专题04：导数新定义问题（新运算) 专项训练-2025届高考数学二轮复习（适用于上海）

2025年高考数学二轮复习压轴题突破拿高分（导数篇） 专题04 导数新定义问题（新运算） 题型一：高数背景下的公式、定理 1．拉格朗日定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有一，使得. 已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ） A． B． C． D． 【解析】依题意可知，，且，不等式成立， 它表示函数在区间上任意两点连线的斜率大于， 即在区间上任意两点连线的斜率大于， 所以即对任意恒成立， 当时，（当且仅当时取等号）， 所以，即实数的最小值是.故选：C. 2．（23-24闵行中学高三期末）泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：．注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，和表示在原点处的阶导数． (1)求的泰勒公式（写到含的项为止即可），并估算的值（精确到小数点后三位）； (2)当时，比较与的大小，并证明； (3)设，证明：． 【答案】(1)，； (2)，证明见详解； (3)证明见解析. 【分析】（1）求出，根据泰勒公式可得； （2）构造函数，利用导数判断单调性，结合可证； （3）利用（2）中结论令，结合裂项相消法可证，构造函数证明，令，利用裂项相消法可证. 【详解】（1）因为， 所以 所以的泰勒公式为：， 所以 （2）记， 因为，所以在上单调递增， 又，所以时有， 所以. （3）由（2）知，，即， 所以， 即. 令，则， 所以在上单调递减，所以，故， 所以， 则，即. 综上，时，. 【点睛】关键点睛：第三问关键在于构造差函数证明，结合（2）中结论令，使用裂项相消法即可得证. 3．（2024届江苏省扬州中学高三下学期全真模拟）帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．注：，，，，…已知在处的阶帕德近似为． (1)求实数a，b的值； (2)当时，试比较与的大小，并证明； (3)已知正项数列满足：，，求证：． 【解析】（1）由题意得，， ，故，， 解得，. （2）由上可得，要比较与的⼤⼩， ，只需比较1与的⼤⼩， 令，， 所以，从而可得在上单调递增， 所以，即，所以. （3）设，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故，即，当且仅当时等号成立； 由题意知，令，， 故该函数在上递减，故可得，即，可得； 一方面：由（2）可得， 又因为， 所以可得，即，即，即， 故，即，所以. 另一方面：要证明， 两边同时除以，原式 令， 由基本不等式， 故，所以在单调递增， 所以，得证. 4．（2024浦东新区三模）帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．注：，，，，…；为的导数）．已知在处的阶帕德近似为． (1)求实数a，b的值； (2)比较与的大小； (3)若有3个不同的零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，． (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求出，，，，根据，列方程组即可求解； （2）令，利用导数研究的单调性即可比较大小； （3），除1外还有2个零点，设为，，，由导数由函数零点个数求m的范围． 【详解】（1）由，， 知，，，， 由题意，， 所以，所以，． （2）由（1）知，，令， 则， 所以在其定义域内为增函数， 又， ∴时，； 时，， 所以时，；时，． （3）由（1）知，， 注意到，则除1外还有2个零点，设为，， ， 令， 当时，在上恒成立，则， 所以在上单调递减，不满足，舍去， 当时，除1外还有2个零点，设为，，则不单调， 所以存在两个零点，∴，解得， 当时，设的两个零点分别为s，， 则，， ∴，当时，，，则单调递增， 当时，，，则单调递减； 当时，，，则单调递增， 又，不妨设，， 而，且，，且， 所以存在，，满足， 即有3个零点，1，， 综上所述，m的取值范围为． 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 6．（2024位育中学开学考试）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f(x)，g(x)满足: ①图象在上是一条连续不断的曲线； ②在内可导; ③对，，则，使得. 特别的，取，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理. (1)设函数满足，其导函数在上单调递增，证明：函数在上为增函数. (2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题，由柯西中值定理知：对，， 使得，， 又在上单调递增，则， 则，即，所以， 故在上为增函数； （2）， 取，，因为，所以由柯西中值定理，， 使得， 由题则有：，设，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，故，所以实数的取值范围是. 7．①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i)四则运算法则：如果，，则，，若B≠0，则；ii)洛必达法则：若函数，的导函数分别为，，，，则； ②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对，均有成立，则称函数为区间(0,a)上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题； (1)计算：①；②； (2)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；并证明：，. 【解析】（1）①根据洛必达法则，； ②设，两边同时取对数得，， 设，， ∴，∴ （2）∵，，∴，，， ∴ ∴，均有，∴是区间上的2阶无穷递降函数. 以上同理可得， 由①，得 ∴，. 8．“让式子丢掉次数”：伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立． (1)猜想伯努利不等式等号成立的条件； (2)当时，对伯努利不等式进行证明； (3)考虑对多个变量的不等式问题．已知是大于的实数（全部同号），证明 【答案】(1)，或 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据不等式特征猜想出等号成立的条件； （2）设，注意到，求导得到，二次求导，得到函数的单调性和极值最值情况，证明出结论； （3）当时，显然成立，当时，构造数列：，作差法得到是一个单调递增的数列（），结合，得到，证明出结论. 【详解】（1）猜想：伯努利不等式等号成立的充要条件是，或． 当时，，当时，， 当时，，其他值均不能保证等号成立， 猜想，伯努利不等式等号成立的充要条件是，或； （2）当时，我们需证， 设，注意到， ，令得， 即，是的一个极值点． 令，则， 所以单调递增． 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增． 所以在处取得极小值， 即恒成立，． 伯努利不等式对得证． （3）当时，原不等式即，显然成立． 当时，构造数列：， 则， 若，由上式易得，即； 若，则，所以， 故， 即此时也成立． 所以是一个单调递增的数列（）， 由于，所以， 故原不等式成立． 【点睛】关键点点睛：函数新定义问题，命题新颖，常常考虑函数的性质，包括单调性，奇偶性，值域等，且存在知识点交叉，会和导函数，数列等知识进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决. 9．如果是定义在区间D上的函数，且同时满足：①；②与的单调性相同，则称函数在区间D上是“链式函数”.已知函数，. （1）判断函数与在上是否是“链式函数”，并说明理由； （2）求证：当时，. 【解析】（1），令则， 在上单调递增， 又当时，，在上单调递增， 又当时，， ∴当时，，与在上均单调递增，∴在上是“链式函数”. ，令，则， ∴在上单调递减，又当时，， ∴在上单调递减，又当时，， ∴当时，，与在上均单调递减， ∴在上是“链式函数”. （2）当时，由（1）知，所以， 又由（1）知，所以，两式相加得，即， 令，则， 所以在上单调递增， 则当时，，即，∴当时，， 故当时，. 10．多元导数在微积分学中有重要的应用.设是由，，…等多个自变量唯一确定的因变量，则当变化为时，变化为，记为对的导数，其符号为.和一般导数一样，若在上，已知，则随着的增大而增大；反之，已知，则随着的增大而减小.多元导数除满足一般分式的运算性质外，还具有下列性质：①可加性：；②乘法法则：；③除法法则：；④复合法则：.记.（为自然对数的底数）， (1)写出和的表达式； (2)已知方程有两实根，. ①求出的取值范围； ②证明，并写出随的变化趋势. 【答案】(1)， (2)①；②证明见解析，随增大而减小 【分析】（1）设，根据导数的定义，即可求解； （2）①由（1），得到单调递增，求得，结合零点存在性定理，得到存在两个零点，且； ②由题设中的定义，求得，只需证明，令，设，得到，再求得，得到，结合，得出原命题成立，即可得证. 【详解】（1）解：设， 则， 同理. （2）解：①由（1），可得，则， 且时，，， 即单调递减，时，即单调递增， 故， 又由时，趋近于0的速度远远快于趋近于的速度， 故，，因此只需且， 即由零点存在性定理，，，存在两个零点，故； ②由， 由①可得，，故只需证明， 令，设， 则，且， 则， 又单调递增，且，故，单调递增，则， 必然，否则即单调递减，不符合题意， ，故原命题成立。 所以随增大而减小. 【点睛】方法点睛：对于函数的新定义试题中零点（方程的根）问题的求解策略： 1、正确理解新定义与高中知识的联系和转化，理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义，结合函数的基本性质进行推理、论证求解. 2、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围； 3、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决； 4、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. 结论拓展：与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 题型二：函数和差积构造新函数 11.（青浦2023二模）设是定义域为的函数，当时， 记． （1）已知在区间I上严格增，且对任意，，有， 证明：函数在区间I上严格增； （2）已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数a的值； （3）已知，，，且对任意，当时，有，证明：． 解：（1）不妨设，∵在I上严格增， ∴对任意，，有， 又，∴， ∴在区间I上严格增． （2）由（1）可知：当在区间I上严格增时，在I上严格增； 当在区间I上严格减时，在I上严格减． 又当时，取得极值，当时，也取得极值． ，，可得 当时，，在左右附近两侧异号，满足条件． ． （3）当时，由条件知，∴， ，∴，∴． 当时，对任意，有， 即， 又∵的值域为，． 当时，对任意，有， ，又∵值域为． 综上可知，对任意，． 12．（2023上·上海·高三上海市七宝中学校联考阶段练习）已知函数，，其中为自然对数的底数，设函数， (1)若，求函数的单调区间，并写出函数有三个零点时实数的取值范围； (2)当时，分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. (3)对于函数，若实数满足，其中F、D为非零实数，则称为函数的“笃志点”. ①已知函数，且函数有且只有3个“笃志点”，求实数a的取值范围； ②定义在R上的函数满足：存在唯一实数m，对任意的实数x，使得恒成立或恒成立.对于有序实数对，讨论函数“笃志点”个数的奇偶性，并说明理由 【答案】(1)函数的单调递增区间为和，单调递减区间为， (2) (3)①；②答案见解析 【分析】（1）求导得到单调区间，计算极值，画出函数图像，根据图像得到答案. （2）求导得到导函数，确定极值点和单调区间，确定，构造新函数，确定函数的单调区间，计算最值，考虑和两种情况，根据函数的单调性计算最值即可. （3）①考虑，，三种情况，代入数据，构造新函数，根据二次函数根的分布得到范围；②确定，比较与的大小关系，得到，得到答案. 【详解】（1）， ， 当时，，，故，函数单调递增； 当时，，，故，函数单调递减； 当时，，，故，函数单调递增； 综上所述：函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. ，，画出函数图像，如图所示： 根据图像知. （2），， 取，得到或， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 故是极大值点，是极小值点， 恒成立， ，，故， 设，， ， 设，则恒成立， 故在上单调递减，， 当时，，函数单调递减，； 当时，存在，使得， 时，，函数单调递减；时，，函数单调递增； 故，不成立； 综上所述：. （3）①有三个不等的实数根， 当时，，故，解得，不符合； 当时，，故，即， 令，则在上恒成立，故在上单调递增，故， 故当时，在有1个“笃志点”； 当时，，故， 则，由于至多有两个根， 结合前面分析的取值范围为的子集， 令，其中， ，当时，， 的图象的对称轴为， 故在上有两个不相等的实数根， 综上所述： 函数有且只有3 个“笃志点”，则实数的取值范围为； ② 定义在上的函数满足： 存在唯一实数，对任意的实数，使得恒成立， 故，， 因为，所以， 即， 比较与的大小关系， 若存在，使得，即， 则有成立， 故对于有序实数对，函数“笃志点” 个数为奇数个， 同理，对于定义在上的函数满足： 存在唯一实数，对任意的实数，使得恒成立， 故，， 因为，所以， 即，可得到同样的结论；综上所述：若存在，使得， 则函数“笃志点”个数为奇数个， 否则，函数“笃志点”个数为偶数个. 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义问题，利用导航求参数范围，函数的最值极值，零点问题和恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论的方法是解题的关键，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握. 13．（2024届松江区二模）已知函数(为常数)，记． (1) 若函数在处的切线过原点，求实数a的值； (2) 对于正实数t，求证：； (3) 时，求证： ． 21. (1)因为，所以，所以．……2分 又因为，所以在处的切线方程为：． 点代入切线方程可得． ……4分 (2)设函数 ， ，. . ……6分 令，得：． 在上严格递增；在上严格递减； 的最小值为，即总有：． ……8分 而 ∴． ……10分 (3)当时，即证，（） 由于，故，只需证， ……12分 令，只需证明. 而， ……14分 因为，所以，令得：，令得：， 所以在处取得极大值，也是最大值， ……16分 所以， 故在上恒成立，结论得证. ……18分 题型三：构造函数间关系 14．（24-25高三上·上海松江·期末）定义在上的函数，若对任意不同的两点，，都存在，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在上处处相依，其中称为直线的相依切线，为函数在的相依区间．已知． (1)当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点； (2)若函数在上处处相依，且对任意实数、，，都有恒成立，求实数的取值范围． (3)当时，，为函数在的相依区间，证明：． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)证明见详解 【分析】（1）求出，根据零点存在性定理判断证明； （2）根据函数在上处处相依，可得，使得，转化为，，得解； （3）根据题意可得，结合的单调性将要证明的问题转化为，，构造函数，利用导数证明. 【详解】（1）当时，， ， 所以，， 即，又在上处处相依， 所以函数在上有零点. （2），， ， 因为函数在上处处相依， 所以，，使得， 即，使得， ，，即，， 又， . 所以实数的取值范围为. （3）当时，，则， 因为为函数的在的相依区间， 所以，又， 则， 因为，，即单调递减， ，，即单调递增， 所以，则， 要证，即证，即证， 即证，， 令， ， 令，， ， 因为，，， 所以，即在上单调递减，则， 所以，即在上单调递减， 所以，即，即证得成立. 从而证明得到. 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是根据相依区间的定义得到，结合条件利用分析法转化为，，构造函数证明. 题型四：其他角度下定义 15．（2025届上海嘉定·一模）设为非空集合，函数的定义域为.若存在使得对任意的均有，则称为函数的一个值，为相应的值点. (1)若.证明：是函数的一个值点，并写出相应的值； (2)若.分别判断函数是否存在值？若存在，求出相应的值点；若不存在，说明理由； (3)若，且函数存在值，求函数的值，并指出相应的值点. 【答案】(1)证明见解析，为相应的值； (2)不存在值，理由见解析，存在值，是相应的值点； (3)值为，值点为. 【分析】（1）根据正弦函数的值域和值的定义即可证明； （2）计算即可判断，对取，再利用值的定义即可判断； （3）分析得函数的值即为最大值，值点即最大值点，再利用导数求出其最大值和最大值点即可. 【详解】（1）函数的定义域为.对，以及任意， 由及知， 即，所以是函数的一个值点，为相应的值. （2）函数的定义域为. 对任意，取，仍有，但， 所以函数不存在值. 函数的定义域为. 由易知， 当时，对任意，均有，即； 又对任意，取， 则， 即，所以是函数仅有的一个值， 是相应的值点. （3）函数的定义域为， 由题设，该函数存在值，设相应值点为， 则即对任意成立， 故函数的值即为最大值，值点即最大值点. ，令得， 显然当时，恒成立，则函数在上单调递增，此时无最大值，舍去， 所以，解得，列表如下： 0 ↗ 极大值 ↘ 所以若函数存在值， 则值为，值点为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用值的定义分析得的值即为最大值，值点即最大值点，再利用导数求出山最值即可. 16. （2024嘉定区一模） 对于函数，把称为函数的一阶导，令，则将称为函数的二阶导，以此类推得到n阶导.为了方便书写，我们将n阶导用表示. （1）已知函数，写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性. （2）现定义一个新的数列：在取作为数列的首项，并将作为数列的第项.我们称该数列为的“n阶导数列” ①若函数（），数列是的“n阶导数列”，取Tn为的前n项积，求数列的通项公式. ②在我们高中阶段学过的初等函数中，是否有函数使得该函数的“n阶导数列”为严格减数列且为无穷数列，请写出它并证明此结论.（写出一个即可） 【答案】（1），单调性见解析 （2）①；②存在，证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导再次求导得到，再求导讨论和两种情况，得到单调区间. （2）求导得到，计算，，取求导得到，确定，验证得到答案. 【小问1详解】 ，函数定义域为， ，，， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，取，则， 设，，则恒成立， 且，故存在唯一的满足， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 综上所述： 时，在上单调递增； 时，存在唯一的满足， 时，函数单调递减，时，函数单调递增. 【小问2详解】 ①，则，，，， ，故，； ②存在，取，，则，则， 即，， 数列严格减数列且为无穷数列，满足条件. 【点睛】关键点睛：本题考查了导数的新定义，数列的性质，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中充分理解新定义的隐含条件，转化为所学知识是解题的关键，此类能力需要多练多思考多总结. 17．（2024届上海市交通大学附属中学高三下学期四模）已知为实数集的非空子集，若存在函数且满足如下条件：①定义域为时，值域为；②对任意，，均有. 则称是集合到集合的一个“完美对应”. (1)用初等函数构造区间到区间的一个完美对应； (2)求证：整数集到有理数集之间不存在完美对应； (3)若，，且是某区间到区间的一个完美对应，求的取值范围. 【解析】（1），当时，，则其值域为，满足条件①，根据复合函数单调性知在单调递增，则其满足条件②， 故可取. （2）假设有是集合到的一个完美对应， 则有，其中，于是，， 由完美对应的定义，存在整数，使得且， 这与为整数矛盾，故假设不成立.所以，整数集到有理数集之间不存在完美对应. （3），，得或， 若，则严格递增，且，此时；满足题意; 若，则时，；时，；时，； 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增; 又，故只有极小值才满足题意，即，， 若，则时，；时，；时，； 则在单调递增，在单调递减，在单调递增； 又，故只有极大值才满足题意，即，即.综上, 的取值范围是 . 18．（2023上·上海浦东新·高三统考期末）设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”． (1)判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由： （i），（ii）； (2)已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围； (3)设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值． 【答案】(1)是含谷函数，谷点；不是含谷函数，证明见解析. (2) (3) 【分析】（1）利用含谷函数定义判断函数的增减区间，再求谷点，证明函数是否为含谷函数； （2）由题意可判断函数在区间内有谷点，利用谷点定义求参数取值范围； （3）分别讨论函数的单调性，判断谷点所在区间，得到的解析式，再利用和消元求最值. 【详解】（1）函数，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是含谷函数，谷点； 函数，求导恒成立，函数单调递增，所以不是含谷函数. （2）由题意可知函数在区间内先减后增，且存在谷点， 令，所以， 设， 所以，由可知恒成立， 所以在区间上单调递增， 若满足谷点，则有，解得， 故m的取值范围是. （3）因为， 所以， 若恒成立， 则函数在时严格增，在时严格减，不是谷函数，不满足题意； 因此关于x的方程有两个相异实根，即， 设两根为，且， 因为，所以函数在区间上不为严格增， 但是当时，，为严格增， 所以在区间上的单调性至少改变一次，从而必有一个驻点，即， 同理，因为，所以， 因此，在区间和上严格增，在区间和上严格减， 从而函数的含谷区间必满足， 即， 因为， ， 由得，所以， 由得，所以， 所以， 当时，， 当时，， 因此的最小值为，当时成立. 【点睛】关键点睛：（1）利用谷点定义判断函数是否为含谷函数； （2）根据谷点性质求参数的取值范围； （3）将导数分解因式，利用二次函数性质讨论的单调性，进而得到和，求函数最值. 19. （2024金山区一模）设函数的定义域为，给定区间，若存在，使得，则称函数为区间上的“均值函数”，为函数的“均值点”． （1）试判断函数是否为区间上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由； （2）已知函数是区间上的“均值函数”，求实数的取值范围； （3）若函数（常数）是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”．将区间任意划分成（）份，设分点的横坐标从小到大依次为，记，，．再将区间等分成（）份，设等分点的横坐标从小到大依次为，记．求使得的最小整数的值． 【答案】（1）为区间上的“均值函数”，且为其“均值点” （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到方程，求得，即可得到答案； （2）设为该函数的“均值点”，则，根据题意转化为在上有解，分类讨论，结合对勾函数性质，即可求解； （3）根据题意，得到方程，求得，得出，利用导数求得函数的单调性，得到，求得，结合，进而求得，利用指数幂的运算性质，即可求解. 【小问1详解】 解：设函数是区间上的“均值函数”，且均值点为， 可得，解得或(舍). 故为区间上的“均值函数”，且为其“均值点”. 【小问2详解】 解：设为该函数的“均值点”，则， 且， 即关于的方程在区间上有解， 整理得， ①当时，，方程无解. ②当时，可得. 令，则，且， 可得， 又由对勾函数性质，可得函数在上是严格减函数， 在上是严格减函数，在上严格增函数， 所以当时，可得，当，可得， 所以. 即实数的取值范围是. 【小问3详解】 解：由函数是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”， 可得，即， 解得，所以， 则， 当时，，即在上单调递减， 所以()， 则， 又因为， 从而，， 所以，可得.， 由，即，可得， 故使得的最小整数的值为. 【点睛】方法指数总结：对于函数的新定义题型的求解策略： （1）关于函数的新定义问题，关键是理解函数新定义的概念，根据函数的新定义的概念，挖掘其隐含条件，把新定义问题转化为函数关系或不等关系式等是解答的关键； （2）关于函数的新定义问题，通常关联着函数的基本性质的综合应用，解答中要熟练掌握和应用函数的有关性质和一些重用的结论，同时注意合理应用数形结合、导数、均值不等式等知识点的应用，以及它们之间的逻辑关系，提升逻辑推理能力. 20．（2024届上海市交通大学附属中学高三下学期四模）已知为实数集的非空子集，若存在函数且满足如下条件：①定义域为时，值域为；②对任意，，均有. 则称是集合到集合的一个“完美对应”. (1)用初等函数构造区间到区间的一个完美对应； (2)求证：整数集到有理数集之间不存在完美对应； (3)若，，且是某区间到区间的一个完美对应，求的取值范围. 【解析】（1），当时，，则其值域为，满足条件①，根据复合函数单调性知在单调递增，则其满足条件②， 故可取. （2）假设有是集合到的一个完美对应， 则有，其中，于是，， 由完美对应的定义，存在整数，使得且， 这与为整数矛盾，故假设不成立.所以，整数集到有理数集之间不存在完美对应. （3），，得或， 若，则严格递增，且，此时；满足题意; 若，则时，；时，；时，； 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增; 又，故只有极小值才满足题意，即，， 若，则时，；时，；时，； 则在单调递增，在单调递减，在单调递增； 又，故只有极大值才满足题意，即，即.综上, 的取值范围是 . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学二轮复习压轴题突破拿高分（导数篇） 专题04 导数新定义问题（新运算） 题型一：高数背景下的公式、定理 1．拉格朗日定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有一，使得. 已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24闵行中学高三期末）泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：．注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，和表示在原点处的阶导数． (1)求的泰勒公式（写到含的项为止即可），并估算的值（精确到小数点后三位）； (2)当时，比较与的大小，并证明； (3)设，证明：． 3．（2024届江苏省扬州中学高三下学期全真模拟）帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．注：，，，，…已知在处的阶帕德近似为． (1)求实数a，b的值； (2)当时，试比较与的大小，并证明； (3)已知正项数列满足：，，求证：． 4．（2024浦东新区三模）帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．注：，，，，…；为的导数）．已知在处的阶帕德近似为． (1)求实数a，b的值； (2)比较与的大小； (3)若有3个不同的零点，求实数m的取值范围． 6．（2024位育中学开学考试）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f(x)，g(x)满足: ①图象在上是一条连续不断的曲线； ②在内可导; ③对，，则，使得. 特别的，取，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理. (1)设函数满足，其导函数在上单调递增，证明：函数在上为增函数. (2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 7．①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i)四则运算法则：如果，，则，，若B≠0，则；ii)洛必达法则：若函数，的导函数分别为，，，，则； ②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对，均有成立，则称函数为区间(0,a)上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题； (1)计算：①；②； (2)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；并证明：，. 8．“让式子丢掉次数”：伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立． (1)猜想伯努利不等式等号成立的条件； (2)当时，对伯努利不等式进行证明； (3)考虑对多个变量的不等式问题．已知是大于的实数（全部同号），证明 9．如果是定义在区间D上的函数，且同时满足：①；②与的单调性相同，则称函数在区间D上是“链式函数”.已知函数，. （1）判断函数与在上是否是“链式函数”，并说明理由； （2）求证：当时，. 10．多元导数在微积分学中有重要的应用.设是由，，…等多个自变量唯一确定的因变量，则当变化为时，变化为，记为对的导数，其符号为.和一般导数一样，若在上，已知，则随着的增大而增大；反之，已知，则随着的增大而减小.多元导数除满足一般分式的运算性质外，还具有下列性质：①可加性：；②乘法法则：；③除法法则：；④复合法则：.记.（为自然对数的底数）， (1)写出和的表达式； (2)已知方程有两实根，. ①求出的取值范围； ②证明，并写出随的变化趋势. 题型二：函数和差积构造新函数 11.（青浦2023二模）设是定义域为的函数，当时， 记． （1）已知在区间I上严格增，且对任意，，有， 证明：函数在区间I上严格增； （2）已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数a的值； （3）已知，，，且对任意，当时，有，证明：． 12．（2023上·上海·高三上海市七宝中学校联考阶段练习）已知函数，，其中为自然对数的底数，设函数， (1)若，求函数的单调区间，并写出函数有三个零点时实数的取值范围； (2)当时，分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. (3)对于函数，若实数满足，其中F、D为非零实数，则称为函数的“笃志点”. ①已知函数，且函数有且只有3个“笃志点”，求实数a的取值范围； ②定义在R上的函数满足：存在唯一实数m，对任意的实数x，使得恒成立或恒成立.对于有序实数对，讨论函数“笃志点”个数的奇偶性，并说明理由 13．（2024届松江区二模）已知函数(为常数)，记． (1) 若函数在处的切线过原点，求实数a的值； (2) 对于正实数t，求证：； (3) 时，求证： ． 题型三：构造函数间关系 14．（24-25高三上·上海松江·期末）定义在上的函数，若对任意不同的两点，，都存在，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在上处处相依，其中称为直线的相依切线，为函数在的相依区间．已知． (1)当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点； (2)若函数在上处处相依，且对任意实数、，，都有恒成立，求实数的取值范围． (3)当时，，为函数在的相依区间，证明：． 题型四：其他角度下定义 15．（2025届上海嘉定·一模）设为非空集合，函数的定义域为.若存在使得对任意的均有，则称为函数的一个值，为相应的值点. (1)若.证明：是函数的一个值点，并写出相应的值； (2)若.分别判断函数是否存在值？若存在，求出相应的值点；若不存在，说明理由； (3)若，且函数存在值，求函数的值，并指出相应的值点. 【答案】(1)证明见解析，为相应的值； (2)不存在值，理由见解析，存在值，是相应的值点； (3)值为，值点为. 16. （2024嘉定区一模） 对于函数，把称为函数的一阶导，令，则将称为函数的二阶导，以此类推得到n阶导.为了方便书写，我们将n阶导用表示. （1）已知函数，写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性. （2）现定义一个新的数列：在取作为数列的首项，并将作为数列的第项.我们称该数列为的“n阶导数列” ①若函数（），数列是的“n阶导数列”，取Tn为的前n项积，求数列的通项公式. ②在我们高中阶段学过的初等函数中，是否有函数使得该函数的“n阶导数列”为严格减数列且为无穷数列，请写出它并证明此结论.（写出一个即可） 17．（2024届上海市交通大学附属中学高三下学期四模）已知为实数集的非空子集，若存在函数且满足如下条件：①定义域为时，值域为；②对任意，，均有. 则称是集合到集合的一个“完美对应”. (1)用初等函数构造区间到区间的一个完美对应； (2)求证：整数集到有理数集之间不存在完美对应； (3)若，，且是某区间到区间的一个完美对应，求的取值范围. 18．（2023上·上海浦东新·高三统考期末）设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”． (1)判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由： （i），（ii）； (2)已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围； (3)设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值． 19. （2024金山区一模）设函数的定义域为，给定区间，若存在，使得，则称函数为区间上的“均值函数”，为函数的“均值点”． （1）试判断函数是否为区间上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由； （2）已知函数是区间上的“均值函数”，求实数的取值范围； （3）若函数（常数）是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”．将区间任意划分成（）份，设分点的横坐标从小到大依次为，记，，．再将区间等分成（）份，设等分点的横坐标从小到大依次为，记．求使得的最小整数的值． 20．（2024届上海市交通大学附属中学高三下学期四模）已知为实数集的非空子集，若存在函数且满足如下条件：①定义域为时，值域为；②对任意，，均有. 则称是集合到集合的一个“完美对应”. (1)用初等函数构造区间到区间的一个完美对应； (2)求证：整数集到有理数集之间不存在完美对应； (3)若，，且是某区间到区间的一个完美对应，求的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$