9.4矩形、菱形 、正方形（正方形） （同步练习） 2024-2025学年苏科版数学八年级下册

2024-2025学年苏科版数学八年级下册 9.4矩形、菱形 、正方形（正方形） （同步练习） （满分100分，时间90分钟） 1、 选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.菱形、矩形、正方形都具有的特点是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线平分对角 2.如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（    ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形 3.下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③ 四条边相等的四边形是正方形；④顺次连接菱形各边中点形成的四边形一定是矩形．其中正确的个数是（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 4.如图，在正方形对角线上取点，使得，连接，则的度数为（  ） A． B． C． D． 5.如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为，则点F的坐标为（ ） A. B. C. D. 6.如图，正方形ABCD的边长为3，将等腰直角三角板的45°角的顶点放在点B处，直角顶点F在CD的延长线上，BF与AD交于点G，斜边与CD交于点E,若CE=1，则DG的长为( ) A. B. C. D. 3 7.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，点G为边BC中点，点D从点C出发沿CA向点A运动，到点A停止，以GD为边作正方形DEFG，则点E运动的路程为（　　） A. B. C. 4 D. 3 8.如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝3BE＝3，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 2、 填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.四边形是正方形且面积为36，则对角线的和是 ． 10.如图，矩形的对角线，相交于点O，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是 （写出一个条件即可）．    11.如图，在平面直角坐标系中，是正方形，点的坐标是，则点的坐标为 ． 12.如图，正方形中，将边绕着点A旋转，当点B落在边的垂直平分线上的点E处时，的度数为_____． 13.如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，则△AFC的面积S为_____． 14.如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，相交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝_____． 15.如图，将n个边长都为的正方形按如图所示摆放，点、、…、分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为________（用n的代数式表示） 16.如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连接EF，给出下列五个结论:①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=EC，其中正确结论的序号是______. 三、解答题（本题共6小题，共52分） 17.如图所示，在中，在，平分，于E，于F，求证：四边形是正方形． 18.在矩形中，，E是的中点，一块三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E按顺时针方向旋转，当三角板的两直角边与、分别相交于点M，N时，观察或测量与的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论． 19.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD上两点，∠EAF=45°， 过点A作∠GAB=∠FAD,且点G为边CB延长线上一点.①△GAB≌△FAD吗？说明理由．②若线段DF=4， BE=8，求线段EF的长度．③若DF=4,CF=8.求线段EF的长度． 20.如图，正方形的边、在坐标轴上，点的坐标为．点从点A 出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向点运动；点从点同时出发，以相同的速度沿轴的正方向运动，规定点到达点时，点也停止运动．连接，过点作的垂线，与过点平行于轴的直线相交于点．与轴交于点，连接．设点运动的时间为． （1）的度数为_________，点的坐标为___________（用表示）； （2）在的运动过程中，直线的解析式发生变化吗？如果不变，请直接写出直线的解析式； （3）探索的周长是否随时间的变化而变化，若变化，说明理由；若不变，试求这个定值． 21.如图，在中，点D是的中点，点E是边的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）当满足什么条件时，四边形为矩形，并说明理由． （3）当满足 时，四边形为正方形，不需要说明理由． 22.【问题情境】如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C）．延长AE交CE'于点F，连接DE． 【猜想证明】 （1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由； （2）如图2，若DA＝DE，请猜想CF与E'F的数量关系并加以证明； 【解决问题】 （3）如图1，若BE＝3，CF＝1，请直接写出线段DE的长． 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.菱形、矩形、正方形都具有的特点是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线平分对角 【答案】C 2.如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（    ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形 【答案】D 3.下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③ 四条边相等的四边形是正方形；④顺次连接菱形各边中点形成的四边形一定是矩形．其中正确的个数是（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 4.如图，在正方形对角线上取点，使得，连接，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 5.如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为，则点F的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 6.如图，正方形ABCD的边长为3，将等腰直角三角板的45°角的顶点放在点B处，直角顶点F在CD的延长线上，BF与AD交于点G，斜边与CD交于点E,若CE=1，则DG的长为( ) A. B. C. D. 3 【答案】B 7.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，点G为边BC中点，点D从点C出发沿CA向点A运动，到点A停止，以GD为边作正方形DEFG，则点E运动的路程为（　　） A. B. C. 4 D. 3 【答案】A 8.如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝3BE＝3，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.四边形是正方形且面积为36，则对角线的和是 ． 【答案】 10.如图，矩形的对角线，相交于点O，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是 （写出一个条件即可）．    【答案】（答案不唯一） 11.如图，在平面直角坐标系中，是正方形，点的坐标是，则点的坐标为 ． 【答案】 12.如图，正方形中，将边绕着点A旋转，当点B落在边的垂直平分线上的点E处时，的度数为_____． 【答案】或 13.如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，则△AFC的面积S为_____． 【答案】2 14.如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，相交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝_____． 【答案】 15.如图，将n个边长都为的正方形按如图所示摆放，点、、…、分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为________（用n的代数式表示） 【答案】 16.如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连接EF，给出下列五个结论:①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=EC，其中正确结论的序号是______. 【答案】①②④⑤． 三、解答题（本题共6小题，共52分） 17.如图所示，在中，在，平分，于E，于F，求证：四边形是正方形． 【答案】∵平分，， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形． 18.在矩形中，，E是的中点，一块三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E按顺时针方向旋转，当三角板的两直角边与、分别相交于点M，N时，观察或测量与的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论． 【答案】， 证明：过E点作于点F， ∵为矩形， ∴, ∴为矩形， 又∵，E是的中点， ∴ ∴为正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴, ∴ ∴． 19.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD上两点，∠EAF=45°， 过点A作∠GAB=∠FAD,且点G为边CB延长线上一点.①△GAB≌△FAD吗？说明理由．②若线段DF=4， BE=8，求线段EF的长度．③若DF=4,CF=8.求线段EF的长度． 【答案】（1）全等 证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD,∠ABG=∠D， 在△ABG和△ADF中 ∵∠GAB=∠FAD，AB=AD,∠ABG=∠D， ∴△GAB≌△FAD. （2）解：∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠DAF+∠BAE=45°， ∵△GAB≌△FAD， ∴∠GAB=∠FAD，AG=AF， ∴∠GAB+∠BAE=45°，∴∠GAE =45°， ∴∠GAE=∠EAF， 在△GAE和△FAE中，∵AG=AF, ∠GAE=∠EAF,AE=AE， ∴△GAE≌△FAE（SAS）， ∴EF=GE， ∵△GAB≌△FAD，∴GB=DF， ∴EF=GE=GB+BE=FD+BE=3+4=7； (3)设BE=x ∵DF=4，CF=8，四边形ABCD是正方形 ∴AD=AB=BC=12 ∴EC=12-x,EG=4+x， ∵∠ECD= ∴ ∵△GAE≌△FAE ∴EG=EF ∴ ∴x=6 ∴EG=4+6=10 ∴EF=10 故答案EF=10 20.如图，正方形的边、在坐标轴上，点的坐标为．点从点A 出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向点运动；点从点同时出发，以相同的速度沿轴的正方向运动，规定点到达点时，点也停止运动．连接，过点作的垂线，与过点平行于轴的直线相交于点．与轴交于点，连接．设点运动的时间为． （1）的度数为_________，点的坐标为___________（用表示）； （2）在的运动过程中，直线的解析式发生变化吗？如果不变，请直接写出直线的解析式； （3）探索的周长是否随时间的变化而变化，若变化，说明理由；若不变，试求这个定值． 【答案】（1）， （2） （3）不变，值为8 21.如图，在中，点D是的中点，点E是边的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）当满足什么条件时，四边形为矩形，并说明理由． （3）当满足 时，四边形为正方形，不需要说明理由． 【答案】（1）， ， 是的中点， ， 和中， ， ， ， ∵点D是的中点， ∴， ； （2）当满足：时，四边形是矩形． 理由如下：，， 四边形是平行四边形， ，， ， 是矩形． （3）等腰直角三角形且． 22.【问题情境】如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C）．延长AE交CE'于点F，连接DE． 【猜想证明】 （1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由； （2）如图2，若DA＝DE，请猜想CF与E'F的数量关系并加以证明； 【解决问题】 （3）如图1，若BE＝3，CF＝1，请直接写出线段DE的长． 【答案】（1）结论：四边形BE'FE是正方形． 理由：如图1中， ∵△CBE'是由Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到的， ∴∠CE'B＝∠AEB＝90°，∠EBE'＝90°， 又∵∠BEF+∠AEB＝90°， ∴∠BEF＝90°， ∴四边形BE'FE是矩形， 由旋转可知 BE＝BE'， ∴四边形BE'FE是正方形． （2）结论：CF＝E'F． 理由：如图2中，过点D作DH⊥AE于点H，则∠AHD＝90°，∠DAH+∠ADH＝90° ∵DA＝DE， ∴AH＝EH＝AE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DA，∠DAB＝90°， ∴∠DAH+∠EAB＝90°， ∴∠ADH＝∠EAB， 在△ADH和△BAE中， ， ∴△ADH≌△BAE（AAS）， ∴AH＝BE， 由旋转可知 AE＝CE'， 由（1）可知四边形BE'FE是正方形， ∴BE＝E'F， ∴E'F＝AH＝AE＝CE'， ∴CF＝E'F． （3）如图1，过点D作DH⊥AE于点H． ∵△ADH≌△BAE， ∴AH＝BE＝E'F＝3， ∵CF＝1， ∴DH＝AE＝CE'＝3+1＝4， ∴EH＝4﹣3＝1， 在Rt△DEH中， DE＝． ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$