重点专题2-2 解三角形常考题型汇总【13类题型】- 【重难点突破】2024-2025学年高一数学人教A版必修第二册·重难点专题突破

专题2-2 解三角形常考题型汇总 总览 题型·解读 模块一 第一问题型梳理及拆分训练 【题型1】拆角后再用辅助角公式合并 【题型2】遇半角降幂扩角 【题型3】 遇到两角之和化为第三个角 【题型4】通过诱导公式统一函数名 【题型5】 恒等变换综合 【题型6】给值求角（第1问第2问均有） 模块二 第二问题常考型梳理 【题型7】中线及等分线相关计算 【题型8】角平分线相关计算求值 【题型9】高线问题 【题型10】其它中间线问题 【题型11】二倍角的处理 【题型12】复合图形计算求值问题 【题型13】常考最值问题 【课后作业】 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 第一问题型梳理及拆分训练 基础知识 知识点01 拆角与合角的技巧 1. 化简后的式子同时含有三个角时，解题思路是减少角的个数，方法主要有以下两种 ①合角 如： ②拆角——拆单角（“单身狗角”） 如：；，，2.半角：， 知识点02 常见情况的讨论 中：若 ① ②（舍去） ① ② ① ② ，则或 知识点03 恒等变换回顾 1. 二倍角公式：， 2. 二倍角公式的扩角降幂：.， 忘记了可以用二倍角公式推导:记，则 故， 3. 辅助角公式： 注意：，且与在同一象限 知识点04 三角形中的恒等变形 ①， 同理有：，. ②； ③斜三角形中， ④； 典型例题 【题型1】拆角后再用辅助角公式合并 【例题1】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求A. 【例题2】（23-24高一下·浙江杭州·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．则角 ． 【巩固练习1】在中，，求A. 【巩固练习2】锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求A. 【巩固练习3】已知，，分别为三个内角，，的对边，且，求角的大小； 【题型2】遇半角降幂扩角 【例题1】在中，已知，求角的大小 【例题2】记的内角，，的对边分别为，，，已知，证明： 【巩固练习1】的内角的对边分别为．已知求角B的大小 【巩固练习2】在中，内角，，所对的边分别，，， 且，求角的大小； 【题型3】 遇到两角之和化为第三个角 【例题1】，求角C的大小. 【巩固练习1】已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求C 【巩固练习2】在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足，求A. 【题型4】通过诱导公式统一函数名 【例题1】在中，内角所对的边分别为.已知，，求的值. 【巩固练习1】已知中，角，，所对边分别为，，，若满足，求角的大小. 【巩固练习2】在中，内角所对的边分别为.已知，求的值 【题型5】 恒等变换综合 【例题1】（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2025·广东佛山·一模）记的内角的对边分别为且，则 ． 【巩固练习2】（23-24高一下·湖北武汉·期中）在中，若，且，则（    ） A． B． C．3 D．2 【题型6】给值求角（第1问第2问均有） 典型例题 【例题1】已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若，求sinA． 【例题2】（2024·全国甲卷·高考真题）在中,内角所对的边分别为，若，，求. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2023·全国·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】在中，内角的对边分别为，，求. 【巩固练习3】已知的内角、、的对边分别为、、，． (1)求；(2)若，求． 【巩固练习4】（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值；(2)求的值；(3)求的值． 模块二 第二问题常考型梳理 【题型7】中线及等分线相关计算 解题技巧 【重难点突破】2024-2025学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 策略一：如图，倍长中线构造全等,再用余弦定理即可 策略二：向量法，,等式两边再进行平方 策略三：两次余弦定理，邻补角余弦值为相反数，即 补充：若或将条件“AD为BC的中线”换为“”也适用，此时需要倍长等分线构造相似 典型例题 类型1 中线 【例题1】在中，角所对的边分别为，已知，若为边上的中线，且，则的面积等于 ． 【巩固练习1】（23-24高一下·江苏南京·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求角A的大小.(2)若，求AC边上的中线BD的长. 【巩固练习2】（高一下·湖北·期末）记的内角的对边分别为，满足. (1)求角；(2)若，，是中线，求的长. 类型2 其它等分线 【例题1】（23-24高一下·江苏常州·期末）记内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求的值；(2)若，且，求的面积． 【例题2】（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知的内角所对的边分别为，且满足. (1)求角B的大小；(2)若，，点D在边上，且，求的长. 【巩固练习1】（23-24高一下·重庆·期末）已知的面积为，且. (1)求角；(2)若，，求的长度. 【巩固练习2】（22-23高一下·江苏常州·期中）已知的内角的对边分别为，且． (1)求的值；(2)已知，为边上一点，且，求线段的长． 【巩固练习3】（2021·全国·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：；（2）若，求. 类型3 中线定理 典型例题 【例题1】（23-24高一下·广东湛江·期末）已知的三个角的对边分别为， (1)已知，求边上中线长. (2)请用表示边的中线长，并写出推导过程. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2025·广东大湾区·一模）在中，角的对边分别为，为边上的中线. (1)证明：；(2)若，，求的最大值. 【巩固练习2】（23-24高一下·河北保定·期末）阿波罗尼奥斯（Apollonius）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼奥斯定理是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三边之半的平方和的两倍，即如果AD是中BC边上的中线，则. (1)若在中，，，，求此三角形BC边上的中线长； (2)请证明题干中的定理； (3)如图中，若，D为BC中点，，，，求的值. 【题型8】角平分线相关计算求值 解题技巧 角平分线问题的处理策略： △ABC中，AD平分∠BAC． 策略一：角平分线定理： 证法1（等面积法） ，得，注：为A到BC的距离，为D到AB，AC的距离． 证法2（正弦定理） ，，而，整理得 策略二：利用两个小三角形面积和等于大三角形面积得到等式 ，即 策略三：邻角互补： 典型例题 类型1 等面积法 【例题1】（23-24高一下·广东惠州·期末）已知有下面三个条件： ①；②；③； 请从这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题：在中，角所对的边分别是，，，且________. (1)求角A的大小； (2)若是的角平分线，且，，求线段的长. 【例题2】（2025·广东惠州·模拟预测）在中，角所对的边分别为，，，且，. (1)若边上的高，求证：为等边三角形； (2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长. 【例题3】（23-24高一下·湖北武汉·期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：在中，内角所对的边分别为，已知，且选择条件______. (1)求角； (2)若为的平分线，且与交于点，求的周长. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·广东深圳·期中）在中，内角的对边分别是，且，平分交BC于，，，则的面积为 . 【巩固练习2】在中，已知，点和点分别在边BC和AC上，AD平分角，相交于点，则 类型2 角平分线分线段成比例 【例题1】（23-24高一下·江苏连云港·期末）在中，AD是的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上． (1)用正弦定理证明；(2)若，求DE的长． 【巩固练习1】（23-24高一下·广东梅州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为的平分线BD交AC于点． (1)求证：； (2)若． （ⅰ）求；（ⅱ）若，求的面积． 【巩固练习2】（23-24高一下·重庆·阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，． (1)求角；(2)若是钝角三角形，在线段上且平分，求． 【巩固练习3】（23-24高一下·湖南·期中）设的内角的对边分别为，且. (1)求角的大小；(2)若，角的平分线交边于，求的值. 【巩固练习4】（23-24高一下·江苏镇江·期中）在中，在边上，且平分，若， (1)证明：；(2)求的面积；(3)求的长． 【巩固练习5】（23-24高一下·浙江绍兴·期中）在中，角，，所对边分别为，，，且，为边上的动点. (1)若为的中点，，，求边； (2)若平分，，，求的面积. 【巩固练习6】（24-25高三上·广东汕头·期中）中，是上的点，平分，面积是面积的2倍． (1)求；(2)若，，求和的长． 【题型9】高线问题 解题技巧 1、若三角形中已知∠B，∠C，可以做高线得出两个小直角三角形三边之比 2、等面积法： 3、，，分别为△ABC边a，b，c上的高，则 4、射影定理： 类型1 已知两角可作高 【例题1】△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 且A＝，若，D是BC边上一点，且，△ACD的面积为，求AC. 【巩固练习1】（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【巩固练习2】（2024新高考1卷）中，角，，的对边分别为，，，若． (1)求；(2)若且的面积为，求边长． 【巩固练习3】记的内角、、的对边分别为、、，已知，点在边上，且，，求. 【巩固练习4】（2025·广东·深圳一模）在中，角所对的边分别为． (1)求；(2)若，求的面积． 类型2 等面积 【例题1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=，，且边上的高为，求的面积. 【巩固练习1】（23-24高二上·浙江·期中）在中，角所对的边分别为且. (1)求的值；(2)若的面积为，求边上的高. 【巩固练习2】的内角A、、的对边分别为、、，设． （1）求；（2）若，是边上一点，且，的面积为，求． 【巩固练习3】（23-24高一下·福建福州·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角的大小；(2)若，且的外接圆半径为，求边上的高. 【巩固练习4】在中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求；(2)若边上的高为，求． 【巩固练习5】（2025·湖南岳阳·一模）已知分别为的内角的对边，且，点为边的中点，若，且. (1)求；(2)求的面积. 类型3 射影定理 【例题1】（23-24高一下·天津·阶段练习）的面积为S.若，，则角B等于（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】在中，内角，，的对边分别是，，，，，若，则的面积为 . 【题型10】其它中间线问题 【例题1】如图，在中，若，D为边上一点，，，，则 ．    【例题2】的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，． (1)求A、b；(2)设D为BC边上一点，且，求的面积． 巩固练习 题型 【巩固练习1】在中，，，D是BC边上一点，，. (1)求的大小；(2)求的面积. 【巩固练习2】在中，点为边上一点，满足，，．    (1)求；(2)求． 【巩固练习3】（23-24高一下·重庆·期末）在中，内角，，的对边分别为，，.已知. (1)求；(2)若，，设为延长线上一点，且，求线段的长. 【巩固练习4】已知在中，，，． (1)求；(2)若为边上一点且，求的面积． 【题型11】二倍角的处理 解题技巧 遇到二倍角可尝试构造等腰 典型例题 【例题1】在中，，且边上的中线长为1. (1)若，求的面积；(2)若，求的长. 巩固练习 题型 【巩固练习1】在中，为中点，，，求的长． 【题型12】复合图形计算求值问题 【例题1】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）梯形中，，，，． (1)求；(2)若的面积为8，求的长． 【例题2海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为___________m． 【例题3】如图，在平面四边形中，，，，． (1)求；(2)求的长． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·江苏南京·期中）如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，在河岸这边取点，，测得的长为12千米，在点处测得，，在点处测得，.则，两点间的距离为 千米.（设，，，四点在同一平面内） 【巩固练习2】海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．为测得如图所示的海洋蓝洞口径（图中两点间的距离），现在珊瑚群岛上取两点和，测得，． （1）求两点的距离；（2）判断此海洋蓝洞的口径是否超过． 【巩固练习3】（23-24高一下·江苏苏州·期末）如图，在平面四边形ABCD中，已知AC与BD交于点E，且E是线段BD的中点，是边长为1的等边三角形. (1)若，求线段AE的长；(2)若且，求. 【巩固练习4】如图，在平面四边形中，，，，．    (1)求；(2)若，求的面积． 【巩固练习5】如图，在平面四边形中，，，． (1)若，求的面积；(2)若，求． 【题型13】常考最值问题 解题技巧 【例题1】已知，，分别为的三个内角，，的对边，且，则面积的最大值为 　　． 巩固练习 题型 类型1 用基本不等式求最值 【巩固练习1】已知外接圆半径是2，，则的面积最大值为　　　　． 【巩固练习2】（23-24高一下·广东湛江·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． (1)求角B的大小； (2)若的外接圆半径为1，求边长b的值； (3)若，求的面积的最大值． 【巩固练习3】中，． （1）求；（2）若，求周长的最大值． 【巩固练习4】（23-24高一下·湖北武汉·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，其中S为的面积. (1)求角A；(2)若，求周长的取值范围. 类型2 用三角函数求最值 【巩固练习1】在锐角中，角，，的对边分别为，，，． （1）求；（2）若，求的取值范围． 【巩固练习2】已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，．且，则的取值范围为　　　　． 【巩固练习3】（23-24高一下·湖北武汉·期末）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则λ的取值范围是 【巩固练习4】若，，为锐角三个内角，，的对边， 且． （1）求角；（2）若，求面积的取值范围． 【巩固练习5】（24-25高一上·湖南邵阳·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)若的角平分线交AC于点D，，，求BD； (3)若的外接圆的半径为，求的取值范围． 【课后作业】 1. 在锐角中，内角所对的边分别为，满足，且，求证：. 2. （23-24高一下·江苏常州·期末）已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的面积的最大值为 ． 3. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，求B 4. （23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，D为边上的一点，，且______，求的面积． 请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题． ①是的平分线；②D为线段的中点． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．） 5. 在中，满足． (1)求； (2)若，边BC上的中线，设点为的外接圆圆心． ①求的周长和面积：②求的值． 6. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足. (1)求角；(2)若为边上一点，且，求. 7. （23-24高一下·江苏南京·期末）中，内角所对的边为，． (1)若，试确定的形状； (2)若，是的平分线，求长． 8. 在中，内角的对边分别为. (1)求角的大小；(2)为边上一点，，求边的长. 9. 在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求的大小；(2)若为边上一点，且，求的值. 10. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，．已知． （Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的取值范围． 11. 在中，D为边上一点，且，． (1)若为平分线，且，求边的值； (2)若D为边中点，且，求的值． $$【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 1 / 29 专题 2-2 解三角形常考题型汇总 模块一 第一问题型梳理及拆分训练 【题型 1】拆角后再用辅助角公式合并 【题型 2】遇半角降幂扩角 【题型 3】 遇到两角之和化为第三个角 【题型 4】通过诱导公式统一函数名 【题型 5】 恒等变换综合 【题型 6】给值求角（第 1 问第 2 问均有） 模块二 第二问题常考型梳理 【题型 7】中线及等分线相关计算 【题型 8】角平分线相关计算求值 【题型 9】高线问题 【题型 10】其它中间线问题 【题型 11】二倍角的处理 【题型 12】复合图形计算求值问题 【题型 13】常考最值问题 【课后作业】 模块一 第一问题型梳理及拆分训练 知识点 01 拆角与合角的技巧 1. 化简后的式子同时含有 , ,A B C 三个角时，解题思路是减少角的个数，方法主要有以下两种 ①合角 如：sin cos cos sin sin( ) sinA B A B A B C    cos cos sin sin cos( ) cosA B A B A B C     ②拆角——拆单角（“单身狗角”） 如： sin sin( ) sin cos cos sinC A B A B A B    ； )cos(cos BAC  ， tan tan( )B A C   ， 2.半角： sin cos 2 2 A B C  ， cos sin 2 2 A B C  总览 题型·解读 题型汇编 知识梳理与常考题型 基础知识 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 2 / 29 知识点 02 常见情况的讨论 ABC 中：若 BA sinsin  ① BA  ② BA （舍去）  sin sinA B   ① A B   ② 0A B      （ ） BA 2sin2sin  ① BABA  22 ② 2 22    BABA sin cosA B ，则 2 A B    或 2 A B    知识点 03 恒等变换回顾 1. 二倍角公式：sin 2 2sin cosA A A ， 2 2 2 2cos2 2cos 1 1 2sin cos sinA A A A A      2. 二倍角公式的扩角降幂： 2 1 coscos 2 2 C C  .， 2 1 cossin 2 2 C C  忘记了可以用二倍角公式推导:记 2 C t ，则 2 2cos cos2 2cos 1 1 2sinC t t t     故 2 2 1 cos 2cos 2 2cos 1 cos 2 t t t t      ， 2 2 1 cos 2cos 2 1 2sin sin 2 t t t t      3. 辅助角公式：  2 2sin cos sinx A y A x y A     注意： tan y x   ，且与  ,x y 在同一象限 知识点 04 三角形中的恒等变形 ① sin sin( ) sin cos cos sinC A B A B A B    cos cosc a B b A   ， 同理有： cos cosa b C c B  ， cos cosb c A a C  . ② cos cos( ) cos( )C C A B      ； ③斜三角形中， tan tan tan tan( ) 1 tan tan A B C A B A B        tan tan tanC tan tan tanCA B A B      ④ sin cos 2 2 A B C      ； cos sin 2 2 A B C      【题型 1】拆角后再用辅助角公式合并 【例题 1】记△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 ，求 A. 2 sin 6 b c a C         典型例题 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 3 / 29 【例题 2】（23-24 高一下·浙江杭州·期中）在 ABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别为a，b ，c， 且满足 cos 3 sin 2a C a C b c   ．则角 A  ． 【巩固练习 1】在 中， ，求 A. 【巩固练习 2】锐角 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ， 求 A. 【巩固练习 3】已知 ， ， 分别为 三个内角 ， ， 的对边，且 ， 求角 的大小； 【题型 2】遇半角降幂扩角 【例题 1】在 ABC中，已知 22cos cos 2 2 C C  ，求角C 的大小 ABC sin sin 3 sin cos sin B C C C A    ABC cos 3 sina C c A b c   a b c ABC A B C cos 3 sina C a C b c   A 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 4 / 29 【例题 2】记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， 证明： 【巩固练习 1】 ABC的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c．已知   2cos 2cos 2 B A C  求角 B的大小 【巩固练习 2】在 中，内角 ， ， 所对的边分别 ， ， ， 且 ，求角 的大小； 【题型 3】 遇到两角之和化为第三个角 【例题 1】 ，求角 C 的大小. 【巩固练习 1】已知△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 ，求 C ABC A B C a b c 2 2 3cos cos 2 2 2 C A a c b  sin sin 2sinA C B  ABC A B C a b c 2 2 3( cos cos )( ) 2 2 2 C A a c a c b ac    B 3 sin sin 2 A B a c A   3 cos sin 2 A B b c B   【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 5 / 29 【巩固练习 2】在 中，内角 A，B，C所对边的长分别为 a，b，c，且满足 ， 求 A. 【题型 4】通过诱导公式统一函数名 【例题 1】在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， ， 求 的值. 【巩固练习 1】已知 中，角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，若满足 ，求角 的大小. 【巩固练习 2】在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ，求 的值 ABC cos sin 2 B C b a B   ABC , ,A B C , ,a b c π sin cos 6 a B b A        cos cosb C c B A ABC A B C a b c (sin 2 cos cos ) sin sin 0a A B C b A C   A ABC , ,A B C , ,a b c π sin cos 6 a B b A        A 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 6 / 29 【题型 5】 恒等变换综合 【例题 1】（23-24 高一下·湖北武汉·期中）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 且 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【巩固练习 1】（2025·广东佛山·一模）记 ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c且 1 2 3 tan tan tanA B C   ，则 2 2 22 c a b   ． 【巩固练习 2】（23-24 高一下·湖北武汉·期中）在 中，若 ， 且 ，则 （ ） A． B． C．3 D．2 【题型 6】给值求角（第 1 问第 2 问均有） 【例题 1】已知△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 π 3 C  ，若 3a b c  ，求 sinA． ABC A B C a b c 2 3cos c b A b c   1 1 2 tan tan tanA C B   sin B  6 4 10 5 15 6 21 7 ABC cos cos 3sin sin sin A C A B C a c        3sin cos 2C C  c  2 3 典型例题 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 7 / 29 【例题 2】（2024·全国甲卷·高考真题）在 ABC 中,内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c，若 π 3 B  ， 2 9 4 b ac ，求sin sinA C . 【巩固练习 1】（2023·全国·高考真题）在 ABC 中，内角 , ,A B C 的对边分别是 , ,a b c，若 cos cosa B b A c  ，且 5 C   ，则 B （ ） A． 10  B． 5  C． 3 10  D． 2 5  【巩固练习 2】在 ABC中，内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c， 2 ,2sin 3sin2c b A C  ，求sinC . 【巩固练习 3】已知 ABC的内角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、 c， sin( ) tan sin sinA B C A B  ． (1)求 2 2 2 a c b  ；(2)若 2 cos 3 B  ，求sin A． 【巩固练习 4】（2024·天津·高考真题）在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c，已知 9 2 cos 5 16 3 a B b c   ， ， ． (1)求 a的值；(2)求sinA的值；(3)求  cos 2B A 的值． 巩固练习 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 8 / 29 模块二 第二问题常考型梳理 【题型 7】中线及等分线相关计算 策略一：如图，倍长中线构造全等,再用余弦定理即可 策略二：向量法，   1 = 2 AD AB AC ,等式两边再进行平方 策略三：两次余弦定理，邻补角余弦值为相反数，即 cos cos 0ADB ADC ∠ ∠ 补充：若或将条件“AD 为 BC 的中线”换为“ BD CD  ”也适用，此时需要倍长等分线构造相似 类型 1 中线 【例题1】在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ， 若 为 边上的中线，且 ，则 的面积等于 ． 【巩固练习 1】（23-24 高一下·江苏南京·期末）在 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 (1)求角 A的大小.(2)若 ，求 AC边上的中线 BD的长. 【巩固练习 2】（高一下·湖北·期末）记 的内角 的对边分别为 ，满足 . (1)求角 ；(2)若 ， ， 是 中线，求 的长. D A B C ABC , ,A B C , ,a b c 1 1,2sin cos sin sin sin 4 c A B a A b B b C    AD BC 1 cos 8 BAD  ABC ABC sin sin . sin sin a b C B c A B     1 cos , 5 7 B AB  ABC , ,A B C , ,a b c 2 2 cos 0  c b a B A 2 3a  3 2 BA AC  AD ABC AD 解题技巧 典型例题 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 9 / 29 类型 2 其它等分线 【例题 1】（23-24 高一下·江苏常州·期末）记 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ． (1)求 的值；(2)若 ，且 ，求 的面积． 【例题 2】（23-24 高一下·浙江宁波·期中）已知 的内角 所对的边分别为 ，且满足 . (1)求角 B的大小；(2)若 ， ，点 D在边 上，且 ，求 的长. 【巩固练习 1】（23-24 高一下·重庆·期末）已知 的面积为 ，且 . (1)求角 ；(2)若 ， ，求 的长度. ABC A B C a b c 2 2 2b c a bc   sin 7 sinA C b c 2CD DA 2BD  ABC ABC , ,A B C , ,a b c cos cosb A a B a c   7b  2a  AC 2CD AD BD ABC 3 2BA AC  A 14BC  3BC DC AD 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 10 / 29 【巩固练习 2】（22-23 高一下·江苏常州·期中）已知 的内角 的对边分别为 ， 且 ． (1)求 的值；(2)已知 ， 为边 上一点，且 ，求线段 的长． 【巩固练习 3】（2021·全国·高考真题）记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ， 点 在边 上， . （1）证明： ；（2）若 ，求 . 类型 3 中线定理 【例题 1】（23-24 高一下·广东湛江·期末）已知 ABC 的三个角 A B C， ， 的对边分别为a b c， ， ， (1)已知 33 4 5a b c  ， ， ，求BC边上中线长. (2)请用a b c， ， 表示BC边的中线长，并写出推导过程. ABC , ,A B C , ,a b c cos sinc a B b A  5 sin 5 B  cosC 2b  D AB 2BD DA CD ABC A B C a b c 2b ac D AC sin sinBD ABC a C  BD b 2AD DC cos ABC 典型例题 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 11 / 29 【巩固练习 1】（2025·广东大湾区·一模）在 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c，AD为边BC上 的中线. (1)证明：  2 2 2 1 2 2 AD b c a   ；(2)若 π 3 A  ， 2a  ，求 AD的最大值. 【巩固练习 2】（23-24 高一下·河北保定·期末）阿波罗尼奥斯（Apollonius）是古希腊著名的数学家， 他提出的阿波罗尼奥斯定理是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平 方的和，等于所夹中线及第三边之半的平方和的两倍，即如果 AD是 中 BC边上的中线，则 . (1)若在 中， ， ， ，求此三角形 BC边上的中线长； (2)请证明题干中的定理； (3)如图 中，若 ，D为 BC中点， ， ， ，求 的值. ABC 2 2 2 22 2 BC AB AC AD             ABC 5AB  3AC  π 3 BAC  ABC AB AC 3BD DC   sin 3 sin 3 sina A b B b A C   3 3 2 ABCS △ cos DAC 巩固练习 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 12 / 29 【题型 8】角平分线相关计算求值 角平分线问题的处理策略： △ABC中，AD平分∠BAC． 策略一：角平分线定理： AB BD AC CD  证法 1（等面积法） 1 2 1 2 =ABD ACD S BD h AB h S CD h AC h      ，得 AB BD AC CD  ，注： 1h 为 A到 BC的距离， 2h 为 D到 AB，AC的距离． 证法 2（正弦定理） sin 3 sin 1 AB BD    ， sin 4 sin 2 AC CD    ，而 sin 1 sin 2,sin 3 sin 4 ∠ ∠ ∠ ∠ ，整理得 D AC CD    策略二：利用两个小三角形面积和等于大三角形面积得到等式 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 2 2 ABC ABD ACD A A S S S bc A c AD b AD        △ △ △ ， 即   1 1 sin sin 2 2 2 A bc A AD b c    策略三：邻角互补： cos cos 0ABD ADC ABD ADC        类型 1 等面积法 【例题 1】（23-24 高一下·广东惠州·期末）已知有下面三个条件： ①   3 2 S AC AB   ；② cos 1 3 sin a A c C   ；③ 2sin sin sin 1 sin sin sin sin B C A C B B C    ； 请从这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题：在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边 分别是a ，b ， c，且________. (1)求角 A的大小； (2)若 AD是 ABC 的角平分线，且 2b  ， 3c  ，求线段 AD的长. 21 43 D A B C 解题技巧 典型例题 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 13 / 29 【例题 2】（2025·广东惠州·模拟预测）在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为a ，b ，c，且 π 3 A  ， 4a  . (1)若BC边上的高 2 3AD  ，求证： ABC 为等边三角形； (2)已知直线 AM 为 BAC 的平分线，且与BC交于点M ，若 2 6 3 AM  ，求 ABC 的周长. 【例题 3】（23-24 高一下·湖北武汉·期中）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充 在下面问题中，并作答.问题：在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 ，且选择 条件______. (1)求角 ； (2)若 为 的平分线，且与 交于点 ，求 的周长. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【巩固练习 1】（23-24 高一下·广东深圳·期中）在 中，内角 的对边分别是 ，且 ， 平分 交 BC于 ， ， ，则 的面积为 . 【巩固练习 2】在 中，已知 ，点 和点 分别在边 BC和 AC上， AD平分角 ， 相交于点 ，则 3 sin sin sin cos sin sinA C A C B C   2 2 2sin sin cos 1 sin sinB C A B C    sin sin sin 2 sin sin 3 b B c C a A A c B    ABC , ,A B C , ,a b c 4a  A AM BAC BC 2 3 , 3 M AM  ABC ABC , ,A B C , ,a b c 2π 3 BAC  AD BAC D 1AD  2 5a  ABC ABC 2, 3, 60AB AC BAC   D E A , ,AE CE AD BE P cos DPE  巩固练习 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 14 / 29 类型 2 角平分线分线段成比例 【例题 1】（23-24 高一下·江苏连云港·期末）在 中，AD是 的角平分线，AE是边 BC上 的中线，点 D、E在边 BC上． (1)用正弦定理证明 ；(2)若 ，求 DE的长． 【巩固练习 1】（23-24 高一下·广东梅州·期末）在 ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 , , ,a b c ABC 的平分线 BD交 AC于点D． (1)求证： AD c CD a  ； (2)若 3 sin cosc B b C a c   ． （ⅰ）求 B ；（ⅱ）若 2 , 1a c BD  ，求 ABC 的面积． 【巩固练习 2】（23-24 高一下·重庆·阶段练习）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ， ． (1)求角 ；(2)若 是钝角三角形， 在线段 上且 平分 ，求 ． ABC BAC AB BD AC CD  4 3 60AB AC BAC    ， ， ABC A B C a b c 45B   2 2b  2 3a  A ABC D BC AD BAC CD 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 15 / 29 【巩固练习 3】（23-24 高一下·湖南·期中）设 的内角 的对边分别为 ，且 . (1)求角 的大小；(2)若 ，角 的平分线交 边于 ，求 的值. 【巩固练习 4】（23-24 高一下·江苏镇江·期中）在 ABC 中， 2 π, 3 ABC D  在边 AC 上，且BD平分 ABC ，若 4AD ， 2CD  (1)证明： 2 AB AD BC CD   ；(2)求 ABC 的面积；(3)求BD的长． 【巩固练习 5】（23-24 高一下·浙江绍兴·期中）在 ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c， 且 2AC AB ，D为BC边上的动点. (1)若D为BC的中点， 3AD  ， 3sin cos 2A A  ，求边BC； (2)若 AD平分 BAC ， 3BC  ， AD AB ，求 ABC 的面积. ABC , ,A B C , ,a b c  sin sin sina A c C a b B   C 1,ab A B  C AB 2 3 , 5 D CD  AD BD 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 16 / 29 【巩固练习 6】（24-25 高三上·广东汕头·期中） ABC 中，D是BC上的点，AD平分 BAC ， ABD△ 面积是 ADC△ 面积的 2 倍． (1)求 sin sin B C ；(2)若 1AD  ， 2 2 DC  ，求BD和 AC 的长． 【题型 9】高线问题 1、若三角形中已知∠B，∠C，可以做高线得出两个小直角三角形三边之比 2、等面积法： sinAD BC AB AC BAC    ∠ 3、 1h ， 2h ， 3h 分别为△ABC 边 a，b，c 上的高，则 1 2 3 1 1 1 1 1 1 : : : : : : sin sin sin h h h a b c A B C   4、射影定理： a c COS B b COS C    类型 1 已知两角可作高 【例题 1】△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c， 且 A＝ 3  ，若 2 7 cos 7 B  ，D 是 BC 边上一点，且 4CD BD ，△ACD 的面积为 6 3 5 ，求 AC. D CB A 解题技巧 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 17 / 29 【巩固练习 1】（23-24 高一下·江苏常州·期末）在 ABC 中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c， 若 π 3 A  ， 3 tan 2 B  ， 7a  ，则b （ ） A．2 B． 5 C．3 D． 7 【巩固练习 2】（2024 新高考 1 卷） ABC 中，角A ， B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若 cos 3 sin 0b C b C a c    ． (1)求 B ；(2)若 π 4 C  且 ABC 的面积为3 3 ，求边长c． 【巩固练习 3】记 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 ，点 在 边上， 且 ， ，求 . 【巩固练习 4】（2025·广东·深圳一模）在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 2 2 2, , , ,cos2 sina b c c a b ab B C    ． (1)求 B ；(2)若 1b  ，求 ABC 的面积． ABC A B C a b c π 3 A D BC 2CD BD 3 cos 3 B  tan BAD 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 18 / 29 类型 2 等面积 【例题 1】 ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 A= 6  ， 3 4 b c ，且BC 边上的高 为 2 3，求 ABC的面积. 【巩固练习 1】（23-24 高二上·浙江·期中）在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , , , 7a b c c b 且 2 cos 2a c A b  . (1)求C 的值；(2)若 ABC 的面积为3 3，求BC边上的高. 【巩固练习 2】 ABC的内角 A、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，设 2 2 2sin sin sin 2 sin sinA B C A B    ． （1）求C ；（2）若 3 cos 5 B  ，D是边BC上一点，且 4CD BD ， ACD的面积为 7 5 ，求 AC ． 【巩固练习 3】（23-24 高一下·福建福州·期中）在 ABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c，已知2 2 cosa b c B  . (1)求角C 的大小；(2)若 2 15a b  ，且 ABC 的外接圆半径为2 3 ，求 AB 边上的高 h . 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 19 / 29 【巩固练习 4】在 ABC 中，内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c，且满足      10 sin sin sin sin 2 sin 2 sin 3 a b c A B C a B c A b c C        ． (1)求cosC；(2)若 AB 边上的高为2, 5c  ，求 ,a b． 【巩固练习 5】（2025·湖南岳阳·一模）已知 , ,a b c分别为 ABC 的内角 , ,A B C 的对边，且 3 sin cosa C a C b c   ，点D为BC边的中点，若 3AD  ，且 2 22 4b a  . (1)求A ；(2)求 ABC 的面积. 类型 3 射影定理 【例题 1】（23-24 高一下·天津·阶段练习） ABC 的面积为 S.若 cos cos sinb C c B a A  ，  2 2 2 1 4 S b a c   ，则角 B等于（ ） A． π 2 B． π 3 C． π 4 D． π 6 【巩固练习 1】在 ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a，b ，c， cos 2cosc a B A  ，2b c ， 若 1 cos 4 C   ，则 ABC 的面积为 . 【题型 10】其它中间线问题 【例题 1】如图，在 中，若 ，D为边 上一点， ， ， ， 则 ． 【例题 2】 的内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，已知 ， ， ． ABC AB AC BC 2BD DC 2AD  3 sin sin ADC ACD    BC  ABC sin 3 cos 0a B b A  4c  2 7a  【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 20 / 29 (1)求 A、b；(2)设 D为 BC边上一点，且 ，求 的面积． 【巩固练习 1】在 中， ， ，D是 BC边上一点， ， . (1)求 的大小；(2)求 的面积. 【巩固练习 2】在 中，点 为 边上一点，满足 ， ， ． (1)求 ；(2)求 ． AD AC ABD△ ABC π 6 B  3 cos 5 C  7CD  5AC  ADC ABC ABC D BC 1CA CD  2 sin 10 B  2 cos 10 BAC   AB BAD 巩固练习 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 21 / 29 【巩固练习 3】（23-24 高一下·重庆·期末）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已 知 . (1)求 ；(2)若 ， ，设 为 延长线上一点，且 ，求线段 的长. 【巩固练习 4】已知在 中， ， ， ． (1)求 ；(2)若 为 边上一点且 ，求 的面积． 【题型 11】二倍角的处理 遇到二倍角可尝试构造等腰 【例题 1】在 中， ，且 边上的中线 长为 1. (1)若 ，求 的面积；(2)若 ，求 的长. ABC A B C a b c 2 cos cos cosa A c B b C  A 6a  2b  D CA BD BC AD ABC 5A C B  3AB  4BC  sinC D BC 1 cos 7 CAD  ADC△ ABC 3AC AB BC AD 2BC AB ABC 2ABC DAC   BC 解题技巧 典型例题 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 22 / 29 【巩固练习 1】在 中， 为 中点， ， ，求 的长． 【题型 12】复合图形计算求值问题 【例题 1】（24-25 高一上·湖南衡阳·期末）梯形 ABCD中， / /AB CD ， 45ABC  ， 2CD  ， 2 5BD  ． (1)求cos CBD ；(2)若 ABD△ 的面积为 8，求 AD的长． 【例题 2 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”， 我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径 A，B两点间的距离，现在珊瑚群 岛上取两点 C，D，测得 ， ， ， ，则 A、B 两点的距离为___________m． 【例题 3】如图，在平面四边形 中， ， ， ， ． (1)求 ；(2)求 的长． ABC 4,AB D AB 7CD  2BAC ACD   AC 35mCD  135ADB  15BDC DCA   120ACB  ABCD AB AC AD CD 30ABC ADB    2AC  cos ACD BD 巩固练习 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 23 / 29 【巩固练习 1】（23-24 高一下·江苏南京·期中）如图，为了测量河对岸 ， 两点之间的距离，在河 岸这边取点 ， ，测得 的长为 12 千米，在点 处测得 ， ，在点 处 测得 ， .则 ， 两点间的距离为 千米.（设 ， ， ， 四点在同一 平面内） 【巩固练习 2】海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗 产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．为测得如图所示的海洋蓝洞口径（图中 两点间的距离）， 现在珊瑚群岛上取两点 和 ，测得 ， ． （1）求 两点的距离；（2）判断此海洋蓝洞的口径是否超过 ． 【巩固练习 3】（23-24 高一下·江苏苏州·期末）如图，在平面四边形 ABCD中，已知 AC与 BD交于 点 E，且 E是线段 BD的中点， 是边长为 1 的等边三角形. (1)若 ，求线段 AE的长；(2)若 且 ，求 . A B C D CD C 75ACB   120ACD   D 30ADC   45ADB   A B A B C D ,A B C D 45mCD  135 , 15 , 120ADB BDC DCA ACB          A D、 100m BCE 21 sin 14 ABD  : 13 : 7AB AD  AE BD sin ADC 巩固练习 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 24 / 29 【巩固练习 4】如图，在平面四边形 中， ， ， ， ． (1)求 ；(2)若 ，求 的面积． 【巩固练习 5】如图，在平面四边形 中， ， ， ． (1)若 ，求 的面积；(2)若 ，求 ． 【题型 13】常考最值问题 【例题 1 】已知 a ， b ， c 分别为 ABC 的三个内角 A ， B ， C 的对边， 2a  且 (2 )(sin sin ) ( )sinb A B c b C    ，则 ABC 面积的最大值为 ． ABCD 7AC  3AB  DAC BAC  21 sin 14 BAC  ABC 2π 3 CDA  BCD△ ABCD AC AD 7AC AD  3AB  8DB  ABC BAC ADB  BD 解题技巧 巩固练习 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 25 / 29 类型 1 用基本不等式求最值 【巩固练习 1】已知 ABC 外接圆半径是 2， 2 3BC  ，则 ABC 的面积最大值为 ． 【巩固练习 2】（23-24 高一下·广东湛江·期末）在 ABC 中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c， 满足 2 2 2a c b ac   ． (1)求角 B的大小； (2)若 ABC 的外接圆半径为 1，求边长 b的值； (3)若 2b  ，求 ABC 的面积的最大值． 【巩固练习 3】 ABC 中， 2 2 2sin sin sin sin sinA B C B C   ． （1）求 A；（2）若 3BC  ，求 ABC 周长的最大值． 【巩固练习 4】（23-24 高一下·湖北武汉·期末）在 ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c， 2 2 24 3 3 S b c a   ，其中 S为 ABC 的面积. (1)求角 A；(2)若 3a  ，求 ABC 周长的取值范围. 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 26 / 29 类型 2 用三角函数求最值 【巩固练习 1】在锐角 ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ， 2 2 2( )sin 3 cosa c b B ac B   ． （1）求 B ；（2）若 1b  ，求 2c a 的取值范围． 【巩固练习 2】已知锐角三角形 ABC 的内角 A， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ．且 2 sinb a B ， 则 cos sinB C 的取值范围为 ． 【巩固练习 3】（23-24 高一下·湖北武汉·期末）在锐角 ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b， c，且 cos cosb A a B a  ，若 c a   ，则 λ的取值范围是 【巩固练习 4】若 a ，b ， c 为锐角 ABC 三个内角 A ， B ，C 的对边， 且 2 2 2sin sin sin ( ) sin sinB C B C B C    ． （1）求角 A；（2）若 2b  ，求 ABC 面积的取值范围． 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 27 / 29 【巩固练习 5】（24-25 高一上·湖南邵阳·期末）在 ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c， 且 2 2 2cos sin 2 cos sin sinC B A A C    ． (1)求角 B； (2)若 ABC 的角平分线交 AC于点 D， 3a  ， 4c  ，求 BD； (3)若 ABC 的外接圆的半径为 3，求2 c a的取值范围． 【课后作业】 1. 在锐角 中，内角 所对的边分别为 ，满足 ，且 ， 求证： . 2. （23-24 高一下·江苏常州·期末）已知在 ABC 中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c， 2 2 22 i)( s na b c ab C   ， 2c  ，则 ABC 的面积的最大值为 ． 3. △ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.已知 ， ，求 B 4. （23-24 高一下·山东菏泽·阶段练习）在 中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，且 ． (1)求角 B的大小； (2)若 ，D为 边上的一点， ，且______，求 的面积． 请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题． ① 是 的平分线；②D为线段 的中点． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．） ABC , ,A B C , ,a b c 2 2 2 sin sin sin 1 sin sin A A C C B    A C 2B C   sin cos sin A A C C a   2c  ABC 2 cos 2b C a c  2 3b  AC 1BD  ABC BD ABC AC 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 28 / 29 5. 在 中，满足 ． (1)求 ； (2)若 ，边 BC上的中线 ，设点 为 的外接圆圆心． ①求 的周长和面积：②求 的值． 6. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足 . (1)求角 ；(2)若 为 边上一点，且 ，求 . 7. （23-24 高一下·江苏南京·期末） 中，内角 所对的边为 ， ． (1)若 ，试确定 的形状； (2)若 ， 是 的平分线，求 长． 8. 在 中，内角 的对边分别为 . (1)求角 的大小；(2) 为 边上一点， ，求边 的长. ABC 3 sin cos 0c a B b a B    A 2 19a  7AD  O ABC ABC AO AD ABC A B C a b c 2 2(sin sin ) sin sin sinB C A B C   A D BC 2AD BD CD  tan B ABC , ,A B C , ,a b c 2 2 2a b c ab   2cos sin sinA B C ABC 2, 1a b  CM ACB CM ABC , ,A B C  , , , 3sin cosa b c a c A A b   B D AC , 4, 3DB AB BC BD   AB 【重难点突破】2024-2025 学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 29 / 29 9. 在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 . (1)求 的大小；(2)若 为 边上一点，且 ，求 的值. 10. 在锐角 ABC 中，角 A， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ．已知 2 sin 3 0b A a  ． （Ⅰ）求角 B 的大小；（Ⅱ）求 cos cos cosA B C  的取值范围． 11. 在 中，D为 边上一点，且 ， ． (1)若 为 平分线，且 ，求边 的值； (2)若 D为 边中点，且 ，求 的值． ABC , ,A B C , ,a b c (sin 2 sin ) sin sina A B c C b B   C D AB 2AD CD BD  tan B ABC BC 2AB  1AC  AD BAC 1AD  BC BC 3 tan 2 CAD  cos BAC 【重难点突破】2024-2025学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 专题2-2 解三角形常考题型汇总 总览 题型·解读 模块一 第一问题型梳理 2 【题型1】拆角后再用辅助角公式合并 3 【题型2】遇半角降幂扩角 5 【题型3】 遇到两角之和化为第三个角 6 【题型4】通过诱导公式统一函数名 8 【题型5】 恒等变换综合 9 【题型6】给值求角（第1问第2问均有） 10 模块二 第二问题型梳理 14 【题型7】中线及等分线相关计算 14 【题型8】角平分线相关计算求值 29 【题型9】高线问题 42 【题型10】其它中间线问题 53 【题型11】二倍角的处理 59 【题型12】复合图形计算求值问题 63 【题型13】常考最值问题 71 【课后作业】 79 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 第一问题型梳理 基础知识 知识点01 拆角与合角的技巧 1. 化简后的式子同时含有三个角时，解题思路是减少角的个数，方法主要有以下两种 ①合角 如： ②拆角——拆单角（“单身狗角”） 如： ，， 2.半角：， 知识点02 常见情况的讨论 中：若 ① ②（舍去） ① ② ① ② ，则或 知识点03 恒等变换回顾 1. 二倍角公式：， 2. 二倍角公式的扩角降幂：.， 忘记了可以用二倍角公式推导:记，则 故， 3. 辅助角公式： 注意：，且与在同一象限 知识点04 三角形中的恒等变形 ①， 同理有：，. ②； ③斜三角形中， ④； 典型例题 【题型1】拆角后再用辅助角公式合并 【例题1】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求A. 【答案】 点评：拆角+辅助角公式 【解析】（1）由已知得，， 由正弦定理可得，， 因为，所以．代入上式，整理得， 又因为，，所以，即． 而，所以，． 【例题2】（23-24高一下·浙江杭州·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．则角 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理边化角，再利用辅助角公式求解即可. 【详解】，， , 由正弦定理得， 即 ， ，，， ，， ，， ，解得. 【巩固练习1】在中，，求A. 【答案】 【详解】在中,， 整理得，即 ，于是 所以， 因为，所以，即 ， 所以，又因为，所以， 所以，解得. 点评：拆角+辅助角公式 【巩固练习2】锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求A. 【答案】 【详解】 ∵， 而. 【巩固练习3】已知，，分别为三个内角，，的对边，且，求角的大小； 【答案】 【详解】由及正弦定理， 得 即， , 因为 所以，即. 由于，所以，. 【题型2】遇半角降幂扩角 【例题1】在中，已知，求角的大小 【答案】 【详解】， ，解得， ，. 【例题2】记的内角，，的对边分别为，，，已知，证明： 【详解】 因为，则， 即， 由正弦定理可得 ， 因此，. 【巩固练习1】的内角的对边分别为．已知求角B的大小 【答案】 【详解】因为在中，， 所以，所以，得，因为，所以 【巩固练习2】在中，内角，，所对的边分别，，，且，求角的大小； 【答案】 【解答】解：（1）因为 ． 【巩固练习3】 【题型3】 遇到两角之和化为第三个角 【例题1】，求角C的大小. 【答案】 【巩固练习1】已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求C 【答案】(1) 【详解】由正弦定理，得， 因为，则，所以， 因为，所以． 所以． 因为，则，可得，所以， 则，所以． 【巩固练习2】在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足，求A. 【答案】 【详解】， 所以， 由正弦定理得：， ，， ，， 得，即，. 【题型4】通过诱导公式统一函数名 【例题1】在中，内角所对的边分别为.已知，，求的值. 【答案】 【详解】因为，所以由正弦定理可得:， 在三角形中，，显然，所以， 所以，又因为， 所以或（显然不成立），所以 【巩固练习1】已知中，角，，所对边分别为，，，若满足，求角的大小. 【答案】 【详解】（1）由正弦定理知，， ∵，∴， ∴， 化简得， ，（其中舍去），即． 【巩固练习2】在中，内角所对的边分别为.已知，求的值 【答案】 【详解】因为，所以由正弦定理可得:， 在三角形中，，显然，所以， 所以，又因为， 所以或（显然不成立），所以 【题型5】 恒等变换综合 【例题1】（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由余弦定理的边角互化可得，，即可得到的关系式，代入计算即可得到，再由同角的平方关系即可得到结果. 【详解】因为，所以， 整理可得①，又， 可得， 所以，解得②， 由①②可得，所以，则. 【巩固练习1】（2025·广东佛山·一模）记的内角的对边分别为且，则 ． 【答案】 【分析】切化弦后结合正余弦定理可得，故可求. 【详解】因为， 故， 所以， 整理得到：，故 【巩固练习2】（23-24高一下·湖北武汉·期中）在中，若，且，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】由，可得角；再结合正弦定理将中的角化边，化简整理后可求得，即可得解． 【详解】由，得，， ． 由题，由正弦定理有， 故，即，故，即，由正弦定理有，故． 【巩固练习3】 【题型6】给值求角（第1问第2问均有） 典型例题 【例题1】已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若，求sinA． 【答案】或1． 【详解】方法一：因为，由正弦定理，得， 因为， 所以 ， 即． 因为，则，所以或， 所以或，故或1． 【例题2】（2024·全国甲卷·高考真题）在中,内角所对的边分别为，若，，求. 【答案】 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2023·全国·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值. 【详解】由题意结合正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 据此可得， 则. 【巩固练习2】在中，内角的对边分别为，，求. 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以， 即， 所以， 由余弦定理及得： ， 又， 所以， 即， 所以， 所以. 【巩固练习3】已知的内角、、的对边分别为、、，． (1)求；(2)若，求． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为， 所以，所以， 即， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 所以， 即， 所以. （2）由题意可知，又，可得， 所以，即为等腰三角形， 由，解得或， 因为，所以，所以， 所以. 【巩固练习4】（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值；(2)求的值；(3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可； （2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到； （3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可. 【详解】（1）设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. （2）法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 （3）法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 【巩固练习5】 【巩固练习6】 模块二 第二问题型梳理 【题型7】中线及等分线相关计算 解题技巧 策略一：如图，倍长中线构造全等,再用余弦定理即可 策略二：向量法，,等式两边再进行平方 策略三：两次余弦定理，邻补角余弦值为相反数，即 补充：若或将条件“AD为BC的中线”换为“”也适用，此时需要倍长等分线构造相似 典型例题 类型1 中线 【例题1】在中，角所对的边分别为，已知，若为边上的中线，且，则的面积等于 ． 【答案】 【分析】将条件式，利用正弦定理角化边，再根据余弦定理求得，以为邻边做平行四边形，在中，利用余弦定理求得，所以，得解；方法二，设，在中由余弦定理得，又，由余弦定理可得，解得，后面同解法一. 【详解】由，得， ， 注意，得，得， 记，由，知， 如图，以为邻边做平行四边形， 在中：，即， 得，所以， 故答案为：． 法（2）：设，在中：① 因为，则， 由余弦定理可得，得② 联立①②知：，即，解得，后面同上． 故答案为： 【巩固练习1】（23-24高一下·江苏南京·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求角A的大小. (2)若，求AC边上的中线BD的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用正、余弦定理边角转化可得，即可得结果； （2）利用两角和差公式以及正弦定理可得，进而根据中线的性质结合数量积分析求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理可得， 且，所以. （2）因为，且，可知， 可得， 由正弦定理可得，则， 又因为BD为AC边上的中线，则， 可得， 所以AC边上的中线BD的长为. 【巩固练习2】（22-23高一下·湖北·期末）记的内角的对边分别为，满足. (1)求角；(2)若，，是中线，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据边角转化，将题干条件均化成角，结合诱导公式，三角恒等变换进行化简求值； （2）利用，平方后求，结合余弦定理来处理. 【详解】（1）因为，由正弦定理可知：， 由，故， ∴ ∴， ∴，又， 所以； （2）根据数量积的定义，由，得， 又，在中由余弦定理得： ∵，∴， 所以 类型2 其它等分线 【例题1】（23-24高一下·江苏常州·期末）记内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求的值；(2)若，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求出，再判断为锐角，即可求出、，从而求出，即可得解； （2）依题意可得，将两边平方，结合及数量积的运算律求出、，再由面积公式计算可得. 【详解】（1）因为，由余弦定理可得， 又，所以， 又因为，由正弦定理可得，则，所以为锐角， 又，所以， 所以 ， 所以． （2）由（1）可得，，且， 因为， 所以 ， 所以，， 所以． 【例题2】（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知的内角所对的边分别为，且满足. (1)求角B的大小；(2)若，，点D在边上，且，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理角化边，最后整理得角即可. （2）利用正弦定理结合同角三角函数的基本关系求解，再利用余弦定理求解，最后再利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）    因为, 由余弦定理得， 整理可得, 所以，又， 所以. （2）因为 所以由正弦定理可得, 由,可得A为锐角，可得， 由余弦定理得故 整理可得解得或(舍去), 又点D在边AC上, 且所以 所以在中，由余弦定理可得 . 【巩固练习1】（23-24高一下·重庆·期末）已知的面积为，且. (1)求角； (2)若，，求的长度. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据向量数量积定义和三角形面积公式列方程组求解可得，然后可得角； （2）利用面积公式和和余弦定理列方程组求出，将变形，用表示出，然后平方即可求解. 【详解】（1）记的内角所对的边分别为， 因为，所以①， 因为的面积为，所以②， 联立①②可得， 又，所以. （2）由（1）可得，即， 在中，由余弦定理得，整理得， 联立解得或， 由得，即， 所以 ， 当时，，； 当时，，. 所以的长度为或. 【巩固练习2】（22-23高一下·江苏常州·期中）已知的内角的对边分别为，且． (1)求的值； (2)已知，为边上一点，且，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角后利用三角恒等变换化简得，再根据内角和关系可得结果； （2）由正弦定理先得出，再利用平面向量可得的模，即结果. 【详解】（1）∵，由正弦定理得   ， ∵，∴， ∴，即， 又，∴，∴，∴         ∵，∴，                   ∴，∴，          ∴ （2）由正弦定理得  ，∴，    ∵，∴，∴，             ∴         ∴． 【巩固练习3】（2021·全国·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论. （2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值. 【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理， 得， 因为，所以，即． 又因为，所以． （2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理 因为，如图，在中，，① 在中，．② 由①②得，整理得． 又因为，所以，解得或， 当时，（舍去）． 当时，． 所以． [方法二]：等面积法和三角形相似 如图，已知，则， 即， 而，即， 故有，从而． 由，即，即，即， 故，即， 又，所以， 则． [方法三]：正弦定理、余弦定理相结合 由（1）知，再由得． 在中，由正弦定理得． 又，所以，化简得． 在中，由正弦定理知，又由，所以． 在中，由余弦定理，得． 故． [方法四]：构造辅助线利用相似的性质 如图，作，交于点E，则． 由，得． 在中，． 在中． 因为， 所以， 整理得． 又因为，所以， 即或． 下同解法1． [方法五]：平面向量基本定理 因为，所以． 以向量为基底，有． 所以， 即， 又因为，所以．③ 由余弦定理得， 所以④ 联立③④，得． 所以或． 下同解法1． 巩固练习 题型 【巩固练习1】 【巩固练习2】 【巩固练习3】 类型3 中线定理 典型例题 【例题1】（23-24高一下·广东湛江·期末）已知的三个角的对边分别为， (1)已知，求边上中线长. (2)请用表示边的中线长，并写出推导过程. 【答案】(1) (2)，过程见解析 【分析】（1）设边上的中线记为，根据余弦定理得和 ，解得. （2）利用余弦定理求出边上的中线即可． 【详解】（1）设边上的中线记为，根据余弦定理得, 所以， 所以. （2）边的中线长为, 证明：设边BC上的中线记为ma， 根据余弦定理得， 所以 ， 所以. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2025·广东·一模）在中，角的对边分别为，为边上的中线. (1)证明：； (2)若，，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一：对两边平方，再由余弦定理可得答案；方法二： 在和中，由余弦定理可得答案； （2）在中，由余弦定理得，结合（1）再利用基本不等式可得答案. 【详解】（1）方法一：为边上中线，， ， 在中，由余弦定理得：， ， ， . 方法二：为边上中线， 在中，， 在和中，由余弦定理得： ， 即， ， 即； （2），，由余弦定理可得， 故，即， 当且仅当时，即时等号成立， 所以， 所以取得最小值为. 【巩固练习2】（23-24高一下·河北保定·期末）阿波罗尼奥斯（Apollonius）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼奥斯定理是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三边之半的平方和的两倍，即如果AD是中BC边上的中线，则. (1)若在中，，，，求此三角形BC边上的中线长； (2)请证明题干中的定理； (3)如图中，若，D为BC中点，，，，求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）余弦定理求出，再用所给式子求出中线即可； （2）左右两个三角形和分别使用余弦定理，得到两个方程，结合，相加即可证明； （3），利用三角恒等变换，求得，结合，求出．在，用面积公式求出，进而求出，再用余弦定理即可解. 【详解】（1） 如图所示， 由余弦定理得，， 代值计算得到，求得； 由于，代值计算得，求得 （2）在中，； 在中，； 两式相加，且，得到，则原式得证． （3）由于 则由正弦定理，得， 即， 去分母整理得到，即． 且，则，则． 由于，且，即 联立解出 由于，则， 解得，则（负数不满足）. 由余弦定理得到，代值计算，， 则， 则． 【题型8】角平分线相关计算求值 解题技巧 角平分线问题的处理策略： △ABC中，AD平分∠BAC． 策略一：角平分线定理： 证法1（等面积法） ，得，注：为A到BC的距离，为D到AB，AC的距离． 证法2（正弦定理） ，，而，整理得 策略二：利用两个小三角形面积和等于大三角形面积得到等式 ，即 策略三：邻角互补： 典型例题 类型1 等面积法 【例题1】（23-24高一下·广东惠州·期末）已知有下面三个条件： ①；②；③； 请从这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题：在中，角所对的边分别是，，，且________. (1)求角A的大小； (2)若是的角平分线，且，，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选择①：利用三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，求得，得到，即可求解；选择②：由正弦定理化简得到，得到，即可求解；选择③，化简得到,即，由余弦定理求得，即可求解； （2）根据题意结合，列出方程，即可求解. 【详解】（1）选择①：由，可得， 即，即， 因为，所以； 选择②：因为②，由正弦定理得， 可得， 因为，可得，所以， 即，可得， 因为，可得，所以； 选择③：由，可得, 又由正弦定理得，再由余弦定理得， 因为，所以. （2）若是的角平分线，则， 且，即， 解得. 【例题2】（2025·广东惠州·模拟预测）在中，角所对的边分别为，，，且，. (1)若边上的高，求证：为等边三角形； (2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用余弦定理并结合三角形面积公式计算可得，可得结论； （2）根据角平分线以及角度大小利用等面积法解方程可得，可得其周长. 【详解】（1）证明：在中，，， 由余弦定理得，即①. 又， 即，故②. 由①②得，即， 故. 所以为等边三角形. （2）在中，由， 得， 又直线为的平分线， 则， 所以，即③， 又由余弦定理可得，即.④， 由③④可知， 解得或（舍）， 所以的周长为. 【例题3】（23-24高一下·湖北武汉·期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：在中，内角所对的边分别为，已知，且选择条件______. (1)求角； (2)若为的平分线，且与交于点，求的周长. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若选①，结合正弦定理或者余弦定理进行边角转换，由三角形内角和为及和差公式化简等式，再根据角的范围及函数值，即可求得A；若选②，根据平方关系及诱导公式得到，再利用正弦定理将角化边，最后由余弦定理计算可得；若选③，利用正弦定理将角化边，再由余弦定理将边化角，即可得解； （2）利用三角形面积公式与余弦定理得到关于的方程组，结合整体法即可得解. 【详解】（1）若选①， 则， 又因为，所以，即， 所以，又因为，所以， 所以，解得； 若选②， 则， 由正弦定理可得， 故， 又，故. 若选择③ ； 由正弦定理可得， 再由余弦定理得，即， ，． 综上所述，无论选①②③任何一个，都有； （2），，， 因为， 所以，    又平分，所以， 所以， 则，即 由余弦定理得，即， 所以，解得或（负值舍去）， 故的周长为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·广东深圳·期中）在中，内角的对边分别是，且，平分交BC于，，，则的面积为 . 【答案】 【分析】利用角平分线的性质和三角形面积公式得到及，从而，再由余弦定理及解得，即可得到结果. 【详解】由平分，知，结合，就有 . 而，故，所以. 由余弦定理得， 所以， 这得到，解得(负值舍去)， 所以. 【巩固练习2】在中，已知，点和点分别在边BC和AC上，AD平分角，相交于点，则 【答案】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式求出，再利用表示，然后用向量的数量积运算律及夹角公式计算即得. 【详解】在中，，由，得， 由余弦定理得， 由平分角，得， 则，即，于是， 又，即，解得， ， 所以. 故答案为： 类型2 角平分线分线段成比例 【例题1】（23-24高一下·江苏连云港·期末）在中，AD是的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上． (1)用正弦定理证明； (2)若，求DE的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理知，，，结合条件可得结论； （2）由余弦定理可求得，进而利用（1）的结论可求. 【详解】（1）由正弦定理知，在中，， 在中，， 由，， 所以， 所以； （2）在中，由余弦定理可得， 所以，由（1）可得，所以， 因为是边上的中线，所以， 所以. 【巩固练习1】（23-24高一下·广东梅州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为的平分线BD交AC于点． (1)求证：； (2)若． （ⅰ）求； （ⅱ）若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析. (2) （ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）结合角平分线，在中利用正弦定理证明，关键 （2）（ⅰ）利用正弦定理结合辅助角公式求解；（ⅱ）利用等面积法求解即可. 【详解】（1） 在中,是的平分线. 证明设,则. 在和中分别运用正弦定理,得 ， 又因为, 所以即 （2）（ⅰ）因为 由正弦定理得: 又所以， 所以 所以 即 即 即 即 因为所以 （ⅱ） 又因为 所以可得 所以 【巩固练习2】（23-24高一下·重庆·阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，． (1)求角；(2)若是钝角三角形，在线段上且平分，求． 【答案】(1)或； (2) 【分析】 （1）利用正弦定理计算可得； （2）首先求出，由两角差的正弦公式求出，再由正弦定理求出，由角平分线的性质得到，即可求出. 【详解】（1）在中由正弦定理，即， 解得， 又，所以或； （2）因为是钝角三角形，所以， 所以， 所以 ， 在中由正弦定理，所以， 又平分，则， 所以， 即， 又，所以， 解得. 【巩固练习3】（23-24高一下·湖南·期中）设的内角的对边分别为，且. (1)求角的大小；(2)若，角的平分线交边于，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先用正弦定理把角化为边，再用余弦定理即可求解； （2）由，可得，然后与已知条件联立求解，再用角平分线定理即可求解 【详解】（1）已知，由正弦定理得：， 整理可得，所以， 由于，所以. （2）    由得， 角的平分线交边于，得， 且， ， ，又， 联立解得或， 因为， 由角平分线定理可得，. 【巩固练习4】（23-24高一下·江苏镇江·期中）在中，在边上，且平分，若， (1)证明：；(2)求的面积；(3)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理，，结合条件可得证结论； （2）根据（1）和余弦定理，解得长，结合三角形面积公式计算得到结果； （3）由，代入公式解得，再计算的结果. 【详解】（1） 证明：在中，在边上，且平分， 所以,，, 在中，， 在中，， 两式作比值可得，， 化简得. （2）因为平分，所以， 设，由余弦定理，得， 即，解得． （3）由，得， 解得，所以． 【巩固练习5】（23-24高一下·浙江绍兴·期中）在中，角，，所对边分别为，，，且，为边上的动点. (1)若为的中点，，，求边； (2)若平分，，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用辅助角公式求得角，结合平面向量加法法则得，再由余弦定理求解； （2）设，由根据题意，利用余弦定理求解的值，从而得解. 【详解】（1），， 为的中点，则， 平方得：， 又，， 由余弦定理得：，； （2）设， 若平分，，易得， 又，得，， 平分，， 即 在中，， 【巩固练习6】（24-25高三上·广东汕头·期中）中，是上的点，平分，面积是面积的2倍． (1)求；(2)若，，求和的长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据三角形面积关系，以及正弦定理，即可求得结果； （2）根据（1）中所求，求得，再利用余弦定理，以及，即可求得结果. 【详解】（1）根据题意，作图如下：   面积是面积的2倍，故可得； 在△中，由正弦定理可得：， 在△中，由正弦定理可得：， 又，故结合上述两式可得：. （2）根据（1）中所求可得：； 在△中，由正弦定理可得：， 在△中，由正弦定理可得：， 又，故， 结合上述两式可得：，故设，则； 在△中，由余弦定理可得：， 在△中，由余弦定理可得：， 又，则，即，解得（舍去负根），也即. 【题型9】高线问题 解题技巧 1、若三角形中已知∠B，∠C，可以做高线得出两个小直角三角形三边之比 2、等面积法： 3、，，分别为△ABC边a，b，c上的高，则 4、射影定理： 类型1 已知两角可作高 【例题1】△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 且A＝，若，D是BC边上一点，且，△ACD的面积为，求AC. 【答案】2 法一：∵△ACD的面积为，且，∴△ABC的面积为 ∵，且，∴ 又∵，∴ 在△ABC中，由正弦定理，得，∴ ∵△ABC的面积为，∴ ∴，故AC=2. 法二：易知，∴，即 【巩固练习1】（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用同角的三角函数的基本关系可求得，利用正弦定理可求解. 【详解】由，可得，又， 所以，解得， 又因为，，所以，所以， 由正弦定理可得，所以，解得. 【巩固练习2】（2024新高考1卷）中，角，，的对边分别为，，，若． (1)求；(2)若且的面积为，求边长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理实现边角转化，结合两角和的正弦公式、辅助角公式化简进行求解即可； （2）由正弦定理得，，代入面积公式求边长． 【详解】（1）中，， 由正弦定理得， 又， 所以， 由于，，有， 所以，又，则，所以. （2）由（1）， 而， 由正弦定理有，从而，， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为， 由已知的面积为，可得，所以. 【巩固练习3】记的内角、、的对边分别为、、，已知，点在边上，且，，求. 【答案】 【分析】求出、的值，设，则，分别在和中，利用正弦定理结合等式的性质可得出、的等式，即可求得的值，即为所求. 【详解】解：因为，则为锐角，所以，， 因为，所以，， 所以，， 设，则， 在和中，由正弦定理得，， 因为，上面两个等式相除可得， 得，即， 所以，. 法二：作垂线，用三边之比 如图，再继续求出AD用余弦定理即可求出 AD的3种求法：1、向量数量积；2、倍长构造相似再用余弦；3、两次余弦定理 【巩固练习4】（2025·广东·深圳一模）在中，角所对的边分别为． (1)求；(2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用条件及余弦定理的推论可得，再由条件可求出； （2）解法1：利用两角和的正弦公式分别求出角的正弦值，再利用正弦定理可求出，再利用三角形面积公式求解即可；解法2：注意到，进而可得，由正弦定理并化简可得，进而求，再利用三角形面积公式求解即可；解法3：过点作交于，利用直角三角形即可求边长，再利用面积公式求解即可. 【详解】（1）由余弦定理推论及得， 由于，则， 又因为，且， 所以，则． （2）解法1：由（1）可知， 且， ， 由正弦定理：， 得， 所以． 解法2： 由（1）， 所以， 由正弦定理：， 得， ． 解法3 : 如图，过点作交于， 由于，则， 所以，， 所以． 类型2 已知高，等面积 【例题1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=，，且边上的高为，求的面积. 【答案】（． 【分析】由余弦定理用表示，然后把三角形的面积用两种方法表示求得，从而可计算出面积． 【详解】由余弦定理得，得， 所以，即，， ，． 【巩固练习1】（23-24高二上·浙江·期中）在中，角所对的边分别为且. (1)求的值； (2)若的面积为，求边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式即可得，可求出； （2）利用余弦定理以及边的比例关系可求出，再由面积计算可得，即可求得边上的高为. 【详解】（1）利用正弦定理由可得， 又在中，易知，可得，所以； 即， 可得，显然，所以， 所以，又，可得； （2）由余弦定理可得， 代入整理可得， 解得或（舍）； 所以的面积为，解得，所以； 设边上的高为，则，可得， 即边上的高为. 【巩固练习2】的内角A、、的对边分别为、、，设． （1）求； （2）若，是边上一点，且，的面积为，求． 【答案】（1）；（2）2 【分析】（1）根据正弦定理将角化为边，在利用余弦定理求得，从而求得C. （2）由求得，，根据正弦定理求得，又，然后利用三角形面积公式，求得AC的长. 【详解】（1）由正弦定理知，， 则由余弦定理知，， 在中，，故 （2）由，知，， 由正弦定理知，，又， 则，， 则 【巩固练习3】（23-24高一下·福建福州·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，且的外接圆半径为，求边上的高. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简即得. （2）利用正弦定理求出边c，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算即得. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 即， 整理得，而，则，又， 所以. （2）由（1）知，，由正弦定理得， 由余弦定理，得， 解得，的面积，即， 所以. 【巩固练习4】在中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求； (2)若边上的高为，求． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可得，结合余弦定理即可求解， （2）根据同角关系以及余弦定理，面积公式以及联立求解. 【详解】（1）由正弦定理有， 有， 又由余弦定理有； （2）由得， 又由余弦定理和，有， ， 又由边上的高为2，有， 有，可得， 有，可得， 联立方程组，解得或. 【巩固练习5】（2025·湖南岳阳·一模）已知分别为的内角的对边，且，点为边的中点，若，且. (1)求；(2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理结合，辅助角公式得到，从而求出； （2）根据和余弦定理得，结合，得到，根据求出，由三角形面积公式求出答案. 【详解】（1），利用正弦定理可得 ， 又， 故， 即， 因为，所以，故， 由辅助角公式得， 又，故， 即，所以； （2），故， 由余弦定理得， 由为中点，化简得， ，故， 又，所以， 又，故， 将代入上式得，即， 解得，负值舍去， 则的面积为 类型3 射影定理 【例题1】（23-24高一下·天津·阶段练习）的面积为S.若，，则角B等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【简析】由射影定理得：， ，即，故 【详解】根据题意知，有正弦定理边角互化可知， ， 化简可得，在中，所以，则， 所以得， 由， 可得，，所以， 所以. 【巩固练习1】在中，内角，，的对边分别是，，，，，若，则的面积为 . 【答案】 【分析】由三角形中的射影定理,结合已知条件求得的值，进而得到的值，然后利用余弦定理求得的值，进而利用面积公式求得. 【详解】由三角形中的射影定理,结合已知条件，可得, 又∵，∴，由，可得， 解得(负值舍去)，∴三角形的面积为 【题型10】其它中间线问题 【例题1】如图，在中，若，D为边上一点，，，，则 ．    【答案】6 【详解】中，由正弦定理得， ，则， 设，则， 又中，由余弦定理得 ． 在中，由余弦定理得， 又因为，即：， 则，故． 【例题2】的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，． (1)求A、b；(2)设D为BC边上一点，且，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用正弦定理可求得的值，结合角A的取值范围可求得角A的值，利用余弦定理可得出关于b的二次方程，可求得b的值； （2）利用正弦定理求得、以及BD的长，再利用三角形的面积公式可求得的面积． 【详解】（1）∵，由正弦定理得， ∵，则，故，可得， ∵，则， 由余弦定理可得，整理得， ∵，因此，； （2）如下图所示：    由正弦定理可得，可得， ，∵，故C为锐角，则， ∵，则， 在中，， 由正弦定理，可得， 因此，． 巩固练习 题型 【巩固练习1】在中，，，D是BC边上一点，，. (1)求的大小；(2)求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用余弦定理求，再结合余弦定理求的大小， （2）由正弦定理求，结合内角和关系求，根据三角形面积公式求的面积. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得， 因为，，， 所以， 所以， 在中，由余弦定理可得， 又， 所以； （2）在中，由正弦定理可得， 由，，可得， 又，， 所以，故， 因为， 所以， 所以的面积. 【巩固练习2】在中，点为边上一点，满足，，．    (1)求；(2)求． 【答案】(1).(2) 【分析】（1）先，根据已知条件求，利用正弦定理解三角形求； （2）先求，再根据范围求角. 【详解】（1），，且，, 则，， ，； ，， ，， ， ,，解得：. （2） ， 而. 【巩固练习3】（23-24高一下·重庆·期末）在中，内角，，的对边分别为，，.已知. (1)求； (2)若，，设为延长线上一点，且，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）利用正弦定理求出，即可求出，从而求出，再由锐角三角函数求出，即可求出. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 即， 又，所以，所以，则. （2）在中，由正弦定理得 ∴，又，所以 ∴， ∴， ∵，则， 又，即， 所以 ， ∴. 【巩固练习4】已知在中，，，． (1)求；(2)若为边上一点且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求得，然后依次求得和. （2）先求得，然后利用三角形的面积公式求得的面积. 【详解】（1）由，得， 由余弦定理得， 所以， 则为锐角，且. （2）由于，所以为锐角， 且， 所以 ， 在三角形中，由正弦定理得， 所以.      【题型11】二倍角的处理 解题技巧 遇到二倍角可尝试构造等腰 典型例题 【例题1】在中，，且边上的中线长为1. (1)若，求的面积；(2)若，求的长. 【答案】(1)，(2)2 【分析】（1）由题可得，利用勾股定理可判断是直角三角形，且又边上中线，运算可得解； （2）方法一，设，在，中，分别由正弦定理两式可得，在和中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，运算可得解；方法二，作的角平分线，交与，在和中，由正弦定理可得，再由可得，计算得，在和中，由余弦定理可求得结果；方法三，延长到，使，由，可得，运算得，在和中，由余弦定理可得结果. 【详解】（1）由题可知， 由勾股定理得，，所以是直角三角形， 又，所以， 又边上中线， 所以，，， 所以. （2）方法一：由题可知， 设，则， 在中，由正弦定理得，即， 在中，由正弦定理得，即， 所以，则，① 在和中，由余弦定理得 所以，② 在中，由余弦定理得， 即，即，③ 将代入得，④ 由①④得，即，即， 即，即， 因为，所以，则，所以. 故的长为2. 方法二：作的角平分线，交与， 设，则， 在和中，由正弦定理可得， 又，所以， 所以. 由题可知，所以， 在和中，， 所以，所以， 则，即，即， 所以（舍）或. 在和中，由余弦定理得 所以， 则，解得. 故的长为2. 方法三：延长到，使，连接， 由题可知， 设，则， 在和中，， 所以，所以，则， 所以， 即，即， 所以（舍）或. 在和中，由余弦定理得 所以， 则，解得. 故的长为2. 巩固练习 题型 【巩固练习1】在中，为中点，，，求的长． 【答案】 【详解】 法一：在中，设, 则由正弦定理， 即，得，所以， ， 所以， 所以， 由正弦定理得：，即． 法二：可以延长DA至点E，使AE=AC，下略 【题型12】复合图形计算求值问题 【例题1】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）梯形中，，，，． (1)求；(2)若的面积为8，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理可求出结果； （2）由，进而可求，再利用的面积为8，求出，再根据余弦定理可求出结果. 【详解】（1），，，中，由正弦定理，得 ，为锐角，． （2）， ．， 由，． 在中，由余弦定理，得 ． 【例题2海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为___________m． 【答案】 【分析】根据已知的边和角，在中，由正弦定理解得，在中，由余弦定理得. 【详解】因为，，所以，，所以， 又因为，所以，， 在中，由正弦定理得，即，解得， 在中，由余弦定理得， 所以，解得． 【例题3】如图，在平面四边形中，，，，． (1)求；(2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）记，根据题意用表示相关未知量，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解； （2）法一：利用两角和公式求，在中，利用正弦定理运算求解；法二：先求，在中，利用余弦定理运算求解. 【详解】（1）∵，，，∴， 记，则， ∵，，∴， 在中，由正弦定理得：，则， 可得，化简得， 联立方程，解得或， ∵，则， 故． （2）解法一：由（1）知：， 由正弦定理得：，∴， 解法二：在中，， 在中，由余弦定理得：， 即，则，解得或（舍去），故. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·江苏南京·期中）如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，在河岸这边取点，，测得的长为12千米，在点处测得，，在点处测得，.则，两点间的距离为 千米.（设，，，四点在同一平面内） 【答案】 【分析】在中求得的值，中利用正弦定理求得的值，中利用由余弦定理求得的值. 【详解】在中，，所以； 在中，， 由正弦定理得，，即，所以， 在中，由余弦定理 ， 所以，即、两点间的距离为. 【巩固练习2】海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．为测得如图所示的海洋蓝洞口径（图中两点间的距离），现在珊瑚群岛上取两点和，测得，． （1）求两点的距离；（2）判断此海洋蓝洞的口径是否超过． 【答案】（1）；（2）此海洋蓝洞的口径是超过100． 【分析】（1）由边角关系得为等腰三角形，进而求得答案； （2）在中，利用正弦定理得，在中，由余弦定理得，进而判断即可. 【详解】解：（1）在中，， ， ， 为等腰三角形，， 、两点的距离 （2）在中，，， ，由正弦定理可得 ， ， 在中，，， ，由余弦定理可得 ， ∴ 又 ∴此海洋蓝洞的口径是超过100m． 【巩固练习3】（23-24高一下·江苏苏州·期末）如图，在平面四边形ABCD中，已知AC与BD交于点E，且E是线段BD的中点，是边长为1的等边三角形. (1)若，求线段AE的长； (2)若且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，有，又，中，，求值后由正弦定理求线段AE的长； （2）在和中，余弦定理得，又，解得，在中，由余弦定理求，再得. 【详解】（1）因为为等边三角形，所以， 又，所以， 在中，， 所以， 由正弦定理得，. （2），， 在中，由余弦定理，， 在中，由余弦定理， 两式相加得， 因为，所以设，，则， 在中，，由余弦定理得，， 得，化简得， 由，解得或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意， 所以，，， 在中，，，可得， 在中，由余弦定理，， 所以. 【巩固练习4】如图，在平面四边形中，，，，．    (1)求；(2)若，求的面积． 【答案】(1)； (2)的面积为. 【分析】（1）利用余弦定理即可求得边BC的长，再由正弦定理求； （2）利用正弦定理求，根据四边形内角和关系结合二倍角公式求，进而求得的面积． 【详解】（1）因为，为锐角， 所以． 因为，， 在中，由余弦定理得， 即，得． 在中，由正弦定理得， 所以， 所以， 因为，所以，故， 所以； （2）在中，由正弦定理得， 又，，， 即，所以． 因为， ，， 所以， 所以， 所以， 所以的面积. 【巩固练习5】如图，在平面四边形中，，，． (1)若，求的面积；(2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求出，利用诱导公式求出，结合三角形的面积公式计算即可求解； （2）设，根据正弦定理和诱导公式可得、，解得，同角的三角函数关系求出即可求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得． ， 所以． （2）设，则，， 在中，由正弦定理可得， 即，所以，． 于是，解得或（舍）． 所以，因此． 【题型13】常考最值问题 解题技巧 【例题1】已知，，分别为的三个内角，，的对边，且，则面积的最大值为 　　． 【解答】解：因为： ， 又因为：， 所以：， 方法一：基本不等式 由余弦定理可知：， 当且仅当时等号成立， 所以：，即面积的最大值为． 方法二：结合几何图像，构造圆 由已知条件结合正弦定理可得， 整理得，从而由余弦定理可得， 由于三角形的边所对的角为定角，因此的外接圆的半径是定值， 作的外接圆，固定，，则在优弧上运动（不包含端点）， 以为底边考虑的面积，当平分优弧时边上的高最大， 因此三角形面积取得最大值，此时三角形为正三角形，面积为． 方法三：构造函数模型（降幂） ∵，∴，∴面积的范围是 故答案为：． 巩固练习 题型 类型1 用基本不等式求最值 【巩固练习1】已知外接圆半径是2，，则的面积最大值为　　　　． 【简析】由二级结论可知当△ABC为等腰三角形时，面积和周长取到最大 当时，；当时，，故面积最大值为． 【详解】解：外接圆半径是2，， 由正弦定理，可得：，解得：， ，，或，当时，由余弦定理可得： ， 此时． 当时，由余弦定理可得：， 解得：，此时．的面积最大值为． 【巩固练习2】（23-24高一下·广东湛江·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． (1)求角B的大小； (2)若的外接圆半径为1，求边长b的值； (3)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意利用余弦定理边角转化即可得结果； （2）利用正弦定理运算求解即可； （3）根据题意利用基本不等式可得，结合面积公式运算求解. 【详解】（1）因为，即， 由余弦定理可得， 且，所以. （2）由正弦定理可知：（为的外接圆半径）， 所以. （3）由题意可知：，且，即， 又因为，即，解得， 当且仅当时，等号成立， 可得， 所以的面积的最大值为. 【巩固练习3】中，． （1）求；（2）若，求周长的最大值． 【解答】解：（1）设的内角，，所对的边分别为，，， 因为， 由正弦定理可得， 即为， 由余弦定理可得， 由，可得； （2）由题意可得， 又，可设，，， 由正弦定理可得， 可得，， 则周长为， ， 当，即时，的周长取得最大值． 另解：，，又， ， 由，则（当且仅当时，“”成立）， 则周长的最大值为． 【巩固练习4】（23-24高一下·湖北武汉·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，其中S为的面积. (1)求角A；(2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形面积公式与余弦定理代入已知条件，整理得，从而得解； （2）利用基本不等式与两边之和大于第三边求得，进而得解. 【详解】（1）因为，，， 所以，则，即， 又，所以. （2）的周长为， 因为，即， 因为，所以， 所以，则，即， 又，所以，即， 所以的周长的取值范围为. 类型2 用三角函数求最值 【巩固练习1】在锐角中，角，，的对边分别为，，，． （1）求；（2）若，求的取值范围． 【解答】解：（1）因为， 所以， 即， 因为为锐角， 所以， ； （2）因为，， 所以， 所以， 因为，， 所以，， 可得，， 所以，， 即的取值范围是，． 【巩固练习2】已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，．且，则的取值范围为　　　　． 【答案】， 【解答】解：依题意，由正弦定理得， 又， 所以，， 由于三角形是锐角三角形， 所以，由，可得， 所以， 由于， 所以，， 所以，． 故答案为：，． 【巩固练习3】（23-24高一下·湖北武汉·期末）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则λ的取值范围是 【答案】 【分析】先利用正弦定理的边角变换求得，进而由锐角得到，再利用正弦定理的边角变换与三角函数的恒等变换得到，从而得解. 【详解】因为， 由正弦定理可得，则， 在中，可得或，所以或（舍去）， 则， 在锐角中，，解得， 由正弦定理可得 ，因为，则，所以，所以. 【巩固练习4】若，，为锐角三个内角，，的对边， 且． （1）求角；（2）若，求面积的取值范围． 【解答】解：（1）因为， 所以． 由正弦定理得， 由余弦定理得， 因为为三角形内角， 所以； （2）由正弦定理得， 所以， 所以， 因为锐角中，， 所以， 故，， ． 【巩固练习5】（24-25高一上·湖南邵阳·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)若的角平分线交AC于点D，，，求BD； (3)若的外接圆的半径为，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）利用正弦定理可得，利用余弦定理可得，即可得结果； （2）根据面积关系，结合面积公式运算求解即可； （3）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，再结合正弦函数的有界性分析求解. 【详解】（1）因为， 可得， 由正弦定理得，则， 且，所以． （2）由题意可知：， 因为， 则， 即，可得． （3）由正弦定理可得， 则， 可得， 又因为，则，可得，即， 所以的取值范围为. 【课后作业】 1. 在锐角中，内角所对的边分别为，满足，且，求证：. 【详解】由题意得，即． 所以， 由正弦定理得，又由余弦定理得， 所以，故， 故，整理得． 又为锐角三角形，则，，，所以，因此． 2. （23-24高一下·江苏常州·期末）已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】先由已知条件结合余弦定理和求出，再由余弦定理结合基本不等式求出最大值，即可由正弦定理形式面积公式求出面积最大值. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 整理得，由，得为锐角， 而，解得， 由及余弦定理，得， 解得，当且仅当时取等号， 因此，所以面积的最大值为. 故答案为：. 3. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，求B 【答案】 【详解】（1） 4. （23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，D为边上的一点，，且______，求的面积． 请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题． ①是的平分线；②D为线段的中点． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．） 【答案】(1) (2)选择①②，答案均为 【分析】（1）由正弦定理和得到，求出； （2）选①，根据面积公式得到，结合余弦定理得到，求出面积； 选②，根据数量积公式得到，结合余弦定理得到，求出，得到面积. 【详解】（1）由正弦定理知，， ∵， 代入上式得， ∵，∴，， ∵，∴． （2）若选①：由平分得，， ∴，即． 在中，由余弦定理得， 又，∴， 联立得， 解得，（舍去）， ∴． 若选②：因为， 所以， 即，得， 在中，由余弦定理得， 即， 联立，可得， ∴． 5. 在中，满足． (1)求； (2)若，边BC上的中线，设点为的外接圆圆心． ①求的周长和面积：②求的值． 【答案】(1)； (2)①周长为，面积为；②13. 【分析】（1）由已知及正弦定理边化角，借助和角的正弦理解即得. （2）①由中点向量公式、余弦定理、三角形面积公式列式计算即得；②边的中点分别为，利用数量积的运算律并结合圆的性质计算即得. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，则， 显然，因此，， 则，得，解得， 所以. （2）①由边BC上的中线，得，两边平方得， 则，即， 在中，由余弦定理，得，解得， 因此，所以的周长为，面积为. ②令边的中点分别为，由点为的外接圆圆心，得， ， ， 所以.    6. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足. (1)求角；(2)若为边上一点，且，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可结合余弦定理求解， （2）根据正弦定理即可结合和差角公式求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 化简得， 由余弦定理得， 又，所以. （2），. 在中，，， 由正弦定理可得，即， 又，得， 即， 化简得，显然，即. 7. （23-24高一下·江苏南京·期末）中，内角所对的边为，． (1)若，试确定的形状； (2)若，是的平分线，求长． 【答案】(1)等边三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用余弦定理求出，，得到为等边三角形； （2）在（1）基础上，由余弦定理得到，由勾股定理逆定理得到，由角平分线得到，求出答案. 【详解】（1）， 因为，所以， 又， 又，故， 化简得， 又，故为等边三角形； （2）由（1）知，， 又， 在中，由余弦定理得， 故， 由于，故为直角三角形，其中， 又是的平分线，故， 故，即，    故的长为 8. 在中，内角的对边分别为. (1)求角的大小；(2)为边上一点，，求边的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先应用正弦定理再根据辅助角公式得，最后结合角的范围即可求解； （2）根据面积关系化简求值即得. 【详解】（1）， 由正弦定理可得， 即， ， 又. 又. （2） 即，解得 9. 在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求的大小；(2)若为边上一点，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，再由余弦定理求得，即可求解； （2）在中，由正弦定理化简得到，求得，结合两角差的正切公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理得， 又由余弦定理得， 又因为，所以. （2）解：因为，所以，，， 在中，由正弦定理得，即， 化简得，即， 所以. 10. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，．已知． （Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）， ， ， ， 为锐角三角形， ， （Ⅱ）为锐角三角形，， ， ， 为锐角三角形，，， 解得， ， ， ， 的取值范围为，． 11. 在中，D为边上一点，且，． (1)若为平分线，且，求边的值； (2)若D为边中点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)方法一：为平分线得，结合与余弦定理求解； 方法二：利用角平分线结合正弦定理可得，，再根据余弦定理求解； 方法三：取中点H，则，分别在和中分析求解即可. 方法一：利用正弦定理和两角和的余弦公式求解； 方法二：利用同角三角函数的基本关系和的余弦公式求解. 【详解】（1）解法1：（1）因为为平分线，所以， 令，则， 又， 则由余弦定理得：，解得， 故边． 解法2：∵为角A平分线，∴记为角． 则，， 可得：． 设，则，． 在中，． 在中， 解得：，则. 解法3：∵为角A平分线，可推得：． 又，取中点H，则． 在中，，， 则，，∴． 在中，， 解得：． ∴． （2）解法1： 分别过点B、C作的垂线，垂足分别为E、F，则． 在中，， 则，，因此． 在中，，所以． 所以 ． 解法2： 记，，则 由D为边中点可得的面积与相等， 进一步可得：． 又由已知，可得：，， ∴，∴， ∴， ∴． 1 / 91 学科网（北京）股份有限公司 $$