9.4矩形、菱形 、正方形（巩固练习）2024-2025学年苏科版数学八年级下学期

2024-2025学年苏科版数学八年级下册 9.4矩形、菱形 、正方形（正方形） （巩固练习） 【典型例题】 【例1】下列说法正确的是（　　） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【例2】 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 【例3】如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（ ） A. B. C. D. 平分 【例4】如图，平面内三点、、，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是（ ） A. 41 B. C. 81 D. 【例5】如图，正方形ABCD边长为8，E，F分别是BC，CD上的点，且AE⊥BF． （1）求证：AE＝BF； （2）若AF＝10，求AE的长． 【举一反三】 【变式1】在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（　　） A. AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B. AD∥BC，∠BAC＝∠BCD C. AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D. AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC 【变式2】如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为，则点F的坐标为（ ） A. B. C. D. 【变式3】如图，有一个平行四边形ABCD和一个正方形CEFG，其中点E在边AD上．若∠ECD＝43°，∠AEF＝28°，则∠B的度数为（　　） A. 55° B. 75° C. 65° D. 60° 【变式4】 如图，在正方形中，是对角线，平分交于点，若，则的长为 ____________． 【变式5】如图，已知四边形是正方形，、分别是和的延长线上的点，且，连接、、， （1）填空：可以由绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到； （2）若，求四边形的面积． 【巩固练习】 1.下列说法中正确的是（　　）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 2.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣3，0），则点C到y轴的距离是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3.如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，若，，则正方形的边长为（　　） A. 8 B. 10 C. D. 4.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（0，8），点M是正方形OABC的对称中心，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），将△ABD沿AD折叠，点B的对应点为点E，连接EM，当EM的值最小时，点D的坐标为（ ） A. （4﹣4，8） B. （8﹣8，8） C. （16﹣8，8） D. （4，8） 5.若正方形的对角线的长为，则该正方形的面积为__________． 6. 如图，点P为正方形对角线上一点，如果，那么的度数是______ 7.如图，正方形ABCD的边长为15，AG=CH=12，BG=DH=9，连接GH，则线段GH的长为______． 8. 如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点，连．若，，则与的和为______度；且另一条直角边的长为______． 9.如图，正方形中，E是上的一点，连接，过B点作，垂足为点H，延长交于点F，连接． （1）求证：． （2）若正方形边长是5，，求的长． 10.定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形；性质：垂美四边形的对角线互相垂直． （1）如图，在四边形中，接，对角线相交于，垂直于，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； （2）如图，已知四边形是垂美四边形，求证：； （3）如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长． 答案解析 【典型例题】 【例1】下列说法正确的是（　　） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【例2】 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 【答案】D 【例3】如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】A 【例4】如图，平面内三点、、，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是（ ） A. 41 B. C. 81 D. 【答案】D 【例5】如图，正方形ABCD边长为8，E，F分别是BC，CD上的点，且AE⊥BF． （1）求证：AE＝BF； （2）若AF＝10，求AE的长． 【答案】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°=∠C，AB=BC， ∴∠ABF+∠CBF=90°， ∵AE⊥BF， ∴∠ABF+∠BAE=90°， ∴∠BAE=∠CBF， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴AE=BF； （2）∵AF=10，AD=8， ∴DF=， ∴CF=8-6=2， ∴BF=， ∴AE=． 【举一反三】 【变式1】在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（　　） A. AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B. AD∥BC，∠BAC＝∠BCD C. AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D. AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC 【答案】C 【变式2】如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为，则点F的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【变式3】如图，有一个平行四边形ABCD和一个正方形CEFG，其中点E在边AD上．若∠ECD＝43°，∠AEF＝28°，则∠B的度数为（　　） A. 55° B. 75° C. 65° D. 60° 【答案】B 【变式4】 如图，在正方形中，是对角线，平分交于点，若，则的长为 ____________． 【答案】 【变式5】如图，已知四边形是正方形，、分别是和的延长线上的点，且，连接、、， （1）填空：可以由绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， 可以由绕旋转中心点，按顺时针方向旋转90度得到； 故答案为，90； 【小问2详解】 ， ， ． 【巩固练习】 1.下列说法中正确的是（　　）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 【答案】D 2.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣3，0），则点C到y轴的距离是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 3.如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，若，，则正方形的边长为（　　） A. 8 B. 10 C. D. 【答案】D 4.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（0，8），点M是正方形OABC的对称中心，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），将△ABD沿AD折叠，点B的对应点为点E，连接EM，当EM的值最小时，点D的坐标为（ ） A. （4﹣4，8） B. （8﹣8，8） C. （16﹣8，8） D. （4，8） 【答案】C 5.若正方形的对角线的长为，则该正方形的面积为__________． 【答案】 6. 如图，点P为正方形对角线上一点，如果，那么的度数是______ 【答案】 7.如图，正方形ABCD的边长为15，AG=CH=12，BG=DH=9，连接GH，则线段GH的长为______． 【答案】 8. 如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点，连．若，，则与的和为______度；且另一条直角边的长为______． 【答案】 ① 180 ② 5 9.如图，正方形中，E是上的一点，连接，过B点作，垂足为点H，延长交于点F，连接． （1）求证：． （2）若正方形边长是5，，求的长． 【答案】（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，∠DAF=90°， 由勾股定理得：． 10.定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形；性质：垂美四边形的对角线互相垂直． （1）如图，在四边形中，接，对角线相交于，垂直于，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； （2）如图，已知四边形是垂美四边形，求证：； （3）如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长． 【答案】（1）四边形是垂美四边形． 四边形的对角线， 四边形是垂美四边形． （2）设与相交于点， 已知四边形是垂美四边形， ， ， 由勾股定理得，， ， ． （3）如图3，设与相交于点，连接、， ， ，即， 在和中， ， ， ， 又， ，即， 四边形是垂美四边形， 由（2）得，， ，， ，，， ， ． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$