精品解析：广东省珠海市第一中学平沙校区2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题

2024-2025学年第二学期高一开学考 高一数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若为函数零点，则所在区间为（ ） A. B. （1，2） C. D. 3. 已知定义在上的函数表示为: x 0 y 1 0 2 设，的值域为M，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是定义在上的偶函数，当时单调递增，且，则 的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 若正数，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数，且，则实数的值为（ ） A. 或 B. 或3 C. D. 3 8. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分． 9. 对于实数，下列命题为假命题的有（ ） A. 若，则. B. 若，则. C 若则. D. 若，则. 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知是函数零点（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域为__________． 13. 设，若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是___________． 14. 若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围___________． 四、解答题：本题共5小题，共计77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求，，； （2）判断并证明的奇偶性． 16. 已知命题. （1）若命题p为真命题，求m取值范围； （2）若命题p为假命题和命题q为真命题.求m的取值范围. 17. 若关于的不等式的解集为. （1）当时，求的值； （2）若，，求的值，并求的最小值. 18. 近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2021年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2023年，每年年末该平台的会员人数如下表所示． 建立平台第年 1 2 3 会员人数（千人） 22 34 70 （1）请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立第年年末会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末的会员人数； ①；②；③． （2）为了更好地维护管理平台，该平台规定第年年末的会员人数上限为千人，请根据（1）中得到的函数模型，求的最小值． 19. 已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. （1）求，的值； （2）用函数单调性的定义证明在上单调递增； （3）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期高一开学考 高一数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为，所以. 故选：C. 2. 若为函数的零点，则所在区间为（ ） A. B. （1，2） C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在性定理即可求解. 【详解】函数为上的增函数， 又， 且， 因为， 所以所在区间为. 故选：B 3. 已知定义在上的函数表示为: x 0 y 1 0 2 设，的值域为M，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据自变量所在区间判断出的值，然后根据表中数据可知值域. 【详解】因为满足，所以， 由表中数据可知：的取值仅有三个值，所以， 故选：B. 4. 已知是定义在上的偶函数，当时单调递增，且，则 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由是定义在上的偶函数，偶函数在对称区间上单调性相反得时单调递减，由，得或，求解即可. 【详解】由是定义在上的偶函数，当时单调递增， 所以当时单调递减，由，可得， 由，可得或， 所以或， 故选：D 5. 若正数，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，均为正数，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的最大值为. 故选：C. 6. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数定义域，利用复合函数的单调性即可判断. 【详解】令,则. 由，解得或，故函数的定义域为或. 又函数在上单调递减，在上单调递增, 在上单调递增，则函数在上单调递增. 故选：B. 7. 若函数，且，则实数的值为（ ） A. 或 B. 或3 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】令，利用配凑法求函数，进而根据求解即可. 【详解】令，则， 可得：，即， ∵， ∴. 故选：B. 8. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，最后根据函数值的特征利用排除法判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B； 又与在定义域上单调递增，所以在上单调递增，故排除D； 当时，，所以，故排除A； 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分． 9. 对于实数，下列命题为假命题的有（ ） A. 若，则. B. 若，则. C. 若则. D. 若，则. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用特殊值可判断AB均为假命题，再由作差法以及不等式性质可得C为真命题，D为假命题. 【详解】对于A，不妨取，则，即A为假命题； 对于B，若，当时，满足，即B为假命题； 对于C，由可得，易知， 所以，可得C为真命题； 对于D，由可得， 所以，因为的符号不确定，所以不一定正确，即D为假命题； 故选：ABD 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由指数式与对数式的互化可得出，，利用换底公式结合对数运算性质可判断A；由基本不等式可判断B，C，D； 【详解】∵，∴，， ∴，即，∴，A选项正确， ∵，，且，∴，即，C选项正确， ∴， ∴，B选项错误， ，D选项正确. 故选：ACD. 11. 已知是函数的零点（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】确定函数单调递增，计算 ，得到A正确，变换得到B正确，计算，C错误，变换，D正确，得到答案. 【详解】对选项A：在上单调递增， ，，故函数有唯一零点，A正确； 对选项B：，即，， 即，B正确； 对选项C：，，C错误； 对选项D：，， ，D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据即可求解. 【详解】函数的定义域为，故的定义域满足， 解得， 故定义域为， 故答案为； 13. 设，若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件可得出集合的包含关系，可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取值范围. 【详解】因为p是q的必要条件， 所以， 所以， 则实数m的取值范围是， 故答案为： 14. 若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得“，使得”为真命题，分离参数可得在内有解，利用基本不等式求出即可. 【详解】因为“，使得”为假命题， 所以“，使得”为真命题， 即内有解，即， 因为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求，，； （2）判断并证明的奇偶性． 【答案】（1），， （2）为奇函数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式代入计算可得； （2）首先求出函数的定义域，再根据奇偶性的定义证明即可. 【小问1详解】 因为， 所以，又， 所以， . 【小问2详解】 为奇函数，证明如下： 由，可得函数的定义域为， 又， 所以函数为奇函数. 16. 已知命题. （1）若命题p为真命题，求m的取值范围； （2）若命题p为假命题和命题q为真命题.求m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，根据一次函数的性质求出的最小值，即可得解； （2）求出命题q为真命题时参数取值范围，即可得解. 【小问1详解】 命题为真命题，即， 因为在上单调递增，所以当时取得最小值， 所以，即m的取值范围. 【小问2详解】 若命题为真命题，则， 解得或， 若命题p为假命题，则， 因为命题p为假命题且命题q为真命题，所以， 即m的取值范围为. 17. 若关于的不等式的解集为. （1）当时，求的值； （2）若，，求的值，并求的最小值. 【答案】（1） （2），的最小值为. 【解析】 【分析】（1）由方程有两个实数根即可得，再代入通分后的式子即可得解. （2）由不等式的解集为和、可得，进而可求得和求解，从而结合基本不等式即可求解的最小值. 【小问1详解】 由题意，关于的方程有两个根，， 所以，故. 【小问2详解】 由题意，关于方程有两个正根， 且由韦达定理知，解得， 所以， 所以， 又，，故、， 所以，当且仅当即时等号成立， 结合得即，时取等号. 此时实数符合条件， 故，且当时，取得最小值. 18. 近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2021年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2023年，每年年末该平台的会员人数如下表所示． 建立平台第年 1 2 3 会员人数（千人） 22 34 70 （1）请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立第年年末会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末的会员人数； ①；②；③． （2）为了更好地维护管理平台，该平台规定第年年末的会员人数上限为千人，请根据（1）中得到的函数模型，求的最小值． 【答案】（1）选择模型③，，178千人． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据变化情况选择模型，再利用待定系数法求出解析式及函数值. （2）利用（1）的结论建立不等式，分离参数构造函数并求出其最大值即得. 【小问1详解】 由表格中的数据知，所求函数是一个增函数，且增长越来越快， 模型①的函数递减，模型②的函数即使递增，增长也较缓慢，因此选择模型③， 于是，解得， 所以函数模型对应的解析式为， 当时，预测2024年年末的会员人数为千人． 【小问2详解】 由（1）及已知得，对，都有，令，则， 令，则不等式右边等价于函数， 函数在区间上单调递增，因此， 则，所以的最小值为． 19. 已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. （1）求，的值； （2）用函数单调性的定义证明在上单调递增； （3）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法可得与； （2）利用赋值法可得，且当时； （3）结合抽象函数的性质及函数的单调性可得不等式，即，根据二次函数最值可知，解不等式即可. 【小问1详解】 由， 则， 又当时，， 则， ； 【小问2详解】 令，则，即， 当时，，且， 即， 即上恒成立， 由，可知， 令，，且，即， 则， 所以， 即在上单调递增； 小问3详解】 由已知， 又由（1）得， 所以， 又函数在上单调递增， 则恒成立， 所以恒成立， 又， 即， 解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$