精品解析：云南省保山市腾冲市2024-2025学年九年级上学期期末教育教学质量监测数学试卷

腾冲市2024年秋季学期期末教育教学质量监测 九年级数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 腾冲气象台发布的天气预报显示，明天腾冲某地下雨的可能性是，则“明天腾冲某地下雨”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 4. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ） A. AD=DC B. C. ∠ADB=∠ACB D. ∠DAB=∠CBA 5. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. Q随I的增大而增大 C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 7. 下列说法：①三点确定一个圆；②垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧；③三角形的外心到三条边的距离相等；④圆的切线垂直于经过切点的半径．正确的个数是( ) A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 8. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（　　） A. 图象经过点（1，﹣5） B. 图象位于第二、第四象限 C. 当x＜0时，y随x的增大而减小 D. 当x＞0时，y随x的增大而增大 10. 已知的顶点的坐标为，若以原点为位似中心画，使与的相似比为，则点的坐标为（ ） A. 或 B. C. D. 或 11. 已知：不在同一直线上的三点．求作，使它经过点． 作法：如图，（1）连接，作线段的垂直平分线； （2）连接，作线段的垂直平分线，交于点； （3）以为圆心，长为半径作．就是所求作的圆． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（ ） A. 连接，则点是的内心 B. C. 连接，则不是的半径 D. 若连接，则点在线段的垂直平分线上 12. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 13. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 14. 抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ） A. B. ， C. ， D. ， 15. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AED，其中点B与点E是对应点，点C与点D是对应点，且DC∥AB，若∠CAB=65°，则∠CAE的度数为（ ） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 点关于原点对称的点的坐标为_____． 17. 如图，已知为反比例函数的图像上一点，过点作轴，垂足为．若的面积为3，则的值为______． 18. 若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是__________（用“”表示）． 19. 如图，是的弦，，垂足为，将劣弧沿弦折叠交于点，若，则的半径为_____． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 4月23日，腾冲市第三届全民阅读大会暨2024年“共建书香社会·共享现代文明”全民阅读系列活动启动仪式在腾冲市新时代文明实践中心举行，活动旨在全社会大力营造爱读书、读好书、善读书的良好氛围．为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2022年图书借阅总量是6500本，2024年图书借阅总量是9360本． （1）求该社区的图书借阅总量从2022年至2024年的年平均增长率； （2）如果每年的增长率相同，预计2025年图书借阅总量是多少本？ 21. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒案）、C（秋分）、D（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀． （1）小李从中随机抽取一张邮票，抽中是B（寒露）的概率是______． （2）小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后不放回，再随机抽取一张邮票，请用树状图或列表的办法求小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的概率． 22. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； （2）若等腰的一边长，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 23. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）作出将向左平移5个单位，向上平移1个单位后得到的图形； （2）作出关于原点成中心对称的图形； （3）作出将绕点按顺时针方向旋转后得到的图形；并求出线段在旋转过程中扫过的面积． 24. 如图，在菱形中，为边上一点，． （1）求证：； （2）若，求菱形的边长． 25. 春节将至，某超市准备进行苹果优惠促销活动，经调查，发现苹果日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）有如图所示的关系，苹果进价5元/千克，苹果售价不低于进价且不高于15元/千克． （1）求日销售量 y（千克）与销售单价x（元/千克）的关系式． （2）求当销售单价为何值时利润最大，并写出利润最大值． 26. 如图，点在以为直径的上，、的延长线交于点，且，过点作交于点． （1）求证：是的切线； （2）当点在上什么位置时，？求出此时的值． 27. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点，且． （1）求二次函数的解析式； （2）若点D的坐标为，试判断的形状，并说明理由； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 腾冲市2024年秋季学期期末教育教学质量监测 九年级数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 腾冲气象台发布的天气预报显示，明天腾冲某地下雨的可能性是，则“明天腾冲某地下雨”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，掌握必然事件，不可能事件，随机事件，确定性事件的概念是解题的关键． 必然事件：在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；随机事件：在随机试验中，可能出现也可能不出现；确定性事件：在一定条件下必然发生或不可能发生的事件；由此即可求解． 【详解】解：明天腾冲某地下雨的可能性是， ∴明天下雨的可能性较大，但也可能不会下雨， ∴是随机事件， 故选：C ． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．根据根的判别式进行计算即可． 【详解】解：， 故一元二次方程没有实数根， 故选D． 4. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ） A. AD=DC B. C. ∠ADB=∠ACB D. ∠DAB=∠CBA 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一分析． 【详解】解：∵弦BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD，∴，AD=DC，故A、B正确； ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90°，故C正确； ∵，∴∠DAB＞∠CBA，故D错误． 故选D． 5. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 6. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. Q随I的增大而增大 C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可． 【详解】解∶根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意； 根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意； 故选：C． 7. 下列说法：①三点确定一个圆；②垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧；③三角形的外心到三条边的距离相等；④圆的切线垂直于经过切点的半径．正确的个数是( ) A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据确定圆的条件对（1）进行判断；根据垂径定理对（2）进行判断；根据三角形外心的性质对（3）进行判断；根据切线的性质对（4）进行判断． 【详解】同一平面内，不共线的三点确定一个圆，所以①错误； 垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧，所以②正确； 三角形的外心到三个顶点的距离相等，所以③错误； 圆的切线垂直于经过切点的半径，所以④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和三角形外心． 8. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，根据左加右减，上加下减来解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度得到， 再向下平移2个单位长度得到； 故选：B． 9. 对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（　　） A. 图象经过点（1，﹣5） B. 图象位于第二、第四象限 C. 当x＜0时，y随x的增大而减小 D. 当x＞0时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：反比例函数y＝﹣， A、当x＝1时，y＝﹣＝﹣5，图像经过点（1，-5），故选项A不符合题意； B、∵k＝﹣5＜0，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意； C、当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意； D、当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 10. 已知的顶点的坐标为，若以原点为位似中心画，使与的相似比为，则点的坐标为（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位数图形的性质，掌握位数图形的性质是解题的关键． 根据与的相似比为，即可求解． 【详解】解：已知的顶点的坐标为，以原点为位似中心，与的相似比为， ∴点的坐标为，即或，即， 即点的坐标为或， 故选：A ． 11. 已知：不在同一直线上的三点．求作，使它经过点． 作法：如图，（1）连接，作线段的垂直平分线； （2）连接，作线段的垂直平分线，交于点； （3）以为圆心，长为半径作．就是所求作的圆． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（ ） A. 连接，则点是的内心 B. C. 连接，则不是的半径 D. 若连接，则点在线段的垂直平分线上 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图，三角形的外接圆与外心等知识；根据三角形的外心的定义和性质一一判断即可． 【详解】解：连接， 由作图可知，∵点是，垂直平分线上的焦点， ∴点是的外心， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴A错误，D正确， ∵点的位置不确定， ∴的长度不确定，∴B错误； ∵点是的外心，且以为圆心，长为半径作 ∴ ∴是的半径，∴C错误； 故选：D． 12. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数图象的综合判断；解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质． 【详解】解：A、由抛物线，可知图象开口向下，交y轴的正半轴，可知，，由直线可知，图象过二，三，四象限，，故此选项不符合题意； B、由抛物线，可知图象开口向上，交y轴的负半轴，可知，，由直线可知，图象过一，二，四象限，，，故此选项符合题意； C、由抛物线，可知图象开口向下，交y轴的负半轴，可知，，由直线可知，图象过一，二，三象限，，，故此选项不符合题意； D、由抛物线，可知图象开口向上，交y轴的正半轴，可知，，由直线可知，图象过一，三，四象限，，，故此选项不符合题意； 故选：B． 13. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先利用弧长公式求出扇形的弧长即圆锥的底面周长,再根据圆的周长公式求出半径即可． 【详解】扇形的弧长＝＝4π, ∴圆锥的底面半径为4π÷2π＝2． 故选：B． 【点睛】本题考查弧长公式和圆的周长公式,关键在于熟记公式灵活应用． 14. 抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】直接观察图象，抛物线与x轴交于，对称轴是直线，所以根据抛物线的对称性可以求得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而求得关于x的一元二次方程的解． 【详解】观察图象可知，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为， ∴一元二次方程的解为，． 故选：D． 【点睛】本题考查了用函数图像解一元二次方程的方法．一元二次方程的解实质上是抛物线与x轴交点的横坐标的值． 15. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AED，其中点B与点E是对应点，点C与点D是对应点，且DC∥AB，若∠CAB=65°，则∠CAE的度数为（ ） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，结合已知条件DC∥AB，∠CAB=65°，可得，再由三角形的内角和定理可知，即可得出． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∵DC∥AB，∠CAB=65°， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是旋转的性质、平行线的性质、三角形内角和定理，综合性较强，但难度不大，解此题的关键是利用旋转的性质得出． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 点关于原点对称的点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：． 17. 如图，已知为反比例函数的图像上一点，过点作轴，垂足为．若的面积为3，则的值为______． 【答案】-6 【解析】 【分析】利用反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|＝2，然后根据反比例函数的性质确定k的值． 【详解】解：∵AB⊥y轴， ∴S△OAB＝|k|＝3， 而k＜0， ∴k＝−6． 故答案为−6． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 18. 若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是__________（用“”表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得二次函数图象开口向上，对称轴为直线，离对称轴越远，函数值越大，据此计算出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵、、为二次函数的图象上的三点，且， ∴， 故答案为：． 19. 如图，是的弦，，垂足为，将劣弧沿弦折叠交于点，若，则的半径为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，折叠，勾股定理，掌握垂径定理，勾股定理，数形结合分析是解题的关键． 如图所示，延长交于点，连接，则，根据折叠得到，设，则，，由垂径定理得到，在中由勾股定理得到，由此列式，求解即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点，连接，则， ∵将劣弧沿弦折叠交于点， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴， ∵是的弦，，垂足为，， ∴， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， 故答案为：10 ． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 4月23日，腾冲市第三届全民阅读大会暨2024年“共建书香社会·共享现代文明”全民阅读系列活动启动仪式在腾冲市新时代文明实践中心举行，活动旨在全社会大力营造爱读书、读好书、善读书的良好氛围．为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2022年图书借阅总量是6500本，2024年图书借阅总量是9360本． （1）求该社区的图书借阅总量从2022年至2024年的年平均增长率； （2）如果每年的增长率相同，预计2025年图书借阅总量是多少本？ 【答案】（1） （2）11232本 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用； （1）设该社区的图书借阅总量从2022年至2024年的年平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程并求解即可； （2）2024年图书借阅总量该社区的图书借阅总量从2022年至2024年的年平均增长率即可求出． 【小问1详解】 解：设该社区的图书借阅总量从2022年至2024年的年平均增长率为， 根据题意得： 解得：（舍去） 答：该社区的图书借阅总量从2022年至2024年的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：（本）． 答：预计2025年图书借阅总量是11232本 21. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒案）、C（秋分）、D（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀． （1）小李从中随机抽取一张邮票，抽中是B（寒露）的概率是______． （2）小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后不放回，再随机抽取一张邮票，请用树状图或列表的办法求小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式，画树状图求概率， （1）根据概率公式计算； （2）先列表，确定所有可能出现的结果，符合题意的结果，再根据概率公式得出答案． 【小问1详解】 解：一共有4张邮票，符合题意的有1张， 所以，抽中B的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 列表如下： 一共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有种， 所以小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的概率是． 22. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； （2）若等腰的一边长，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1） 证明：， ，即， 无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，三角形的三边关系，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当时；当或时，分别求出的值，进而得到另两边边长，再根据三角形的三边关系判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，，则， 方程化为，解得， 的周长； 当或时， 把代入方程得，解得， 方程化为，解得，， 此时不符合三角形三边的关系，此情况舍去， 的周长为5． 23. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）作出将向左平移5个单位，向上平移1个单位后得到的图形； （2）作出关于原点成中心对称的图形； （3）作出将绕点按顺时针方向旋转后得到的图形；并求出线段在旋转过程中扫过的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 如图，即为所求． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查作图，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握平移，关于原点中心对称的点的坐标特征是解题的关键． （1）根据平移的特点找到对应点画出图形即可； （2）根据关于原点的中心对称的点的坐标特征找到对应点进行求解即可； （3）根据旋转的性质画出图形，由勾股定理求出的值，即可求出面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由勾股定理得， 在旋转过程中，线段扫过的面积为 24. 如图，在菱形中，为边上一点，． （1）求证：； （2）若，求菱形的边长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是关键． （1）根据菱形的性质，得出，进而证明结论即可； （2）根据菱形的性质和相似三角形的性质，得到，即可求出菱形的边长． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 为边长， （负值舍去） 25. 春节将至，某超市准备进行苹果优惠促销活动，经调查，发现苹果日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）有如图所示的关系，苹果进价5元/千克，苹果售价不低于进价且不高于15元/千克． （1）求日销售量 y（千克）与销售单价x（元/千克）的关系式． （2）求当销售单价为何值时利润最大，并写出利润最大值． 【答案】（1） （2）当销售单价为15元时，该批苹果的日获利最大；最大获利是500元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质的应用、求一次函数解析式等知识点，正确列出二次函数解析式并根据二次函数的性质求最值成为解题的关键． （1）根据图象利用待定系数法即可求出日销售量 y（千克）与销售单价x（元/千克）的关系式； （2）利用“每件利润×总销量=总利润”，然后根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式, 把分别代入, 得，解得：， ∴； 【小问2详解】 设该公司日获利润为W元， ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W有最大值，． 答：当销售单价为15元时，该批苹果的日获利最大；最大获利是500元． 26. 如图，点在以为直径的上，、的延长线交于点，且，过点作交于点． （1）求证：是的切线； （2）当点在上什么位置时，？求出此时的值． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 为的半径， 是的切线； （2）点为中点时，， 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质，等腰（等边）三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，掌握圆与三角形的综合知识的运用是解题的关键． （1）连接，得到，则，结合题意得到，即，再根据切线的定义即可求解； （2）根据题意得到为等腰三角形，由等腰三角形的性质得到为的中点，则，所以若，则，此时为中点，设，则，，四边形是平行四边形，则有，，可证为等边三角形，得到，由此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 为等腰三角形， ， 为的中点， ， 若，则，此时为中点， 设，则， ， ， ， 由（1）得：， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ， ． 27. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点，且． （1）求二次函数的解析式； （2）若点D的坐标为，试判断的形状，并说明理由； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由 【答案】（1） （2）是直角三角形 （3）存在，，，，，，，，． 【解析】 【分析】（1）由的坐标确定出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，确定出点坐标，把与坐标代入抛物线解析式求出的值，确定出抛物线解析式即可； （2）根据两点直角的坐标公式分别求出三边的距离长度，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可； （3）在抛物线的对称轴上存在点，使得以，，三点为顶点的三角形是直角三角形，如图所示，分三种情况考虑，分别求出的坐标即可． 【小问1详解】 解：，即，， 在中，根据勾股定理得：，即， 由，，设抛物线解析式为， 把代入得：， 则抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：是直角三角形， ，，， ， ， 是直角三角形； 【小问3详解】 解：存在． 如图所示，分两种情况考虑： 抛物线解析式为， 其对称轴． 当时，△为直角三角形， 直线的ｋ为， 直线ｋ为， 直线解析式为，即， 与抛物线对称轴方程联立得， 解得：， 此时，； 当时，为直角三角形， 同理得到直线的ｋ为， 直线方程为， 与抛物线对称轴方程联立得：， 解得：， 此时，． 综上所示，，或，． 当点为直角顶点时，设，， ，， ， ，即，解得， ，，，． 综上所述，，，，，，，，． 【点睛】此题考查的是二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，勾股定理的逆定理，二次函数的性质，以及两直线垂直时斜率的关系，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $