直线和圆锥曲线的位置关【中点弦，切线，弦长】【4大常考题型归纳】讲义-2025届高三数学一轮复习

【专题7.5直线与圆锥曲线的位置关系】 【题型一:中点弦问题..........................................................................................................】 【题型二:弦长问题..............................................................................................................】 【题型三:圆锥曲线中切线问题..........................................................................................】 【题型四:直线与圆锥曲线的位置关系..............................................................................】 【高考真题经典重现】 1.(2023 全国乙卷 高考真题)设A,B为双曲线上两点,下列四个点中,可为线段AB中点的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据点差法分析可得,对于A、B、D:通过联立方程判断交点个数,逐项分析判断;对于C:结合双曲线的渐近线分析判断. 【详解】设,则的中点, 可得, 因为在双曲线上,则,两式相减得, 所以. 对于选项A: 可得,则, 联立方程,消去y得, 此时, 所以直线AB与双曲线没有交点,故A错误; 对于选项B:可得,则, 联立方程,消去y得, 此时, 所以直线AB与双曲线没有交点,故B错误; 对于选项C:可得,则 由双曲线方程可得,则为双曲线的渐近线, 所以直线AB与双曲线没有交点,故C错误; 对于选项D:,则, 联立方程,消去y得, 此时,故直线AB与双曲线有交两个交点,故D正确; 故选:D. 2.(2023 新课标 卷 高考真题)已知椭圆的左、右焦点分别为,,直线与C交于A,B两点,若面积是面积的2倍,则( ). A. B. C. D. 【答案】C 【分析】首先联立直线方程与椭圆方程,利用,求出范围,再根据三角形面积比得到关于的方程,解出即可. 【详解】将直线与椭圆联立,消去可得, 因为直线与椭圆相交于点,则,解得, 设到的距离到距离,易知, 则,, ,解得或(舍去), 故选:C. 二、填空题 3.(2024 北京 高考真题)若直线与双曲线只有一个公共点,则的一个取值为 . 【答案】(或,答案不唯一) 【分析】联立直线方程与双曲线方程,根据交点个数与方程根的情况列式即可求解. 【详解】联立,化简并整理得:, 由题意得或, 解得或无解,即,经检验,符合题意. 故答案为:(或,答案不唯一). 4.(2022 新高考全国 卷 高考真题)已知直线l与椭圆在第一象限交于A,B两点,l与x轴,y轴分别交于M,N两点,且,则l的方程为 . 【答案】 【分析】令的中点为,设,,利用点差法得到,设直线,,,求出、的坐标,再根据求出、,即可得解; 【详解】[方法一]:弦中点问题:点差法 令的中点为,设,,利用点差法得到, 设直线,,,求出、的坐标, 再根据求出、,即可得解; 解:令的中点为,因为,所以, 设,,则,, 所以,即 所以,即,设直线,,, 令得,令得,即,, 所以, 即,解得或(舍去), 又,即,解得或(舍去), 所以直线,即; 故答案为: [方法二]:直线与圆锥曲线相交的常规方法 解:由题意知,点既为线段的中点又是线段MN的中点, 设,,设直线,,, 则,,,因为,所以 联立直线AB与椭圆方程得消掉y得 其中, ∴AB中点E的横坐标,又,∴ ∵,,∴,又,解得m=2 所以直线,即 5.(2018 全国III卷 高考真题)已知点和抛物线,过的焦点且斜率为的直线与交于,两点.若,则 . 【答案】2 【分析】方法一:利用点差法得到AB的斜率,结合抛物线定义可得结果. 【详解】[方法一]:点差法 设,则,所以 所以, 取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线,垂足分别为 因为,, 因为为AB中点,所以平行于x轴, 因为M(-1,1),所以,则即. 故答案为:2. [方法二]:【最优解】焦点弦的性质 记抛物线的焦点为F,因为,则以为直径的圆与准线相切于点M,由抛物线的焦点弦性质可知,所以. [方法三]: 焦点弦性质+韦达定理 记抛物线的焦点为F,因为,则以为直径的圆与准线相切于点M,记中点为N,则,设,代入中,得,所以,得,所以. [方法四]:【通性通法】暴力硬算 由题知抛物线的焦点为,设直线的方程为,代入中得,设,则,同理有,由,即.又,所以,得. [方法五]:距离公式+直角三角形的性质 设直线为,与联立得,则从而,可得的中点,所以. 又由弦长公式知. 由得,解得,所以. [方法六]:焦点弦的性质应用 由题可知,线段为抛物线的焦点弦,,由于以抛物线的焦点弦为直径的圆必与准线相切,又点M恰为抛物线准线上的点,因此,以为直径的圆必与准线相切于点M. 过点M作平行于轴的直线交于点N,则N为圆心. 设,则. 又因为,所以联立解得.将的值代入中求得. 因为抛物线C的焦点,所以. 【整体点评】方法一:根据点差法找出直线的斜率与两点纵坐标的关系,再根据抛物线定义求出中点坐标,从而解出; 方法二:直接根据焦点弦的性质解出,是该题的最优解; 方法三:根据焦点弦性质可知,直线过点,再根据韦达定理求出直线的斜率; 方法四:直接设出直线方程,联立运算,属于解决直线与抛物线位置关系问题的通性通法,思路直接,运算复杂; 方法五:反设直线,再通过联立,利用直角三角形的性质求解,运算较复杂; 方法六:利用焦点弦的性质直接求出其中一点的坐标,再根据斜率公式求出. 6.(2010 湖北 高考真题)已知椭圆的两焦点为,点满足,则的取值范围为 ,直线与椭圆的公共点个数 . 【答案】 0 【分析】由题意可知点在椭圆内部,且不与原点重合,由椭圆的定义和平面几何性质可得;当时分析直线与椭圆的交点情况,当时,联立直线与椭圆方程,分析其判别式即可得到答案. 【详解】由可知,点在椭圆内部,且不与原点重合. 根据椭圆的定义和几何性质可得: 当点不在轴上时,三点构成三角形,则 当点不在轴上且在点两侧时, 当点不在轴上且在点之间时, 所以 故 当时,直线,则,直线方程化为 由,即,则或 所以,而椭圆上的点的横坐标的取值范围是 所以此时椭圆与直线无公共点. 当时,由,可得 则 由,则,故 所以此时椭圆与直线无公共点. 综上所述:椭圆与直线无公共点 故答案为:;0 【题型一:中点弦问题】 【知识讲解】 1. 椭圆中点弦斜率公式 (1) 若 为椭圆 弦 的中点, 有 . (2) 若 为椭圆 弦 的中点, 有 . 2. 双曲线的中点弦斜率公式 (1) 若 为双曲线 弦 ( 不平行 轴) 的中点, 则 (2) 若 为双曲线 弦 ( 不平行 轴) 的中点, 则 3. 抛物线的中点弦斜率公式 (1) 若 为抛物线 弦 不平行 轴 的中点, 则 (2) 若 为抛物线 弦 ( 不平行 轴) 的中点, 则 4. 中点弦斜率拓展 在椭圆 中, 以 为中点的弦所在直线的斜率 ; 在双曲线 中, 以 为中点的弦所在直线的斜率 ; 在抛物线 中,以 为中点的弦所在直线的斜率 5. 椭圆其他斜率形式拓展 椭圆的方程为(a>b>0),为椭圆的长轴顶点,P点是椭圆上异于长轴顶点的任一点,则有 椭圆的方程为(a>b>0),为椭圆的短轴顶点,P点是椭圆上异于短轴顶点的任一点,则有 椭圆的方程为(a>b>0),过原点的直线交椭圆于两点,P点是椭圆上异于两点的任一点,则有 6. 点差法妙解中点弦问题 若设直线与圆锥曲线的交点 ( 弦的端点 ) 坐标为 , 将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差, 得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子, 可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 (1) 设点: 若 是椭圆 上不重合的两点,则 (2) 作差: 两式相减得 , (3)表斜率: 是直线 的斜率 是线段 的中点 , 化简可得 , 此种方法为点差法 【例题精选】 1.(19-20高三 全国 阶段练习)已知圆与抛物线相交于两点,且,若抛物线上存在关于直线对称的相异两点和,则线段的中点坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【难度】0.65 【解析】根据圆与抛物线的对称性求出点坐标,代入抛物线方程,求出,设点,代入抛物线方程作差,得到斜率与关系,即可求解. 【详解】因为关于轴对称,所以纵坐标为, 横坐标为1,代入, 可得.设点,. 则则, ,又关于直线对称. ,即,, 又的中点一定在直线上,. 线段的中点坐标为. 故选:A. 【点睛】本题考查抛物线标准方程、直线与抛物线位置关系,注意相交弦中点问题“点差法”的应用,属于中档题. 2.(21-22高二上 山东威海 期末)已知抛物线的焦点为,过点且倾斜角为锐角的直线与交于、两点,过线段的中点且垂直于的直线与的准线交于点,若,则的斜率为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【难度】0.65 【分析】设直线的方程为,其中,设点、、,将直线的方程与抛物线的方程联立,列出韦达定理,求出、,根据条件可求得的值,即可得出直线的斜率. 【详解】抛物线的焦点为,设直线的方程为,其中, 设点、、, 联立可得,,, 所以,, ,, 直线的斜率为,则直线的斜率为, 所以,, 因为,则,因为,解得, 因此,直线的斜率为. 故选:C. 3.(2023 贵州黔东南 一模)设双曲线的右焦点为,,若直线与的右支交于两点,且为的重心,则的离心率的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【难度】0.65 【分析】设点为的中点,根据为的重心,求得,由直线与的右支交于两点,得到,求得,再由时,证得四点共线不满足题意,即可求得双曲线 的离心率的取值范围. 【详解】由题意,双曲线的右焦点为,且, 设点为的中点,因为为的重心,所以, 即,解得,即, 因为直线与的右支交于两点,则满足, 整理得,解得或(舍去), 当离心率为时,即时,可得,此时, 设,可得, 又由,两式相减可得, 即直线的斜率为, 又因为,所以,此时四点共线,此时不满足题意, 综上可得,双曲线 的离心率的取值范围为. 故选:A. 【点睛】知识方法:求解圆锥曲线的离心率的常见方法: 1、定义法:通过已知条件列出方程组,求得得值,根据离心率的定义求解离心率; 2、齐次式法:由已知条件得出关于的二元齐次方程或不等式,然后转化为关于的一元二次方程或不等式,结合离心率的定义求解; 3、特殊值法:根据特殊点与圆锥曲线的位置关系,利用取特殊值或特殊位置,求出离心率问题. 4.(2023 陕西商洛 三模)如图,已知过原点的直线与双曲线相交于两点,双曲线的右支上一点满足,若直线的斜率为,则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【难度】0.65 【分析】取的中点,连接,利用两角和的正切公式求出,即直线的斜率为,再设,,利用点差法得到,从而求出离心率. 【详解】如图,取的中点,连接,则,所以, 设直线的倾斜角为,则, 所以, 所以直线的斜率为, 设,,则, 由,得到, 所以,所以,则. 故选:C 【相似练习】 5.(22-23高二上 浙江宁波 期末)过双曲线内一点斜率为的直线交双曲线于两点,弦恰好被M平分,则双曲线C的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【难度】0.65 【分析】设,代入双曲线方程作差,结合,利用斜率公式列式可得,即可求解离心率. 【详解】设,由题意可得,且, 又因为,所以, 即有,所以,所以, 所以,所以,所以. 故选:C. 6.(2024 全国 模拟预测)已知斜率为的直线与椭圆交于,两点,为坐标原点,以,为邻边作平行四边形,点恰好在上.若线段的中点在直线上,则直线的方程为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【难度】0.65 【分析】由题意,利用点差法得到,根据平行四边形的性质及点在椭圆上得到,求出k和点M的坐标,结合直线的点斜式方程即可求解. 【详解】设,,, 则,两式相减,得, 故,即①. 又四边形为平行四边形,为线段的中点,所以为线段的中点, 所以,又P在椭圆上, 所以,即②. 由①②,得,故直线的方程为, 即. 故选:B. 7.(24-25高二上 福建龙岩 阶段练习)已知,为椭圆上的动点,直线与圆相切,切点恰为线段的中点,当直线斜率存在时点的横坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【难度】0.65 【分析】设,利用点差法可得,因为点为直线与圆的切点,所以,可求解. 【详解】设, 设直线,且, 则,作差得:, 由,所以,① 因为点为直线与圆的切点,所以,② 由①②消去可得,解得. 故选:A. 【点睛】方法点睛:利用点差法解决圆锥曲线中点弦有关问题,以及圆的切线有关性质的灵活运用. 8.(24-25高二上 河北沧州 阶段练习)已知直线与椭圆交于两点,直线与椭圆交于两点,若直线垂直平分线段,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【难度】0.65 【分析】设交点的坐标,代入椭圆方程得到方程组,两式作差后整理化简得到,由直线斜率再次化简得,在利用中点坐标公式得到,结合点在直线上得到发现,解出,再代入方程,求得的值. 【详解】设,直线与直线交于点,则, 两式相减得,, 即,∴ 由∵为中点,即, ∴,又, ∴, ∴. 故选:D. 9.(24-25高二上 湖北武汉 阶段练习)已知圆在椭圆的内部,直线交于A、B两点,并与圆相切于点,若为线段AB的中点,则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【难度】0.65 【分析】由题意利用点差法可得等量关系,利用圆的切线、锐角正切函数的定义以及直线关系,可得斜率,代入等量关系,结合离心率的公式,可得答案. 【详解】由题意,记直线交轴于点,连接,如下图: 设,,, 则,. 又,所以, 所以,即. 由图易知与圆分别相切于,则, 由,则,即, 由直线与圆,则, 在中,则, 由,则,可得, 所以直线CD的斜率, 因为,所以直线AB的斜率,即. 又直线OD的斜率为,所以,所以, 所以椭圆的离心率. 故选:D. 二、多选题 10.(24-25高二上 河北邢台 期末)已知点,若斜率为1的直线与椭圆交于两点,且线段的中点坐标为,点在椭圆上,则的值可能为( ) A. B. C. D. 【答案】BCD 【难度】0.85 【分析】利用点差法解方程求出,设点,得,计算并消元,将其整理成,结合,即可求得的取值范围即可. 【详解】如图, 设,因点在椭圆上,则有:, 两式相减,化简得:, 依题意,,代入上式,解得:,即椭圆方程为:. 设点,则,即, 则, 因,则,故. 故选:BCD. 三、填空题 11.(24-25高二上 浙江舟山 期末)已知直线与椭圆在第一象限交于两点,与轴,轴分别交于两点,且,,则直线的方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【分析】由题意与的中点重合,若且,,结合已知有,,进而有,再应用点差法得到,联立所得各式求参数,即可得直线方程. 【详解】由,易知与的中点重合,若且, 令,则,即, 所以且, 令,则,作差得, 所以, 综上,代入,则,故, 所以,整理得. 故答案为: 【名师点睛】 1.处理中点弦问题的常用方法:(1)根与系数的关系;(2)点差法;(3)常用结论 2.利用点差法需要注意保证直线与曲线相交 【题型二:弦长问题】 【知识讲解】 弦长公式:若直线与圆锥曲线相交于两点,. 且,分别为,的横坐标,则, 若,为分别为,的纵坐标,则, 若弦所在直线方程设为,则. 【例题精选】 1.(2024 安徽马鞍山 模拟预测)已知抛物线的焦点为,准线与轴交于点,直线过其焦点且与交于两点,若直线的斜率为,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用斜率已知,即角的正切值已知,结合抛物线的几何性质,来解直角三角形求一条焦半径,再利用抛物线的两焦半径的倒数和为定值,从而去求另一条焦半径,最后求得弦长. 【详解】 如图作垂直于准线,垂足为,可知设, 直线的斜率为得, , 则,由勾股定理得:, 即,化简得:,解得, 再设过焦点的直线为与抛物线联立消元得: ,设交点, 则, 而, 当时,解得,此时, 当时,解得,此时, 故选:D. 2.(2023 福建厦门 模拟预测)已知为抛物线的焦点,过的直线交抛物线于两点,若,则( ) A.1 B. C.3 D.4 【答案】C 【分析】由抛物线的定义求得点的横坐标,代入抛物线得点坐标,从而求得直线的方程,联立抛物线与直线即可得点的横坐标,求得,从而可得的值. 【详解】如图,过作准线于,过作准线于, 由抛物线的焦点,准线方程为, 由抛物线的定义可得,所以,代入抛物线方程得 若,直线的斜率为,则直线方程为,即 联立得,则,所以, 则; 若,直线的斜率为,则直线方程为,即 联立得,则,所以, 则; 综上,. 故选:C. 二、解答题 3.(2024 安徽合肥 模拟预测)已知椭圆 过点 ,焦距为 4,过点 斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点,线段 的中点为 . (1)求椭圆 的标准方程; (2)若 的面积为 ,求直线 的方程. 【答案】(1); (2)或. 【分析】(1)根据已知条件求出c和焦点坐标,根据椭圆定义求出a,根据a,b,c关系求出b,从而可求椭圆的标准方程; (2)根据弦长公式求出,根据点到直线距离公式求出点P到直线l的距离d,利用三角形面积公式列式即可求出l的斜率,从而可得l的方程. 【详解】(1)由题可知,则椭圆的焦点为, 所以, 所以, 所以. (2),设, 由, 因为, 所以, 所以, 到直线l:的距离, 所以, 所以,解得或, 所以或, 即或. 【相似练习】 4.(2022 北京 模拟预测)已知椭圆的左、右焦点分别为.过点的直线与椭圆交于,两点,过点作的垂线交椭圆于两点,的周长为. (1)求椭圆的方程; (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由椭圆定义及的关系求解即可; (2)先考虑当轴以及直线与轴重合时,的值,当直线斜率存在且不为0时,利用设而不求法结合弦长公式求结论. 【详解】(1)设椭圆的半焦距为, 由题得 , 由椭圆定义得 的周长为 , 所以 , 所以椭圆 的方程为 . (2)当轴时,与轴重合,不符合题意; 当直线与轴重合时,点的横坐标为, 代入椭圆方程可得 ,故, 不妨设,则, 所以, 所以; 当直线斜率存在且不为时, 设,, 则, 联立, , 由韦达定理,得, 所以, 同理, 所以. 综上所述,的取值范围是. 5.(24-25高二上 河北张家口 期中)已知椭圆的左,右焦点分别为,,为椭圆上一点. (1)当为椭圆的上顶点时,求的大小; (2)直线与椭圆交于,,若,求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据条件得,从而可得,即可求解; (2)联立直线与椭圆方程,消得,再利用弦长公式,即可求解. 【详解】(1)因为椭圆方程为,则,,所以, 又,则,所以. (2)设, 由,消得,则, 由韦达定理知,由求根公式可得, 则,化简得到,解得. 6.(24-25高三上 湖南 阶段练习)已知椭圆的左､右焦点分别为,,为椭圆上的动点,的面积的最大值为,且点到点的最短距离是2. (1)求椭圆的标准方程; (2)过点作斜率为的直线,交椭圆于,两点,交抛物线:于,两点,且,求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据面积及点到焦点的距离最小值得出方程组求出,即可得出椭圆方程; (2)先设直线再联立方程组再应用弦长公式分别求出,再代入计算求参,即可得出直线的方程. 【详解】(1)由题意可得解得, 则椭圆的标准方程为. (2) 由(1)可知,设直线的方程为, 联立整理得, 则,从而, 故. 联立整理得, 则, 故. 因为,所以, 整理得,即,解得. 因为,所以,所以, 则直线的方程为. 7.(2024 江苏南通 模拟预测)已知双曲线的左、右焦点分别为,焦距为4,上一点满足,且的面积为. (1)求的方程; (2)过的渐近线上一点作直线与相交于点,,求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由可得,再由三角形的面积公式即可得到,结合余弦定理可得,由双曲线的定义,代入计算,即可得到; (2)方法一:分直线轴与直线与轴不垂直讨论,设直线的方程为,与双曲线方程联立,结合韦达定理与弦长公式代入计算,由基本不等式即可得到最值;方法二:设,表示出点的坐标,结合点差法代入计算,可得,再联立直线与双曲线方程,结合韦达定理与弦长公式代入计算,即可得到结果. 【详解】(1)在中, 因为,所以. 所以的面积, 解得. 在中,由余弦定理,得 , 所以. 因为在双曲线上,所以,得. 所以的方程为. (2) 法1:设,则, 当直线轴时,设直线与交于点, 所以,即, 所以. 当直线与轴不垂直时,设直线的方程为, ,利用对称性不妨设在直线上. 联立,得. 联立并消去,得, 所以. 则, 同理,得. 所以 (当且仅当时,取等号,满足), 综上,的最小值为1. 法2:设,则, 当垂直轴时,设的方程为:, 则. 因为两式相减,得,所以. 当的斜率存在时,设的方程为:, 由消去并化简, 得. 所以 则,同理. 所以 . 综上所述,当轴时,的最小值为1. 8.(23-24高三上 广西 阶段练习)已知双曲线过点和点. (1)求双曲线的离心率; (2)过的直线与双曲线交于,两点,过双曲线的右焦点且与平行的直线交双曲线于,两点,试问是否为定值?若是定值,求该定值;若不是定值,请说明理由. 【答案】(1) (2)是,定值为. 【分析】 (1)代入点的坐标联立方程可得双曲线方程, 进而由离心率公式即可求解. (2)联立直线与双曲线方程,根据弦长公式分别求解,即可代入化简求解. 【详解】(1) 将点和点的坐标代入, 得,解得 所以双曲线的离心率. (2) 依题意可得直线的斜率存在,设:. 联立得, 设,,则,, 所以. ,直线:.设,. 联立得, 则且, 则 , 所以,所以为定值,定值为. 【点睛】方法点睛:圆锥曲线中取值范围或者定值问题的五种求解策略: (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等或者等量关系,从而确定参数的取值范围; (2)利用已知参数的范围,求新的参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系; (3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; (4)利用已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; (5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围. 【名师点睛】1.设直线方程要注意斜率不存在的情况,若已知直线过点(t,0),可设直线方程为x=my+t(m).2.联立直线,曲线的方程消元后要注意; 【题型三:圆锥曲线的切线问题】 【知识讲解】 1.设圆(x-a)2+(y-b)2=r2上有一点P(x0,y0),则过P点的切线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2. 2.(1)椭圆+=1(a>b>0)上有一点P(x0,y0),则P点处的切线方程为+=1(a>b>0). (2)双曲线-=1(a>0,b>0)上有一点P(x0,y0),则P点处的切线方程为-=1. (3)抛物线y2=2px(p>0)上有一点P(x0,y0),则P点处的切线方程为y0y=p(x+x0). 【例题精选】 1.(24-25高二上 全国 课后作业)已知椭圆,原点为,动点在直线上运动,且在椭圆外,过点的直线与分别相切于两点,则 . 【答案】 【分析】联立直线方程和椭圆方程利用判别式为0可求,结合设而不求可求. 【详解】设, 将直线方程与椭圆方程联立化简得, 即, 故, 整理得到:即, 所以,则, 则:,同理, 由于在和上,所以 又,满足方程,则, . 故答案为:. 2.(2020 浙江 二模)在平面直角坐标系中,已知点M是双曲线上的异于顶点的任意一点,过点M作双曲线的切线l,若,则双曲线离心率等于 . 【答案】 【解析】利用导数证明在双曲线上点处的切线方程为,转化条件得,再利用即可得解. 【详解】当时,由可得, 求导得, 所以在双曲线上点处的切线方程为, 化简得,同理可得当时依然成立; 设点,则,, 由得,所以, 所以双曲线离心率. 故答案为:. 【点睛】本题考查了利用导数求切线,考查了直线与双曲线的位置关系,属于中档题. 3.(24-25高三上 河北 期末)过直线上一点M引抛物线的两条切线为切点,抛物线焦点为F,则F到距离的最大值为 . 【答案】 【分析】由导数的意义求出切线的斜率,再由点斜式求出切线和方程,然后将代入两式得到直线所过定点,再利用两点间距离公式求出结果即可; 【详解】 设,,,则, 方程:化为, 同理方程:,将代入两式:,. 故,都在直线上, 而代入化为: 此为直线方程,恒过点,焦点,即为F到距离最大值. 故答案为:. 二、解答题 4.(2023 江西南昌 三模)已知椭圆经过点,且离心率为,为椭圆的左焦点,点为直线上的一点,过点作椭圆的两条切线,切点分别为,,连接,,. (1)证明:直线经过定点; (2)若记、的面积分别为和,当取最大值时,求直线的方程. 参考结论:为椭圆上一点,则过点的椭圆的切线方程为. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】(1)由题求出椭圆的标准方程,根据参考结论得两条切线的方程,由点P为两切线的交点,得直线AB的方程,可求出直线所过定点; (2)由直线AB所过定点设直线方程,与椭圆联立,计算面积之差,利用基本不等式求出最值,及取最值时直线的方程. 【详解】(1)由题意可得,即,, 故椭圆的方程为, 设,,, 由参考结论知过点在处的椭圆的切线方程为, 同理,过点在处的椭圆的切线方程为, 点在直线,上,, 直线的方程为,即, 可得,则直线过定点; (2)由(1)知,,, 设直线的方程为,联立, 得,故,, 为, , 当且仅当,即时取等号,此时直线的方程为, 即或. 【点睛】思路点睛:第二问思路设直线的方程为与椭圆方程联立,利用韦达定理代入,然后利用基本不等式求出结果,考查了学生的思维能力、运算能力. 【相似练习】 5.(23-24高三上 云南保山 期末)已知椭圆:(),且椭圆的长轴长为4,离心率为. (1)求椭圆的方程; (2)过点作椭圆的两条切线,切点分别为,,现过点的直线分别交椭圆于,两点,且直线交线段于点,试判断与的大小,并说明理由. 【答案】(1) (2),理由见解析 【分析】(1) 根据题意,离心率,从而可求解. (2)先求出切线的方程为,切线的方差为,从而可求出直线的方程,设出直线的方程,然后分别与直线方程,椭圆方程联立,再利用根与系数关系分别求出,,,从而可求解. 【详解】(1)由题意可知:,所以,又由,所以,所以; 故椭圆的方程为. (2)如图,令,,,, 由题知切线的斜率存在,且设过点的切线方程为, 联立方程得,解得:, 由于只有一个切点,所以,解得, 又因为,所以切线的方程为, 同理可得切线的方程为, 又点是切线,的公共点, 所以故而所在的直线为, 由题意可知,直线的斜率存在,不妨设为,则, 所以直线的方程为, 联立方程:解得:, 联立方程:消除得:, 所以,, 又有,,, , 所以. 【点睛】关键点点睛:求解切线方程时根据椭圆与直线方程联立,求解判别式即可得到切线方程:,切线方程:,从而可求出直线方程:,然后设出直线方程:,再与直线,椭圆方程联立,然后利用根与系数关系从而求出,,,从而可求解. 【名师点睛】1.直线与双曲线只有一个交点,包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行2.直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切,直线与抛物线的对称轴平行或者重合。 【题型四:直线的圆锥曲线的位置关系】 【知识讲解】直线与圆锥曲线位置关系的判定方法: (1)联立直线的方程与圆锥曲线的方程 (2)消元得到关于x或者y的一元二次方程 (3)利用判别式,判断直线与圆锥曲线的位置关系 【例题精选】 1.(河南省商丘市部分学校2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题)已知是抛物线的焦点,是该抛物线上位于第一象限的点,且,直线与交于A,两点,且(为坐标原点),则以为圆心且与该抛物线的准线相切的圆的方程为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】设,由焦半径公式求出、与p的关系,接着联立直线与抛物线方程,利用韦达定理和求出p即可求出圆心和半径得解. 【详解】设,则, 所以, 联立,设, 则,, 因为,所以, 故,则,抛物线的准线方程为, 所以点与抛物线的准线距离为3, 以为圆心且与该抛物线的准线相切的圆的半径为3, 所以以为圆心且与该抛物线的准线相切的圆的方程为. 故选:B 【点睛】关键点睛:解决本题的关键是利用韦达定理和求出p. 2.(2025 陕西榆林 二模)已知直线与曲线有两个公共点,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】解法1,当时,满足题意,当时,两方程联立方程组消去,然后结合根与系数的关系及判断式可求得结果;解法2,利用数形结合,由与相切时,求出的值,然后结合图形可求得结果;解法3,利用伸缩变换,将半圆横坐标不变,纵坐标缩短到原来的,得到半椭圆,然后转化为直线与圆的关系求解即可. 【详解】解法1:由得,所以为椭圆的上半部分, 直线过定点 ①当,直线与有两个公共点; ②当,与曲线联立, 得, 设直线与曲线交于点, 则由题意得,解得, 综上,的取值范围是. 解法2:数形结合法 ①当,直线与有两个公共点; ②当与相切时, 两曲线方程联立方程组化简得, 整理得, 由,得, 解得或, 由图可得舍去, 所以由图可得, 综上,的取值范围是. 解法3:将半圆横坐标不变,纵坐标缩短到原来的,得到半椭圆. 当与相切时,由点到的距离等于圆的半径得:, 解得:(舍)或,经过伸缩变换后,, 综上,的取值范围是. 故选:D. 【点睛】关键点点睛:本题重点考查了直线与半椭圆位置关系,隐含直线过定点问题,解题的关键是将曲线化简为半椭圆方程,考查数形结合思想和转化思想,属于中档题. 二、多选题 3.(24-25高三下 广东清远 开学考试)已知双曲线C:,直线l过点,以下错误的是( ) A.若直线l与双曲线C只有一个公共点,则直线l的条数是2 B.若直线l与双曲线C只有一个公共点,则直线l的斜率是或 C.若直线l与双曲线C有两个不同的公共点,则直线l的斜率范围是 D.若直线l与双曲线C的渐近线相交于A、B两点,则线段AB中点的轨迹是直线 【答案】ACD 【分析】设,联立双曲线求相切时参数,注意直线与渐近线平行的情况,数形结合分析不同区间直线与双曲线的交点情况判断A、B、C;求出交点的坐标,进而确定其中点坐标得到轨迹方程判断D. 【详解】由双曲线方程知,渐近线为,显然时直线与双曲线只有一个交点, 若与双曲线相切时,联立双曲线有, 整理得,此时,可得, 综上,若直线l与双曲线C只有一个公共点,则直线l的斜率是或,A错,B对; 如下图示,当时,直线与双曲线的两支各有一个交点,共两个交点, 当时,直线与双曲线的一支有两个交点, 当时,直线与双曲线无交点, 综上,C错; 若直线l与双曲线C的渐近线相交于A、B两点,即, 联立,可得,同理,可得, 所以线段AB中点坐标为,易知中点轨迹方程为, 所以轨迹为双曲线,D错. 故选:ACD 【相似练习】 三、填空题 4.(24-25高三下 北京 开学考试)如果直线l:和曲线 :恰有一个交点,那么k的一个值为 . 【答案】1(答案不唯一,满足即可) 【分析】作出曲线的图象,数形结合分析恰有一个交点时实数的取值范围即可. 【详解】由题意,当时,为双曲线的上半部分; 当时,为椭圆的下半部分. 又即,故作出的图象: 考虑临界条件,当与椭圆下半部分相切时,有, 整理得,则, 由图象解得. 因为的渐近线方程为, 当与双曲线的渐近线平行时也为临界条件, 当时,由图形可知:直线与双曲线部分无交点,不符合题意; 当时,由图形可知:直线与双曲线部分恰有一个交点,符合题意; 当时,由图形可知:直线与双曲线部分恰有一个交点,符合题意; 当时,由图形可知:直线与双曲线部分无交点,不符合题意; 故实数的取值范围为,例如. 故答案为:1(答案不唯一,满足即可). 5.(2025届高三筑梦杯第四次线上联考数学试题)已知曲线E:,过点作两条直线,,使它们与E总共相交8个点,则斜率积的取值范围为 . 【答案】 【分析】已知曲线是一个椭圆和抛物线的合成曲线,先分别求出过点(4,0)的直线与椭圆和抛物线都有2个交点的条件,然后求得抛物线与椭圆的交点坐标,得到直线过此交点时的斜率,然后讨论合并得到所求范围. 【详解】曲线E:由椭圆和抛物线构成, 根据题意直线都要与椭圆和抛物线各有两个交点,且这些交点不能重合 设过的直线与抛物线和椭圆都有两个不同的交点, 由,得,有两个不同实数根,得,解得; 由,得,有两个不同实数根, 得,化简的, 设椭圆与抛物线的交点为,设对应与点(4,0)的连线的斜率的绝对值为, 由于此时对应直线椭圆和抛物线都有公共点B, 故, 所以, , 所以的取值范围是, 故答案为:. 四、解答题 6.(24-25高二下 广西 开学考试)已知点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程; (2)若过点的直线与双曲线只有一个公共点,求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)将点代入双曲线方程求解即可; (2)易知直线的斜率存在,设直线的方程,联立双曲线方程可得,分类讨论与两种情况,求出的值即可. 【详解】(1)因为点在双曲线上,所以, 解得, 所以双曲线的标准方程为. (2)若直线的斜率不存在,则直线与双曲线没有交点,不符合题意; 设直线的斜率为,则直线的方程为. 由消去得:, 当,即时,方程只有一个解, 此时直线与双曲线只有一个公共点,符合题意,直线的方程为. 当时,由,解得, 此时直线的方程为. 综上,直线的方程为或. 【课后针对性训练】【高考真题+模拟练习】 一、单选题 1.(2025 湖南邵阳 一模)经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线,直线与椭圆相交于,两点,则( ) A. B. C. D. 2.(2024 安徽合肥 模拟预测)过且倾斜角为的直线与曲线交于,两点,分别过,作曲线的两条切线,,若,,交于,直线的倾斜角为,则的最小值为( ) A. B. C. D. 二、填空题 3.(2025 全国 模拟预测)已知双曲线的离心率为,点为上一点,若过点与相切的直线的横截距为,直线的斜率为,则点的坐标为 . 4.(2024 四川德阳 模拟预测)已知直线与椭圆 交于 P、Q两点,直线l与x轴、y轴分别交于点M、N,若点M、N恰好是线段PQ的两个三等分点,则 5.(2024 江苏 三模)已知过坐标原点且异于坐标轴的直线交椭圆于两点,过的中点作轴的垂线,垂足为,直线交椭圆于另一点,直线的斜率分别为,则 ;若,则的离心率为 . 6.(2024 广东 模拟预测)已知为坐标原点,点在抛物线上,且.记点的轨迹为曲线,若直线与曲线交于两点,且线段中点的横坐标为1,则直线的斜率为 . 三、解答题 7.(2024 广东江苏 高考真题)已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B,且的面积为9,求的方程. 8.(2011 陕西 高考真题)如图,设P是圆上的动点,点D是P在x轴上投影,M为上一点,且. (1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程; (2)求过点且斜率为的直线被C所截线段的长度. 9.(2008 天津 高考真题)已知中心在原点的双曲线的一个焦点是,一条渐近线的方程是. (1)求双曲线的方程; (2)若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点M,N,线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求k的取值范围. 10.(2006 湖南 高考真题)已知椭圆,抛物线,且的公共弦过椭圆的右焦点. (1)当轴时,求的值,并判断抛物线的焦点是否在直线上; (2)若且抛物线的焦点在直线上,求的值及直线的方程. 2025年高考总复习一轮重点题型突破 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 参考答案 题号 1 2 答案 A C 1.A 【分析】由椭圆方程求得焦点坐标,从而写出直线方程,联立方程组得一元二次方程,由韦达定理得到两个的和与差,利用交点弦长公式即可求得结果. 【详解】,,∴,即, ,∴, 联立方程组得,整理得, 设,,∴,, . 故选:A. 2.C 【分析】首先画出平面图形,求出的结论,再利用两角和与差的正切公式以及前面的结论将化简为的形式,由基本不等式即可求得最值. 【详解】如图,设,,, 由于曲线,则, 所以在点的切线方程为, 同理在点的切线方程为, 由于点是两切线的交点,所以, 则为,且过, 且,设,, , 当且仅当时“”成立, 故选:C. 【点睛】方法点睛:用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率,其求法为: (1)设是曲线上的一点,则以的切点的切线方程为:; (2)若曲线在点的切线平行于轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为. 3. 【分析】假设直线与曲线方程,联立后,利用韦达定理可表示出点坐标,结合可求得点坐标. 【详解】双曲线的离心率为,即,, 可设双曲线的方程为:; 由题意知:直线斜率不为,可设, 由得:, ,解得:,, ,解得:, ,,即点的坐标为. 故答案为:. 4. 【分析】将直线与椭圆联立求出两根之和及两根之积,求出中点坐标及弦长PQ,由题意知MN的坐标及中点与PQ的中点相同求出的值,再由M,N三等分线段PQ,则,求出结果. 【详解】设, 联立直线与椭圆的方程整理得:, , 解得, , 所以中点, 由题意得,点M,N三等分线段PQ, 所以MN的中点也为H, 所以, 由题意,所以可得:; 所以弦长 , 由题意得, 由题意, 所以,代入可得, 所以:, 故答案为:. 5. 【分析】根据两点斜率公式即可求解,利用点差法可得,即可由离心率公式求解. 【详解】设,则, 设,则,则, 故,结合,可得 故答案为:, 6./0.5 【分析】设直线,则,结合已知用表示出的坐标,消去参数即可得曲线的方程,由点差法即可得解. 【详解】 显然斜率均存在, 设直线,则,联立,得,同理, 设,则,化简可得,曲线. 设,则,两式相减可得,, 则. 故答案为:. 7.(1) (2)直线的方程为或. 【分析】(1)代入两点得到关于的方程,解出即可; (2)方法一:以为底,求出三角形的高,即点到直线的距离,再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程,联立椭圆方程得到点坐标,则得到直线的方程;方法二:同法一得到点到直线的距离,再设,根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组,解出即可;法三:同法一得到点到直线的距离,利用椭圆的参数方程即可求解;法四:首先验证直线斜率不存在的情况,再设直线,联立椭圆方程,得到点坐标,再利用点到直线距离公式即可;法五:首先考虑直线斜率不存在的情况,再设,利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案;法六:设线法与法五一致,利用水平宽乘铅锤高乘表达面积即可. 【详解】(1)由题意得,解得, 所以. (2)法一:,则直线的方程为,即, ,由(1)知, 设点到直线的距离为,则, 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可, 此时该平行线与椭圆的交点即为点, 设该平行线的方程为:, 则,解得或, 当时,联立,解得或, 即或, 当时,此时,直线的方程为,即, 当时,此时,直线的方程为,即, 当时,联立得, ,此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二:同法一得到直线的方程为, 点到直线的距离, 设,则,解得或, 即或,以下同法一. 法三:同法一得到直线的方程为, 点到直线的距离, 设,其中,则有, 联立,解得或, 即或,以下同法一; 法四:当直线的斜率不存在时,此时, ,符合题意,此时,直线的方程为,即, 当线的斜率存在时,设直线的方程为, 联立椭圆方程有,则,其中,即, 解得或,,, 令,则,则 同法一得到直线的方程为, 点到直线的距离, 则,解得, 此时,则得到此时,直线的方程为,即, 综上直线的方程为或. 法五:当的斜率不存在时,到距离, 此时不满足条件. 当的斜率存在时,设,令, ,消可得, ,且,即, , 到直线距离, 或,均满足题意,或,即或. 法六:当的斜率不存在时,到距离, 此时不满足条件. 当直线斜率存在时,设, 设与轴的交点为,令,则, 联立,则有, , 其中,且, 则, 则,解的或,经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或,即或. 8.(1) (2) 【分析】(1)用相关点法求解轨迹方程,设出,得到,代入中,得到轨迹方程; (2)求出过点且斜率为的直线方程,联立第一问所求的曲线方程,得到两根之和,两根之积,由弦长公式求出答案. 【详解】(1)设,则,, 因为,所以,即,故, 所以, 因为P是圆上的点,所以,即; (2)过点且斜率为的直线方程为, 与联立得:,易得, 设直线与的两交点坐标分别为, 则,, 故被C所截线段的长度为. 9.(1) (2)的取值范围是 【分析】(1)设出双曲线方程,根据焦点坐标及渐近线方程求出待定系数,即得双曲线的方程. (2)设出直线的方程,代入双曲线的方程,利用判别式及根与系数的关系求出的中点坐标,从而得到线段的垂直平分线方程,通过求出直平分线与坐标轴的交点,计算围成的三角形面积,由判别式大于0,求得的取值范围. 【详解】(1)解:设双曲线的方程为. 由题设得,解得,所以双曲线方程为. (2)解:设直线的方程为. 点,,,的坐标满足方程组 将①式代入②式,得,整理得. 此方程有两个不等实根,于是,且 . 整理得. ③ 由根与系数的关系可知线段的中点坐标,满足,. 从而线段的垂直平分线方程为. 此直线与轴,轴的交点坐标分别为,. 由题设可得. 整理得,. 将上式代入③式得,整理得,. 解得或. 所以的取值范围是. 10.(1),;的焦点不在直线上; (2)当时,直线的方程为; 当时,直线的方程为. 【分析】(1) 当轴时, 直线的方程为,可得,即可求得的坐标,代入抛物线方程可得的值,再求出的焦点坐标,即可判断是否在直线上; (2) 设直线的方程为,联立直线方程与椭圆方程可得,,又因为是的公共弦,可得,将的焦点代入直线方程得或,即可求得直线的方程. 【详解】(1)解:当轴时,点关于轴对称,方程为, 所以, 从而点的坐标为或, 因为点在抛物线上, 所以,解得, 此时的焦点坐标为( ),该点不在直线:上; (2)解:当的焦点在直线上时, 由(1)可知直线的斜率存在, 设直线的方程为, 由 ,可得, 设, 则是方程的两根, 所以,, 因为既是过焦点的弦,又是过焦点的弦, 所以, 且= , 所以=, 解得, 所以, 因为的焦点在直线:上, 所以, 即或, 当时,直线的方程为; 当时,直线的方程为. 【点睛】 $$ 【专题7.5直线与圆锥曲线的位置关系】 【题型一：中点弦问题..........................................................................................................】 【题型二：弦长问题..............................................................................................................】 【题型三：圆锥曲线中切线问题..........................................................................................】 【题型四：直线与圆锥曲线的位置关系..............................................................................】 【高考真题经典重现】 1．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）． A． B． C． D． 3．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 4．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ． 5．（2018·全国III卷·高考真题）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则 ． 6．（2010·湖北·高考真题）已知椭圆的两焦点为,点满足,则的取值范围为 ，直线与椭圆的公共点个数 ． 【题型一：中点弦问题】 【知识讲解】 1. 椭圆中点弦斜率公式 (1) 若 为椭圆 弦 的中点, 有 . (2) 若 为椭圆 弦 的中点, 有 . 2. 双曲线的中点弦斜率公式 (1) 若 为双曲线 弦 ( 不平行 轴) 的中点, 则 (2) 若 为双曲线 弦 ( 不平行 轴) 的中点, 则 3. 抛物线的中点弦斜率公式 (1) 若 为抛物线 弦 不平行 轴 的中点, 则 (2) 若 为抛物线 弦 ( 不平行 轴) 的中点, 则 4. 中点弦斜率拓展 在椭圆 中, 以 为中点的弦所在直线的斜率 ; 在双曲线 中, 以 为中点的弦所在直线的斜率 ; 在抛物线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率 5. 椭圆其他斜率形式拓展 椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有 椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有 椭圆的方程为（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有 6. 点差法妙解中点弦问题 若设直线与圆锥曲线的交点 ( 弦的端点 ) 坐标为 , 将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差, 得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子, 可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 （1） 设点: 若 是椭圆 上不重合的两点,则 （2） 作差: 两式相减得 , （3）表斜率: 是直线 的斜率 是线段 的中点 , 化简可得 , 此种方法为点差法 【例题精选】 1．（19-20高三·全国·阶段练习）已知圆与抛物线相交于两点，且，若抛物线上存在关于直线对称的相异两点和，则线段的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二上·山东威海·期末）已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与交于、两点，过线段的中点且垂直于的直线与的准线交于点，若，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·贵州黔东南·一模）设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·陕西商洛·三模）如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【相似练习】 5．（22-23高二上·浙江宁波·期末）过双曲线内一点斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被M平分，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国·模拟预测）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，以，为邻边作平行四边形，点恰好在上．若线段的中点在直线上，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知，为椭圆上的动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，当直线斜率存在时点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，若直线垂直平分线段，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）已知圆在椭圆的内部，直线交于A、B两点，并与圆相切于点，若为线段AB的中点，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（24-25高二上·河北邢台·期末）已知点，若斜率为1的直线与椭圆交于两点，且线段的中点坐标为，点在椭圆上，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·浙江舟山·期末）已知直线与椭圆在第一象限交于两点，与轴，轴分别交于两点，且，，则直线的方程为 ． 【名师点睛】 1.处理中点弦问题的常用方法:（1）根与系数的关系；（2）点差法；（3）常用结论 2.利用点差法需要注意保证直线与曲线相交 【题型二：弦长问题】 【知识讲解】 弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点，． 且，分别为，的横坐标，则， 若，为分别为，的纵坐标，则， 若弦所在直线方程设为，则． 【例题精选】 1．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过其焦点且与交于两点，若直线的斜率为，则（     ） A． B． C． D． 2．（2023·福建厦门·模拟预测）已知为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，若，则（    ） A．1 B． C．3 D．4 二、解答题 3．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知椭圆 过点 ，焦距为 4，过点 斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点，线段 的中点为 . (1)求椭圆 的标准方程； (2)若 的面积为 ，求直线 的方程. 【相似练习】 4．（2022·北京·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为．过点的直线与椭圆交于，两点，过点作的垂线交椭圆于两点，的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)求的取值范围. 5．（24-25高二上·河北张家口·期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，，为椭圆上一点． (1)当为椭圆的上顶点时，求的大小； (2)直线与椭圆交于，，若，求的值． 6．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上的动点，的面积的最大值为，且点到点的最短距离是2. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作斜率为的直线，交椭圆于，两点，交抛物线：于，两点，且，求直线的方程. 7．（2024·江苏南通·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为4，上一点满足，且的面积为． (1)求的方程； (2)过的渐近线上一点作直线与相交于点，，求的最小值． 8．（23-24高三上·广西·阶段练习）已知双曲线过点和点． (1)求双曲线的离心率； (2)过的直线与双曲线交于，两点，过双曲线的右焦点且与平行的直线交双曲线于，两点，试问是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由． 【名师点睛】1.设直线方程要注意斜率不存在的情况，若已知直线过点（t,0）,可设直线方程为x=my+t(m).2.联立直线，曲线的方程消元后要注意； 【题型三：圆锥曲线的切线问题】 【知识讲解】 1．设圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上有一点P(x0，y0)，则过P点的切线方程为(x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2. 2．(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)上有一点P(x0，y0)，则P点处的切线方程为＋＝1(a＞b＞0)． (2)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上有一点P(x0，y0)，则P点处的切线方程为－＝1. (3)抛物线y2＝2px(p＞0)上有一点P(x0，y0)，则P点处的切线方程为y0y＝p(x＋x0)． 【例题精选】 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆，原点为，动点在直线上运动，且在椭圆外，过点的直线与分别相切于两点，则 ． 2．（2020·浙江·二模）在平面直角坐标系中，已知点M是双曲线上的异于顶点的任意一点，过点M作双曲线的切线l，若，则双曲线离心率等于 . 3．（24-25高三上·河北·期末）过直线上一点M引抛物线的两条切线为切点，抛物线焦点为F，则F到距离的最大值为 . 二、解答题 4．（2023·江西南昌·三模）已知椭圆经过点，且离心率为，为椭圆的左焦点，点为直线上的一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，连接，，． (1)证明：直线经过定点； (2)若记、的面积分别为和，当取最大值时，求直线的方程． 参考结论：为椭圆上一点，则过点的椭圆的切线方程为． 【相似练习】 5．（23-24高三上·云南保山·期末）已知椭圆：（），且椭圆的长轴长为4，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，现过点的直线分别交椭圆于，两点，且直线交线段于点，试判断与的大小，并说明理由. 【名师点睛】1.直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行2.直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切，直线与抛物线的对称轴平行或者重合。 【题型四：直线的圆锥曲线的位置关系】 【知识讲解】直线与圆锥曲线位置关系的判定方法： （1）联立直线的方程与圆锥曲线的方程 （2）消元得到关于x或者y的一元二次方程 （3）利用判别式，判断直线与圆锥曲线的位置关系 【例题精选】 1．（河南省商丘市部分学校2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上位于第一象限的点，且，直线与交于A，两点，且（为坐标原点），则以为圆心且与该抛物线的准线相切的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西榆林·二模）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高三下·广东清远·开学考试）已知双曲线C：，直线l过点，以下错误的是（    ） A．若直线l与双曲线C只有一个公共点，则直线l的条数是2 B．若直线l与双曲线C只有一个公共点，则直线l的斜率是或 C．若直线l与双曲线C有两个不同的公共点，则直线l的斜率范围是 D．若直线l与双曲线C的渐近线相交于A、B两点，则线段AB中点的轨迹是直线 【相似练习】 三、填空题 4．（24-25高三下·北京·开学考试）如果直线l：和曲线Γ：恰有一个交点，那么k的一个值为 . 5．（2025届高三筑梦杯第四次线上联考数学试题）已知曲线E：，过点作两条直线，，使它们与E总共相交8个点，则斜率积的取值范围为 ． 四、解答题 6．（24-25高二下·广西·开学考试）已知点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与双曲线只有一个公共点，求直线的方程． 【课后针对性训练】【高考真题+模拟练习】 一、单选题 1．（2025·湖南邵阳·一模）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽合肥·模拟预测）过且倾斜角为的直线与曲线交于，两点，分别过，作曲线的两条切线，，若，，交于，直线的倾斜角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2025·全国·模拟预测）已知双曲线的离心率为，点为上一点，若过点与相切的直线的横截距为，直线的斜率为，则点的坐标为 . 4．（2024·四川德阳·模拟预测）已知直线与椭圆 交于 P、Q两点，直线l与x轴、y轴分别交于点M、N，若点M、N恰好是线段PQ的两个三等分点，则 5．（2024·江苏·三模）已知过坐标原点且异于坐标轴的直线交椭圆于两点，过的中点作轴的垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点，直线的斜率分别为，则 ；若，则的离心率为 . 6．（2024·广东·模拟预测）已知为坐标原点，点在抛物线上，且.记点的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，且线段中点的横坐标为1，则直线的斜率为 . 三、解答题 7．（2024·广东江苏·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 8．（2011·陕西·高考真题）如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上投影，M为上一点，且. (1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； (2)求过点且斜率为的直线被C所截线段的长度. 9．（2008·天津·高考真题）已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是． (1)求双曲线的方程； (2)若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围． 10．（2006·湖南·高考真题）已知椭圆，抛物线，且的公共弦过椭圆的右焦点． (1)当轴时，求的值，并判断抛物线的焦点是否在直线上； (2)若且抛物线的焦点在直线上，求的值及直线的方程． 2025年高考总复习一轮重点题型突破 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$