精品解析：甘肃省武威市凉州区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试卷

2024—2025学年第一学期期末试卷 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该浆轮船的轮子半径为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在中，点D为上一点，连接，下列给出的条件不能得出的是（ ） A B. C. D. 5. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 已知拋物线，若点，，，都在该抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是（　　） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 9. 抛物线和直线在同一坐标系内的图象可能是（ ） A B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，动点从点出发，以速度沿折线匀速运动至点停止．设点的运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图2所示，则矩形的对角线长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 方程是关于x的一元二次方程，则_________． 12. 若点与点关于原点对称，则_____． 13. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 _________． 14. 在一个不透明袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数可能是_____个． 15. 随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是______． 16. 已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，该圆锥的侧面积为____． 17. 如图等边内接于，若的半径为1，则阴影部分的面积为______． 18. 如图，在矩形中，，，点沿边从点开始向点以的速度移动，点沿边从点开始向点以的速度移动，如果、同时出发，当以点、、为顶点的三角形与相似时，所需时间为________． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 用适当的方法解方程． （1）． （2）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将绕着点O按逆时针方向旋转得到，画出，并写出点的坐标； （2）求出（1）中点A旋转到点所经过路径长． 21. 甘肃历史跨越八千余年，是中华民族和华夏文明的重要发祥地之一，也是中医药学的发祥地之一，被誉为“河岳根源、羲轩桑梓”．李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的4张卡片背面朝上放在桌面上（这4张卡片除正面外，其他完全相同），邀请小甘上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容． （1）求小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率； （2）若小甘先上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（放回重新排列），小肃后上讲台，也从4张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率． 22. 已知关于x的方程． （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根： （2）若此方程的一根是1，求另一个根及m的值． 23. 如图，在四边形中，，交于点F．点E在上，且． （1）求证：； （2）若．求的度数． 24. 一家服装店于春节后购进了一批新款春装，从销售中记录发现，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为把握换季营销，商店决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利．市场调研发现，若每件降价1元，则平均每天就可多售出2件． （1）要想平均每天销售这款春装能盈利1200元，又能尽量减少库存，那么每件应降价多少元？ （2）这家服装店平均每天销售这款春装盈利的最大值是多少元？ 25. 如图，为的直径，射线交于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 26. 发现问题】 （1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______． （2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是______． （3）【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由． 27. 如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）P是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值，并直接写出此时点P的坐标； （3）Q为抛物线对称轴上一点，是否存在点Q，使为以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期末试卷 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义即可判断. 【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关概念是解题关键． 2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该浆轮船的轮子半径为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设半径为 ，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案 【详解】解：设半径为 ，则 在 中，有 ，即 解得 故选：D 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键在于知道 垂直平分 这个隐藏的条件． 4. 如图，在中，点D为上一点，连接，下列给出的条件不能得出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似成为解答本题的关键，根据相似三角形的判定方法逐一分析判断即可． 【详解】解：A． ，，不是夹对应角的两边对应成比例，不能得到，故符合题意； B．，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； C．，即，根据两边成比例且夹角相等两个三角形相似可以得到，故不符合题意； D．，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； 故选A． 5. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，连接，由是的直径得到，根据圆周角定理得到，得到，再由圆内接四边形对角互补得到答案. 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：B 6. 已知二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，由于二次函数与轴有两个交点，故二次函数对应的一元二次方程中，，解不等式即可求出的取值范围，由二次函数定义可知，． 【详解】解：二次函数的图象和轴有两个交点， ， 解得且． 故选：D． 7. 已知拋物线，若点，，，都在该抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题关键．由抛物线解析式可知抛物线开口向下，对称轴为直线，即可求解． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，有最大值，且离对称轴越近的值越大， ， ， 故选：B． 8. 如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是（　　） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理的应用；由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故选：B． 9. 抛物线和直线在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，本题中首先根据一次函数的图像确定、的取值范围，再根据、的取值范围确定抛物线的开口方向和对称轴的大致位置． 【详解】解：A选项： 直线经过第一、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向上，故A选项不符合题意； B选项： 直线经过第二、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向下，抛物线的对称轴为应在轴的左侧，故B选项不符合题意； C选项： 直线经过第二、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向下，抛物线的对称轴为应在轴的左侧，故C选项不符合题意； D选项： 直线经过第一、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向上，抛物线的对称轴为应在轴的右侧，故D选项不符合题意； 故选：D． 10. 如图1，在矩形中，动点从点出发，以速度沿折线匀速运动至点停止．设点的运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图2所示，则矩形的对角线长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，动点的函数图形，勾股定理，根据函数的图象、结合图形求出、的值，即可得出矩形的对角线． 【详解】解：动点从点出发，沿、、运动至点停止，而当点运动到点，之间时，的面积不变， 函数图象上横轴表示点运动的时间，时，开始不变，说明，时，接着变化，说明， 矩形的对角线长为． 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 方程是关于x的一元二次方程，则_________． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行分析即可. 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程 所以|n|-1=2，n-3≠0 解得n=-3 故答案为：-3. 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 12. 若点与点关于原点对称，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征，有理数的乘方．熟练掌握关于原点对称的点坐标的横纵坐标均互为相反数是解题的关键．由题意知，，然后代入求解即可． 【详解】点与点关于原点对称， ，， ． 故答案为：1． 13. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，解题的关键是掌握二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，以及的顶点坐标为． 先得出平移后的解析式，即可解答． 【详解】解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，后抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 14. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数可能是_____个． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，明确题意，利用概率公式计算出红球的个数是解答本题的关键．根据红球出现的频率和球的总数，求出红球的个数，再计算出黄球的个数即可． 【详解】解：∵摸出红球的频率稳定在左右， ∴摸出红球的概率为， ∴袋子中红球的个数为（个）， ∴ 袋子中黄球的个数为（个）， 故答案是：15． 15. 随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x，然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】解：设平均增长率为x，由题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）； 故答案为：． 16. 已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，该圆锥的侧面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据圆锥的侧面积公式：计算即可 【详解】解∶， 故答案为：． 17. 如图等边内接于，若的半径为1，则阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由等边内接于，求得，再根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵等边， ∴， ∵等边内接于， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，圆周角定理，扇形面积，熟练掌握等边三角形的性质和扇形面积的计算公式是解题的． 18. 如图，在矩形中，，，点沿边从点开始向点以的速度移动，点沿边从点开始向点以的速度移动，如果、同时出发，当以点、、为顶点的三角形与相似时，所需时间为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质．分时， 时两种情况计算即可求解． 【详解】解；根据题意，， 在矩形中，，则 ①当时，，有：，解得， 即当时，； ②当时，，有：，解得， 即当时，； 所以，当或时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 用适当的方法解方程． （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查是一元二次方程，利用一元二次方程的解法是解题关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 解得：，． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将绕着点O按逆时针方向旋转得到，画出，并写出点的坐标； （2）求出（1）中点A旋转到点所经过的路径长． 【答案】（1），图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图——旋转变换，求弧长．熟练掌握旋转的性质以及弧长公式是解题关键． （1）根据题意，画出旋转图形，确定点的坐标即可； （2）利用弧长公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：如图，为所求作，点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，点A旋转到点所经过的路径是弧长， 由旋转性质可知，，， ∴点A旋转到点所经过的弧长为． 21. 甘肃历史跨越八千余年，是中华民族和华夏文明的重要发祥地之一，也是中医药学的发祥地之一，被誉为“河岳根源、羲轩桑梓”．李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的4张卡片背面朝上放在桌面上（这4张卡片除正面外，其他完全相同），邀请小甘上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容． （1）求小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率； （2）若小甘先上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（放回重新排列），小肃后上讲台，也从4张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率为； 【小问2详解】 将印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的卡片分别记作A，B，C，D，列表如下： 小肃小甘 A B C D A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D) B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D) C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D) D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D) 由上表可知，一共有16种等可能的情况，其中小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的情况有7种， ∴小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率为． 22. 已知关于x的方程． （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根： （2）若此方程的一根是1，求另一个根及m的值． 【答案】（1）见解析 （2），m=2 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的判别式，判断根的情况即可； （2）把x=1代入方程，即可求出m的值，然后利用根与系数的关系即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∵， ∴． ∴方程恒有两个不相等实数根． 【小问2详解】 解：把x=1代入原方程得：，解得：m=2 ∴原方程为： 原方程为：x2-4x+3=0，即(x-3)(x-1)=0，解得：x1=3，x2=1． ∴，另一个根为． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握常见解一元二次方程的方法以及用根的判别式判断根的情况是解答本题的关键． 23. 如图，四边形中，，交于点F．点E在上，且． （1）求证：； （2）若．求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先证出，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据相似三角形的性质可得，再证出，然后根据相似三角形的性质即可得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 24. 一家服装店于春节后购进了一批新款春装，从销售中记录发现，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为把握换季营销，商店决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利．市场调研发现，若每件降价1元，则平均每天就可多售出2件． （1）要想平均每天销售这款春装能盈利1200元，又能尽量减少库存，那么每件应降价多少元？ （2）这家服装店平均每天销售这款春装盈利的最大值是多少元？ 【答案】（1）20元 （2）1250元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的性质，理解题意，掌握一元二次方程，二次函数的性质是解题的关键． （1）设每件新款春装应降价x元，则每件盈利元，平均每天可售出件，根据利润为1200元列方程求解即可； （2）设每件新款春装应降价x元，每天销售这款春装盈利y元，根据利润=单件利润×销售量列出函数关系式，然后利用二次函数的性质即可得； 【小问1详解】 解：设每件新款春装应降价x元，则每件盈利元，平均每天可售出件， 根据题意得：， 整理得：， ， 解得：，， ∵要尽量减少库存， ∴． 【小问2详解】 解：设每件新款春装应降价x元，每天销售这款春装盈利y元，根据题意得， 即最大值1250元， 答．平均每天销售这款春装盈利的最大值是1250元． 25. 如图，为的直径，射线交于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可得证； （2）根据题意求出，根据含角的直角三角形的性质计算，得到答案． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵直线是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角的直角三角形的性质等知识点，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 26. 【发现问题】 （1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______． （2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是______． （3）【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①，证明见解析；②； （3）度，，理由见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定以及性质， 相似三角形的判定以及性质等知识． （1）由等边三角形的性质可求解； （2）①由“SAS”可证，可得； ②由全等三角形的性质可得，即可解决问题． （3）结论：，．证明，可得，，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图2中， ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴（SAS）， ∴； ②∵， ∴， 设交于点． ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）结论：，． 理由： ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 27. 如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）P是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值，并直接写出此时点P的坐标； （3）Q为抛物线对称轴上一点，是否存在点Q，使为以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，， （3）存在，点Q的坐标为或 【解析】 【分析】本题为二次函数综合题，涉及到待定系数法求函数表达式、二次函数最值、直角三角形的性质等． （1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）设点，得到，，，分当为斜边时，当为斜边时，两种情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：将，代入，得， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：过作轴，交于点， 当时，， ， 设直线的表达式为将，代入，得， ， 解得， ， 设，， ， ， 当时，， 当时，， ； 【小问3详解】 解：存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 故设点， 由点的坐标得，，，， 当为斜边时，则， 解得：； 即点； 当为斜边时，则， 解得：， 即点， 综上，点Q的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $