7.4.1二项分布6题型分类(讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 7.4.1二项分布6题型分类 一、相互独立事件 1．事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件． 2．设A,B是两事件,如果满足等式P(A∩B)=P(AB)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立,简称A,B独立． 二、n重伯努利试验的概念 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 三、n重伯努利试验的特征 1．同一个伯努利试验重复做n次． 2．各次试验的结果相互独立． 四、二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为：，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 五、二项分布的期望与方差 如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． （一） n重伯努利试验的概率 1．n重伯努利试验的概念 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验具有如下共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． 3.n重伯努利试验概率求解的关注点 (1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式． (2)运用n重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率． 题型1：n重伯努利试验的判断 1．（2024高二·全国月考）重伯努利试验应满足的条件： ①各次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两种结果； ③各次试验成功的概率是相同的；④每次试验发生的事件是互斥的． 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】由重伯努利试验试验的定义判断即可． 【解析】解：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验， 故重伯努利试验应满足的条件： ①各次试验之间是相互独立的； ②每次试验只有两种结果； ③各次试验成功的概率是相同的； 故选：C 2．（2024高二·全国月考）下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲､乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲､乙两名运动员各射击一次，“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次5次击中目标.其中是独立重复试验的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据互斥事件、相互独立事件，以及独立重复试验的定义可以判断：①，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”是一个实验的两个结果，是互斥事件；②是相互独立事件；③是互斥事件；④是独立重复试验. 【解析】①和③符合互斥事件的概念，是互斥事件； ②是相互独立事件； ④是独立重复试验； 所以只有④符合题意， 故选：D. 题型2：n重伯努利试验的概率 3．（2024高二·全国月考）若某一试验中事件发生的概率为，则在重伯努利试验中，发生次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项分布的知识可得答案. 【解析】由于，则，所以在重伯努利试验中，事件发生次的概率为． 故选：D． 4．（2024高二·全国·单元测试）将3个不同的小球随机投入编号分别为1，2，3，4的4个盒子中（每个盒子容纳的小球的个数不限），则1号盒子中有2个小球的概率为 ，2号盒子中小球的个数的数学期望为 . 【答案】 / 【分析】利用独立事件的概率公式，结合二项分布的概率公式与期望公式即可得解. 【解析】由于每个小球投入每个盒子是可能的，故每个小球放入1号盒子的概率为，不放入1号盒子的概率为， 故1号盒子中有2个小球个概率， 同理，每个小球放入2号盒子的概率为，不放入2号盒子的概率为， 将3个小球投放到4个盒子中，则2号盒子中小球的个数， 故. 故答案为：；. 5．（2024·浙江金华·模拟预测）一次掷两枚骰子，若两枚骰子点数之和为4或5或6，则称这是一次成功试验．现进行四次试验，则恰出现一次成功试验的概率为 ． 【答案】 【分析】首先分析出做一次成功试验的概率，设出现成功试验的次数为，则，计算即可． 【解析】一次掷两枚骰子，两枚骰子点数之和为4的情况有3种， 两枚骰子点数之和为5的情况有4种， 两枚骰子点数之和为6的情况有5种， 在一次试验中，出现成功试验的概率， 设出现成功试验的次数为，则， 所以重复做这样的试验4次，则恰出现一次成功试验的概率为， 故答案为：． 6．（2024高二·福建南平·期末）在重伯努利试验中，设每次成功的概率为，则失败的概率为，将试验进行到恰好出现次成功时结束试验，用随机变量表示试验次数，则称服从以，为参数的帕斯卡分布，记为.已知，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】帕斯卡分布概率公式列不等式即可求解. 【解析】因为，所以， 解得，即的最大值为. 故选：C 7．（2024高二·吉林长春·期末）某n重伯努利试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数记为X，，，则 ． 【答案】/0.2 【分析】根据二项分布的均值和方差的计算公式可求解． 【解析】依题意得X服从二项分布，则，解得， 故答案为：． （二） 二项分布的均值与方差 二项分布的均值与方差的求解方法： 第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解． 若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)； 若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 题型3：二项分布及其应用 8．（2024高二·四川成都·期中）为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1.    (1)根据频率分布直方图求学生成绩在区间[110，120）的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数 (2)若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在[100，130）内的学生人数为，求的分布列. 【答案】(1)频率为；中位数为 (2)分布列见解析 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质计算各组频率，在根据中位数的求法计算即可； （2）利用二项分布求概率及分布列即可. 【解析】（1）由直方图可知，数学成绩落在区间内的频率为, 所以数学成绩落在区间内的频率为， 因为数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1， 所以数学成绩落在区间[110，120）的频率为， 数学成绩落在区间[70，100）的频率为， 所以中位数落在区间内， 设中位数为，则，解得， 所以抽取的这100名同学数学成绩的中位数为. （2）由（1）知，数学成绩落在区间[100，130）内的频率为， 由题意可知，，的所有可能取值为， ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 9．（2024高三·云南月考）某电商车间生产了一批电子元件，为了检测元件是否合格，质检员设计了如图，甲所示的电路.于是他在一批产品中随机抽取了电子元件，，安装在如图甲所示的电路中，已知元件的合格率都为，元件的合格率都为.    (1)质检员在某次检测中，发现小灯泡亮了，他认为这三个电子元件都是合格的，求该质检员犯错误的概率； (2)经反复测验，质检员把一些电子元件，接入了图乙的电路中，记该电路中小灯泡亮的个数为，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）先求出灯泡亮的概率，再求出灯泡亮了，并且质检员犯错误的概率，结合条件概率即可得解； （2）求出图甲中小灯泡亮的概率，再由得到相应的概率，得到分布列. 【解析】（1）当小灯泡亮的时候，后一个元件是合格的，前面的AB至少有一个是合格的， 概率， 小灯泡亮了，并且质检员犯错误的情况，对于前面的元件，分为两大类： 第一类：元件合格，元件不合格，故， 第二类：元件合格，元件不合格，故， 所以在发现小灯泡亮了的前提下，该质检员犯错误的概率为：. （2）在图甲中，记小灯泡亮的概率为，则， 所以服从二项分布：， 则，， ，. ∴的分布列为： 0 1 2 3 10．（2024高二·贵州铜仁·期末）有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先把取一次取得次品的概率算出来，再根据离散型随机变量的概率即可算出． 【解析】因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为．从中取3次，为取得次品的次数，则, ,选择D答案． 【点睛】本题考查离散型随机变量的概率,解题时要注意二项分布公式的灵活运用.属于基础题． 11．（2024高二·天津河北·期末）若随机变量服从二项分布，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的概率公式求解即可. 【解析】因为随机变量服从二项分布， 所以. 故选：C 12．（2024·全国·模拟预测）现有3个小组，每组3人，每人投篮1次，投中的概率均为，若1个小组中至少有1人投中，则称该组为“成功组”，则这3个小组中恰有1个“成功组”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用独立重复试验计算概率即可. 【解析】1个小组是“成功组”的概率为, 则这3个小组中恰有1个“成功组”的概率为. 故选：B． 13．（2024高二·福建福州·期末）为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可求得该产品能销售的概率，写出的取值，设表示一箱产品中可以销售的件数，则服从二项分布，分别求出的取值对于得概率，从而可得答案. 【解析】由题意得该产品能销售的概率为， 易知的取值范围为， 设表示一箱产品中可以销售的件数，则， 所以，， 所以， ， ， 故. 故选：C. 题型4：二项分布的均值与方差 14．（2024高二·广东珠海·期末）设随机变量，，若，则 ， . 【答案】 / 【分析】根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式求解即可. 【解析】随机变量，且， 则，解得， 所以， 又，则， ， 所以. 故答案为：；. 15．（2024高二·广西钦州·期中）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． (1)求甲恰好正确完成两个面试题的概率； (2)求乙正确完成面试题数的分布列及其期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是．然后求出即可； （2）设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是，求出取每个值时的概率，即可得分布列，然后根据二项分布期望的求法求解即可. 【解析】（1）解：由题意得： 设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是． ； （2）设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是． ，， ，． 应聘者乙正确完成题数的分布列为 16．（2024高三·广东深圳·期末）已知某地中学生的男生和女生的人数比例是，为了解该地中学生对羽毛球和乒乓球的喜欢情况，现随机抽取部分中学生进行调查，了解到该地中学生喜欢羽毛球和乒乓球的概率如下表： 男生 女生 只喜欢羽毛球 0.3 0.3 只喜欢乒乓球 0.25 0.2 既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球 0.3 0.15 (1)从该地中学生中随机抽取1人，已知抽取的这名中学生喜欢羽毛球，求该中学生也喜欢乒乓球的概率； (2)从该地中学生中随机抽取100人，记抽取到的中学生既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球的人数为，求的分布列和期望. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，24. 【分析】（1）根据给定条件，结合条件概率公式求解即得. （2）利用（1）的信息，结合二项分布求出分布列的期望. 【解析】（1）记事件表示从该地中学生中随机抽取1人，被抽取的这名中学生喜欢羽毛球， 事件表示从该地中学生中随机抽取1人，被抽取的这名中学生喜欢乒乓球， 则， ， 所以所求的概率. （2）由（1）知从该地中学生中随机抽取1人，被抽取的这名中学生既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球的概率， 因此， 所以的分布列为， 期望为. 17．（2024高三·湖北十堰·期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将个样本数据按、、、、、分成组，并整理得到如下频率分布直方图. (1)请通过频率分布直方图估计这份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. (2)以样本频率估计概率，若竞赛成绩不低于分，则被认定为成绩合格，低于分说明成绩不合格.从参加知识竞赛的市民中随机抽取人，用表示成绩合格的人数，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加，即可得出这份样本数据的平均值； （2）由题意可知，，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可求得的值. 【解析】（1）解：由频率分布直方图可知，份样本数据的平均值为 . （2）解：竞赛成绩不低于分的频率为， 低于分的频率为. 由题意可知，， ， ， ， ，， 所以的分布列为 期望. 18．（2024高三·内蒙古鄂尔多斯·期末）为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）； (1)求的值以及这批产品的优质率； (2)以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出件，记这件中优质产品的件数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1)，优质率为25% (2)分布列见解析，1 【分析】（1）由频率分布直方图中，所有频率之和为1及优质率的定义即可求得结果； （2）由题意可得件中优质产品的件数服从二项分布，再根据二项分布的分布列及期望公式即可得解. 【解析】（1）因为，所以， 产品质量指标超过130的频率为， 所以这批产品的优质率为； （2）因为抽到产品为优质产品的频率为0.25， 以频率作为概率，所以每件产品为优质产品的概率为， 所以4件产品中优质产品的件数， 则，， 所以，， ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 P . 19．（2024·全国·模拟预测）为庆祝中国共产党成立周年，某市开展了党史知识竞赛活动，竞赛结束后，为了解本次竞赛的成绩情况，从所有参赛学生中随机抽取了名学生的竞赛成绩作为样本，数据整理后，统计结果如表所示． 成绩区间 频数 假设用样本频率估计总体概率，且每个学生的竞赛成绩相互独立． (1)为了激励学生学习党史的热情，决定对竞赛成绩优异的学生进行表彰，如果获得表彰的学生占样本总人数的，试估计获奖分数线； (2)该市决定从全市成绩不低于分的学生中随机抽取人参加省级党史知识竞赛，成绩在的人数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）设获奖分数线为，分析可知，根据题意可得出关于的等式，解之即可； （2）分析可知，，利用二项分布可得出的分布列，利用二项分布的期望公式可求得的值. 【解析】（1）解：由表格知，成绩在的频率为，成绩在的频率为， 成绩在的频率为， 设获奖分数线为，则， 所以，，解得． （2）解：从全市成绩不低于分的学生中随机抽取一人参加省级党史知识竞赛， 成绩在的概率为， 由题意知，，则的可能取值有、、、、， 则，， ，， ， 所以的分布列为 故． 20．（2024高三·四川内江月考）某大型企业生产的产品细分为10个等级，为了解这批产品的等级分布情况，从流水线上随机抽取了1000件进行检测、分类和统计，并依据以下规则对产品进行评分：检测到1级到3级的评为优秀，检测到4级到6级的评为良好，检测到7级到9级的评为合格，检测到10级的评为不合格.以下把频率视为概率，现有如下检测统计表： 等级 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 10 90 100 150 150 200 100 100 50 50 (1)从这1000件产品中随机抽取1件，请估计这件产品评分为良好或优秀的概率； (2)从该企业的流水线上随机抽取4件产品，设这一件产品中评分为优秀的产品个数为，求的分布列、期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望. 【分析】（1）记事件A：产品的评分为优秀，事件B：产品的评分为良好，计算和，相加可得结果； （2）由题意可知，计算取每个值所对应的概率，可得分布列，进一步计算可得期望， 【解析】（1）记事件A：产品的评分为优秀，事件B：产品的评分为良好 根据统计学原理，可以用样本来估计总体， 由统计表得，， 因为A，B互斥，所以可以估计这件产品评分为良好或优秀的概率为. （2）由（1）知，评分为优秀的概率为，由题意得，的可能值为， 则， ，， ，， . 所以的分布列为 X 0 1 2 3 4 P . 题型5：服从二项分布的概率最值问题 21．（2024高二·山东淄博·期末）若，则取得最大值时，（    ） A．4或5 B．5或6 C．10 D．5 【答案】D 【分析】根据二项分布的概率公式得到，再根据组合数的性质判断即可； 【解析】解：因为，所以， 由组合数的性质可知当时取得最大值，即取得最大值，所以； 故选：D 22．（2024高二·江西赣州·期末）现有一种趣味答题比赛，其比赛规则如下：①每位参赛者最多参加5轮比赛；②每一轮比赛中，参赛选手从10道题中随机抽取4道回答，每答对一道题积2分，答错或放弃均积0分；③每一轮比赛中，获得积分至少6分的选手将获得“挑战达人”勋章一枚；④结束所有轮比赛后，参赛选手还可以凭总积分获得相对应的礼品．据主办方透露：这10道题中有7道题是大家都会做的，有3道题是大家都不会做的． (1)求某参赛选手在一轮比赛中所获得积分X的分布列和期望； (2)若参赛选手每轮获得勋章的概率稳定且每轮是否获得勋章相互独立．问：某参赛选手在5轮参赛中，获得多少枚“挑战达人”勋章的概率最大？ 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为 (2)获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大. 【分析】（1）根据超几何分布的知识求得分布列并求出数学期望； （2）根据二项分布的知识求得获得“挑战达人”勋章的枚数的分布列，由此求得正确答案. 【解析】（1）由题知：可取2，4，6，8， 则，， ，， 故的分布列为： 2 4 6 8 则的期望. （2）解法一：由（1）知参赛选手在一轮比赛中获得“挑战达人”勋章的概率为， 则某参赛选手在5轮挑战比赛中，记获得“挑战达人”勋章的枚数为，则， 故（）， 假设当时，概率最大，则， 解得，而. 故某参赛选手在5轮挑战比赛中，获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大． 解法二：由（1）知参赛选手在一轮获得“挑战达人”勋章的概率为， 则某参赛选手在5轮挑战比赛中，获得“挑战达人”勋章的枚数为，则， 故（）， 所以Y的分布列为： 0 1 2 3 4 5 从分布列中可以看出，概率最大为， 所以参赛选手在5轮挑战比赛中，获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大． 23．（2024·全国·模拟预测）已知随机变量，若对，都有，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用二项分布的概率公式探讨取最大时的，再利用二项分布的期望公式求解即得. 【解析】由，得， 当，即时，； 当，即时，， 而，即，则当时，； 当时，，因此， 则， 所以的取值范围是． 故答案为： 24．（2024高三·重庆开州月考）某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分.已知小明同学能答对10道题中的6道题. (1)求小明同学在一轮比赛中所得积分的分布列和期望； (2)规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在5轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？ 【答案】(1)分布列见解析， (2)3次或4次 【分析】（1）根据超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望. （2）根据二项分布的知识求得闯关成功的次数的分布列，由此求得正确答案. 【解析】（1）由题知：可取0，1，2，3，则: ，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 则的期望为：. （2）方法1、参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为 若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为，则. 故 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 故小明同学在5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大. 方法2、参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为 若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为，则 故 ∴假设当时，对应概率取值最大，则 解得，而 故小明同学在5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大. 25．（2024·云南昆明·模拟预测）聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%. (1)求一个问题的应答被采纳的概率； (2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，事件（）的概率为，求当最大时的值. 【答案】(1)0.75 (2)6 【分析】（1）根据全概率公式即可求解， （2）根据二项分布的概率公式，利用不等式即可求解最值. 【解析】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件， “一次应答被采纳”为事件， 由题意，，，则 ， . （2）依题意，，， 当最大时，有 即解得：，， 故当最大时，. 26．（2024高三·广东东莞·期末）某区域中的物种C有A种和B种两个亚种．为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A种数目比B种数目少），某生物研究小组设计了如下实验方案：①在该区域中有放回的捕捉50个物种C，统计其中A种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验n次（其中），记第i次试验中的A种数目为随机变量（）；③记随机变量，利用的期望和方差进行估算．设该区域中A种数目为M，B种数目为N，每一次试验都相互独立． (1)已知，，证明：，； (2)该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为（），并计算了数据（）的平均值和方差，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据． （ⅰ）请用和分别代替和，估算和； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求的分布列中概率值最大的随机事件对应的随机变量的取值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ），；（ⅱ）15 【分析】（1）根据题意结合期望、方差的性质分析证明； （2）（ⅰ）根据（1）中结论结合二项分布的期望和方差公式运算求解；（ⅱ）根据二项分布的概率公式列式运算求解即可. 【解析】（1）由题可知（，2，…，n）均近似服从完全相同的二项分布， 则，， ， ， 所以，. （2）（ⅰ）由（1）可知， 则的均值，的方差， 所以，解得或， 由题意可知：，则， 所以，； （ⅱ）由（ⅰ）可知：，则， 则， 由题意可知：， 解得，且，则， 所以的分布列中概率值最大的随机事件对应的随机变量的取值为15. 【点睛】关键点睛：本题关键是利用二项分布求期望和方差，以及利用期望和方差的性质分析求解. （三） 二项分布的实际应用 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为：，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 题型6：二项分布的实际应用 27．（2024高二·湖南常德月考）福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一，纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面；第三步绘花刷油.一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某工艺师在每个环节制作合格的概率分别为，，，只有当每个环节制作都合格才认为一次成功制作. (1)求该工艺师进行3次制作，恰有一件优秀作品的概率； (2)若该工艺师制作4次，其中优秀作品数为，求概率分布列及期望； 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）先求出制作一件优秀作品的概率，再结合二项分布概率公式，即可求解； （2）若该工艺师制作4次，其中优秀作品数为，的可能取值为0，1，2，3，4，求出对应的概率，即可得的分布列，代入期望公式求解期望即可. 【解析】（1）由题意可知，制作一件优秀作品的概率为， 所以该工艺师进行3次制作，恰有一件优秀作品的概率. （2）该工艺师制作4次，其中优秀作品数为，的所有可能取值为0，1，2，3，4， 由题意知， 则，， ，，， 故的分布列为： 0 1 2 3 4 所以数学期望为. 28．（2024高二·河北衡水·期中）中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市民对中医药文化的了解程度，某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷，得到的数据如下表所示： 年龄段人数成绩 31岁-40岁 4 8 13 9 6 41岁-50岁 2 8 10 22 18 规定成绩在内代表对中医药文化了解程度低，成绩在内代表对中医药文化了解程度高. (1)从这100位市民中随机抽取1人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率； (2)将频率视为概率，现从该地41岁~50岁年龄段的市民中随机抽取3人，记为对中医药文化了解程度高的人数，求的分布列和期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）由表格得出成绩在的人数，计算频率，即可得出答案； （2）由表格得出41岁~50岁年龄段中，成绩在内以及内的人数，求出概率，进而得出，然后列出分布列，求出期望即可. 【解析】（1）由表格中的数据可知，成绩在的人数为， 所以，抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率为. （2）根据表格可知，41岁~50岁年龄段中，成绩在内的人数为， 成绩在内的人数为， 则随机抽取1人，这个人是对中医药文化了解程度高的市民的概率， 了解程度低的概率. 由题意可知，则的可能取值为， 则，， ，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 所以的数学期望. 29．（2024·江苏·模拟预测）某学校有甲，乙两个餐厅，经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐厅甲就餐的概率为，第二天选择餐厅乙就餐的概率为；前一天选择餐厅乙就餐第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为，第二天选择餐厅甲就餐的概率为．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，选择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第天选择餐厅甲就餐的概率为． (1)记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，求随机变量的分布列及期望； (2)学校为缓解就餐压力，决定每天从各年级抽调21人到甲乙两个餐厅参加志愿服务，请求出的通项公式，根据以上数据合理分配甲，乙两个餐厅志愿者人数，并说明理由． 【答案】(1)分布列见解析，； (2)，分配到甲，乙两个餐厅志愿者人数分别为和. 【分析】（1）先求某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望； （2）根据题意先求与的关系，然后利用构适法可得通项，由确定两餐厅志愿者人数分配. 【解析】（1）某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率 某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率 所以3位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为 记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，所有可能的取值为， 则 的分布列为： X 0 1 2 3 P . （2）依题意，，即， 则有，当时，可得， 数列是首项为公比为的等比数列，则， 时，， 所以，各年级抽调的21人中，分配到餐厅甲的志愿者人数为，分配到餐厅乙的志愿者人数为. 30．（2024高二·全国·期末）在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.8，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的． (1)求选手甲恰好正确作答2个题目的概率； (2)记选手乙正确作答的题目个数为X，求X的分布列和数学期望； (3)如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)选手乙，理由见解析 【分析】（1）由题意选手甲需要从能正确作答其中的6个的题目中正确作答2个题目，在剩余的2个不会的题目中答1个，再求解概率即可； （2）由题意得，，再根据二项分布的性质求解分布列与数学期望即可； （3）分别计算甲乙两人答对2或3个题目的数学概率进行判断即可. 【解析】（1）设事件A为“选手甲正确作答2个题目”，则． 故选手甲恰好正确作答2个题目的概率为． （2）由题意得，，X的所有可能取值为0，1，2，3， ∴，，，， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 ∴． （3）设选手甲正确作答的题目个数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴可以认为选手乙晋级的可能性更大． 一、单选题 1．（2024高二·黑龙江·期末）设随机变量，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据二项分布的方差公式及性质进行计算即可. 【解析】由题意得， 故. 故选：C. 2．（2024高二·江苏徐州·期末）某射手每次射击击中目标的概率是0.6，且各次射击的结果互不影响，则该射手射击30次恰有18次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据二项分布的概率公式来解. 【解析】设为射手在30次射击中击中目标的次数，则， 故在30次射击中，恰有18次击中目标的概率为. 故选：B. 3．（2024·全国·模拟预测）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的期望和方差公式即可求解，进而根据二项分布的概率公式求解即可. 【解析】因为，所以，解得， 所以． 故选：C． 4．（2024高二·河南·期末）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小､质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球.现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为.则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算从中随机地无放回摸出3个球、从中随机地有放回摸出3个球的期望、方差，再做比较可得答案. 【解析】①从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为的可能取值是， 则， 故随机变量的概率分布列为 0 1 2 3 则数学期望为， 方差为. ②从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为， 则，故，， 故. 故选：D. 5．（2024高二·江苏徐州·期中）两组各有3人独立的破译某密码，组每个人成功破译出该密码的概率为，组每个人成功破译出该密码的概率为，记两组中成功破译出该密码的人数分别为，若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意分析，均服从二项分布，利用二项分布的均值和方差公式直接求得. 【解析】由题意可知：服从二项分布，所以. 同理：服从二项分布，所以. 因为，所以，所以. 对于二次函数，对称轴，所以在上函数单调递增， 所以当时，有，即. 故选：C 6．（2024高二·山东滨州·期中）已知，且，，则下列说法不正确的有（    ） A．， B． C． D．中是最大值 【答案】D 【分析】根据二项分布期望和方差公式建立方程求解即可判断AB；利用根据二项分布概率公式即可计算判断CD． 【解析】因为，， 所以，， 由，所以，，所以，，故A正确； ，B正确； 又，故C正确； ， 令， 故当时，所以， 而当时，所以， 因此是最大值，D错误． 故选：D． 7．（2024高二·上海浦东新·期末）经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（    ） A．的可能取值为1，2，3，4，5 B． C．的概率最大 D．服从超几何分布 【答案】C 【分析】的可能取值包括0可判断A；可判断B；随机变量，，若取得最大值时,则有，，求出的值可判断C；服从二项分布可判断D. 【解析】对于A，的可能取值为0，1，2，3，4，5，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于D，由题意，随机变量，故D不正确； 对于C，随机变量，， 若取得最大值时，则: ， 则，解得，则． 故的概率最大，所以C正确； 故选：C. 8．（2024高二·天津河北·期末）若随机变量服从二项分布，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的概率公式求解即可. 【解析】因为随机变量服从二项分布， 所以. 故选：C 9．（2024高二·吉林长春·期末）甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设甲获得冠军为，比赛进行了三局为，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值. 【解析】设甲获得冠军为事件，比赛进行了三局为事件， 则，， 所以. 所以在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为. 故选：A. 10．（2024高三·四川成都月考）口袋里放有大小相同的3个红球和2个白球，有放回地每次摸取一个球，每个球被摸到的机会均等.定义数列：.如果为数列的前项和，那么的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表示摸次球，其中次摸到红球，次摸到白球，再根据二项分布的概率，即可求出答案. 【解析】由题意，每次摸到白球的概率为，每次摸到红球的概率为， 表示摸次球，其中次摸到红球，次摸到白球， 则的概率是. 故选：A. 11．（2024高二·甘肃武威月考）琴棋书画是中国古代四大艺术，源远流长，琴棋书画之棋，指的就是围棋．已知甲、乙两人进行五局围棋比赛，甲每局获胜的概率都是，且各局的胜负相互独立，设甲获胜的局数为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】由于甲每局获胜的概率都是，且各局的胜负相互独立，可知该试验是独立重复试验，服从二项分布，利用二项分布的方差计算公式即可求解. 【解析】因为甲每局获胜的概率都是，且各局的胜负相互独立， 所以甲获胜的局数， 则． 故选：C． 12．（2024高三·全国月考）如表所示是采取一项单独防疫措施感染COVID-19的概率统计表： 单独防疫措施 戴口罩 勤洗手 接种COVID-19疫苗 感染COVID-19的概率 一次核酸检测的准确率为．某家有3人，他们每个人只戴口罩，没有做到勤洗手也没有接种COVID-19疫苗，感染COVID-19的概率都为0.01．这3人不同人的核酸检测结果，以及其中任何一个人的不同次核酸检测结果都是互相独立的．他们3人都落实了表中的三项防疫措施，而且共做了10次核酸检测．以这家人的每个人每次核酸检测被确诊感染COVID-19的概率为依据，这10次核酸检测中，有次结果为确诊，的数学期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题意说明，然后由相互独立事件的概率公式计算出落实三项措施后感染的概率，结合准确率可得此人核酸检测一次确诊的概率为，则，然后由二项分布的期望计算出期望． 【解析】根据条件，．一个人落实了表中三项防疫措施后，感染COVID-19的概率为，一次核酸检测的准确率为，这个人再进行一次核酸检测，可知此人被核酸检测确诊感染COVID-19的概率为．以这家人核酸检测确诊感染COVID-19的概率为依据，这家3人10次核酸检测中被确诊感染COVID-19的次数为， ∴． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题考查信息识别，数据处理，独立事件概率，二项分布，数学期望．解题关键是学生的数据处理能力的掌握，根据已知数据进行求解．解题思路是根据独立事件的概率公式计算出概率，确定随机变量服从二项分布，然后由期望公式计算期望． 13．（2024高二·青海西宁·期末）设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由结合二项分布概率公式以及方差公式求解即可. 【解析】因为，，所以，即， 解得，即，所以. 故选D. 二、多选题 14．（2024·全国·模拟预测）若随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据二项分布的性质进行逐一求解判断即可. 【解析】A，，故A正确； B，，故B错误； C，，故C正确； D，，故D错误. 故选：AC. 15．（2024·辽宁葫芦岛·模拟预测）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列说法正确的是（    ） A．从中任取3球，恰有2个白球的概率是； B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X，则； C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为； D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为. 【答案】AD 【分析】根据古典概型的概率公式可判断A，根据二项分布的期望公式可判断C，根据条件概率的计算可判断C，根据对立重复事件的概率可求D. 【解析】对于A，从中任取3球，恰有2个白球的概率是,故A正确， 对于B, 从中有放回的取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X服从二项分布，即，故B错误， 对于C ,第一次取到红球后，第二次取球时，袋子中还有3个红球和2个白球，再次取到红球的概率为，故C错误， 对于D，有放回的取球，每次取到白球的概率为，没有取到白球的概率为， 所以取球3次没有取到白球的概率为， .所以至少有一次取到白球的概率为，故D正确， 故选：AD 三、填空题 16．（2024高二·广东珠海·期末）设随机变量，，若，则 ， . 【答案】 / 【分析】根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式求解即可. 【解析】随机变量，且， 则，解得， 所以， 又，则， ， 所以. 故答案为：；. 17．（2024高二·山东德州月考）如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，每次碰到小木钉后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，，，，，则小球落入 号格子的概率最大.图片仅供参考    【答案】7 【分析】小球下落需要次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为，归纳出小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为，然后由小球落入号格子的概率最大，列不等式组求解． 【解析】小球下落需要次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为， 小球掉入号格子，需要向左次，概率为， 小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为， 小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为， 小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为， 依此类推，小球掉入号格子，需要向左次，向右次， 概率为， 设小球落入号格子的概率最大，显然，， 则解得，又为整数，所以， 所以小球落入号格子的概率最大． 故答案为：． 18．（2024高二·北京月考）投篮测试中，每人投篮3次，已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学恰好投中2次的概率为 . 【答案】 【分析】根据题意，直接代入计算即可得到结果. 【解析】由题意可得，该同学恰好投中2次的概率为. 故答案为: 四、解答题 19．（2024·四川达州·模拟预测）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统.从全球应用北斗卫星的城市中随机选取了40个城市进行调研，下图是这40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图，求产值小于610万元的调研城市个数，并估计产值的中位数； (2)视频率为概率，从全球应用北斗卫星的城市中任取5个城市，求恰有2个城市的产值超过600万元的概率. 【答案】(1)12个；615. (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图小矩形面积求产值小于610万元的调研城市个数，并估计产值的中位数； （2）由已知可得该分布满足，根据二项分布概率公式直接计算概率. 【解析】（1）由频率分布直方图可知产值于610万元的频率为， 所以产值小于610万元的调研城市个数为（个）； 设产值的中位数为，， ，，，所以产值的中位数为. （2）由频率分布直方图可知城市的产值超600万元的概率为 ， 设任取5个城市中城市的产值超过600万元的城市的个数为， 可知随机变量满足，所以. 20．（2024高三·全国月考）某地政府为鼓励大学生创业，制定了一系列优惠政策．已知创业项目甲成功的概率为，项目成功后可获得政府奖金20万元；创业项目乙成功的概率为，项目成功后可获得政府奖金30万元．项目没有成功，则没有奖励，每个项目有且只有一次实施机会，两个项目的实施是否成功互不影响，项目成功后当地政府兑现奖励． (1)大学毕业生张某选择创业项目甲，毕业生李某选择创业项目乙，记他们获得的奖金累计为X(单位：万元)，若的概率为.求的大小； (2)若两位大学毕业生都选择创业项目甲或创业项目乙进行创业，问：他们选择何种创业项目，累计得到的奖金的均值更大？ 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）间接求，因为“”的对立事件是“”，由已知条件的概率建立等式即可求得； （2）设两位大学毕业生都选择创业项目甲且创业成功的次数为，都选择创业项目乙且创业成功的次数为，则这两人选择项目甲累计获奖得奖金的数学期望为，选择项目乙累计获奖得奖金的数学期望为.又，服从二项分布，利用二项分布期望的计算公式以及期望的运算性质比较二者的大小即可. 【解析】（1）由已知可知，张某创业成功的概率为，李某创业成功的概率为，且两人是否创业成功互不影响， 记“这2人累计获得的奖金”的事件为A，则事件A的对立事件为“”， ∵， ∴，解得. （2）设两位大学毕业生都选择创业项目甲且创业成功的次数为，都选择创业项目乙且创业成功的次数为， 则这两人选择项目甲累计获得的奖金的均值为，选择项目乙累计获得的奖金的均值为， 由已知可得，,，∴ ∴ 若，即，解得； 若，即，解得； 若，即，解得； 综上所述，当时，他们都选择项目甲进行创业，累计得到的奖金的均值更大； 当时，他们都选择项目乙进行创业，累计得到的奖金的均值更大； 当时，他们选择两项目进行创业，累计得到的奖金的均值相等． 21．（2024高二·湖南长沙月考）一个暗箱里放着6个黑球､4个白球. (1)依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率； (2)有放回地依次取出3个球，求取到白球个数的分布列和均值. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据条件概率的求法，找到第第1次取出的是白球的概率与第1次取出的是白球，第3次取到黑球的概率，求其比值即可； （2）取到白球个数服从二项分布，根据独立重复实验的概率公式与均值公式求解即可 【解析】（1）设事件为“第1次取出的是白球”， 事件为“第3次取到黑球”， ； （2）设事件为“取一次球，取到白球”， 则，这3次取球结果互不影响， 则，所以， 其分布列为： 0 1 2 3 . 22．（2024高三·全国月考）青少年近视问题备受社会各界广泛关注，某研究机构为了解学生对预防近视知识的掌握程度，对某校学生进行问卷调查，并随机抽取200份问卷，发现其得分（满分：100分）都在区间中，并将数据分组，制成如下频率分布表： 分数 频率 0.15 0.25 0.30 0.10 (1)试估计这200份问卷得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)用样本估计总体，用频率估计概率，从该校学生中随机抽取4人深入调查，设X为抽取的4人中得分在的人数，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先利用频率和为1求出，在利用平均值的公式求解即可； （2）由题可得服从二项分布，根据二项分布的公式以及期望公式计算可得答案. 【解析】（1）由频率分布表可得，解得， 所以这200份问卷得分的平均值为 ； （2）由题意可得的可能取值为，则， 又， 则的分布列为： 23．（2024·陕西·模拟预测）中国职业男篮CBA总决赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束.现甲、乙两支球队进行总决赛，因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入400万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加100万元. (1)求总决赛中获得门票总收入恰好为3000万元的概率； (2)设总决赛中获得门票总收入为，求的数学期望. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）构造等差数列，求得比赛场次，再利用概率公式即可求得结果； （2）由已知可得，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望. 【解析】（1）依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为400，公差为100的等差数列. 设此数列为，则易知，，所以. 解得或（舍去），所以此决赛共比赛了5场. 则前4场比赛的比分必为，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为. 所以总决赛中获得门票总收入恰好为3000万元的概率为. （2）随机变量可取的值为，，，，即2200，3000，3900，4900， ，， ，， 所以的分布列为 2200 3000 3900 4900 所以. 24．（2024·全国·模拟预测）为庆祝中国共产党成立周年，某市开展了党史知识竞赛活动，竞赛结束后，为了解本次竞赛的成绩情况，从所有参赛学生中随机抽取了名学生的竞赛成绩作为样本，数据整理后，统计结果如表所示． 成绩区间 频数 假设用样本频率估计总体概率，且每个学生的竞赛成绩相互独立． (1)为了激励学生学习党史的热情，决定对竞赛成绩优异的学生进行表彰，如果获得表彰的学生占样本总人数的，试估计获奖分数线； (2)该市决定从全市成绩不低于分的学生中随机抽取人参加省级党史知识竞赛，成绩在的人数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）设获奖分数线为，分析可知，根据题意可得出关于的等式，解之即可； （2）分析可知，，利用二项分布可得出的分布列，利用二项分布的期望公式可求得的值. 【解析】（1）解：由表格知，成绩在的频率为，成绩在的频率为， 成绩在的频率为， 设获奖分数线为，则， 所以，，解得． （2）解：从全市成绩不低于分的学生中随机抽取一人参加省级党史知识竞赛， 成绩在的概率为， 由题意知，，则的可能取值有、、、、， 则，， ，， ， 所以的分布列为 故． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 7.4.1二项分布6题型分类 一、相互独立事件 1．事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件． 2．设A,B是两事件,如果满足等式P(A∩B)=P(AB)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立,简称A,B独立． 二、n重伯努利试验的概念 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 三、n重伯努利试验的特征 1．同一个伯努利试验重复做n次． 2．各次试验的结果相互独立． 四、二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为：，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 五、二项分布的期望与方差 如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． （一） n重伯努利试验的概率 1．n重伯努利试验的概念 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验具有如下共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． 3.n重伯努利试验概率求解的关注点 (1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式． (2)运用n重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率． 题型1：n重伯努利试验的判断 1．（2024高二·全国月考）重伯努利试验应满足的条件： ①各次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两种结果； ③各次试验成功的概率是相同的；④每次试验发生的事件是互斥的． 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 2．（2024高二·全国月考）下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲､乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲､乙两名运动员各射击一次，“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次5次击中目标.其中是独立重复试验的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 题型2：n重伯努利试验的概率 3．（2024高二·全国月考）若某一试验中事件发生的概率为，则在重伯努利试验中，发生次的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二·全国·单元测试）将3个不同的小球随机投入编号分别为1，2，3，4的4个盒子中（每个盒子容纳的小球的个数不限），则1号盒子中有2个小球的概率为 ，2号盒子中小球的个数的数学期望为 . 5．（2024·浙江金华·模拟预测）一次掷两枚骰子，若两枚骰子点数之和为4或5或6，则称这是一次成功试验．现进行四次试验，则恰出现一次成功试验的概率为 ． 6．（2024高二·福建南平·期末）在重伯努利试验中，设每次成功的概率为，则失败的概率为，将试验进行到恰好出现次成功时结束试验，用随机变量表示试验次数，则称服从以，为参数的帕斯卡分布，记为.已知，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（2024高二·吉林长春·期末）某n重伯努利试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数记为X，，，则 ． （二） 二项分布的均值与方差 二项分布的均值与方差的求解方法： 第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解． 若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)； 若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 题型3：二项分布及其应用 8．（2024高二·四川成都·期中）为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1.    (1)根据频率分布直方图求学生成绩在区间[110，120）的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数 (2)若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在[100，130）内的学生人数为，求的分布列. 9．（2024高三·云南月考）某电商车间生产了一批电子元件，为了检测元件是否合格，质检员设计了如图，甲所示的电路.于是他在一批产品中随机抽取了电子元件，，安装在如图甲所示的电路中，已知元件的合格率都为，元件的合格率都为.    (1)质检员在某次检测中，发现小灯泡亮了，他认为这三个电子元件都是合格的，求该质检员犯错误的概率； (2)经反复测验，质检员把一些电子元件，接入了图乙的电路中，记该电路中小灯泡亮的个数为，求的分布列. 10．（2024高二·贵州铜仁·期末）有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则 A． B． C． D． 11．（2024高二·天津河北·期末）若随机变量服从二项分布，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·全国·模拟预测）现有3个小组，每组3人，每人投篮1次，投中的概率均为，若1个小组中至少有1人投中，则称该组为“成功组”，则这3个小组中恰有1个“成功组”的概率为（    ） A． B． C． D． 13．（2024高二·福建福州·期末）为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则等于（     ） A． B． C． D． 题型4：二项分布的均值与方差 14．（2024高二·广东珠海·期末）设随机变量，，若，则 ， . 15．（2024高二·广西钦州·期中）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． (1)求甲恰好正确完成两个面试题的概率； (2)求乙正确完成面试题数的分布列及其期望. 16．（2024高三·广东深圳·期末）已知某地中学生的男生和女生的人数比例是，为了解该地中学生对羽毛球和乒乓球的喜欢情况，现随机抽取部分中学生进行调查，了解到该地中学生喜欢羽毛球和乒乓球的概率如下表： 男生 女生 只喜欢羽毛球 0.3 0.3 只喜欢乒乓球 0.25 0.2 既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球 0.3 0.15 (1)从该地中学生中随机抽取1人，已知抽取的这名中学生喜欢羽毛球，求该中学生也喜欢乒乓球的概率； (2)从该地中学生中随机抽取100人，记抽取到的中学生既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球的人数为，求的分布列和期望. 17．（2024高三·湖北十堰·期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将个样本数据按、、、、、分成组，并整理得到如下频率分布直方图. (1)请通过频率分布直方图估计这份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. (2)以样本频率估计概率，若竞赛成绩不低于分，则被认定为成绩合格，低于分说明成绩不合格.从参加知识竞赛的市民中随机抽取人，用表示成绩合格的人数，求的分布列及数学期望. 18．（2024高三·内蒙古鄂尔多斯·期末）为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）； (1)求的值以及这批产品的优质率； (2)以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出件，记这件中优质产品的件数为，求的分布列与数学期望. 19．（2024·全国·模拟预测）为庆祝中国共产党成立周年，某市开展了党史知识竞赛活动，竞赛结束后，为了解本次竞赛的成绩情况，从所有参赛学生中随机抽取了名学生的竞赛成绩作为样本，数据整理后，统计结果如表所示． 成绩区间 频数 假设用样本频率估计总体概率，且每个学生的竞赛成绩相互独立． (1)为了激励学生学习党史的热情，决定对竞赛成绩优异的学生进行表彰，如果获得表彰的学生占样本总人数的，试估计获奖分数线； (2)该市决定从全市成绩不低于分的学生中随机抽取人参加省级党史知识竞赛，成绩在的人数为，求的分布列和数学期望． 20．（2024高三·四川内江月考）某大型企业生产的产品细分为10个等级，为了解这批产品的等级分布情况，从流水线上随机抽取了1000件进行检测、分类和统计，并依据以下规则对产品进行评分：检测到1级到3级的评为优秀，检测到4级到6级的评为良好，检测到7级到9级的评为合格，检测到10级的评为不合格.以下把频率视为概率，现有如下检测统计表： 等级 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 10 90 100 150 150 200 100 100 50 50 (1)从这1000件产品中随机抽取1件，请估计这件产品评分为良好或优秀的概率； (2)从该企业的流水线上随机抽取4件产品，设这一件产品中评分为优秀的产品个数为，求的分布列、期望. 题型5：服从二项分布的概率最值问题 21．（2024高二·山东淄博·期末）若，则取得最大值时，（    ） A．4或5 B．5或6 C．10 D．5 22．（2024高二·江西赣州·期末）现有一种趣味答题比赛，其比赛规则如下：①每位参赛者最多参加5轮比赛；②每一轮比赛中，参赛选手从10道题中随机抽取4道回答，每答对一道题积2分，答错或放弃均积0分；③每一轮比赛中，获得积分至少6分的选手将获得“挑战达人”勋章一枚；④结束所有轮比赛后，参赛选手还可以凭总积分获得相对应的礼品．据主办方透露：这10道题中有7道题是大家都会做的，有3道题是大家都不会做的． (1)求某参赛选手在一轮比赛中所获得积分X的分布列和期望； (2)若参赛选手每轮获得勋章的概率稳定且每轮是否获得勋章相互独立．问：某参赛选手在5轮参赛中，获得多少枚“挑战达人”勋章的概率最大？ 23．（2024·全国·模拟预测）已知随机变量，若对，都有，则的取值范围是 ． 24．（2024高三·重庆开州月考）某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分.已知小明同学能答对10道题中的6道题. (1)求小明同学在一轮比赛中所得积分的分布列和期望； (2)规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在5轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？ 25．（2024·云南昆明·模拟预测）聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%. (1)求一个问题的应答被采纳的概率； (2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，事件（）的概率为，求当最大时的值. 26．（2024高三·广东东莞·期末）某区域中的物种C有A种和B种两个亚种．为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A种数目比B种数目少），某生物研究小组设计了如下实验方案：①在该区域中有放回的捕捉50个物种C，统计其中A种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验n次（其中），记第i次试验中的A种数目为随机变量（）；③记随机变量，利用的期望和方差进行估算．设该区域中A种数目为M，B种数目为N，每一次试验都相互独立． (1)已知，，证明：，； (2)该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为（），并计算了数据（）的平均值和方差，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据． （ⅰ）请用和分别代替和，估算和； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求的分布列中概率值最大的随机事件对应的随机变量的取值． （三） 二项分布的实际应用 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为：，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 题型6：二项分布的实际应用 27．（2024高二·湖南常德月考）福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一，纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面；第三步绘花刷油.一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某工艺师在每个环节制作合格的概率分别为，，，只有当每个环节制作都合格才认为一次成功制作. (1)求该工艺师进行3次制作，恰有一件优秀作品的概率； (2)若该工艺师制作4次，其中优秀作品数为，求概率分布列及期望； 28．（2024高二·河北衡水·期中）中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市民对中医药文化的了解程度，某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷，得到的数据如下表所示： 年龄段人数成绩 31岁-40岁 4 8 13 9 6 41岁-50岁 2 8 10 22 18 规定成绩在内代表对中医药文化了解程度低，成绩在内代表对中医药文化了解程度高. (1)从这100位市民中随机抽取1人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率； (2)将频率视为概率，现从该地41岁~50岁年龄段的市民中随机抽取3人，记为对中医药文化了解程度高的人数，求的分布列和期望. 29．（2024·江苏·模拟预测）某学校有甲，乙两个餐厅，经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐厅甲就餐的概率为，第二天选择餐厅乙就餐的概率为；前一天选择餐厅乙就餐第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为，第二天选择餐厅甲就餐的概率为．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，选择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第天选择餐厅甲就餐的概率为． (1)记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，求随机变量的分布列及期望； (2)学校为缓解就餐压力，决定每天从各年级抽调21人到甲乙两个餐厅参加志愿服务，请求出的通项公式，根据以上数据合理分配甲，乙两个餐厅志愿者人数，并说明理由． X 0 1 2 3 P 30．（2024高二·全国·期末）在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.8，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的． (1)求选手甲恰好正确作答2个题目的概率； (2)记选手乙正确作答的题目个数为X，求X的分布列和数学期望； (3)如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由． 一、单选题 1．（2024高二·黑龙江·期末）设随机变量，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 2．（2024高二·江苏徐州·期末）某射手每次射击击中目标的概率是0.6，且各次射击的结果互不影响，则该射手射击30次恰有18次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二·河南·期末）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小､质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球.现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为.则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高二·江苏徐州·期中）两组各有3人独立的破译某密码，组每个人成功破译出该密码的概率为，组每个人成功破译出该密码的概率为，记两组中成功破译出该密码的人数分别为，若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024高二·山东滨州·期中）已知，且，，则下列说法不正确的有（    ） A．， B． C． D．中是最大值 7．（2024高二·上海浦东新·期末）经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（    ） A．的可能取值为1，2，3，4，5 B． C．的概率最大 D．服从超几何分布 8．（2024高二·天津河北·期末）若随机变量服从二项分布，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（2024高二·吉林长春·期末）甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（    ） A． B． C． D． 10．（2024高三·四川成都月考）口袋里放有大小相同的3个红球和2个白球，有放回地每次摸取一个球，每个球被摸到的机会均等.定义数列：.如果为数列的前项和，那么的概率是（    ） A． B． C． D． 11．（2024高二·甘肃武威月考）琴棋书画是中国古代四大艺术，源远流长，琴棋书画之棋，指的就是围棋．已知甲、乙两人进行五局围棋比赛，甲每局获胜的概率都是，且各局的胜负相互独立，设甲获胜的局数为，则（    ） A． B． C． D．2 12．（2024高三·全国月考）如表所示是采取一项单独防疫措施感染COVID-19的概率统计表： 单独防疫措施 戴口罩 勤洗手 接种COVID-19疫苗 感染COVID-19的概率 一次核酸检测的准确率为．某家有3人，他们每个人只戴口罩，没有做到勤洗手也没有接种COVID-19疫苗，感染COVID-19的概率都为0.01．这3人不同人的核酸检测结果，以及其中任何一个人的不同次核酸检测结果都是互相独立的．他们3人都落实了表中的三项防疫措施，而且共做了10次核酸检测．以这家人的每个人每次核酸检测被确诊感染COVID-19的概率为依据，这10次核酸检测中，有次结果为确诊，的数学期望为（    ） A． B． C． D． 13．（2024高二·青海西宁·期末）设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 14．（2024·全国·模拟预测）若随机变量，则（    ） A． B． C． D． 15．（2024·辽宁葫芦岛·模拟预测）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列说法正确的是（    ） A．从中任取3球，恰有2个白球的概率是； B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X，则； C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为； D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为. 三、填空题 16．（2024高二·广东珠海·期末）设随机变量，，若，则 ， . 17．（2024高二·山东德州月考）如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，每次碰到小木钉后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，，，，，则小球落入 号格子的概率最大.图片仅供参考    18．（2024高二·北京月考）投篮测试中，每人投篮3次，已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学恰好投中2次的概率为 . 四、解答题 19．（2024·四川达州·模拟预测）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统.从全球应用北斗卫星的城市中随机选取了40个城市进行调研，下图是这40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图，求产值小于610万元的调研城市个数，并估计产值的中位数； (2)视频率为概率，从全球应用北斗卫星的城市中任取5个城市，求恰有2个城市的产值超过600万元的概率. 20．（2024高三·全国月考）某地政府为鼓励大学生创业，制定了一系列优惠政策．已知创业项目甲成功的概率为，项目成功后可获得政府奖金20万元；创业项目乙成功的概率为，项目成功后可获得政府奖金30万元．项目没有成功，则没有奖励，每个项目有且只有一次实施机会，两个项目的实施是否成功互不影响，项目成功后当地政府兑现奖励． (1)大学毕业生张某选择创业项目甲，毕业生李某选择创业项目乙，记他们获得的奖金累计为X(单位：万元)，若的概率为.求的大小； (2)若两位大学毕业生都选择创业项目甲或创业项目乙进行创业，问：他们选择何种创业项目，累计得到的奖金的均值更大？ 21．（2024高二·湖南长沙月考）一个暗箱里放着6个黑球､4个白球. (1)依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率； (2)有放回地依次取出3个球，求取到白球个数的分布列和均值. 22．（2024高三·全国月考）青少年近视问题备受社会各界广泛关注，某研究机构为了解学生对预防近视知识的掌握程度，对某校学生进行问卷调查，并随机抽取200份问卷，发现其得分（满分：100分）都在区间中，并将数据分组，制成如下频率分布表： 分数 频率 0.15 0.25 0.30 0.10 (1)试估计这200份问卷得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)用样本估计总体，用频率估计概率，从该校学生中随机抽取4人深入调查，设X为抽取的4人中得分在的人数，求的分布列与数学期望． 23．（2024·陕西·模拟预测）中国职业男篮CBA总决赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束.现甲、乙两支球队进行总决赛，因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入400万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加100万元. (1)求总决赛中获得门票总收入恰好为3000万元的概率； (2)设总决赛中获得门票总收入为，求的数学期望. 24．（2024·全国·模拟预测）为庆祝中国共产党成立周年，某市开展了党史知识竞赛活动，竞赛结束后，为了解本次竞赛的成绩情况，从所有参赛学生中随机抽取了名学生的竞赛成绩作为样本，数据整理后，统计结果如表所示． 成绩区间 频数 假设用样本频率估计总体概率，且每个学生的竞赛成绩相互独立． (1)为了激励学生学习党史的热情，决定对竞赛成绩优异的学生进行表彰，如果获得表彰的学生占样本总人数的，试估计获奖分数线； (2)该市决定从全市成绩不低于分的学生中随机抽取人参加省级党史知识竞赛，成绩在的人数为，求的分布列和数学期望． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$