．    【答案】/ 【详解】解：作交于点E，在取，连接，延长至点，使，连接，作于点，如下图：    ，，为等边三角形，， ，，四边形为平行四边形，   同理得四边形与四边形为平行四边形， ，，， ， 中，，， 中，， ，即的最小值是．故答案为：． 11．（2024上·重庆沙坪坝·八年级校考阶段练习）已知点函数的图象上有两个动点，且，则四边形的周长最小值是 ． 【答案】 【详解】如图，过点A作PQ的平行线，过点P作AQ的平行线，两平行线交于点B，作点B关于直线的对称点C，连接PC、OC、BC，其中BC交直线于点D， ，四边形ABPQ是平行四边形， ，由轴对称的性质得：，， ，，四边形的周长为， 则要使四边形的周长最小，只需最小， 由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为， ，设直线AB的函数解析式为， 将点代入得：，解得，则直线AB的函数解析式为， 设点B的坐标为，则， 解得或（不符题意，舍去），， ，设直线BC的函数解析式为， 将点代入得：，解得，则直线BC的函数解析式为， 联立，解得，，设点C的坐标为， 点B、C关于直线对称，点D为BC的中点， ，解得，，的最小值， 则四边形的周长最小值为，故答案为：． ． 12．（2023下·辽宁鞍山·八年级统考期末）如图，河的两岸有，两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得，两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽3米，且，两点之间的水平距离为12米，则的最小值是 米．    【答案】18 【详解】作垂直于河岸，使等于河宽，连接，与靠近A的河岸相交于M，作垂直于另一条河岸， 过点A作交的延长线于点C， 则且，于是为平行四边形，故，    当时，最小，也就是最短， ∵（米），（米），（米） ∴在中，（米）， ∴的最小值为：（米） 故答案为：18 ． 13．（23-24八年级下·山东威海·期中）如图，在平行四边形中，，，将线段沿着直线上下平移得到线段，连接，，则的最小值是 ． 【答案】13 【详解】解：连接，∵平行四边形，∴，， 由平移性质得：，，四边形为平行四边形， ，， 作关于直线的对称点，连接，，交延长线于， 由对称性得：，，，， ，，，，， ∵，，， 的最小值为，故答案为： 14．（2024·江苏苏州·校考二模）如图，在中，．如果在三角形内部有一条动线段，且，则的最小值为________．    【答案】 【详解】解：在上取一点，使得，连接，如图所示：       ，，四边形是平行四边形，，， 将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于，如图所示：，，是等边三角形，，， ，，，， ，，， ，，，，，， ，， ，的最小值为，故答案为：． 15．（23-24八年级下·重庆秀山·期中）在平行四边形中，连接，若，点为边上一点，连接，交于点．如图，若，，点在边上，，且平分，线段（点在点的左侧）在线段上运动，且，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】 【解析】解：如图3中，过点作，交于点，过点作于点，延长到，使得，连接，， ，， 平分，，，， ，，，，， ，，， ，，，，， ，，，四边形是平行四边形，， ，，，，， ，当，，三点共线时的值最小， ，，， ，，， 的最小值为． 16．（2024北京西城八年级期中）作图题（不写作法） （）如图，一个牧童从点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线． （）如图，直线是一条河，，是两个村庄，欲在上的某处修建一个水泵站，向，两地供水，要使所需管道的长度最短，在图中标出点．（保留作图过程） （）如图，在一条河的两岸有，两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段表示．试问：桥建在何处，才能使到的路程最短呢？请在图中画出桥的位置．（保留作图过程） 【答案】作图见解析 【详解】（）如图，点到直线垂线段最短． （）如图． （）如图。 17．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）（1）问题提出如图①，在中，，点D，E分别是的中点．若点M，N分别是和上的动点，则的最小值是______． （2）问题探究：如图②，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处，才能使从A到B的路径最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A作河岸的垂线，使，为河宽，连接，与河的一岸交于点N，此时在点N处建桥，可使从A到B的路径最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由．    【答案】（1）3；（2）小旭的说法正确，理由见解析； 【详解】解：（1）如图，连接，过点A作于点F，∴，    当时，最短，此时点N与点F重合，即的最小值为的长， ∵，∴，∴， ∴的最小值为3；故答案为：3 （2）解：小旭的说法正确，理由如下：根据题意得：，， ∴四边形为平行四边形，∴， 根据“两点之间线段最短”，当点，N，B三点共线时，最短， ∵为河宽，∴在点N处建桥，可使从A到B的路径最短． 18．（2023上·重庆万州·九年级校考期中）如图，直线的图象与轴和轴分别交于点和点，的垂直平分线与轴交于点，与交于点，连接．(1)如图1，求的长；(2)如图2，若点是射线上的动点，点和点是轴上的两个动点，且，当的面积为时，求的最小值。 【答案】(1)(2)的最小值为 (3)存在以为顶点的四边形是菱形，所有满足条件的点的坐标为或或 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点的方法，令，，即可求解；（2）根据题意可求出的面积，再根据的面积为时，可求出点的坐标，根据“造桥求最短路径的方法”即可求解； 【详解】（1）解：∵直线的图象与轴和轴分别交于点和点， ∴令，则；令，则；∴，，∴， ∵是的垂直平分线，∴，设，则， ∴在中，，∴， 解得，，即，∴． （2）解：已知，，是的垂直平分线， ∴，即，且，∴， ∵，，设所在直线的解析式为， ∴，解得，，∴所在直线的解析式为， ∵点在直线的图象上，∴设，∴， ∴，∴，整理得，， 解得，，，∴，， ∵点是射线上的动点，，∴舍去，∴点的坐标为， ∴当时，如图所示，作点关于轴对称的点，将线段向上平移至点与点重合，即，此时点三点共线，即四边形是平行四边形，则，此时的值最小， ∴，∵，∴， 如上所示，过点作轴于点，过点作轴于点，且， ∴，则，， ∴在中，，则， ∴的值最小为． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握一次函数与坐标轴交点的计算方法，对称最段路径的计算方法，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键． 19．（2023·广东深圳·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知平行四边形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，B、C在第一象限内，且OA＝6，OC＝3，∠AOC＝45°． （1）顶点B的坐标为　　，顶点C的坐标为　　；（2）设对角线AC、OB交于点E，在y轴上有一点D（0，﹣1），x轴上有一长为1个单位长度的可以左右平移的线段MN，点M在点N的左侧，连接DM、EN，求DM+EN的最小值；（3）如图2，若直线l：y＝kx+b过点P（0，﹣2），且把平行四边形OABC的面积分成1：2的两部分，请直接写出直线l的函数解析式． 【答案】（1）（9，3），（3，3）；（2）DM+EN的最小值为；（3）直线l的函数解析式为：y＝x–2或y＝x﹣2． 【分析】（1）延长BC交y轴于点G，可得到等腰，可求出OG，CG，即可求解； （2）将点D向右平移1个单位长度得点F，连接EF交x轴于点N，可得到四边形OABC是平行四边形，则当点E，N，F三点共线时，DM+EN有最小值，由勾股定理即可求出； （3）直线l：y＝kx+b过点P（0，﹣2），且把平行四边形OABC的面积分成1：2的两部分，设直线l分别交x轴于点Q，交直线BC于点R，然后进行分类讨论即可． 【详解】（1）延长BC交y轴于点G， ∵在平行四边形OABC中，OA＝6，OC＝3 ，∠AOC＝45°， ∴∠COG＝45°，OG＝CG，BC＝OA＝6， ∴在 中， ，即 ， 解得： ，即CG=3，∴BG＝BC+CG＝9， ∴顶点B的坐标为（9，3），顶点C的坐标为（3，3），故答案为：（9，3），（3，3）； （2）将点D向右平移1个单位长度得点F，连接EF交x轴于点N，∵MN＝DF＝1，∴F（1，–1）， 又由平移性质可得DF∥MN，∴将点D向右平移1个单位长度得点F，连接EF交x轴于点N， ∴DM＝FN，∴当点E，N，F三点共线时，DM+EN有最小值，此时DM+EN＝FN+EN＝EF， ∵四边形OABC是平行四边形，∴E是AC的中点，∵A（6，0），C（3，3），∴E（4.5，1.5）， ∵F（1，–1），∴EF＝ ，∴DM+EN的最小值为； （3）设直线l分别交x轴于点Q，交直线BC于点R， ∵直线l：y＝kx+b过点P（0，−2），∴b＝–2， 在y＝kx﹣2中，当y＝0时，x＝ ，当y＝3时，x＝， ∴Q（，0），R（，3），∴OQ＝，CR＝， ∴S四边形OQRC＝（OQ+CR）×3＝ ， ①当S四边形OQRC＝ S四边形QABR时，＝ ，解得：k＝1， ∴直线l的函数解析式为：y＝x–2， ②当S四边形OQRC＝2S四边形QABR时，＝，解得：k＝ ， ∴直线l的函数解析式为：y＝x﹣2， 综上，直线l的函数解析式为：y＝x–2或y＝x﹣2． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，一次函数的几何应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，利用数形结合思想解答． 20．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 【答案】【数学建模】， ① ，；【问题拓展】见解析【迁移应用】米 【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法． 【数学建模】由垂直平分线的性质得，由两点之间线段最短得； 【问题拓展】解过作垂直于河岸，使得，连接交另一河岸于，过 作垂直河岸于，即为所求； 【迁移应用】过作，使得，作关于直线对称点，连接交直线于，此时使得最短，最后由勾股定理求解即可． 【详解】，①，；解：【问题拓展】桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短； 解：【迁移应用】如图所示，过作，使得，作关于直线对称点，延长交于，连接交直线于，此时使得最短， ∵，，∴四边形是平行四边形，∴， ∵关于直线对称点，∴，，, ∴， 在△中，由勾股定理得， ∴， 故步行观光路线的最短长度为米． 25 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$