精品解析：吉林省珲春市第二高级中学校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

珲春二高中2024-2025学年度上学期期末考试 高二 数学试卷 出题人：金美利 审题人：李松模 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 抛物线焦点到其准线的距离为（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 1 B. -2 C. 2 D. 4. 北京冬奥会已于2022年2月4日至2月20日顺利举行，这是中国继北京奥运会，南京青奥会后，第三次举办的奥运赛事．之前，为助力冬奥，提高群众奥运法律知识水平和文明素质，某市有关部门开展冬奥法律知识普及类线上答题，共计30个题目，每个题目2分满分60分，现从参与线上答题的市民中随机抽取1000名，将他们的作答成绩分成6组，并绘制了如图所示的频率分布直方图．若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，可估计这次线上答题成绩的平均数为（ ） A. 33 B. 34 C. 35 D. 36 5. 已知幂函数是定义域上的奇函数，则（ ） A. B. C. D. 或 6. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 若直线与圆相交，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，以下说法正确的是（ ） A. z的实部是3 B. C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 10. 如图，已知直线和椭圆，m为何值时，下列结论正确（ ） A. 当时，直线l与椭圆C有两个公共点 B. 当或25时，直线l与椭圆C只有一个公共点 C 当或时，直线l与椭圆C没有公共点 D. 当时，直线l与椭圆C有公共点 11. 如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ） A. 点在曲线上 B. 点在上，则 C. 点在椭圆上，若，则 D. 过作轴垂线交于两点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为__________. 13. 已知直线：与直线，则这两直线之间的距离为________． 14. 如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆的左、右焦点为,，P为椭圆上不与顶点重合的任一点，I为的内心，记直线OP，PI（O为坐标原点）的斜率分别为，，若，则椭圆的离心率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 圆的圆心为，且过点. （1）求圆的标准方程； （2）直线与圆交两点，且，求. 16. 在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角C的大小； （2）若，且，求△ABC的周长． 17. 已知，，且函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）已知，，求的值． 18. 如图所示的几何体中，四边形为矩形，在梯形中，，为的中点，，，，线段交于点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆的左右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于，两点；当直线过焦点且与轴垂直时，. （1）求椭圆方程； （2）若直线过点，当面积为时，求直线的斜率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珲春二高中2024-2025学年度上学期期末考试 高二 数学试卷 出题人：金美利 审题人：李松模 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定集合，再由交集运算即可； 【详解】或， 所以， 故选：D 2. 抛物线的焦点到其准线的距离为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先将抛物线方程化为标准方程，从而可求出焦点坐标和准线方程，进而可求出焦点到准线的距离. 【详解】抛物线的标准方程为，则，得， 所以焦点坐标为，准线方程为， 所以焦点到准线距离. 故选：B. 3. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 1 B. -2 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量垂直的坐标表示，列式计算即得. 【详解】向量，，由，得， 所以. 故选：C 4. 北京冬奥会已于2022年2月4日至2月20日顺利举行，这是中国继北京奥运会，南京青奥会后，第三次举办的奥运赛事．之前，为助力冬奥，提高群众奥运法律知识水平和文明素质，某市有关部门开展冬奥法律知识普及类线上答题，共计30个题目，每个题目2分满分60分，现从参与线上答题的市民中随机抽取1000名，将他们的作答成绩分成6组，并绘制了如图所示的频率分布直方图．若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，可估计这次线上答题成绩的平均数为（ ） A. 33 B. 34 C. 35 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】根据频率直方图求平均数即可. 【详解】由题图，. 故选：B 5. 已知幂函数是定义域上的奇函数，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由幂函数定义得到等量关系，解出的值，代入的验证函数为奇函数. 【详解】因为函数是幂函数， ∴，解得或， 当时，是奇函数，满足题意； 当时，是奇函数，满足题意; ∴或. 故选：D. 6. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解点线距即可. 【详解】建立如图空间直角坐标系， 则， ，. 故点到直线的距离. 故选：B 7. 若直线与圆相交，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 圆心到直线的距离小于半径解不等式即可. 【详解】解：圆的标准方程为，圆心，半径， ∵直线与圆相交，∴，解得或， 故选：D. 8. 若双曲线弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【详解】设弦端点，， 由，双曲线上， 则， 两式做差可得， 即， 又弦被点平分， 则，代入上式可得， 则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，以下说法正确的是（ ） A. z的实部是3 B. C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数实部的概念判断A的真假；计算复数的模判断B的真假；根据共轭复数的概念判断C的真假；根据复数的几何意义判断D的真假. 【详解】对A：复数的实部为3，故A正确； 对B：因为，故B正确； 对C：根据共轭复数的概念，，故C正确； 对D：因为在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故D错误. 故选：ABC 10. 如图，已知直线和椭圆，m为何值时，下列结论正确（ ） A. 当时，直线l与椭圆C有两个公共点 B. 当或25时，直线l与椭圆C只有一个公共点 C. 当或时，直线l与椭圆C没有公共点 D. 当时，直线l与椭圆C有公共点 【答案】ABCD 【解析】 【分析】将直线与椭圆的公共点的个数问题，转化为联立方程组成方程组的解的个数问题，消元后得到一元二次方程，结合，，分别判断即可. 【详解】对于A，由方程组消去y，得①， ． 由，得． 此时方程①有两个不相等的实数根，直线与椭圆有两个不同的公共点．故A正确； 对于B，由，得，．此时方程①有两个相等的实数根， 直线与椭圆有且只有一个公共点．故B正确； 对于C，由，得，或．此时方程①没有实数根，直线与椭圆没有公共点．故C正确； 对于D，由选项A与选项B可知，D正确. 故选：ABCD 11. 如图，曲线是一条“双纽线”，其上点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ） A. 点在曲线上 B. 点在上，则 C. 点在椭圆上，若，则 D. 过作轴的垂线交于两点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由“双纽线”定义判断A；由“双纽线”定义得到，再计算判断B；由“双纽线”定义和椭圆定义判断C；设，由勾股定理得到，再解方程判断D. 【详解】对于A，，由定义知，A正确； 对于B，由点在上，得， 化简得，解得，，B错误； 对于C，椭圆的焦点坐标恰好为与， 则，由，得， 则，，C正确； 对于D，设，则，而，则， 又， 则，化简得，解得，， 因此1，，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由根式有意义列不等式组求解即可. 【详解】由题意得，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为： 13. 已知直线：与直线，则这两直线之间的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断两直线平行，再利用公式求距离即可. 【详解】直线与直线， 其中，所以， 所以两直线之间的距离为， 故答案为：. 14. 如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆的左、右焦点为,，P为椭圆上不与顶点重合的任一点，I为的内心，记直线OP，PI（O为坐标原点）的斜率分别为，，若，则椭圆的离心率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据椭圆的焦点三角形以及内切圆的性质，结合两点距离公式化简得，由等面积法可得，由斜率关系即可代入化简求值. 【详解】不妨设点在第二象限，的内切圆与各边的切点分别为,设, 则 ， 故，， ， 由于点在第二象限，，所以 ，故， ，因此， ， 当代入得（负值舍去）， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 圆的圆心为，且过点. （1）求圆的标准方程； （2）直线与圆交两点，且，求. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用两点间距离公式求出圆的半径，写出圆的标准方程； （2）求出圆心到直线的距离，利用垂径定领列出方程，求出. 【小问1详解】 设圆的半径为，则， 故圆的标准方程为：； 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为， 则， 由垂径定理得：， 即，解得：或. 16. 在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角C的大小； （2）若，且，求△ABC的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可求解；（2）根据余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由及正弦定理得 因为，故． 又∵ 为锐角三角形，所以． 【小问2详解】 由余弦定理， ∵，得 解得：或 ∴ 的周长为． 17. 已知，，且函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二倍角公式、辅助角公式化简，然后利用公式单调递增区间； （2）根据条件得到的值，然后可求的值，根据角的配凑可得，结合二倍角公式可求结果. 小问1详解】 ， 令，解得， 故函数的单调递增区间为． 【小问2详解】 因为，即，所以， 又，所以， 所以， 所以． 18. 如图所示的几何体中，四边形为矩形，在梯形中，，为的中点，，，，线段交于点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由中位线定理和线面平行的判定定理即可证明； （2）由题意，如图以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系.求出平面及平面的法向量和，计算二面角的余弦值，继而求出二面角的正弦值即可求解. （3）设存在点满足条件，设，从而求得，由题意根据线面角的正弦值为，可求出，即可求解. 【小问1详解】 因为四边形为矩形， 所以为的中点，连接， 在中，，分别为，的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为，，， 所以，， 又且， 平面，又， 如图以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系. 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 即，解得，令，得， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，， 则平面的一个法向量为， 则，于是. 故二面角的正弦值为. 【小问3详解】 存在一点，使得与平面所成角的大小为. 设存在点满足条件，由，， 则，, 设， 则, 因为直线与平面所成角的大小为， 所以 ， 解得，由，知，且 即点与重合，故在线段上存在一点， 则. 19. 已知椭圆的左右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于，两点；当直线过焦点且与轴垂直时，. （1）求椭圆的方程； （2）若直线过点，当面积为时，求直线的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆顶点以及垂直关系可得，再由通径长可得，代入可得椭圆的方程； （2）设直线的方程为并于椭圆方程联立，由弦长公式以及点到直线距离公式得出面积表达式可得结果. 【小问1详解】 由椭圆顶点性质以及可得； 当直线过焦点且与轴垂直时，其方程为， 代入可求得，所以， 解得； 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知， 设直线的方程为，，如下图所示： 联立，消去并整理可得， 由韦达定理可得； 因此， 直线的方程化为，可得点到直线的距离为； 所以的面积为， 又面积为，可得，解得； 所以直线的斜率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $