7.3.1离散型随机变量的均值5题型分类(讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 7.3.1离散型随机变量的均值5题型分类 一、离散型随机变量的均值或数学期望 1．若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望． 2．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 二、两点分布的期望 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p． 三、离散型随机变量的均值的性质 设X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n,则E(aX＋b)＝aE(X)＋b． （一） 求均值或数学期望 求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步： (1)确定X的可能取值. (2)计算出P(X＝k). (3)写出分布列. (4)利用E(X)的计算公式计算E(X). 题型1：两点分布的均值 1．（2024高二·山西吕梁·期中）已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】D 【分析】根据两点分布的期望即可求解. 【解析】随机变量服从两点分布，设成功的概率为， ． 故选:D． 2．（2024高二·浙江嘉兴·期中）已知随机变量X的取值为0，1，若，则X的均值为 . 【答案】/ 【分析】X服从两点分布，结合两点分布的均值公式，即可求解. 【解析】由题意可得，X服从两点分布， ， 故. 故答案为：. 3．（2024高二·山西太原·期中）设随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】D 【分析】由题意可得，再结合，可求出，从而可求出 【解析】由题意得， 因为， 所以解得， 所以， 故选：D 4．（2024高二·山西朔州月考）已知随机变量X服从两点分布，，则 ， . 【答案】 0.66 0.34 【分析】由两点分布的性质及期望公式即可得出结论. 【解析】由两点分布可知， . 故答案为：0.66;0.34. 题型2：求均值或数学期望 5．（2024·福建漳州·模拟预测）2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为. (1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率； (2)求离散型随机变量的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）设出事件，得到相应的概率，相加后得到答案； （2）得到随机变量的可能取值及对应的概率，得到分布列和数学期望. 【解析】（1）记事件为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为分”， 则，，. 记事件为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为分”， 则，，. 记事件为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”， 则 ， 则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为. （2）由题知离散型随机变量的所有可能取值分别为2，4，6，8，10， ， ， ， ， ， 则离散型随机变量的分布列为 2 4 6 8 10 所以数学期望. 6．（2024高三·北京通州·期末）民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔等5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为.假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生甲､乙､丙三人报名民航招飞. (1)估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率； (2)求甲､乙､丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率； (3)根据甲､乙､丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，设甲､乙､丙三人能被招飞院校录取的人数为X，求X的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）由相互独立事件同时发生的概率乘法公式可得； （2）可看成次独立重复试验模型求解概率； （3）分别计算出甲、乙、丙能被招飞院校录取的概率，按步骤求出离散型随机变量的分布列. 【解析】（1）因为每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为，且能否通过相互独立， 所以估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率. （2）因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为， 所以甲､乙､丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率. （3）因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为，且预估甲､乙､丙三人的高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为， 所以甲能被招飞院校录取的概率， 乙能被招飞院校录取的概率， 丙能被招飞院校录取概率. 依题意的可能取值为， 所以， ， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 7．（2024高三·广东深圳月考）已知某足球赛事的决赛将在甲、乙两队之间进行.其规则为：每一场比赛均须决出胜负，按主、客场制先进行两场比赛（第一场在甲队主场比赛），若某一队在前两场比赛中均获胜，则该队获得冠军；否则，两队需在中立场进行第三场比赛，且其获胜方为冠军.已知甲队在主场、客场、中立场获胜的概率依次为，，，且每场比赛的胜负均相互独立. (1)当甲队获得冠军时，求决赛需进行三场比赛的概率； (2)若主办方在决赛的前两场中共投资（千万元），则能在这两场比赛中共盈利（千万元）.如果需进行第三场比赛，且主办方在第三场比赛中投资（千万元），则能在该场比赛中盈利（千万元）.若主办方最多能投资一千万元，请以决赛总盈利的数学期望为决策依据，则其在前两场的投资额应为多少万元？ 【答案】(1) (2)主办方在决赛的前两场的投资额应为千万元，即万元. 【分析】（1）根据条件概率的知识求得正确答案. （2）先其的总盈利的分布列，然后计算出对应的数学期望，利用换元法，结合二次函数的性质求得正确答案. 【解析】（1）记“甲队获得冠军”为事件，“决赛进行三场比赛”为事件， 由题可知， ， ∴当甲队获得冠军时，决赛需进行三场比赛的概率为. （2）设主办方在决赛前两场中共投资（千万元）， 其中， 若需进行第三场比赛，则还可投资（千万元）， 记随机变量为决赛的总盈利，则可以取，， ∴，， ∴随机变量的分布列为 ∴的数学期望， 令，则， ∴当，即时，取得最大值， ∴主办方在决赛的前两场的投资额应为千万元，即万元. 8．（2024高二·江苏连云港·期末）已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 P 0.64 q2 1－2q 则E(X)=（    ） A．0.56 B．0.64 C．0.72 D．0.8 【答案】A 【分析】由概率之和为1可求出的值，再根据分布列直接计算均值.. 【解析】由题可得，解得或， 当时，，不符合题意，舍去， ； 所以可得分布列为 X 0 1 2 P 0.64 0.16 0.2 ， 故选：A. 9．（2024高二·江苏徐州·期中）设为正实数，若随机变量的分布列为，则（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】先由概率和为1，求出a，再求. 【解析】因为随机变量的分布列为， 所以，解得：a=3. 所以. 故选：C 10．（2024高二·全国月考）设随机变量的分布列为： 0 1 2 P 则的数学期望的最小值是(    ) A． B．0 C．2 D．随p的变化而变化 【答案】A 【分析】根据分布列和概率的性质求出p的范围，再求数学期望关于p的函数即可求其最小值. 【解析】由分布列的性质得，解得， ， ∴的最小值为. 故选：A. 题型3：根据均值或数学期望求参数 11．（2024高二·辽宁铁岭·期中）设随机变量X的分布列如下表所示，且，则等于（    ） X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根数学期望的公式，结合概率的性质求解即可 【解析】由分布列的性质可得，，即①， ， ，即②， 联立①②解得，， 故． 故选：A． 12．（2024高二·北京·期中）某篮球运动员一次投篮得分的分布列为： 若他在一次投篮中得分的期望，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据离散型随机变量数学期望求解公式可得，利用基本不等式可求得结果. 【解析】由题意得：， （当且仅当时取等号），. 即的最大值为. 故选：D. （二） 离散型随机变量均值的性质 离散型随机变量性质有关问题的解题思路： 若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y)． 也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y)． 题型4：数学期望的性质 13．（2024高三·全国月考）已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意，先计算出，再表示，建立等式，解出即可. 【解析】结合题意：， 因为，所以，解得：， 故选：A. 14．（2024高二·北京月考）已知随机变量的分布列是，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布列的性质求出，即可求出，再根据期望的性质计算可得； 【解析】解：依题意可得，解得， 所以， 所以； 故选：C 15．（2024高二·黑龙江绥化·期末）设的分布列如表所示，又设，则等于（ ） 1 2 3 4 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分布列求出，再根据期望的性质计算可得. 【解析】解：依题意可得， 所以． 故选：D． 16．（2024高二·陕西西安月考）已知离散型随机变量X的分布列如表：若离散型随机变量，则 ． 0 1 2 3 【答案】/ 【分析】先求出随机变量的概率，再求出，最后根据性质求出即可. 【解析】由题 ， 所以， 由， 所以， 故答案为：. 17．（2024高二·山西朔州·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】直接根据均值公式结合已知条件，解方程即可得出所求的答案. 【解析】由，可得. 故答案为： 18．（2024高二·湖南长沙·期末）随机变量X的分布列如表，则的值为（    ） X 1 2 3 P 0.2 A 0.4 A．4.4 B．7.4 C．21.2 D．22.2 【答案】B 【分析】根据期望公式求，然后由期望性质可得. 【解析】由得， 所以， 所以. 故选：B 19．（2024·上海·模拟预测）随机变量的分布列如下列表格所示，其中为的数学期望，则 . 1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.3 0.1 【答案】0 【分析】根据离散型随机变量的分布列的数学期望公式求解即可. 【解析】根据概率的性质可得解得， 所以， 所以. 故答案为:0. （三） 离散型随机变量均值的应用 解答实际问题的技巧： (1)把实际问题概率模型化； (2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列； (3)利用公式求出相应均值． 题型5：离散型随机变量均值的应用 20．（2024·山西临汾·模拟预测）现有5个红色气球和4个黄色气球，红色气球内分别装有编号为1，3，5，7，9的号签，黄色气球内分别装有编号为2，4，6，8的号签.参加游戏者，先对红色气球随机射击一次，记所得编号为，然后对黄色气球随机射击一次，若所得编号为，则游戏结束；否则再对黄色气球随机射击一次，将从黄色气球中所得编号相加，若和为，则游戏结束；否则继续对剩余的黄色气球进行射击，直到和为为止，或者到黄色气球打完为止，游戏结束. (1)求某人只射击两次的概率； (2)若某人射击气球的次数与所得奖金的关系为，求此人所得奖金的分布列和期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用古典概型计算概率的公式和概率的基本性质计算即可； （2）分别求出射击两次、三次、四次和五次的概率，然后列分布列求期望即可. 【解析】（1）设表示事件：对红色气球随机射击一次，所得编号为，则， 设表示事件：对黄色气球随机射击一次，所得编号为，则， 表示事件：某人只射击两次. 则 . 即某人只射击两次的概率为. （2）由题知的可能取值为2，3，4，5，为30，20，10，0， 其概率分别为， ， ， ， 的分布列为 0 10 20 30 . 21．（2024高三·贵州贵阳月考）某校高三年级嘟嘟老师准备利用高中数学知识对甲、乙、丙三名学生在即将到来的全省适应性考试成绩进行预测，为此，他收集了三位同学近三个月的数学月考、周测成绩（满分150分），若考试成绩超过100分则称为“破百”． 甲：74，85，81，90，103，89，92，97，109，95； 乙：95，92，97，99，89，103，105，108，101，113； 丙：92，102，97，105，89，94，92，97． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三名同学的考试成绩相互独立． (1)分别估计甲、乙、丙三名同学“破百”的概率； (2)设这甲、乙、丙三名同学在这次决赛上“破百”的人数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)甲同学“破百”的概率为，乙同学“破百”的概率为，丙同学“破百”的概率为 (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）利用古典概型的概率公式直接计算得解； （2）写出的可能取值，计算对应的概率，根据期望公式求解即可. 【解析】（1）甲同学“破百”的概率为， 乙同学“破百”的概率为， 丙同学“破百”的概率为． （2）的可能取值为0，1，2，3，则： ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以，期望． 22．（2024高二·上海·期末）年月日至月日在国家会展中心举办中国国际进口博览会期间，为保障展会的顺利进行，有、两家外卖公司负责为部分工作者送餐.两公司某天各自随机抽取名送餐员工，统计公司送餐员工送餐数，得到如图频率分布直方图；统计两公司样本送餐数，得到如图送餐数分布茎叶图，已知两公司样本送餐数平均值相同.    (1)求的值 (2)求、的值 (3)为宣传道路交通安全法，并遵循按劳分配原则，公司决定员工送餐份后，每多送份餐对其进行一次奖励，并制定了两种不同奖励方案： 方案一：奖励现金红包元. 方案二：答两道交通安全题，答对题奖励元，答对题奖励元，答对题奖励元.员工每一道题答题相互独立且每题答对概率为与该员工交通安全重视程度相关）. 求下表中的值（用表示）；从员工收益角度出发，如何选择方案较优？并说明理由. 附：方案二综合收益满足公式，为该员工被奖励次数. 方案二奖励 元 元 元 概率 【答案】(1) (2)， (3)，答案见解析 【分析】（1）根据两公司样本送餐数平均值相同，可得出关于的等式，解之即可； （2）在公司中，送餐数在区间和送参数在区间的员工人数之比为，结合频率分布直方图可求得的值，利用所有直方图面积之和为可求得的值； （3）利用独立重复试验的概率公式求出，并求出、，可得出方案一、二综合收益的期望，比较大小后可得出结论. 【解析】（1）解：因为两公司样本送餐数平均值相同， 则， 则. （2）解：因为公司中，送餐数在区间和送餐数在区间的员工人数之比为， 则，可得， 由频率分布直方图可知，. （3）解：由题意知，，， 方案一的综合收益满足， 方案二综合收益满足， ， 由可得，解得， 故当时，方案一较优； 由可得，解得， 故当时，方案一和方案二收益相同； 由可得，解得， 故当时，方案二较优. 23．（2024·全国·模拟预测）2023年国庆节假期期间，某超市举行了购物抽奖赢手机活动．活动规则如下：在2023年9月29日到2023年10月6日期间，消费金额（单位：元）不低于100元的顾客可以参与一次活动（假设每名顾客只消费一次），每5人一组，每人可以随机选取A或B两个字母，其中选取相同字母的人数较少者每人获得10元购物券，其他人获得抽取价值6999元手机的资格（例如5人中有2人选取A，则这2人每人获得10元购物券，另外3人获得抽取手机的资格；5人全部选取A，则这5人均获得抽取手机的资格），根据统计，在此活动期间，顾客在该超市消费金额的频率分布直方图如图所示． (1)从活动期间在该超市购物的顾客中随机选取2名，求这2名顾客中恰有1人获得10元购物券的概率 (2)设每5人组获得购物券的人数为X． （ⅰ）求X的分布列与数学期望： （ⅰⅰ）若超市计划投入的活动经费（购买手机的费用与发放的购物券金额总和）不超过顾客消费总金额的10%，则每1000名顾客最多送出多少部手机？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） 【答案】(1) (2)（ⅰ）分布列见解析， （ⅱ）3 【分析】（1）根据古典概型计算公式，结合频率分布直方图进行求解即可； （2）（ⅰ）根据古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可； （ⅱ）根据频率分布直方图，通过计算平均数进行判断即可. 【解析】（1）由频率分布直方图可知，每名顾客获得抽奖资格的概率为． 参与抽奖的顾客获得10元购物券的概率为， 则每名顾客获得10元购物券的概率， 则这2名顾客中恰有1人获得10元购物券的概率． （2）（ⅰ）的所有可能取值为0，1，2， ，，， 则的分布列为 0 1 2 则的数学期望． （ⅱ）由频率分布直方图可知，顾客消费金额的平均值（元）， 则1000名顾客的消费总金额为（元）． 设每1000名顾客最多送出部手机， 则， 又，所以，故每1000名顾客最多送出3部手机． 一、单选题 1．（2024高二·重庆·期末）已知随机变量的期望为，则（    ） A．9 B．11 C．27 D．29 【答案】B 【分析】根据期望的性质计算可得. 【解析】因为，所以. 故选：B 2．（2024高二·山西忻州·期中）某同学求得的一个离散型随机变量的分布列为（    ） X 1 2 3 P 0.2 m n 若，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【分析】根据概率之和为、离散型随机变量的期望公式列出方程组求解即可. 【解析】由题意可得，， 即，所以. 故选：B 3．（2024高二·湖南长沙·期末）随机变量X的分布列如表，则的值为（    ） X 1 2 3 P 0.2 A 0.4 A．4.4 B．7.4 C．21.2 D．22.2 【答案】B 【分析】根据期望公式求，然后由期望性质可得. 【解析】由得， 所以， 所以. 故选：B 4．（2024高三·全国月考）已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意，先计算出，再表示，建立等式，解出即可. 【解析】结合题意：， 因为，所以，解得：， 故选：A. 5．（2024高二·全国月考）已知离散型随机变量的概率分布列如下表：则数学期望等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用概率和为1计算出的概率，结合期望公式计算即可. 【解析】结合表格可知， 即，解得：， 所以. 故选:D. 6．（2024高二·全国月考）某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜错得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X的均值（    ） A．0.9 B．0.8 C．1.2 D．1.1 【答案】A 【分析】按步骤写出分布列，再利用均值公式即可. 【解析】依题意得，的可能取值为0，1，2， ， ， ． 可得X的分布列如表所示： 0 1 2 0.3 0.5 0.2 . 故选：A． 7．（2024高二·江苏月考）某实验测试的规则是：每位学生最多可做实验3次，一旦实验成功，则停止实验，否则一直做到3次为止.设某学生一次实验成功的概率为，实验次数为随机变量，若的数学期望，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到X的所有可能取值为1,2,3，再求出相应概率，计算得到X的数学期望，得到不等式后求解即可. 【解析】X的所有可能取值为1,2,3， ，，， 由， 解得或， 又因为，所以. 故选：A. 8．（2024·全国·模拟预测）已知某多选题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．若选项中有（其中）个选项符合题目要求，记随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知：当至少选择一个选项时，共有（种）可能，根据期望的定义分别求，进而分析判断. 【解析】由题意可知：当至少选择一个选项时，共有（种）可能， 因为可取0，2，5， 且， 所以． 又因为可取0，2，5， 且， 所以． 而可取2，5，且，则， 所以； 即，所以，故D正确． 故选：D． 9．（2024高三·江西宜春月考）从1-20中随机抽取3个数，记随机变量为这3个数中相邻数组的个数.如当这三个数为11，12，14时，；当这三个数为7，8，9时，.则的值约为（    ） A．0.22 B．0.31 C．0.47 D．0.53 【答案】B 【分析】确定随机变量的取值为0，1，2，结合变量对应的事件写出概率，即可计算出期望. 【解析】随机变量的取值为0，1，2， 当时，所取的三个数中仅两个数相邻，两数相邻有19种情况， 其中相邻两数取1，2和19，20时，对应取法为17种， 其余17种情况取法均有16种，， 当时，即所取的三个数中两两相邻，取法有18种，， 所以当时，即所取的三个数彼此不相邻，取法有种， ， . 故选：B. 二、多选题 10．（2024高二·全国月考）（多选）已知随机变量的分布列为： 4 9 10 0.3 0.1 0.2 若，则以下结论正确的是（    ） A．无法确定 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据分布列的性质、期望的公式，以及均值的性质，即可求解. 【解析】由分布列的性质，可得，解得，故B正确； 又由，解得，故A不正确； 由均值的性质，可知，故C正确； 又由，故D正确． 故选：BCD． 11．（2024高三·江苏南通·期末）设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数，Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数，则下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当（且）时， D．当时，Y的均值为 【答案】BCD 【分析】此题考查条件概率、概率的乘法公式以及随机变量的分布列与均值，本题要注意两个随机变量X，Y的取值范围. 【解析】对于选项A：当时，，， 则，故A错误； 对于选项B，当时，由，，可得，或，， 所以，故B正确； 对于选项C，当（且）时，，，则，故选项C正确； 对于选项D，当时，Y的可能取值为1，2， 则， ， 所以Y的均值为，故D正确． 故选：BCD 三、填空题 12．（2024高二·广东广州月考）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么 ． 【答案】 【解析】先求出，再由随机变量的线性关系的期望性质，即可求解. 【解析】， 故答案为： 【点睛】本题考查两点分布的期望和期望的性质，属于基础题. 13．（2024高二·广东肇庆·期末）已知随机变量的分布列如下表所示，若，则 ． 【答案】/ 【分析】利用分布列的性质结合期望公式可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合表格可求得的值. 【解析】由分布列的性质和期望公式可得，解得， 因此，. 故答案为：. 14．（2024高二·山西朔州·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】直接根据均值公式结合已知条件，解方程即可得出所求的答案. 【解析】由，可得. 故答案为： 15．（2024高二·上海月考）已知随机变量的分布为，且，则 . 【答案】/ 【分析】 先求出，再根据线性关系公式求出 【解析】 由题意得， 故. 故答案为： 16．（2024高三·天津河东月考）设随机变量X的概率分布列为： X 1 2 3 4 P m n 已知，则 . 【答案】/0.5 【分析】根据X的数学期望和分布列的概率之和为1列出方程组，求出即可. 【解析】依题意有，解得， 则. 故答案为：. 17．（2024·上海奉贤·模拟预测）已知随机变量的分布为，且，若，则实数 ． 【答案】 【分析】由期望性质可得答案. 【解析】因，则. 又，则. 故选：. 四、解答题 18．（2024高三·四川雅安·期中）为了促进消费，某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动：每位会员客户可在价值80元，90元，100元的，，三种商品中选择一种使用积分进行兑换，每10积分可兑换1元.已知参加活动的甲、乙两位客户各有1000积分，且甲兑换，，三种商品的概率分别为，，，乙兑换，，三种商品的概率分别为，，，且他们兑换何种商品相互独立. (1)求甲、乙两人兑换同一种商品的概率； (2)记为两人兑换商品后的积分总余额，求的分布列与期望 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）应用独立乘法公式、互斥事件加法求甲、乙两人兑换同一种商品的概率； （2）根据题设确定的可能取值并确定对应概率，即可写出分布列，进而求期望. 【解析】（1）由题可知，甲、乙两人兑换同一种商品的概率为； （2）由题意，兑换，，三种商品所需的积分分别为800，900，1000， 则的取值可能为0，100，200，300，400， ，， ，， ， 则的分布列为 0 100 200 300 400 . 19．（2024·全国·模拟预测）新冠疫情下，为了应对新冠病毒极强的传染性，每个人出门做好口罩防护工作刻不容缓．某口罩加工厂加工口罩由三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级(表示最低过滤效率为99.97%)；工序的加工质量层次为高，工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级(表示最低过滤效率为99%)；其余均为95级(表示最低过滤效率为95%)． 表①:表示三道工序加工质量层次为高的概率；表②:表示加工一个口罩的利润． 表①                                 工序 概率 表② 口罩等级 100等级 99等级 95等级 利润/元 (1)表示一个口罩的利润，求的分布列和数学期望； (2)由于工厂中工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对工序进行升级．在升级过程中，每个口罩检测成本增加了()元时，相应的工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了;试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，则与应该满足怎样的关系? 【答案】(1)分布列见解析， (2)() 【分析】（1）由题意可知：的可能取值为，，，分别求出100等级，99等级，95等级的概率，列分布列计算数学期望即可； （2）改良后一件产品的利润的可能取值为，，，分别求出改良后100等级，99等级，95等级的概率，求出数学期望与比较即可. 【解析】（1）的可能取值为，，， ；；； 所以的分布列为 （2）设升级后一件产品的利润为，则的可能取值为，， ； ； ； 所以， 由得，解得， 所以与满足的关系为(). 20．（2024·上海黄浦·模拟预测）某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售.若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货.该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据.（注：视频率为概率，）. 每天下午6点前的销售量/千克 250 300 350 400 450 天数 10 10 5 (1)求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率； (2)在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望； (3)若该超市以当天的利润期望值为决策依据，当购进350千克的期望值比购进400千克的期望值大时，求的最小值. 【答案】(1) (2)分布答案见解析， (3) 【分析】（1）由表格中的数据，结合对立事件的概率公式，即可求解； （2）根据题意，得到随机变量的可能值为，结合独立重复试验的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望公式，即可求解； （3）分别求得购进350千克和400千克时利润的期望值，列出不等式，求得，再由且，得到，即可求解. 【解析】（1）解：由表格中的数据，可得1天下午6点前的销售量不小于350千克的概率为. （2）解：依题意，1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率， 随机变量的可能值为， 可得， 所以随机变量的分布为： 0 1 2 所以的数学期望. （3）解：购进350千克时利润的期望值：， 购进400千克时利润的期望值：， 由，解得， 因为且，因此， 所以的最小值是. 21．（2024·全国·模拟预测）2023年11月19日，以“激发创新活力，提升发展质量”为主题的第二十五届中国国际高新技术成果交易会（以下简称“高交会”）在深圳闭幕，作为“中国科技第一展”的高交会距今已有25年的历史．福田展区的专业展设有新一代信息技术展、环保展、新型显示展、智慧城市展、数字医疗展、高端装备制造展等六类．现统计了每个展区的备受关注率﹝一个展区中受到所有相关人士（或企业）关注的企业数与该展区的参展企业数的比值﹞，如下表： 展区类型 新一代信 息技术展 环保展 新型显示展 智慧城市展 数字医疗展 高端装备 制造展 展区的企 业数量/家 60 360 650 450 70 990 备受关注率 0.20 0.10 0.24 0.30 0.10 0.20 (1)从参展的6个展区的企业中随机选取一家企业，求这家企业是“新型显示展”展区备受关注的企业的概率． (2)若视备受关注率为概率，某电视台现要从“环保展”“智慧城市展”“高端装备制造展”3个展区中随机抽取2个展区，再从抽出的2个展区中各抽取一家企业进行采访，求采访的两家企业都是备受关注的企业的概率． (3)从“新一代信息技术展”展区备受关注的企业和“数字医疗展”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访．记为这2家企业中来自“新一代信息技术展”展区的企业数量，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) (3)，分布列见解析. 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算即可求解； （2）利用条件概率和全概率公式计算即可求解； （3）求出“新一代信息技术展”、 “数字医疗展”展区中备受关注的企业数量，确定X的值，利用超几何分布求出对应的概率，列出分布列，结合数学期望计算公式求解即可. 【解析】（1）根据统计表，所有展区的企业数量为， 其中“新型显示展”展区备受关注的企业数量为． 所以所求概率为． （2）用事件A，，分别表示从3个展区中随机抽取2个展区为“环保展与智慧城市展”“环保展与高端装备制造展”“智慧城市展与高端装备制造展”， 事件表示“采访的两家企业都是备受关注的企业”， 则 ． （3）“新一代信息技术展”展区中备受关注的企业数量为， “数字医疗展”展区中备受关注的企业数量为． 易知所有可能的取值为0，1，2． 所以，，． 故的分布列为 0 1 2 则． 22．（2024高二·上海·期末）年月日至月日在国家会展中心举办中国国际进口博览会期间，为保障展会的顺利进行，有、两家外卖公司负责为部分工作者送餐.两公司某天各自随机抽取名送餐员工，统计公司送餐员工送餐数，得到如图频率分布直方图；统计两公司样本送餐数，得到如图送餐数分布茎叶图，已知两公司样本送餐数平均值相同.    (1)求的值 (2)求、的值 (3)为宣传道路交通安全法，并遵循按劳分配原则，公司决定员工送餐份后，每多送份餐对其进行一次奖励，并制定了两种不同奖励方案： 方案一：奖励现金红包元. 方案二：答两道交通安全题，答对题奖励元，答对题奖励元，答对题奖励元.员工每一道题答题相互独立且每题答对概率为与该员工交通安全重视程度相关）. 求下表中的值（用表示）；从员工收益角度出发，如何选择方案较优？并说明理由. 附：方案二综合收益满足公式，为该员工被奖励次数. 方案二奖励 元 元 元 概率 【答案】(1) (2)， (3)，答案见解析 【分析】（1）根据两公司样本送餐数平均值相同，可得出关于的等式，解之即可； （2）在公司中，送餐数在区间和送参数在区间的员工人数之比为，结合频率分布直方图可求得的值，利用所有直方图面积之和为可求得的值； （3）利用独立重复试验的概率公式求出，并求出、，可得出方案一、二综合收益的期望，比较大小后可得出结论. 【解析】（1）解：因为两公司样本送餐数平均值相同， 则， 则. （2）解：因为公司中，送餐数在区间和送餐数在区间的员工人数之比为， 则，可得， 由频率分布直方图可知，. （3）解：由题意知，，， 方案一的综合收益满足， 方案二综合收益满足， ， 由可得，解得， 故当时，方案一较优； 由可得，解得， 故当时，方案一和方案二收益相同； 由可得，解得， 故当时，方案二较优. 23．（2024高二·山东菏泽·期末）已知随机变量的分布列为： 5 6 7 8 9 0.1 0.2 0.3 (1)若，求、的值； (2)记事件：；事件：为偶数.已知，求，的值. 【答案】(1)，； (2),. 【分析】（1）由随机变量分布列的性质和联立方程，解出即可； （2）由事件：,可得，又事件：为偶数,得，再根据条件概率可求得的值. 【解析】（1）由随机变量分布列的性质, 有, 得，即, 又 ， 解得,. （2）由事件：, 得， 又事件：为偶数,得， 所以,解得. 由(1)知,所以. 所以,. 24．（2024·广东揭阳·模拟预测）根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为： 1 2 3 0 概率 其中，.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子（），事件表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多.） (1)为了调控未来人口结构，其中参数受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等），是否存在的值使得，请说明理由； (2)若，求，并根据全概率公式，求. 【答案】(1)不存在的值使得，理由见解析 (2)， 【分析】（1）由概率之和为1和期望公式得到方程组，联立得到，令，，求导得到其单调性和极值，最值情况，从而得到答案； （2）由和求出，并用全概率公式求出. 【解析】（1）不存在的值使得，理由如下： 由题意得，①， 且②， 由②得到，将其代入①，整理得到， 令，，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值， 又， 故无解， 所以不存在的值使得； （2）若，则，解得， ，，， 由全概率公式可得， 因为，，所以. 25．（2024高三·北京通州·期末）民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔等5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为.假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生甲､乙､丙三人报名民航招飞. (1)估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率； (2)求甲､乙､丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率； (3)根据甲､乙､丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，设甲､乙､丙三人能被招飞院校录取的人数为X，求X的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）由相互独立事件同时发生的概率乘法公式可得； （2）可看成次独立重复试验模型求解概率； （3）分别计算出甲、乙、丙能被招飞院校录取的概率，按步骤求出离散型随机变量的分布列. 【解析】（1）因为每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为，且能否通过相互独立， 所以估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率. （2）因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为， 所以甲､乙､丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率. （3）因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为，且预估甲､乙､丙三人的高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为， 所以甲能被招飞院校录取的概率， 乙能被招飞院校录取的概率， 丙能被招飞院校录取概率. 依题意的可能取值为， 所以， ， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 26．（2024·山西临汾·模拟预测）魔方，又叫鲁比可方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具．魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一．通常意义下的魔方，是指狭义的三阶魔方．三阶魔方形状通常是正方体，由有弹性的硬塑料制成．常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原．广义的魔方，指各类可以通过转动打乱和复原的几何体．魔方与华容道、法国的单身贵族（独立钻石棋）并称为智力游戏界的三大不可思议．在2018WCA世界魔方芜湖公开赛上，杜宇生以3.47秒的成绩打破了三阶魔方复原的世界纪录，勇夺世界魔方运动的冠军，并成为世界上第一个三阶魔方速拧进入4秒的选手． (1)小王和小吴同学比赛三阶魔方，已知小王每局比赛获胜的概率均为，小吴每局比赛获胜的概率均为，若采用三局两胜制，两人共进行了局比赛，求的分布列和数学期望； (2)小王和小吴同学比赛四阶魔方，首局比赛小吴获胜的概率为0.5，若小王本局胜利，则他赢得下一局比赛的概率为0.6，若小王本局失败，则他赢得下一局比赛的概率为0.5，为了赢得比赛，小王应选择“五局三胜制”还是“三局两胜制”？ 【答案】(1)分布列见解析； (2)小王应选择“五局三胜制” 【分析】（1）依题意得到的可能取值，再利用独立事件与互斥事件的概率公式求得其对应的概率，从而得解； （2）分类讨论小王不同选择下对应的获胜概率，从而得解. 【解析】（1）因为采用三局两胜制，所以的可能取值为， 表示小王或小吴连胜两局；表示小王与小吴前两局一胜一负； 所以，， 所以的分布列为： 则的数学期望为. （2）若小王选择“三局两胜制”， 则小王获胜的情况为：胜胜；胜负胜；负胜胜； 则小王获胜的概率为； 若小王选择“五局三胜制”， 则小王获胜的情况为：胜胜胜；胜胜负胜；胜负胜胜；负胜胜胜；胜胜负负胜；胜负胜负胜；胜负负胜胜；负负胜胜胜；负胜负胜胜；负胜胜负胜； 则小王获胜的概率为 ， 因为， 所以小王应选择“五局三胜制”. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 7.3.1离散型随机变量的均值5题型分类 一、离散型随机变量的均值或数学期望 1．若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望． 2．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 二、两点分布的期望 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p． 三、离散型随机变量的均值的性质 设X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n,则E(aX＋b)＝aE(X)＋b． （一） 求均值或数学期望 求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步： (1)确定X的可能取值. (2)计算出P(X＝k). (3)写出分布列. (4)利用E(X)的计算公式计算E(X). 题型1：两点分布的均值 1．（2024高二·山西吕梁·期中）已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 2．（2024高二·浙江嘉兴·期中）已知随机变量X的取值为0，1，若，则X的均值为 . 3．（2024高二·山西太原·期中）设随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 4．（2024高二·山西朔州月考）已知随机变量X服从两点分布，，则 ， . 题型2：求均值或数学期望 5．（2024·福建漳州·模拟预测）2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为. (1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率； (2)求离散型随机变量的分布列与期望. 6．（2024高三·北京通州·期末）民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔等5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为.假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生甲､乙､丙三人报名民航招飞. (1)估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率； (2)求甲､乙､丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率； (3)根据甲､乙､丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，设甲､乙､丙三人能被招飞院校录取的人数为X，求X的分布列及数学期望. 0 1 2 3 7．（2024高三·广东深圳月考）已知某足球赛事的决赛将在甲、乙两队之间进行.其规则为：每一场比赛均须决出胜负，按主、客场制先进行两场比赛（第一场在甲队主场比赛），若某一队在前两场比赛中均获胜，则该队获得冠军；否则，两队需在中立场进行第三场比赛，且其获胜方为冠军.已知甲队在主场、客场、中立场获胜的概率依次为，，，且每场比赛的胜负均相互独立. (1)当甲队获得冠军时，求决赛需进行三场比赛的概率； (2)若主办方在决赛的前两场中共投资（千万元），则能在这两场比赛中共盈利（千万元）.如果需进行第三场比赛，且主办方在第三场比赛中投资（千万元），则能在该场比赛中盈利（千万元）.若主办方最多能投资一千万元，请以决赛总盈利的数学期望为决策依据，则其在前两场的投资额应为多少万元？ 8．（2024高二·江苏连云港·期末）已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 P 0.64 q2 1－2q 则E(X)=（    ） A．0.56 B．0.64 C．0.72 D．0.8 9．（2024高二·江苏徐州·期中）设为正实数，若随机变量的分布列为，则（    ） A．3 B．1 C． D． 10．（2024高二·全国月考）设随机变量的分布列为： 0 1 2 P 则的数学期望的最小值是(    ) A． B．0 C．2 D．随p的变化而变化 题型3：根据均值或数学期望求参数 11．（2024高二·辽宁铁岭·期中）设随机变量X的分布列如下表所示，且，则等于（    ） X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A． B． C． D． 12．（2024高二·北京·期中）某篮球运动员一次投篮得分的分布列为： 若他在一次投篮中得分的期望，则的最大值为（    ） A． B． C． D． （二） 离散型随机变量均值的性质 离散型随机变量性质有关问题的解题思路： 若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y)． 也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y)． 题型4：数学期望的性质 13．（2024高三·全国月考）已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 14．（2024高二·北京月考）已知随机变量的分布列是，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 15．（2024高二·黑龙江绥化·期末）设的分布列如表所示，又设，则等于（ ） 1 2 3 4 A． B． C． D． 16．（2024高二·陕西西安月考）已知离散型随机变量X的分布列如表：若离散型随机变量，则 ． 0 1 2 3 17．（2024高二·山西朔州·期中）已知，则 . 18．（2024高二·湖南长沙·期末）随机变量X的分布列如表，则的值为（    ） X 1 2 3 P 0.2 A 0.4 A．4.4 B．7.4 C．21.2 D．22.2 19．（2024·上海·模拟预测）随机变量的分布列如下列表格所示，其中为的数学期望，则 . 1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.3 0.1 （三） 离散型随机变量均值的应用 解答实际问题的技巧： (1)把实际问题概率模型化； (2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列； (3)利用公式求出相应均值． 题型5：离散型随机变量均值的应用 20．（2024·山西临汾·模拟预测）现有5个红色气球和4个黄色气球，红色气球内分别装有编号为1，3，5，7，9的号签，黄色气球内分别装有编号为2，4，6，8的号签.参加游戏者，先对红色气球随机射击一次，记所得编号为，然后对黄色气球随机射击一次，若所得编号为，则游戏结束；否则再对黄色气球随机射击一次，将从黄色气球中所得编号相加，若和为，则游戏结束；否则继续对剩余的黄色气球进行射击，直到和为为止，或者到黄色气球打完为止，游戏结束. (1)求某人只射击两次的概率； (2)若某人射击气球的次数与所得奖金的关系为，求此人所得奖金的分布列和期望. 21．（2024高三·贵州贵阳月考）某校高三年级嘟嘟老师准备利用高中数学知识对甲、乙、丙三名学生在即将到来的全省适应性考试成绩进行预测，为此，他收集了三位同学近三个月的数学月考、周测成绩（满分150分），若考试成绩超过100分则称为“破百”． 甲：74，85，81，90，103，89，92，97，109，95； 乙：95，92，97，99，89，103，105，108，101，113； 丙：92，102，97，105，89，94，92，97． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三名同学的考试成绩相互独立． (1)分别估计甲、乙、丙三名同学“破百”的概率； (2)设这甲、乙、丙三名同学在这次决赛上“破百”的人数为，求的分布列和数学期望． 22．（2024高二·上海·期末）年月日至月日在国家会展中心举办中国国际进口博览会期间，为保障展会的顺利进行，有、两家外卖公司负责为部分工作者送餐.两公司某天各自随机抽取名送餐员工，统计公司送餐员工送餐数，得到如图频率分布直方图；统计两公司样本送餐数，得到如图送餐数分布茎叶图，已知两公司样本送餐数平均值相同.    (1)求的值 (2)求、的值 (3)为宣传道路交通安全法，并遵循按劳分配原则，公司决定员工送餐份后，每多送份餐对其进行一次奖励，并制定了两种不同奖励方案： 方案一：奖励现金红包元. 方案二：答两道交通安全题，答对题奖励元，答对题奖励元，答对题奖励元.员工每一道题答题相互独立且每题答对概率为与该员工交通安全重视程度相关）. 求下表中的值（用表示）；从员工收益角度出发，如何选择方案较优？并说明理由. 附：方案二综合收益满足公式，为该员工被奖励次数. 方案二奖励 元 元 元 概率 23．（2024·全国·模拟预测）2023年国庆节假期期间，某超市举行了购物抽奖赢手机活动．活动规则如下：在2023年9月29日到2023年10月6日期间，消费金额（单位：元）不低于100元的顾客可以参与一次活动（假设每名顾客只消费一次），每5人一组，每人可以随机选取A或B两个字母，其中选取相同字母的人数较少者每人获得10元购物券，其他人获得抽取价值6999元手机的资格（例如5人中有2人选取A，则这2人每人获得10元购物券，另外3人获得抽取手机的资格；5人全部选取A，则这5人均获得抽取手机的资格），根据统计，在此活动期间，顾客在该超市消费金额的频率分布直方图如图所示． (1)从活动期间在该超市购物的顾客中随机选取2名，求这2名顾客中恰有1人获得10元购物券的概率 (2)设每5人组获得购物券的人数为X． （ⅰ）求X的分布列与数学期望： （ⅰⅰ）若超市计划投入的活动经费（购买手机的费用与发放的购物券金额总和）不超过顾客消费总金额的10%，则每1000名顾客最多送出多少部手机？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） 一、单选题 1．（2024高二·重庆·期末）已知随机变量的期望为，则（    ） A．9 B．11 C．27 D．29 2．（2024高二·山西忻州·期中）某同学求得的一个离散型随机变量的分布列为（    ） X 1 2 3 P 0.2 m n 若，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 3．（2024高二·湖南长沙·期末）随机变量X的分布列如表，则的值为（    ） X 1 2 3 P 0.2 A 0.4 A．4.4 B．7.4 C．21.2 D．22.2 4．（2024高三·全国月考）已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（2024高二·全国月考）已知离散型随机变量的概率分布列如下表：则数学期望等于（    ） A． B． C． D． 6．（2024高二·全国月考）某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜错得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X的均值（    ） A．0.9 B．0.8 C．1.2 D．1.1 7．（2024高二·江苏月考）某实验测试的规则是：每位学生最多可做实验3次，一旦实验成功，则停止实验，否则一直做到3次为止.设某学生一次实验成功的概率为，实验次数为随机变量，若的数学期望，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·全国·模拟预测）已知某多选题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．若选项中有（其中）个选项符合题目要求，记随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024高三·江西宜春月考）从1-20中随机抽取3个数，记随机变量为这3个数中相邻数组的个数.如当这三个数为11，12，14时，；当这三个数为7，8，9时，.则的值约为（    ） A．0.22 B．0.31 C．0.47 D．0.53 二、多选题 10．（2024高二·全国月考）（多选）已知随机变量的分布列为： 4 9 10 0.3 0.1 0.2 若，则以下结论正确的是（    ） A．无法确定 B． C． D． 11．（2024高三·江苏南通·期末）设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数，Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数，则下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当（且）时， D．当时，Y的均值为 三、填空题 12．（2024高二·广东广州月考）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么 ． 13．（2024高二·广东肇庆·期末）已知随机变量的分布列如下表所示，若，则 ． 14．（2024高二·山西朔州·期中）已知，则 . 15．（2024高二·上海月考）已知随机变量的分布为，且，则 . 16．（2024高三·天津河东月考）设随机变量X的概率分布列为： X 1 2 3 4 P m n 已知，则 . 17．（2024·上海奉贤·模拟预测）已知随机变量的分布为，且，若，则实数 ． 四、解答题 18．（2024高三·四川雅安·期中）为了促进消费，某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动：每位会员客户可在价值80元，90元，100元的，，三种商品中选择一种使用积分进行兑换，每10积分可兑换1元.已知参加活动的甲、乙两位客户各有1000积分，且甲兑换，，三种商品的概率分别为，，，乙兑换，，三种商品的概率分别为，，，且他们兑换何种商品相互独立. (1)求甲、乙两人兑换同一种商品的概率； (2)记为两人兑换商品后的积分总余额，求的分布列与期望 19．（2024·全国·模拟预测）新冠疫情下，为了应对新冠病毒极强的传染性，每个人出门做好口罩防护工作刻不容缓．某口罩加工厂加工口罩由三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级(表示最低过滤效率为99.97%)；工序的加工质量层次为高，工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级(表示最低过滤效率为99%)；其余均为95级(表示最低过滤效率为95%)． 表①:表示三道工序加工质量层次为高的概率；表②:表示加工一个口罩的利润． 表①                                 工序 概率 表② 口罩等级 100等级 99等级 95等级 利润/元 (1)表示一个口罩的利润，求的分布列和数学期望； (2)由于工厂中工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对工序进行升级．在升级过程中，每个口罩检测成本增加了()元时，相应的工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了;试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，则与应该满足怎样的关系? 20．（2024·上海黄浦·模拟预测）某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售.若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货.该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据.（注：视频率为概率，）. 每天下午6点前的销售量/千克 250 300 350 400 450 天数 10 10 5 (1)求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率； (2)在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望； (3)若该超市以当天的利润期望值为决策依据，当购进350千克的期望值比购进400千克的期望值大时，求的最小值. 21．（2024·全国·模拟预测）2023年11月19日，以“激发创新活力，提升发展质量”为主题的第二十五届中国国际高新技术成果交易会（以下简称“高交会”）在深圳闭幕，作为“中国科技第一展”的高交会距今已有25年的历史．福田展区的专业展设有新一代信息技术展、环保展、新型显示展、智慧城市展、数字医疗展、高端装备制造展等六类．现统计了每个展区的备受关注率﹝一个展区中受到所有相关人士（或企业）关注的企业数与该展区的参展企业数的比值﹞，如下表： 展区类型 新一代信 息技术展 环保展 新型显示展 智慧城市展 数字医疗展 高端装备 制造展 展区的企 业数量/家 60 360 650 450 70 990 备受关注率 0.20 0.10 0.24 0.30 0.10 0.20 (1)从参展的6个展区的企业中随机选取一家企业，求这家企业是“新型显示展”展区备受关注的企业的概率． (2)若视备受关注率为概率，某电视台现要从“环保展”“智慧城市展”“高端装备制造展”3个展区中随机抽取2个展区，再从抽出的2个展区中各抽取一家企业进行采访，求采访的两家企业都是备受关注的企业的概率． (3)从“新一代信息技术展”展区备受关注的企业和“数字医疗展”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访．记为这2家企业中来自“新一代信息技术展”展区的企业数量，求随机变量的分布列和数学期望． 22．（2024高二·上海·期末）年月日至月日在国家会展中心举办中国国际进口博览会期间，为保障展会的顺利进行，有、两家外卖公司负责为部分工作者送餐.两公司某天各自随机抽取名送餐员工，统计公司送餐员工送餐数，得到如图频率分布直方图；统计两公司样本送餐数，得到如图送餐数分布茎叶图，已知两公司样本送餐数平均值相同.    (1)求的值 (2)求、的值 (3)为宣传道路交通安全法，并遵循按劳分配原则，公司决定员工送餐份后，每多送份餐对其进行一次奖励，并制定了两种不同奖励方案： 方案一：奖励现金红包元. 方案二：答两道交通安全题，答对题奖励元，答对题奖励元，答对题奖励元.员工每一道题答题相互独立且每题答对概率为与该员工交通安全重视程度相关）. 求下表中的值（用表示）；从员工收益角度出发，如何选择方案较优？并说明理由. 附：方案二综合收益满足公式，为该员工被奖励次数. 方案二奖励 元 元 元 概率 23．（2024高二·山东菏泽·期末）已知随机变量的分布列为： 5 6 7 8 9 0.1 0.2 0.3 (1)若，求、的值； (2)记事件：；事件：为偶数.已知，求，的值. 24．（2024·广东揭阳·模拟预测）根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为： 1 2 3 0 概率 其中，.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子（），事件表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多.） (1)为了调控未来人口结构，其中参数受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等），是否存在的值使得，请说明理由； (2)若，求，并根据全概率公式，求. 25．（2024高三·北京通州·期末）民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔等5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为.假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生甲､乙､丙三人报名民航招飞. (1)估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率； (2)求甲､乙､丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率； (3)根据甲､乙､丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，设甲､乙､丙三人能被招飞院校录取的人数为X，求X的分布列及数学期望. 26．（2024·山西临汾·模拟预测）魔方，又叫鲁比可方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具．魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一．通常意义下的魔方，是指狭义的三阶魔方．三阶魔方形状通常是正方体，由有弹性的硬塑料制成．常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原．广义的魔方，指各类可以通过转动打乱和复原的几何体．魔方与华容道、法国的单身贵族（独立钻石棋）并称为智力游戏界的三大不可思议．在2018WCA世界魔方芜湖公开赛上，杜宇生以3.47秒的成绩打破了三阶魔方复原的世界纪录，勇夺世界魔方运动的冠军，并成为世界上第一个三阶魔方速拧进入4秒的选手． (1)小王和小吴同学比赛三阶魔方，已知小王每局比赛获胜的概率均为，小吴每局比赛获胜的概率均为，若采用三局两胜制，两人共进行了局比赛，求的分布列和数学期望； (2)小王和小吴同学比赛四阶魔方，首局比赛小吴获胜的概率为0.5，若小王本局胜利，则他赢得下一局比赛的概率为0.6，若小王本局失败，则他赢得下一局比赛的概率为0.5，为了赢得比赛，小王应选择“五局三胜制”还是“三局两胜制”？ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$