专题突破1 培优点2 带电粒子在立体空间中的运动-【步步高】2024年新高考物理考前三个月（津鲁琼辽鄂渝粤冀湘闽黑吉晋皖云）

培优点2　带电粒子在立体空间中的运动 情境示意图 分析方法 沿电场方向做匀变速运动，垂直于磁场方向做圆周运动，粒子做螺距逐渐增大(或减小)的螺旋线运动 按时间先后分析粒子进入电场(磁场)时速度的大小和方向，然后分析带电粒子在各场中的运动情况。粒子运动轨迹所在平面可能不在同一平面内 (山东高考2022·17) 分析电场和磁场方向，分析粒子在各段受力情况、运动轨迹及轨迹所在平面，画出运动轨迹示意图 1．(2023·湖南长沙市高三统考阶段练习)如图所示，真空中竖直放置的圆柱体底面圆半径为R＝0.4 m，高h＝0.4 m，圆柱体上表面上是一个荧光屏，底面中心处有一点状放射源S，仅在底面圆所在平面内向各个方向均匀发射α粒子，所有α粒子的速率均为v＝5.0×106 m/s，已知α粒子的比荷为＝5.0×107 C/kg，α粒子重力忽略不计。 (1)现给圆柱体内只施加竖直向上的匀强磁场，使所有α粒子恰好能被束缚在圆柱体区域内，求匀强磁场的磁感应强度B的大小； (2)现给圆柱体内只施加竖直向上的匀强电场，使所有α粒子均能打到荧光屏上，则所加匀强电场的电场强度至少需要多大； (3)现在圆柱体内加上与(1)相同的匀强磁场，同时施加竖直向上的匀强电场，要使所有粒子刚好都能从上表面中心P离开，求所加匀强电场的电场强度的大小。(结果中取π2＝10) 答案　(1)0.5 T　(2)2.5×106 V/m (3) V/m(n＝1,2,3…) 解析　(1)所有α粒子恰好能被束缚在圆柱体区域内，由几何关系可知， α粒子的轨迹半径为r＝＝0.2 m α粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m 解得匀强磁场的磁感应强度的大小为 B＝＝ T＝0.5 T (2)α粒子在静电力作用下运动，使所有α粒子均能打到荧光屏上，水平运动距离最大为R＝0.4 m 则粒子在圆柱体内运动时间为t＝ 竖直方向有h＝at2，a＝ 联立解得所加匀强电场的电场强度最小值为 Emin＝ 代入数据解得Emin＝2.5×106 V/m (3)α粒子做圆周运动的周期为T＝ 要使所有粒子刚好都能从上表面中心P离开，所用时间一定为周期的整数倍；在竖直方向上由运动学公式可得h＝·(nT)2(n＝1,2,3…) 解得E＝＝ V/m(n＝1,2,3…)。 2．(2023·广东惠州一中月考)在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图所示是离子注入工作原理示意图，离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷的离子，经偏转系统后注入处在水平面内的晶圆(硅片)。速度选择器、磁分析器和偏转系统中的匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向均垂直纸面向外；速度选择器和偏转系统中的匀强电场的电场强度大小均为E，方向分别为竖直向上和垂直纸面向外。磁分析器截面是内、外半径分别为R1和R2的四分之一圆环，其两端中心位置M和N处各有一个小孔；偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一棱长为L的正方体，其底面与晶圆所在水平面平行，间距也为L。当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直注入到晶圆上的O点(即图中坐标原点，x轴垂直纸面向外)。整个系统置于真空中，不计离子重力，打在晶圆上的离子经过电场和磁场偏转的角度都很小。当α很小时，有sin α≈tan α≈α，cos α≈1－α2。求： (1)通过速度选择器的离子速度大小v和磁分析器选择出来离子的比荷； (2)偏转系统仅加电场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示； (3)偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示。 答案　(1)　　(2)(，0)　(3)(0，) 解析　(1)离子在速度选择器内做匀速直线运动，由qvB＝qE，得通过速度选择器的离子速度v＝ 从磁分析器中心孔N射出的离子运动半径为 R＝ 由qvB＝得＝＝ (2)经过电场后，离子在x轴正方向偏转的距离 x1＝··()2 tan θ＝＝＝ 离子离开电场后到晶圆所在平面间，离子在x轴正方向偏移的距离 x2＝Ltan θ＝ x＝x1＋x2＝＝ 故位置坐标为(，0) (3)离子进入磁场后做匀速圆周运动 半径R＝ sin α＝ 经过磁场后，离子在y轴正方向偏转距离 y1＝R(1－cos α)≈ 离开磁场后，离子在y轴正方向偏移距离 y2＝Ltan α≈，则y＝y1＋y2≈ 故位置坐标为(0，) 3．(2023·山东济宁市二模)如图所示，O－xyz坐标系的y轴竖直向上，在yOz平面左侧－2L<x<－L区域内存在着沿y轴负方向的匀强电场E1(大小未知)，－L<x<0区域内存在着沿z轴负方向的匀强磁场，在yOz平面右侧区域同时存在着沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场，其中电场强度大小为E2＝，磁感应强度大小与yOz平面左侧磁感强度大小相等，电磁场均具有理想边界，在x轴正方向距离O点x0＝处，有一垂直于x轴放置的足够大的荧光屏(未画出)。一个质量为m、电荷量为＋q的粒子从M点(－2L，，0)以速度v0沿x轴正方向射入电场，经N点(－L，0,0)点进入磁场区域，然后从O点进入到平面yOz右侧区域，不计粒子重力。求： (1)－2L<x<－L区域内的匀强电场的电场强度E1大小； (2)匀强磁场的磁感应强度B的大小； (3)带电粒子打到荧光屏的位置坐标。 答案　(1)　(2) (3)(，－L，－L) 解析　(1)粒子在电场中运动做类平抛运动，则沿x轴方向L＝v0t y轴方向L＝at2 由牛顿第二定律得qE1＝ma 解得E1＝，a＝ (2)设粒子在N点时速度v的方向与x轴正方向间的夹角为θ，沿y轴负方向的分速度大小为vy 则vy＝at＝v0 tan θ＝＝1 解得θ＝45° 粒子进入磁场时的速度大小 v＝＝v0 粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子运动轨迹如图所示： 由几何知识可知，粒子做圆周运动轨迹的半径 R＝ 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝ 解得B＝ (3)粒子在xOy平面内沿着与x轴正方向成45°角的方向以速度v从O点进入E2和B的区域，沿x轴正方向的速度分量和沿y轴正方向的速度分量均为v0，则粒子在yOz平面内做匀速圆周运动，半径r＝＝ 粒子沿x轴正方向做匀加速运动，加速度 a′＝＝ 设粒子到达荧光屏的时间为t，则 x0＝v0t＋a′t2，解得t＝ 粒子做圆周运动的周期T＝＝ 则t＝T＝1T 则粒子打在屏上的坐标y＝－rsin 45°＝－L z＝－(r＋rcos 45°)＝－L x＝x0＝ 即位置坐标(，－L，－L)。 1．(多选)(2023·湖北省模拟)我国最北的城市漠河地处高纬度地区，在晴朗的夏夜偶尔会出现美丽的彩色“极光”，如图甲。极光是宇宙中高速运动的带电粒子受地球磁场影响，与空气分子作用的发光现象，若宇宙粒子带正电，因入射速度与地磁场方向不垂直，故其轨迹成螺旋状如图乙(相邻两个旋转圆之间的距离称为螺距Δx)。下列说法正确的是(　　) A．带电粒子进入大气层后与空气发生相互作用，在地磁场作用下的旋转半径会越来越小 B.若越靠近两极，地磁场越强，则随着纬度的增加，以相同速度入射的宇宙粒子的半径越大 C．漠河地区看到的“极光”将以逆时针方向(从下往上看)向前旋进 D．当不计空气阻力时，若入射粒子的速率不变，仅减小与地磁场的夹角，则旋转半径减小，而螺距Δx增大 答案　AD 解析　带电粒子进入大气层后，由于与空气相互作用，粒子的运动速度会变小，在洛伦兹力作用下的偏转半径 r＝ 会变小，故A正确；若越靠近两极，地磁场越强，则随着纬度的增加地磁场的磁感应强度增大，其他条件不变，由r＝可知半径变小，故B错误；漠河地区的地磁场竖直分量是竖直向下的，宇宙粒子入射后，由左手定则可知，从下往上看将以顺时针的方向向前旋进，故C错误；当不计空气阻力时，将带电粒子的运动沿磁场方向和垂直于磁场方向进行分解，沿磁场方向将做匀速直线运动，垂直于磁场方向做匀速圆周运动。若带电粒子运动速率不变，与磁场的夹角变小，则垂直于磁场方向的速度分量变小，由r＝可知粒子在垂直于磁场方向的运动半径会变小，即旋转半径减小；而速度沿磁场方向的分量变大，故沿磁场方向的运动将变快，则螺距Δx将增大，故D正确。 2．(2023·湖北武昌市实验中学模拟)如图所示，在空间直角坐标系中，yOz平面左侧存在沿z轴正方向的匀强磁场，右侧存在沿y轴正方向的匀强磁场，左、右两侧磁场的磁感应强度大小相等；yOz平面右侧还有沿y轴负方向的匀强电场。现从空间中坐标为(－d，0,0)的M点发射一质量为m、电荷量为＋q的粒子，粒子的初速度大小为v0、方向沿xOy平面，与x轴正方向的夹角为60°；经一段时间后粒子恰好垂直于y轴进入yOz平面右侧，轨迹上离yOz平面最远的点恰好落在xOz平面上，不计粒子的重力。求： (1)yOz平面左侧匀强磁场的磁感应强度B的大小； (2)yOz平面右侧匀强电场的电场强度E的大小； (3)粒子第2次经过yOz平面时的位置坐标。 答案　(1)　(2)　(3)(0，－3d，4d) 解析　(1)粒子在yOz平面左侧做匀速圆周运动的半径r1＝＝2d 根据qv0B＝m 可得左侧匀强磁场的磁感应强度B＝ (2)粒子第一次经过y轴后沿y轴负方向做匀加速运动，同时在洛伦兹力作用下做圆周运动，因轨迹上离yOz平面最远的点恰好落在xOz平面上，可知粒子到达xOz平面上时恰好做了个周期的圆周运动，一个周期T＝＝，则运动到xOz平面所用时间t＝＝ 竖直方向有r1－r1cos 60°＝·t2 解得E＝ (3)粒子第2次经过yOz平面时做了半个周期的圆周运动，则所用时间为t′＝＝ 沿y轴负方向做匀加速运动，因在xOz平面上方和下方用时间相等，由初速度为零的匀加速直线运动的推论可知位置坐标y＝－3d z轴坐标z＝2r2＝2r1＝4d，即粒子第2次经过yOz平面时的位置坐标(0，－3d，4d)。 3．(2023·重庆市巴蜀中学高三模拟)如图所示，三个相同的立方体并排放置，立方体的棱长为L。有匀强磁场垂直于dgg′d′面布满整个空间，磁感应强度大小为B，方向由c指向b。最右边立方体的底面e′f′g′h′放置有与底面等大的荧光屏，带电粒子打在荧光屏上会被吸收，并且荧光屏会发光。一束质量为m、电荷量为q的正电粒子，均匀分布于整个abcd面垂直向下射入磁场。不计粒子的重力和粒子间的相互作用。求： (1)当粒子的速度为多大时，从c点入射的粒子能打在g′处； (2)当荧光屏上没有发光，即没有粒子打在荧光屏上时，粒子的速度范围； (3)当粒子入射速度v＝，空间施加一个与匀强磁场相同方向的匀强电场，电场强度的大小为E＝。此时荧光屏上的发光区域面积。 答案　(1)　(2)v<或v> (3)L2 解析　(1)从c点入射的粒子运动到g′的轨迹如图， 由几何关系有L2＋(2L－r1)2＝r12 带电粒子做匀速圆周运动有qv1B＝， 解得v1＝ (2)当从c点入射的粒子运动到h′时的轨迹如图，由几何关系有r2＝L 带电粒子做匀速圆周运动有 qv2B＝，v2＝ 当从d点入射的粒子运动到g′时的轨迹如图，由几何分析有 L2＋(3L－r3)2＝r32 带电粒子做匀速圆周运动有 qv3B＝，v3＝ 当带电粒子的速度v<v2或v>v3时，没有粒子打在荧光屏上，所以当带电粒子的速度v<或v>时，荧光屏上没有发光。 (3)分析知，荧光屏发光区域为一长方形。当入射粒子的速度v＝时，由qvB＝ 解得粒子在磁场中做圆周运动的半径r＝L 如图，由几何关系知，从c点入射的粒子打在h′右侧L－L处，则荧光屏上发光区域的宽为L－L，打在荧光屏的粒子其在磁场中运动的圆弧对应圆心角为120° 粒子做圆周运动的周期为T＝ 则粒子从入射到打在荧光屏的时间t＝T 沿电场的方向，粒子做初速度为0的匀加速直线运动，加速度a＝ 沿电场方向的位移y＝at2，解得y＝L 则荧光屏上发光区域的长为L－y＝L 所以荧光屏上发光区域的面积为 S＝L×(L－L)＝L2。 学科网（北京）股份有限公司 $$