精品解析：山东省菏泽市郓城县实验中学2025届高三上学期第一次质量检测数学试题

2024-2025学年度高三第一次质量检测 数学试题 时间：120分钟；满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合A，B，由此能求出. 【详解】因为集合，，所以 故选：B. 2. 已知函数定义域为，则函数的定义域为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复合函数的定义域的意义列式求解即得. 【详解】函数定义域为，由函数有意义，得，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 3. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意有恒成立，则，解不等式即可. 【详解】已知命题“，使”是假命题， 则，都有， 得，解得. 故选：D 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求解不等式，再根据充分条件必要条件的定义判断即可. 【详解】因为， 所以是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 5. 已知函数在定义域上是增函数，且，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的单调性及定义域得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为函数在定义域上是增函数，且， 则有，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由指数函数的性质可得，由对数的运算可得，，即可比较大小. 【详解】解：因为， , ，即， 所以. 故选：C. 7. 已知函数是定义域为R的奇函数，且 ，当 时， ，则等于（ ） A. －2 B. 2 C. D. － 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数性质和条件，求得函数的周期为8，再化简即可. 【详解】函数是定义域为R的奇函数，则有： 又，则 则有： 可得： 故，即的周期为 则有： 故选：B 8. 已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出当直线与曲线相切于原点、直线与曲线相切于原点时对应的的值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】对函数求导得，对函数求导得， 作出函数的图象如下图所示： 当直线与曲线相切于原点时，， 当直线与曲线相切于原点时，. 结合图象可知，当或时，直线与函数的图象有两个交点， 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知实数a，b，c满足，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质和已知条件可逐项分析得到答案. 【详解】且，则，， 则，A正确； 因为，，所以，B错误； 因为，，， 当时，，则；当时，，则，当时，，则，故C错误； 因为， 当且仅当时，等号成立，此时由可得，不符合， 所以不成立，故，即，D正确. 故选：AD 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】AC 【解析】 【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题，，令得或， 令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，则（ ） A. 若在处取得极值，则. B. 若，则函数有且仅有1个零点. C. 若的极小值小于0，则. D. 若无极值，则. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据极值与导函数零点之间的关系可判断A错误，由函数解析式通过解方程可得B正确，取特殊值可判断C错误，若无极值可得没有变号零点，解方程可得，即D正确. 【详解】对于A，由可得， 若在处取得极值，则，解得或； 当时，可知， 因为，所以是的变号零点，满足在处取得极值，符合题意； 当时，可知， 因为，所以也是的变号零点，满足在处取得极值，符合题意； 综合可得，或，可得A错误； 对于B，若，可得， 则， 令，解得，所以函数有且仅有1个零点，即B正确； 对于C，令，则，所以， 因此当或时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 所以在处取得极小值，即，但此时，即C错误； 对于D，因为，令可得或； 又因为无极值，可得，解得，即D正确. 故选：BD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用函数极值与导函数零点之间的关系，通过解方程并验证参数取值即可判断BD选项是否正确. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与曲线相切，则切点的坐标为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设切点为，求出函数的导函数，即可得到方程组，解得即可. 【详解】解：设切点为，，， 又，，解得，故切点坐标. 故答案为： 13. 设，，且，则的最小值是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】由换元法与基本不等式求解即可. 【详解】设，则，， ， 当且仅当即，时等号成立， 故当，时，取最小值. 故答案为：. 14. 已知函数．若对所有都有，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，当时，恒成立，即恒成立，令，则，易求，从而得到实数取值范围. 【详解】由题意知，，当时，恒成立， 即恒成立， 令，则恒成立， ， 当时，， 在上单调递增， ， ，即实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）当时，求集合; （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）由题知，再根据集合交集，补集运算求解即可； （2）由题知，再分和两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 解：集合， 当时，， 所以或 所以. 【小问2详解】 因为，所以， ①当时，，解得 ，此时 ②当时，应满足，解得，此时 综上，的取值范围是 16. 设命题：实数满足，其中，命题：实数满足． （1）若，且为真，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出时的命题，再解指数不等式得到命题，然后由两个命题均为真命题，求解即可； （2）设，，将是的充分不必要条件，转化为，利用真子集的定义列出关于的不等关系，求解即可． 【小问1详解】 解：由已知，又，所以， 当时，命题， 由，即，解得 即命题， 因为、都为真，即，解得 所以实数的取值范围为； 【小问2详解】 解：设，， 因为是的充分不必要条件，所以， 则有，解得， 所以实数的取值范围． 17. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求a的值； （2）求函数的值域； （3）当时，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数是奇函数求解即可． （2）利用指数函数的值域以及不等式的性质求解即可． （3）利用函数恒成立，参变分离，利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可． 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数， 所以，解得， 当时，，此时， 所以时，是奇函数. 所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 因为，可得，所以， 所以， 所以， 所以函数的值域为； 【小问3详解】 由可得， 即，可得对于恒成立， 令， 则， 函数在区间单调递增， 所以， 所以， 所以实数m的取值范围为． 【点睛】求不等式恒成立问题常用分离参数法 若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可. 18. 给定函数． （1）判定函数的单调性，并求出的极值； （2）画出大致图像； （3）求出方程的解的个数． 【答案】（1）递减区间为，递增区间为；极小值为，无极大值； （2）作图见解析； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数探讨函数的单调性，求出函数的极值. （2）结合（1）分析函数的特性，作出函数图象. （3）结合（2）中的图象，数形结合求出方程解的个数. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 由，得，当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，无极大值， 所以函数的递减区间为，递增区间为；极小值为，无极大值. 【小问2详解】 由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，， 由，得，又，因此函数的图象过点，，， 当时，恒成立，当时，，而函数在的取值集合为， 于是函数在的值域为， 在坐标平面内作出函数的图象，如图： 【小问3详解】 方程的解，即为直线与函数图象交点的横坐标， 由（2）知，当时，直线与函数图象没有交点； 当时，直线与函数图象有2个交点； 当或时，直线与函数图象有1个交点， 所以当时，没有解；当时有两个解； 当或时，有一个解. 19. 设函数. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）当时，试判断零点的个数； （Ⅲ）当时，若对，都有（）成立，求的最大值. 【答案】（1）当时，的单减区间为；当时，的单减区间为，单增区间为；（2）两个；（3）0. 【解析】 【分析】（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）当时，由（1）可知，在是单减函数，在是单增函数，由，，利用零点存在定理可得结果；（3）当，为整数，且当时，恒成立，，利用导数求出的取值范围，从而可得结果. 【详解】（1）， . 当时，在恒成立， 在是单减函数. 当时，令，解之得. 从而，当变化时，，随的变化情况如下表： - 0 + 单调递减 单调递增 由上表中可知，在是单减函数，在是单增函数. 综上，当时，的单减区间为； 当时，的单减区间为，单增区间为. （2）当时，由（1）可知，在是单减函数，在是单增函数； 又，，. ，； 故在有两个零点. （3）当，为整数，且当时，恒成立 . 令，只需； 又， 由（2）知，在有且仅有一个实数根， 在上单减，在上单增； 又，， ，且， 即代入式，得 . 而在为增函数，， 即. 而，， 即所求的最大值为0. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点以及不等式恒成立，属于难题.近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度高三第一次质量检测 数学试题 时间：120分钟；满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数定义域为，则函数的定义域为（ ）. A. B. C. D. 3. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数在定义域上是增函数，且，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义域为R的奇函数，且 ，当 时， ，则等于（ ） A. －2 B. 2 C. D. － 8. 已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知实数a，b，c满足，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 11. 已知函数，则（ ） A. 若处取得极值，则. B. 若，则函数有且仅有1个零点. C. 若的极小值小于0，则. D. 若无极值，则. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与曲线相切，则切点的坐标为___________. 13. 设，，且，则的最小值是_______． 14. 已知函数．若对所有都有，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知集合. （1）当时，求集合; （2）若，求实数m的取值范围. 16. 设命题：实数满足，其中，命题：实数满足． （1）若，且为真，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. 已知函数是定义在上奇函数． （1）求a的值； （2）求函数的值域； （3）当时，恒成立，求实数m的取值范围． 18. 给定函数． （1）判定函数的单调性，并求出的极值； （2）画出的大致图像； （3）求出方程解的个数． 19. 设函数. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）当时，试判断零点的个数； （Ⅲ）当时，若对，都有（）成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$