7.3.2离散型随机变量的方差4题型分类(讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 7.3.2离散型随机变量的方差4题型分类 一、离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 我们称D(X)＝(x1－E(X))2 p1 ＋(x2－E(X))2 p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)． 二、几个常见的结论 (1)D(aX＋b)＝a2D(X)． (2)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)． （一） 求离散型随机变量的方差 求离散型随机变量的方差的类型及解决方法： (1)已知分布列型(非两点分布)：直接利用定义求解，先求均值，再求方差． (2)已知分布列是两点分布：直接套用公式D(X)＝p(1－p)求解． (3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况． 题型1：求离散型随机变量的方差 1．（2024高二·山东日照月考）甲乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求随机变量的概率分布、数学期望和方差． 2．（2024高二·全国月考）袋中有形状、大小完全相同的3个球，编号分别为1，2，3.用表示取出的2个球中的最大号码，有放回地从袋中取两次，每次取1个球 (1)写出的分布列； (2)求的均值与方差. 3．（2024·河南·模拟预测）小王去自动取款机取款，发现自己忘记了6位密码的最后一位数字，他决定从0~9中不重复地随机选择1个进行尝试，直到输对密码，或者输错三次银行卡被锁定为止． (1)求小王的该银行卡被锁定的概率； (2)设小王尝试输入该银行卡密码的次数为X，求X的分布列、数学期望及方差． 4．（2024高二·全国月考）已知随机变量X的分布列是 X 1 2 3 P 0.4 0.2 0.4 则等于（    ） A．0 B．0.8 C．2 D．1 5．（2024高二·广西河池·期末）随机变量的概率分别为，，其中是常数，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 题型2：两点分布的方差 6．（2024高二·湖北省直辖县级单位·期中）袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记求的分布列和期望与方差． 7．（2024高三·陕西西安月考）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024高三·浙江温州月考）已知随机变量满足，，其中.令随机变量，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024高二·广东中山·期末）已知离散型随机变量X服从两点分布，且，则随机变量X的方差为 ． （二） 方差性质的应用 求随机变量Y＝aX＋b方差的方法： 求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解． 题型3：方差性质的应用 10．（2024高二·山东聊城·期末）若为离散型随机变量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2024高二·浙江温州·期中）已知随机变量的分布列如表： 0 1 2 m n 若，则 ． 12．（2024高二·吉林白山·期末）若随机变量满足，则（    ） A．0.8 B．1.6 C．3.2 D．0.2 13．（2024高二·山东枣庄·期末）已知离散型随机变量X的取值为有限个，，，则 ． 14．（2024高二·全国月考）设，若随机变量的分布列如下表： －1 0 2 P a 2a 3a 则下列方差中最大的是（    ） A． B． C． D． 15．（2024高二·江苏常州·期中）随机变量的分布列如下表，则 ； . 0 1 2 16．（2024高二·辽宁·期末）设随机变量的方差，则的值为 . 17．（2024高二·全国月考）离散型随机变量X的分布为： 0 1 2 4 5 若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的为 ． ①；②；③；④． 18．（2024高三·全国·中职高考）随机变量X的分布列如表所示，若，则 . X －1 0 1 P a b （三） 均值与方差的综合应用 1．均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断． 2．离散型随机变量的分布列、均值、方差之间存在着紧密的联系，利用题目中所给出的条件，合理地列出方程或方程组求解，同时也应注意合理选择公式，简化问题的解答过程． 题型4：均值与方差的综合应用 19．（2024高三·重庆黔江月考）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为45元，其余3个均为15元，求顾客所获的奖励额为60元的概率； (2)商场对奖励总额的预算是30000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请从如下两种方案中选择一种，并说明理由.方案一：袋中的4个球由2个标有面值15元和2个标有面值45元的两种球组成；方案二：袋中的4个球由2个标有面值20元和2个标有面值40元的两种球组成. 20．（2024高三·辽宁丹东·期末）已知某商业银行甲、乙两个风险理财项目的年利润率分别为和，利润率为负表示亏损，根据往年的统计数据得到和的分布列： 5 10 -2 P 0.6 0.15 0.25 4 6 12 -2.5 P 0.2 0.5 0.1 0.2 现有200万元资金准备投资到甲、乙两个风险理财项目一年． (1)在甲、乙两个项目上各投资100万元，和分别表示投资项目甲和乙所获得的年利润，求和； (2)项目甲投资x万元，项目乙投资万元，其中，，用表示投资甲项目的年利润方差与投资乙项目的年利润方差之和，问该如何分配这200万元资金，能使的数值最小？ 21．（2024高二·全国·课堂例题）设有甲、乙两地生产的两批原棉，它们的纤维长度X，Y的分布如表1、表2所示． 表1 X 25 24 23 22 21 20 P 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.2 表2 Y 25 24 23 22 21 20 P 0.05 0.2 0.25 0.3 0.1 0.1 试问：这两批原棉的质量哪一批较好？ 22．（2024高二·全国·单元测试）甲、乙两种零件某次性能测评的分值，的分布如下，则性能更稳定的零件是 ． 一、单选题 1．（2024高二·山东淄博·期末）已知随机变量X的方差为，则（    ） A．9 B．3 C． D． 2．（2024高二·安徽滁州·期末）已知随机变量的分布列为： 则随机变量的方差的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·浙江金华月考）已知随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 若，则（    ） A．>，> B．<，> C．>，< D．<，< 4．（2024高二·贵州遵义·期中）若随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024高二·福建三明·期末）已知袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个.现从袋中任取一球，X表示所取球的标号.若，则的值是（    ） A．1或2 B．0或2 C．2或3 D．0或3 6．（2024高二·江苏南通·期末）投资甲、乙两种股票，每股收益单位：元分别如下表： 甲种股票收益分布列 乙种股票收益分布列 收益 -1 0 2 收益 0 1 2 概率 0.1 0.3 0.6 概率 0.2 0.5 0.3 则下列说法正确的是（    ） A．投资甲种股票期望收益大 B．投资乙种股票期望收益大 C．投资甲种股票的风险更高 D．投资乙种股票的风险更高 7．（2024高二·山西忻州·期末）随机变量X的分布列如下所示． X 1 2 3 P a 2b a 则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（2024高二·全国月考）已知随机变量ξ的分布列如下： 若，则的最小值等于（  ） A．0 B．2 C．1 D． 9．（2024高二·广东东莞月考）已知随机变量X的概率分布如表.当在内增大时，方差的变化为（    ） X 1 P A．增大 B．减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 10．（2024·浙江湖州·模拟预测）设，随机变量的分布列为 0 1 2 P b 则当在内增大时（    ） A．增大 B．减小 C．先减小后增大 D．先增大后减小 二、多选题 11．（2024高二·全国月考）（多选）下列说法中错误的是（    ） A．离散型随机变量的均值反映了取值的概率的平均值 B．离散型随机变量的方差反映了取值的平均水平 C．离散型随机变量的均值反映了取值的平均水平 D．离散型随机变量的方差反映了取值的概率的平均值 12．（2024高二·广西河池·期末）已知随机变量满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．（2024高二·辽宁·期末）设随机变量的方差，则的值为 . 14．（2024高二·福建福州·期中）随机变量的概率分布列如下： －1 0 1 其中，，成等差数列，若随机变量的期望，则其方差＝ ． 15．（2024高二·内蒙古呼伦贝尔·期末）离散型随机变量的分布列为，，2，3，…，6，其期望为，若，则 . 16．（2024高二·全国月考）已知随机变量的取值为1、2、3，若与相等，且方差，则 ． 四、解答题 17．（2024高二·全国月考）已知随机变量X的分布列为 X 0 1 x P p 若， (1)求的值; (2)若，求的值. 18．（2024高二·北京昌平·期末）某网站为研究新闻点击量的变化情况，收集得到了该网站连续30天的新闻点击量变化数据，如下表所示.在描述新闻点击量变化时，用“↑”表示“上涨”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量高；用“↓”表示“下降”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量低；用“－”表示“不变”，即当天新闻点击量与前一天新闻点击量相同. 时段 新闻点击量 第1天到第15天 ↑ - ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ - ↓ ↓ 第16天到第30天 - ↑ - ↑ - ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ ↑ 用频率估计概率. (1)试估计该网站新闻点击量“下降”的概率； (2)从样本中的前15天和后15天中各随机抽取1天，记表示其中该网站新闻点击量“上涨”的天数，求的分布列和数学期望； (3)从样本给出的30天中任取1天，用“”表示该天新闻点击量“上涨”，“”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，然后继续统计接下来的10天的新闻点击量，其中有6天“上涨”、3天“下降”、1天“不变”，相应地，从这40天中任取1天，用“”表示该天新闻点击量“上涨”，“”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，直接写出方差，大小关系. 19．（2024高三·北京西城月考）为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的(1)班(8)班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（轴表示对应的班号，轴表示对应的优秀人数）：      (1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率； (2)若从以上统计的高一（2）班和高一（4）班的学生中各抽出1人，设表示2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的分布列及其数学期望； (3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第班抽到的这名同学身体素质不是优秀（）．写出方差的大小关系（不必写出证明过程）． 20．（2024·上海奉贤·模拟预测）某数学学习小组的5位学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试的成绩如下表所示（满分100分） 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 第一次 82 89 78 92 81 第二次 83 90 75 95 76 (1)在5位学生中依次抽取3位学生．在前2位学生中至少有1位学生第一次成绩高于第二次成绩的条件下，求第三位学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率； (2)设（，2，…，5）表示第i位学生第二次考试成绩减去第一次考试成绩的值．从数学学习小组5位学生中随机选取2位，得到数据，定义随机变量X如下：求X的分布列和数学期望EX和方差． 21．（2024高二·全国月考）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4．经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75． (1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率； (2)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望与方差． 22．（2024高三·北京顺义月考）为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000名顾客进行回访，调查结果如表： 运动鞋款式 A B C D E 回访顾客（人数） 700 350 300 250 400 满意度 注： 1．满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值； 2．对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度．假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率． (1)从所有的回访顾客中随机抽取1人，求此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率； (2)从A、E两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和数学期望； (3)用“”和“”分别表示对A款运动鞋满意和不满意，用“”和“”分别表示对B款运动满意和不满意，试比较方差与的大小．（结论不要求证明） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 7.3.2离散型随机变量的方差4题型分类 一、离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 我们称D(X)＝(x1－E(X))2 p1 ＋(x2－E(X))2 p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)． 二、几个常见的结论 (1)D(aX＋b)＝a2D(X)． (2)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)． （一） 求离散型随机变量的方差 求离散型随机变量的方差的类型及解决方法： (1)已知分布列型(非两点分布)：直接利用定义求解，先求均值，再求方差． (2)已知分布列是两点分布：直接套用公式D(X)＝p(1－p)求解． (3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况． 题型1：求离散型随机变量的方差 1．（2024高二·山东日照月考）甲乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求随机变量的概率分布、数学期望和方差． 【答案】分布列见解析，均值为，方差为. 【分析】求出的可能取值以及对应的概率，进而列出分布列，根据期望与方差的概念即可求出结果. 【解析】依题意，的所有可能取值为0,1,2， ；；， 所以的概率分布为： 0 1 2 P 数学期望， 方差. 2．（2024高二·全国月考）袋中有形状、大小完全相同的3个球，编号分别为1，2，3.用表示取出的2个球中的最大号码，有放回地从袋中取两次，每次取1个球 (1)写出的分布列； (2)求的均值与方差. 【答案】(1) 1 2 3 (2)； 【分析】（1）由题意得出的可能取值，再由概率公式计算得到相应的概率值，写出分布列即可； （2）结合（1）由期望与方差公式求解即可. 【解析】（1）题意知的可能取值为1，2，3， 当时，有一种情况； 当时，有，，三种情况； 当时，有，，，，五种情况； 则，，， 所以的分布列： 1 2 3 （2）的均值为：， 方差为. 3．（2024·河南·模拟预测）小王去自动取款机取款，发现自己忘记了6位密码的最后一位数字，他决定从0~9中不重复地随机选择1个进行尝试，直到输对密码，或者输错三次银行卡被锁定为止． (1)求小王的该银行卡被锁定的概率； (2)设小王尝试输入该银行卡密码的次数为X，求X的分布列、数学期望及方差． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望，方差． 【分析】（1）设“小王的该银行卡被锁定”为事件A，利用独立事件的概率公式计算即可； （2）由题意，X的所有可能取值为1，2，3，求出随机变量对应的概率，可得分布列与期望及方差. 【解析】（1）设“小王的该银行卡被锁定”为事件A， 则． （2）由题意，X的所有可能取值为1，2，3， 则，，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 所以数学期望， 方差． 4．（2024高二·全国月考）已知随机变量X的分布列是 X 1 2 3 P 0.4 0.2 0.4 则等于（    ） A．0 B．0.8 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据离散型随机变量的方差公式求解即可. 【解析】∵， ∴． 故选:B. 5．（2024高二·广西河池·期末）随机变量的概率分别为，，其中是常数，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先求得参数k的值，进而求得的值，再利用随机变量的方差的计算公式即可求得的值 【解析】，，，解得， ， . 故选：C. 题型2：两点分布的方差 6．（2024高二·湖北省直辖县级单位·期中）袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记求的分布列和期望与方差． 【答案】答案见解析 【分析】由服从两点分布写出分布列计算期望和方差即可求解. 【解析】由题设知服从两点分布，且，． 所以的分布列为 0 1 . 7．（2024高三·陕西西安月考）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点分布的期望和方差公式、二次函数的知识求得正确答案. 【解析】∵，，∴， ∵，， 二次函数在区间上单调递减， ∴，，且. 故选：D 8．（2024高三·浙江温州月考）已知随机变量满足，，其中.令随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意,列表求得随机变量及的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出和,根据比较大小即可得解. 【解析】随机变量满足,,其中. 则随机变量的分布列为: 所以 随机变量, 所以当时,,当时, 所以随机变量的分布列如下表所示(当时,只有一个情况,概率为1): 则 当即,解得.所以A、B错误. 恒成立. 所以C错误,D正确 故选:D 【点睛】本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题. 9．（2024高二·广东中山·期末）已知离散型随机变量X服从两点分布，且，则随机变量X的方差为 ． 【答案】 【分析】因为离散型随机变量X服从两点分布，设，所以，由题意可求出，所以可求出． 【解析】因为离散型随机变量X服从两点分布，设，所以， 所以，代入有：， 解得：，， 因为离散型随机变量X服从两点分布，所以. 故答案为：. （二） 方差性质的应用 求随机变量Y＝aX＋b方差的方法： 求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解． 题型3：方差性质的应用 10．（2024高二·山东聊城·期末）若为离散型随机变量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由方差的性质结合充分必要条件的定义判断即可. 【解析】由，解得， 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 11．（2024高二·浙江温州·期中）已知随机变量的分布列如表： 0 1 2 m n 若，则 ． 【答案】 【分析】根据离散型随机变量的分布列和两个信息，可求出，得值，再根据离散型随机变量方差的性质，即可求出答案． 【解析】，①， 又②， 联立①②得， 所以， 则． 故答案为：． 12．（2024高二·吉林白山·期末）若随机变量满足，则（    ） A．0.8 B．1.6 C．3.2 D．0.2 【答案】C 【分析】根据方差的性质计算可得. 【解析】因为，所以. 故选：C 13．（2024高二·山东枣庄·期末）已知离散型随机变量X的取值为有限个，，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意和方差公式，以及方差的线性公式即可求解. 【解析】因为， 由， 得. 故答案为：. 14．（2024高二·全国月考）设，若随机变量的分布列如下表： －1 0 2 P a 2a 3a 则下列方差中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用期望和方差的计算公式及其方差的性质分别求解即可. 【解析】由题意，得，则， 所以，， 所以，， 所以，， 即最大， 故选：C. 15．（2024高二·江苏常州·期中）随机变量的分布列如下表，则 ； . 0 1 2 【答案】 1 2.4 【分析】首先根据题意得到，从而得到，，再根据数学期望和方差的性质求解即可. 【解析】由题知：，， . ，. 故答案为：， 16．（2024高二·辽宁·期末）设随机变量的方差，则的值为 . 【答案】12 【分析】根据公式求解. 【解析】 故答案为：12 17．（2024高二·全国月考）离散型随机变量X的分布为： 0 1 2 4 5 若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的为 ． ①；②；③；④． 【答案】①③ 【分析】根据分布列的性质，求得，利用期望和方差的公式，求得的值，进而根据，进而求得的值，即可求解. 【解析】由离散型随机变量X的分布列的性质，可得， 则， ， 所以①③正确； 又由离散型随机变量Y满足，所以， ，所以②④错误， 故答案为：①③． 18．（2024高三·全国·中职高考）随机变量X的分布列如表所示，若，则 . X －1 0 1 P a b 【答案】5 【分析】利用离散型随机变量的分布列、数学期望的性质，列出方程组，求出，，由此能求出方差，再根据方差的性质计算可得． 【解析】依题意可得，解得， 所以， 所以. 故答案为：5. （三） 均值与方差的综合应用 1．均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断． 2．离散型随机变量的分布列、均值、方差之间存在着紧密的联系，利用题目中所给出的条件，合理地列出方程或方程组求解，同时也应注意合理选择公式，简化问题的解答过程． 题型4：均值与方差的综合应用 19．（2024高三·重庆黔江月考）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为45元，其余3个均为15元，求顾客所获的奖励额为60元的概率； (2)商场对奖励总额的预算是30000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请从如下两种方案中选择一种，并说明理由.方案一：袋中的4个球由2个标有面值15元和2个标有面值45元的两种球组成；方案二：袋中的4个球由2个标有面值20元和2个标有面值40元的两种球组成. 【答案】(1) (2)方案二，理由见解析 【分析】（1）由古典概型结合组合数公式求解； （2）分别求解两方案的均值和方差比较可得结果 【解析】（1）设顾客的奖励额为X,依题意得 （2）根据方案一，设顾客的奖励额为其可能取值为30，，30m60，90 ，， 根据方案二，设顾客的奖励额为其可能取值为40，60，80 ，， 商场对奖励总额的预算是30000元，故每个顾客平均奖励额最多为60，两方案均符合要求，但方案二奖励的方差比方案一小，所以应选择方案二 20．（2024高三·辽宁丹东·期末）已知某商业银行甲、乙两个风险理财项目的年利润率分别为和，利润率为负表示亏损，根据往年的统计数据得到和的分布列： 5 10 -2 P 0.6 0.15 0.25 4 6 12 -2.5 P 0.2 0.5 0.1 0.2 现有200万元资金准备投资到甲、乙两个风险理财项目一年． (1)在甲、乙两个项目上各投资100万元，和分别表示投资项目甲和乙所获得的年利润，求和； (2)项目甲投资x万元，项目乙投资万元，其中，，用表示投资甲项目的年利润方差与投资乙项目的年利润方差之和，问该如何分配这200万元资金，能使的数值最小？ 【答案】(1)， (2)投资甲项目105万元，投资乙项目95万元时有最小值 【分析】（1）根据和的分布列可列出利润和的分布列，并分别计算出其期望值，再利用方差计算公式即可得和； （2）由方差性质可得可得，再结合（1）中数据利用二次函数单调性即可求得结果. 【解析】（1）由题意可知（万元）和（万元）的分布列分别为 5 10 -2 P 0.6 0.15 0.25 4 6 12 -2.5 P 0.2 0.5 0.1 0.2 所以． ． 于是． （2）由题意可知，根据方差性质可得 ． 由二次函数性质可得，当，即时，取得最小值． 因此投资甲项目105万元，投资乙项目95万元时有最小值． 21．（2024高二·全国·课堂例题）设有甲、乙两地生产的两批原棉，它们的纤维长度X，Y的分布如表1、表2所示． 表1 X 25 24 23 22 21 20 P 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.2 表2 Y 25 24 23 22 21 20 P 0.05 0.2 0.25 0.3 0.1 0.1 试问：这两批原棉的质量哪一批较好？ 【答案】乙地原棉比甲地原棉的质量要好一些 【分析】根据所给的数据计算出两批原棉纤维长度的均值分，期望相同，再计算出两批原棉纤维长度的方差进行比较，方差越小说明原棉纤维长度越稳定，即可得出结论. 【解析】两批原棉纤维长度的均值分别为 ， ． 这两批原棉的纤维平均长度相等． 两批原棉纤维长度的方差分别为 ， ． 这说明乙地原棉纤维更加齐整，故乙地原棉比甲地原棉的质量要好一些． 22．（2024高二·全国·单元测试）甲、乙两种零件某次性能测评的分值，的分布如下，则性能更稳定的零件是 ． 8 9 10 P 0.3 0.2 0.5 8 9 10 P 0.2 0.4 0.4 【答案】乙 【分析】分别计算，的期望和方差，即可作出判断. 【解析】由题意知：， ， 所以， ， 因为，所以乙更稳定． 故答案为:乙． 一、单选题 1．（2024高二·山东淄博·期末）已知随机变量X的方差为，则（    ） A．9 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据，代入运算求解． 【解析】∵ 故选：C． 2．（2024高二·安徽滁州·期末）已知随机变量的分布列为： 则随机变量的方差的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由随机变量的分布列，求出的值，并根据二次函数的性质求出最大值． 【解析】解：由题意可得，， 则， 当，有最大值为． 故选：A． 3．（2024高三·浙江金华月考）已知随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 若，则（    ） A．>，> B．<，> C．>，< D．<，< 【答案】A 【分析】通过计算期望和方差来求得正确答案. 【解析】， ， 由于，所以. ， 同理可得. ， 所以. 故选：A 4．（2024高二·贵州遵义·期中）若随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方差的性质计算可得. 【解析】因为，所以. 故选：A 5．（2024高二·福建三明·期末）已知袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个.现从袋中任取一球，X表示所取球的标号.若，则的值是（    ） A．1或2 B．0或2 C．2或3 D．0或3 【答案】B 【分析】求出的可能取值及概率，从而得到的期望和方差，根据，列出方程，求出，再分两种情况，求解出的值. 【解析】由题意可知，的所有可能取值为， ， 由，得，即. 又，所以当时，由，得，此时； 当时，由，得，此时. 故选：B 6．（2024高二·江苏南通·期末）投资甲、乙两种股票，每股收益单位：元分别如下表： 甲种股票收益分布列 乙种股票收益分布列 收益 -1 0 2 收益 0 1 2 概率 0.1 0.3 0.6 概率 0.2 0.5 0.3 则下列说法正确的是（    ） A．投资甲种股票期望收益大 B．投资乙种股票期望收益大 C．投资甲种股票的风险更高 D．投资乙种股票的风险更高 【答案】C 【分析】先计算两个分布列的均值与方差，均值越大，收益越大，方差越大，风险越高，即可求解. 【解析】解：甲收益的期望， 方差， 乙收益的期望， 方差， 所以，，则投资股票甲乙的期望收益相等，投资股票甲比投资股票乙的风险高． 故选：C. 7．（2024高二·山西忻州·期末）随机变量X的分布列如下所示． X 1 2 3 P a 2b a 则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分布列得出，即可代入计算出，即可根据方差的运算率得出，令，求导得出，即可得出答案. 【解析】由题可知，即， ， ， 则， 令， 则， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以， 则的最大值为. 故选：D. 8．（2024高二·全国月考）已知随机变量ξ的分布列如下： 若，则的最小值等于（  ） A．0 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】由分布列的性质求出，由期望公式可得，由方差公式及二次函数的性质即可求解. 【解析】由题意得， 所以，即. 又， 所以当时，取最小值为0. 故选:A. 9．（2024高二·广东东莞月考）已知随机变量X的概率分布如表.当在内增大时，方差的变化为（    ） X 1 P A．增大 B．减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 【答案】D 【分析】求出期望与方差，结合二次函数的性质即可判断方差的单调性． 【解析】由分布列可得， 所以， 所以，当时，单调递减；当时，单调递增． 故选：D． 10．（2024·浙江湖州·模拟预测）设，随机变量的分布列为 0 1 2 P b 则当在内增大时（    ） A．增大 B．减小 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】A 【分析】根据随机变量分布列的性质，结合方差的公式、二次函数的性质进行求解即可. 【解析】根据随机变量分布列的性质可知，所以， 所以， 所以 ， 因为，所以单调递增， 故选：A 二、多选题 11．（2024高二·全国月考）（多选）下列说法中错误的是（    ） A．离散型随机变量的均值反映了取值的概率的平均值 B．离散型随机变量的方差反映了取值的平均水平 C．离散型随机变量的均值反映了取值的平均水平 D．离散型随机变量的方差反映了取值的概率的平均值 【答案】ABD 【分析】由均值和方差的定义，均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，即可判断A、C是否正确；方差反映了随机变量取值的集中分散情况，即可判断B、D是否正确；即可得答案． 【解析】离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，故C正确，A错误； 离散型随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，故B、D错误. 故选：ABD． 12．（2024高二·广西河池·期末）已知随机变量满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据期望及方差的性质即可求解. 【解析】，则,故A正确，B错误； ，则，故C正确，D错误. 故选：AC 三、填空题 13．（2024高二·辽宁·期末）设随机变量的方差，则的值为 . 【答案】12 【分析】根据公式求解. 【解析】 故答案为：12 14．（2024高二·福建福州·期中）随机变量的概率分布列如下： －1 0 1 其中，，成等差数列，若随机变量的期望，则其方差＝ ． 【答案】 【分析】利用等差中项的性质，分布列中概率和为1以及均值的计算公式构建方程求得，，，再由方差的计算公式求得答案. 【解析】因为，，成等差数列，则，又由分布列的性质，则， 所以得， 又因为随机变量的均值且, 故解得，， 所以. 故答案为：. 15．（2024高二·内蒙古呼伦贝尔·期末）离散型随机变量的分布列为，，2，3，…，6，其期望为，若，则 . 【答案】 【分析】根据方差的定义求得，然后利用方差性质求解即可. 【解析】由题意及方差定义知，所以. 故答案为： 16．（2024高二·全国月考）已知随机变量的取值为1、2、3，若与相等，且方差，则 ． 【答案】 【分析】设，计算，再根据方差公式计算得到答案. 【解析】设，则，，，故， . 故答案为： 四、解答题 17．（2024高二·全国月考）已知随机变量X的分布列为 X 0 1 x P p 若， (1)求的值; (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分布列有关知识，概率和为1，以及均值方差计算； （2）利用，则可得解. 【解析】（1）由题意可得：，解得， 所以. （2）因为，则， 所以. 18．（2024高二·北京昌平·期末）某网站为研究新闻点击量的变化情况，收集得到了该网站连续30天的新闻点击量变化数据，如下表所示.在描述新闻点击量变化时，用“↑”表示“上涨”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量高；用“↓”表示“下降”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量低；用“－”表示“不变”，即当天新闻点击量与前一天新闻点击量相同. 时段 新闻点击量 第1天到第15天 ↑ - ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ - ↓ ↓ 第16天到第30天 - ↑ - ↑ - ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ ↑ 用频率估计概率. (1)试估计该网站新闻点击量“下降”的概率； (2)从样本中的前15天和后15天中各随机抽取1天，记表示其中该网站新闻点击量“上涨”的天数，求的分布列和数学期望； (3)从样本给出的30天中任取1天，用“”表示该天新闻点击量“上涨”，“”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，然后继续统计接下来的10天的新闻点击量，其中有6天“上涨”、3天“下降”、1天“不变”，相应地，从这40天中任取1天，用“”表示该天新闻点击量“上涨”，“”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，直接写出方差，大小关系. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)，理由见解析 【分析】（1）30天中，有10天点击量下降，从而估计出相应的概率； （2）求出的可能取值及对应的概率，得到分布列，求出数学期望； （3）求出，，得到，同理得到，比较出大小. 【解析】（1）30天中，有10天点击量下降，故估计该网站新闻点击量“下降”的概率为； （2）前15天中，有5天的点击量上涨，后15天中，有7天上涨， 故的可能取值为， 则，， ， 故的分布列如下： 0 1 2 ； （3），理由如下： 由（2）知，样本给出的30天中点击量上涨的天数为12， 故，， 则，， 这40天中点击量上涨的天数为， 故，， 故，， 由于，故. 19．（2024高三·北京西城月考）为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的(1)班(8)班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（轴表示对应的班号，轴表示对应的优秀人数）：      (1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率； (2)若从以上统计的高一（2）班和高一（4）班的学生中各抽出1人，设表示2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的分布列及其数学期望； (3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第班抽到的这名同学身体素质不是优秀（）．写出方差的大小关系（不必写出证明过程）． 【答案】(1) (2)分布列见解析，1 (3) 【分析】（1）由频率即可估计概率， （2）根据独立事件的概率乘法公式即可求解概率， （3）根据两点分布的方差公式以及二次函数的单调性即可求解. 【解析】（1）从高一年级（1）班~（8）班学生中抽测了80人， 其中身体素质检测成绩优秀的人数有人，所以，优秀的概率是    因为是随机抽样，所以用样本估计总体，可知从高一年级学生中任意抽测一人， 该生身体素质检测成绩达到优秀的概率是 （2）因为高一（2）班抽出的10名同学中，身体素质监测成绩达到优秀的人数有6人，不优秀的有4人， 因为高一（4）班抽出的10名同学中，身体素质监测成绩达到优秀的人数有4人，不优秀的有6人， 所以从中抽出2人，的可能取值为 ，，， 所以的分布列为 数学期望 （3）， 理由：由于 且服从二点分布，所以， 由于在单调递减， 所以. 20．（2024·上海奉贤·模拟预测）某数学学习小组的5位学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试的成绩如下表所示（满分100分） 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 第一次 82 89 78 92 81 第二次 83 90 75 95 76 (1)在5位学生中依次抽取3位学生．在前2位学生中至少有1位学生第一次成绩高于第二次成绩的条件下，求第三位学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率； (2)设（，2，…，5）表示第i位学生第二次考试成绩减去第一次考试成绩的值．从数学学习小组5位学生中随机选取2位，得到数据，定义随机变量X如下：求X的分布列和数学期望EX和方差． 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为1，方差为. 【分析】（1）设出事件，计算出相关概率，再利用条件概率公式即可得到答案； （2）分析出的可能取值为0,1,2，分别计算其对应概率，再利用期望和方差公式即可. 【解析】（1）表中2人第一次成绩优于第二次成绩,3人第二次成绩优于第一次成绩. 设事件为在5名学生中先抽取2名学生其中至少有1名同学第一次成绩高于第二次成绩,事件为抽取的第三名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩. 则， ， 所以， 则抽一名学生，且该生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率为 . （2）共种， ， ， 随机变量可能的取值为0,1,2. ， 则随机变量的分布列为:， 的数学期望， . 21．（2024高二·全国月考）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4．经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75． (1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率； (2)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望与方差． 【答案】(1)0.38 (2) 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式分别求出只有甲，只有乙，只有丙合格的概率，再利用互斥事件的概率加法公式求出恰有一件合格的概率； （2）由已知确定随机变量ξ的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求期望、方差. 【解析】（1）分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，，， 则，，， 设表示第一次烧制后恰好有一件合格， ， 所以 ； （2）设甲、乙、丙经第二次烧制后合格为事件，，，分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件，，，则，，，，，， ，， 所以， ， ， ， 于是，， . 22．（2024高三·北京顺义月考）为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000名顾客进行回访，调查结果如表： 运动鞋款式 A B C D E 回访顾客（人数） 700 350 300 250 400 满意度 注： 1．满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值； 2．对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度．假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率． (1)从所有的回访顾客中随机抽取1人，求此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率； (2)从A、E两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和数学期望； (3)用“”和“”分别表示对A款运动鞋满意和不满意，用“”和“”分别表示对B款运动满意和不满意，试比较方差与的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1)顾客是款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率是． (2)的分布列见解答．的期望是1 (3) 【分析】（1）求出款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数，然后求解顾客是款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率． （2）的取值为0，1，2，设事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，说明事件与相互独立．然后求解的概率，得到分布列，然后求解期望． （3）由两点分布的方差公式计算比较与的大小． 【解析】（1）由题意知，是款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数为， 故从所有的回访顾客中随机抽取1人，此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率是． （2）的取值为0，1，2．设事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”， 事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”， 且事件与相互独立． 根据题意，，． 则， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 0.24 0.52 0.24 的期望是：． （3）都服从两点分布，，， ，， 所以. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$