专题03：导数新定义问题（新性质）专项训练-2025届高考数学二轮复习压轴题突破拿高分（导数篇）上海专用

2025年高考数学二轮复习压轴题突破拿高分（导数篇） 专题训练03 导数新定义问题（新性质） 题型一：函数切线角度定义的性质 1．若以曲线上任意一点为切点作切线l，曲线上总存在异于M的点，以点N为切点作切线l1，且l∥l1，则称曲线具有“可平行性”．下列曲线具有可平行性的编号为________．(写出所有满足条件的函数的编号)①y＝x3－x ②y＝x+ ③ ④y＝(x－2)2＋ln x 【解析】本题的本质是，当时总能成立时，则称曲线具有“可平行性”.对于①，由可得，因，所以，但是当时，得，此方程无解，所以①不具有“可平行性”；对于②，由，当时可得，只需互为倒数即可，所以②具有“可平行性”；对于③，由，即，当时可得，任给一个的值，总可得到一个不同于的值，所以③具有“可平行性”； 对于④，由，当时可得，但是如果，则，此与矛盾，所以④不具有“可平行性”，综上故答案填②③. 2．对于具有相同定义域的函数和，若存在函数，为常数）对任给的正数，存在相应的使得当且时，总有，则称直线为曲线和的“分渐近线”．给出定义域均为的四组函数如下： ①， ②， ③， ④， 其中，曲线和存在“分渐近线”的是______ 【解析】由题意分析：曲线和存在“分渐近线”的充要条件是：当时，. 即， 对于①： ，，所以，当时，，故，，不存在“分渐近线”； 对于②：，，所以， 当时，，故，，存在“分渐近线”； 对于③：，，所以， 当时，，故，，存在“分渐近线”； 对于④，，所以， 当时，，故，，存在“分渐近线”； 故答案为：②③④ 3．（24-25高三上·上海金山·期末）对于函数图像上不同的三点（其中），记点M处的切线为l，若，则称M为函数在区间上的“T点”．特别地，当，则称M为函数在区间上的“和谐T点”． (1)设是函数在区间上的“T点”，若，求实数n的值； (2)设，若函数在区间上恰有3个“T点”，求所有满足条件的实数a的值组成的集合； (3)设，试探究函数的定义域内是否存在一个包含“和谐T点”的区间，若存在，求出该区间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据“T点”的性质可求的值； （2）根据“T点”的性质可得在上有三个不同的解，利用换元法可求参数的值； （3）若存在一个包含“和谐T点”的区间，则在上有解，利用导数可证该结论错误. 【详解】（1），由可得，而 因为为函数在区间上的“T点”，故. （2）， 因为函数在区间上恰有3个“T点”， 所以在上有三个不同的解， 故在上有三个不同的解， 设，则， 则在上有两个不同的根， 且其中有且只有一个根为或或， 若一个根为，则，此时另一个根为， 此时有一根，在上有两个不同的解， 故此时在上有三个不同的解； 若一个根为，则，此时另一个根为， 同理可得在上有三个不同的解； 若一个根为，则，此时在上仅有一个根，舍； 综上，. （3）， 若存在含“和谐T点”的区间，则， 其中， 整理得到：即， 设，故，设， 则，故在上为增函数，故， 故，故不成立， 故函数的定义域内不存在一个包含“和谐T点”的区间 【点睛】思路点睛：对于导数背景下的多变量的存在性问题，注意根据方程组的形式合理消元，从而构建较为简单的函数，而后者可以利用导数来处理. 题型二：不等式角度下定义的性质 4．（2024届虹口区二模）若函数满足：对任意都有，则称函数具有性质. （1）设分别判断与是否具有性质？并说明理由； （2）设 若函数具有性质，求实数的取值范围； （3）已知函数具有性质 且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数. 解：（1）不具有性质.理由：取，有.…2分 具有性质.理由：对任意，，有 . ……4分 （2）函数具有性质，故对，，都有，而是奇函数，故，即是严格增函数，恒成立. ……7分 若，则，解得； 若，则恒成立； 若，则，解得. 综合上述，实数a的取值范围为 ……10分 证明：（3）因函数的定义域为,要证明是奇函数，只要证明：对任意实数即可. 对任意实数设则由具有性质知：当时， ① ……12分 设当时，由①得 ② ……14分 当时，由①得 ③ 于是由曲线的连续性，函数在上存在零点即 ④ ……16分 由函数在上严格增，知：函数在上严格增；所以由②知由③知故 故由④得：即对任意实数均有； 因此，函数是奇函数. ……18分 另证：（3）由具有性质，知：当时，当时， 由零点存在定理知，即. ……12分 下面用反证法证明是奇函数. 假设存在使得，不妨设，则由在上严格增，知. 若，则构造函数， ， ， 由零点存在定理知，存在使得, ……14分 即；而在上严格增，同样由单调性知 ， 从而有，与具有性质矛盾.……16分 若，构造函数，同理也可推出与具有性质矛盾. 综合上述，存在使得的假设不能成立，即对任意都有，故是奇函数. ……18分 5．设f(x)是定义在区间(1，+∞)上的函数，其导函数为.如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x∈(1，+∞)都有h(x)>0，使得=h(x)(x2-ax+1)，则称函数f(x)具有性质P(a). (1)设函数，其中b为实数. ①求证：函数f(x)具有性质P(a). ②求函数f(x)的单调区间. (2)已知函数g(x)具有性质P(2)，给定x1，x2∈(1，+∞)，x1<x2.设m为实数， ，且.若，求实数m的取值范围 【解析】 (1)由f(x)＝ln x＋，得f′(x)＝. ①证明：因为x＞1时，h(x)＝＞0，所以函数f(x)具有性质P(b)． ②当b≤2时，由x＞1得x2－bx＋1≥x2－2x＋1＝(x－1)2＞0， 所以f′(x)＞0.从而函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增． 当b＞2时，令x2－bx＋1＝0得x1＝，x2＝. 因为x1＝＝＜＜1，x2＝＞1， 所以当x∈(1，x2)时，f′(x)＜0；当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x＝x2时，f′(x)＝0.从而函数f(x)在区间(1，x2)上单调递减，在区间(x2，＋∞)上单调递增． 综上所述，当b≤2时，函数f(x)的单调增区间为(1，＋∞)； 当b＞2时，函数f(x)的单调减区间为(1，)，单调增区间为(，＋∞)． (2)由题设知，g(x)的导函数g′(x)＝h(x)(x2－2x＋1)， 其中函数h(x)＞0对于任意的x∈(1，＋∞)都成立， 所以当x＞1时，g′(x)＝h(x)(x－1)2＞0，从而g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增． ①当m∈(0,1)时，有α＝mx1＋(1－m)x2＞mx1＋(1－m)x1＝x1， α＜mx2＋(1－m)x2＝x2，即α∈(x1，x2)，同理可得β∈(x1，x2)． 所以由g(x)的单调性知g(α)，g(β)∈(g(x1)，g(x2))，从而有|g(α)－g(β)|＜|g(x1)－g(x2)|，符合题意． ②当m≤0时，α＝mx1＋(1－m)x2≥mx2＋(1－m)x2＝x2，β＝(1－m)x1＋mx2≤(1－m)x1＋mx1＝x1，于是由α＞1，β＞1及g(x)的单调性知g(β)≤g(x1)＜g(x2)≤g(α)，所以|g(α)－g(β)|≥|g(x1)－g(x2)|，与题意不符． ③当m≥1时，同理可得α≤x1，β≥x2，进而得|g(α)－g(β)|≥|g(x1)－g(x2)|，与题意不符． 综上所述，所求的m的取值范围为(0,1)． 6．（23-24高三下·福建龙岩·期末）已知函数的定义域为，其导函数为.若存在实数a和函数，其中对任意都有，使得，则称函数具有优化特质.（参考数值：） (1)设函数，其中b为实数. ①证明：函数具有优化特质； ②若，对任意，都成立，求实数b的取值范围； (2)已知函数具有优化特质，给定，，对于两个大于1的实数，，且，，使得不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)①证明见解析；②； (2). 【分析】（1）①求出函数，结合给定的定义即可得证；②利用导数、结合零点存在性定理，分类讨论并借助单调性求解即得. （2）利用给定定义确定函数的单调性，结合不等式性质分类讨论求解. 【详解】（1）①，当时，恒有， 根据定义得函数具有优化特质. ②，令得，， 当时，，此时，函数在上单调递增，又，则不成立； 当时，，设，其对称轴大于1，， 若，即，则函数在上单调递减，又，则恒成立，符合题意； 若，即，则在上存在唯一零点， 函数在上单调递减，在上单调递增， 又，则只需满足，于是，从而得， 所以. （2）由函数具有优化特质，得， 则函数在上单调递增， 当时，， ，即，同理：， 由函数单调性知：，， 从而不等式恒成立； 当时，， ，即， 由函数单调性知：， 得，与题设不符； 当时，同理得，由函数单调性知：， 得，与题设不符； 所以实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： ①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； ②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． ③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 7．定义可导函数在x处的弹性函数为，其中为的导函数．在区间D上，若函数的弹性函数值大于1，则称在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作的弹性区间． （1）若，求的弹性函数及弹性函数的零点； （2）对于函数（其中e为自然对数的底数） （ⅰ）当时，求的弹性区间D； （ⅱ）若在（i）中的区间D上恒成立，求实数t的取值范围． 【解析】（1）由，可得， 则， 令，解得， 所以弹性函数的零点为. （2）（ⅰ）当时，函数，可得函数的定义域为， 因为， 函数是弹性函数， 此不等式等价于下面两个不等式组： （Ⅰ） 或（Ⅱ）， 因为①对应的函数就是， 由，所以在定义域上单调递增， 又由，所以①的解为； 由可得， 且在上恒为正， 则在上单调递增，所以，故②在上恒成立， 于是不等式组（Ⅰ）的解为， 同①的解法，求得③的解为； 因为时，④，所以不成立， 所以不等式（Ⅱ）无实数解， 综上，函数的弹性区间. （ⅱ）由在上恒成立，可得在上恒成立， 设，则， 而， 由（ⅰ）可知，在上恒为正， 所以，函数在上单调递增，所以， 所以，即实数的取值范围是. 题型四：图形几何性质 8．如果两地的距离是600公里，驾车走完这600公里耗时6小时，那么在某一时刻，车速必定会达到平均速度100公里/小时．上述问题转换成数学语言：是距离关于时间的函数，那么一定存在：，就是时刻的瞬时速度．前提条件是函数在上连续，在内可导，且．也就是在曲线的两点间作一条割线，割线的斜率就是，是与割线平行的一条切线，与曲线相切于点．已知对任意实数，，且，不等式恒成立，若函数，则实数的可能取值为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【解析】由已知，恒成立，可得在上恒成立．因为，所以，所以，即，整理得 ①. 因为，所以．令，则，①式化为． 记，，所以在上单调递增，所以，所以，故选：BCD． 9．（2024格致中学模拟）定义：如果函数和的图象上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有关系. (1)判断函数和是否具有C关系； (2)若函数和不具有C关系，求a的取值范围； (3)若函数和在区间上具有C关系，求m的取值范围. 【答案】(1)与具有C关系，理由见解析 (2) (3). 【分析】（1）根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在x，使得，计算得解； （2）根据题意，在上的值恒为负或恒为正. 若在上恒成立，由，即，利用导数判断矛盾；若在上恒成立，转化为，令，利用导数求出的最大值，得解； （3）构造函数，将问题转化为在上存在零点，分类讨论与，利用导数与函数的关系证得时，在上有零点，从而得解. 【详解】（1）与具有C关系，理由如下： 根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在x，使得， 又，，，所以， 即，即得，解得，所以与具有C关系. （2）因为，， 令，， 因为与不具有C关系，又在上的图象连续不断，所以在上的值恒为负或恒为正. 若在上恒成立，则，即， 又当时，， 令，所以，令，所以， 令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以，与假设矛盾，所以不存在使得在上恒成立. 若在上恒成立，即， 令，所以， 又在上单调递减， 所以当时，，所以， 当时，，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，即的取值范围是. （3）因为，， 令，则， 因为与在上具有C关系，所以在上存在零点， 因为， 当且时， 因为，，所以， 所以在上单调递增，则，此时在上不存在零点，不满足题意； 当时，当时，，所以， 当时，令，则， 所以在上单调递增，且，， 故在上存在唯一零点，设为，使得， 所以当，；当，； 又当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上存在唯一极小值点， 因为，所以， 又因为，所以在上存在唯一零点， 所以函数与在上具有C关系. 综上，的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是理解新定义，得到与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在x，使得，从而得解. 题型四：从函数性质角度下定义 10．若的图象上两点关于原点对称，则称这两点是一对对偶点，若的图象上存在两对对偶点，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】设是函数的图象关于原点对称的图象上任意一点，则在函数的图象上，所以，即， 则函数有两对对偶点，转化为与的图象有两个交点， 所以有两个零点． ，当时，，时，， 所以在上递减，在上递增，时，， 在上有两个零点，则，解得．故选：A． 11．给出下列两个定义： Ⅰ.对于函数，定义域为，且其在上是可导的，其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”. Ⅱ.对于一个“同定义函数”，若有以下性质： ①；②，其中，为两个新的函数，是的导函数. 我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”. (1)判断下列两个函数是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”.Ⅰ.；Ⅱ.. (2)给出两个命题，，判断命题是的什么条件，证明你的结论. ：是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，：. (3)已知函数. ①若的“自导函数”是，试求的取值范围. ②若，且定义，若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)是“单向导函数”，其“自导函数”为；既不是“单向导函数”，也不是“双向导函数”；(2)不充分不必要条件；(3)①；②. 【详解】（1）对于函数，则，这两个函数的定义域都是，所以为“同定义函数”，此时，，由函数的定义，对于，无法同时成立， 所以为“单向导函数”,其“自导函数”为.对于函数，则，这两个函数的定义域不同，所以不是“同定义函数”. （2）若，则，设，则，所以为“单向导函数”.又设，则，所以为“双向导函数”，但不是常值函数，故不是的必要条件. 若成立，则，所以，所以，所以不成立，所以为的不充分不必要条件. （3）①由题意，，且，所以，所以；②由题意，，所以，，令，，则， 因为单调递增，且，所以存在，使得，且当时，，单调递减；当时，，单调递增；当，即时，所以，此时，在上单调递增，，当时，，此时，，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增;又，所以； 当且时，，，所以函数在上存在两个极值点，若，即时，极大值点为；若，即时，极大值点；为函数极大值或，又当时，，，令，则，设， 则，所以，即单调递增，所以， 所以单调递增，所以，综上，，所以c的取值范围为 12．（2023上·上海浦东新·高三统考期末）设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”． (1)判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由： （i），（ii）； (2)已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围； (3)设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值． 【答案】(1)是含谷函数，谷点；不是含谷函数，证明见解析. (2) (3) 【分析】（1）利用含谷函数定义判断函数的增减区间，再求谷点，证明函数是否为含谷函数； （2）由题意可判断函数在区间内有谷点，利用谷点定义求参数取值范围； （3）分别讨论函数的单调性，判断谷点所在区间，得到的解析式，再利用和消元求最值. 【详解】（1）函数，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是含谷函数，谷点； 函数，求导恒成立，函数单调递增，所以不是含谷函数. （2）由题意可知函数在区间内先减后增，且存在谷点， 令，所以， 设， 所以，由可知恒成立， 所以在区间上单调递增， 若满足谷点，则有，解得， 故m的取值范围是. （3）因为， 所以， 若恒成立， 则函数在时严格增，在时严格减，不是谷函数，不满足题意； 因此关于x的方程有两个相异实根，即， 设两根为，且， 因为，所以函数在区间上不为严格增， 但是当时，，为严格增， 所以在区间上的单调性至少改变一次，从而必有一个驻点，即， 同理，因为，所以， 因此，在区间和上严格增，在区间和上严格减， 从而函数的含谷区间必满足， 即， 因为， ， 由得，所以， 由得，所以， 所以， 当时，， 当时，， 因此的最小值为，当时成立. 【点睛】关键点睛：（1）利用谷点定义判断函数是否为含谷函数； （2）根据谷点性质求参数的取值范围； （3）将导数分解因式，利用二次函数性质讨论的单调性，进而得到和，求函数最值. 13．（2024·上海·三模）设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． (1)已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； (2)已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围； (3)已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 【答案】(1)区间和区间都是函数的“美好区间”，理由见解析； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）分别求出函数在区间和区间上的值域，结合“美好区间”的定义判断即可； （2）记，，根据“美好区间”的定义可得：或，利用导数研究在上的单调性，分，，以及四种情况讨论在区间上的值域，利用集合间的关系，即可得到实数的取值范围； （3）对于任意区间，记，根据单调性得到，若为的“美好区间”必满足性质②，转化为或，得出函数一定存在“美好区间”，记，结合函数的单调性和零点存在定理，得到存在，使得，即可证明结论. 【解析】（1）区间和区间都是函数的“美好区间”，理由如下： 由， 当时，，所以区间是函数的“美好区间” 当时，，所以区间是函数的“美好区间” （2）记， 若区间是函数的一个“美好区间”，则或 由，可得， 所以当或时，，则的单调递增区间为：，； 当时，，则的单调递增区间为：， 且，，，得到在的大致图像如下： (i)当时，在区间上单调递减，且， 所以，则，即对于任意，都有，满足性质②, 故当时，区间是函数的一个“美好区间”； (ii)当，在区间上单调递减，在上单调递增，此时， 所以，，则当时，区间不是函数的一个“美好区间”； (iii)当时，在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时， 所以，，则当时，区间不是函数的一个“美好区间”； (iv)当时，在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时， 因为，则要使区间是函数的一个“美好区间”，则，即， 构造函数， 则， 由于，所以恒成立，则在区间上单调递增， 所以，则，不满足题意， 故当时，区间不是函数的一个“美好区间”， 综上，实数的取值范围是 （3）对于任意区间，记， 因为对于任意，都有， 所以在区间上单调递减，故， 因为，即的长度大于的长度，故不满足性质①， 所以若为的“美好区间”必满足性质②，即， 即只需要或， 由显然不恒成立，所以存在常数使得， 如果，取，则区间满足性质②； 如果，取，则区间满足性质②； 综上，函数一定存在“美好区间”； 记，则的图象连续不断，下证明有零点， 由于在上单调递减，则在上是减函数，记 若，则是的零点； 若，则，记，， 由零点存在定理，可知存在，使得； 若，则，记，， 由零点存在定理，可知存在，使得； 综上，有零点，即， 因为所有“美好区间”都满足性质②，故，否则与性质②矛盾； 即存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”，证毕. 【点睛】思路点睛：本题是新定义题，解题关键是理解“美好区间”的含义，对于区间是函数的一个“美好区间”，实质就是在区间上的值域满足或，这样就把新定义转化为一般函数及导数的问题. 14．如果函数的定义域为，且存在常数，使得对定义域内的任意，都有恒成立，那么称此函数具有“性质”． (1)已知具有“性质”，且当时，，求的解析式及在上的最大值； (2)已知定义在上的函数具有“性质”，当时，．若有8个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)；3； (2). 【分析】（1）由题意可得是偶函数，根据偶函数性质求出的解析式，由复合函数的单调性判断在上单调性，求出最值； （2）由对称性求出的解析式，有8个不同的实数解，令，则有两个不等的实数根，，且，，然后根据一元二次方程的实根分布求解. 【详解】（1）具有“性质”， 对恒成立，是偶函数. 当时，， 所以当时，则， 由得，当时 ， 因为是增函数，在单调递增， 所以由复合函数的单调性可知函数在上单调递增， 因此，在上的最大值为. （2）函数具有“性质”，则， 当时，，所以当时，， 于是， 如下图所示： 若有8个不同的实数解，令， 则有两个不等的实数根，，且，， 所以，所以. 所以t的取值范围为. 【点睛】思路点睛：第一问，利用是偶函数，求出的解析式，再根据复合函数单调性求出最值；第二问，函数具有“性质”，即得图象关于对称，求出的解析式，有8个不同的实数解，令，转化为方程有两个不等的实数根，，且，，根据实根分布求解. 14．给出定义:设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称)为函数的“拐点”. (1)经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为，讨论函数的单调性并求极值. (2)已知函数，其中. （i）求的拐点； （ii）若，求证:. 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）；（ii）证明过程见解析 【分析】（1）由得到，再根据求出，得到函数解析式，求导得到函数单调性及极值情况； （2）（i）的定义域为，二次求导得到，构造函数，得到时，满足，故的拐点为； （ii）由（i）得到在上单调递增，因为，故，构造函数，得到其拐点，求出关于中心对称，构造，要证明，只需证明的极值点左偏，构造差函数证明出的极值点左偏，得到结论. 【详解】（1），， 由题意得，即，解得， 且，即，解得， 故， ，， 令得或，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，在处取得极小值， 故极大值为，极小值为； （2）（i）， 由于，，故，即的定义域为， ， ， 令得，， 令，， 则在上恒成立， 故在上单调递增， 又，由零点存在性定理知，有唯一的零点， 故，即时，满足， 当时，， 故的拐点为； （ii）由（i）可知，在上单调递增， 又， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 其中， 故在上恒成立，故在上单调递增， 因为，， 故， 设， 则，， 令，解得， 又， 故的拐点为， 由（1）知，关于中心对称， 令， 又的拐点为，， 要证明，只需证明的极值点左偏， 故， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 即证当时，， 不妨设， 令，， 则 ， 因为，所以 ， 所以在上单调递减， 又，故在上恒成立， 因为，所以，即， 因为，所以， 其中在上单调递增，故， 故，故的极值点左偏，所以. 【点睛】结论点睛：三次函数的性质：的对称中心为，该点为三次函数的拐点，此点的横坐标也是二阶导函数的零点. 15. （2024金山区一模）设函数的定义域为，给定区间，若存在，使得，则称函数为区间上的“均值函数”，为函数的“均值点”． （1）试判断函数是否为区间上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由； （2）已知函数是区间上的“均值函数”，求实数的取值范围； （3）若函数（常数）是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”．将区间任意划分成（）份，设分点的横坐标从小到大依次为，记，，．再将区间等分成（）份，设等分点的横坐标从小到大依次为，记．求使得的最小整数的值． 【答案】（1）为区间上的“均值函数”，且为其“均值点” （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到方程，求得，即可得到答案； （2）设为该函数的“均值点”，则，根据题意转化为在上有解，分类讨论，结合对勾函数性质，即可求解； （3）根据题意，得到方程，求得，得出，利用导数求得函数的单调性，得到，求得，结合，进而求得，利用指数幂的运算性质，即可求解. 【小问1详解】 解：设函数是区间上的“均值函数”，且均值点为， 可得，解得或(舍). 故为区间上的“均值函数”，且为其“均值点”. 【小问2详解】 解：设为该函数的“均值点”，则， 且， 即关于的方程在区间上有解， 整理得， ①当时，，方程无解. ②当时，可得. 令，则，且， 可得， 又由对勾函数性质，可得函数在上是严格减函数， 在上是严格减函数，在上严格增函数， 所以当时，可得，当，可得， 所以. 即实数的取值范围是. 【小问3详解】 解：由函数是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”， 可得，即， 解得，所以， 则， 当时，，即在上单调递减， 所以()， 则， 又因为， 从而，， 所以，可得.， 由，即，可得， 故使得的最小整数的值为. 【点睛】方法指数总结：对于函数的新定义题型的求解策略： （1）关于函数的新定义问题，关键是理解函数新定义的概念，根据函数的新定义的概念，挖掘其隐含条件，把新定义问题转化为函数关系或不等关系式等是解答的关键； （2）关于函数的新定义问题，通常关联着函数的基本性质的综合应用，解答中要熟练掌握和应用函数的有关性质和一些重用的结论，同时注意合理应用数形结合、导数、均值不等式等知识点的应用，以及它们之间的逻辑关系，提升逻辑推理能力. 16. （2024嘉定区一模） 对于函数，把称为函数的一阶导，令，则将称为函数的二阶导，以此类推得到n阶导.为了方便书写，我们将n阶导用表示. （1）已知函数，写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性. （2）现定义一个新的数列：在取作为数列的首项，并将作为数列的第项.我们称该数列为的“n阶导数列” ①若函数（），数列是的“n阶导数列”，取Tn为的前n项积，求数列的通项公式. ②在我们高中阶段学过的初等函数中，是否有函数使得该函数的“n阶导数列”为严格减数列且为无穷数列，请写出它并证明此结论.（写出一个即可） 【答案】（1），单调性见解析 （2）①；②存在，证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导再次求导得到，再求导讨论和两种情况，得到单调区间. （2）求导得到，计算，，取求导得到，确定，验证得到答案. 【小问1详解】 ，函数定义域为， ，，， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，取，则， 设，，则恒成立， 且，故存在唯一的满足， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 综上所述： 时，在上单调递增； 时，存在唯一的满足， 时，函数单调递减，时，函数单调递增. 【小问2详解】 ①，则，，，， ，故，； ②存在，取，，则，则， 即，， 数列严格减数列且为无穷数列，满足条件. 【点睛】关键点睛：本题考查了导数的新定义，数列的性质，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中充分理解新定义的隐含条件，转化为所学知识是解题的关键，此类能力需要多练多思考多总结. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学二轮复习压轴题突破拿高分（导数篇） 专题训练03 导数新定义问题（新性质） 题型一：函数切线角度定义的性质 1．若以曲线上任意一点为切点作切线l，曲线上总存在异于M的点，以点N为切点作切线l1，且l∥l1，则称曲线具有“可平行性”．下列曲线具有可平行性的编号为________．(写出所有满足条件的函数的编号)①y＝x3－x ②y＝x+ ③ ④y＝(x－2)2＋ln x 2．对于具有相同定义域的函数和，若存在函数，为常数）对任给的正数，存在相应的使得当且时，总有，则称直线为曲线和的“分渐近线”．给出定义域均为的四组函数如下： ①， ②， ③， ④， 其中，曲线和存在“分渐近线”的是______ 3．（24-25高三上·上海金山·期末）对于函数图像上不同的三点（其中），记点M处的切线为l，若，则称M为函数在区间上的“T点”．特别地，当，则称M为函数在区间上的“和谐T点”． (1)设是函数在区间上的“T点”，若，求实数n的值； (2)设，若函数在区间上恰有3个“T点”，求所有满足条件的实数a的值组成的集合； (3)设，试探究函数的定义域内是否存在一个包含“和谐T点”的区间，若存在，求出该区间；若不存在，请说明理由． 题型二：不等式角度下定义的性质 4．（2024届虹口区二模）若函数满足：对任意都有，则称函数具有性质. （1）设分别判断与是否具有性质？并说明理由； （2）设 若函数具有性质，求实数的取值范围； （3）已知函数具有性质 且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数. 5．设f(x)是定义在区间(1，+∞)上的函数，其导函数为.如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x∈(1，+∞)都有h(x)>0，使得=h(x)(x2-ax+1)，则称函数f(x)具有性质P(a). (1)设函数，其中b为实数. ①求证：函数f(x)具有性质P(a). ②求函数f(x)的单调区间. (2)已知函数g(x)具有性质P(2)，给定x1，x2∈(1，+∞)，x1<x2.设m为实数， ，且.若，求实数m的取值范围 6．（23-24高三下·福建龙岩·期末）已知函数的定义域为，其导函数为.若存在实数a和函数，其中对任意都有，使得，则称函数具有优化特质.（参考数值：） (1)设函数，其中b为实数. ①证明：函数具有优化特质； ②若，对任意，都成立，求实数b的取值范围； (2)已知函数具有优化特质，给定，，对于两个大于1的实数，，且，，使得不等式恒成立，求实数的取值范围. 7．定义可导函数在x处的弹性函数为，其中为的导函数．在区间D上，若函数的弹性函数值大于1，则称在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作的弹性区间． （1）若，求的弹性函数及弹性函数的零点； （2）对于函数（其中e为自然对数的底数） （ⅰ）当时，求的弹性区间D； （ⅱ）若在（i）中的区间D上恒成立，求实数t的取值范围． 题型四：图形几何性质 8．如果两地的距离是600公里，驾车走完这600公里耗时6小时，那么在某一时刻，车速必定会达到平均速度100公里/小时．上述问题转换成数学语言：是距离关于时间的函数，那么一定存在：，就是时刻的瞬时速度．前提条件是函数在上连续，在内可导，且．也就是在曲线的两点间作一条割线，割线的斜率就是，是与割线平行的一条切线，与曲线相切于点．已知对任意实数，，且，不等式恒成立，若函数，则实数的可能取值为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 9．（2024格致中学模拟）定义：如果函数和的图象上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有关系. (1)判断函数和是否具有C关系； (2)若函数和不具有C关系，求a的取值范围； (3)若函数和在区间上具有C关系，求m的取值范围. 题型四：从函数性质角度下定义 10．若的图象上两点关于原点对称，则称这两点是一对对偶点，若的图象上存在两对对偶点，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．给出下列两个定义： Ⅰ.对于函数，定义域为，且其在上是可导的，其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”. Ⅱ.对于一个“同定义函数”，若有以下性质： ①；②，其中，为两个新的函数，是的导函数. 我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”. (1)判断下列两个函数是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”.Ⅰ.；Ⅱ.. (2)给出两个命题，，判断命题是的什么条件，证明你的结论. ：是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，：. (3)已知函数. ①若的“自导函数”是，试求的取值范围. ②若，且定义，若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围. 12．（2023上·上海浦东新·高三统考期末）设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”． (1)判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由： （i），（ii）； (2)已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围； (3)设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值． 13．（2024·上海·三模）设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． (1)已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； (2)已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围； (3)已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 14．如果函数的定义域为，且存在常数，使得对定义域内的任意，都有恒成立，那么称此函数具有“性质”． (1)已知具有“性质”，且当时，，求的解析式及在上的最大值； (2)已知定义在上的函数具有“性质”，当时，．若有8个不同的实数解，求实数的取值范围． 14．给出定义:设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称)为函数的“拐点”. (1)经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为，讨论函数的单调性并求极值. (2)已知函数，其中. （i）求的拐点； （ii）若，求证:. 15. （2024金山区一模）设函数的定义域为，给定区间，若存在，使得，则称函数为区间上的“均值函数”，为函数的“均值点”． （1）试判断函数是否为区间上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由； （2）已知函数是区间上的“均值函数”，求实数的取值范围； （3）若函数（常数）是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”．将区间任意划分成（）份，设分点的横坐标从小到大依次为，记，，．再将区间等分成（）份，设等分点的横坐标从小到大依次为，记．求使得的最小整数的值． 16. （2024嘉定区一模） 对于函数，把称为函数的一阶导，令，则将称为函数的二阶导，以此类推得到n阶导.为了方便书写，我们将n阶导用表示. （1）已知函数，写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性. （2）现定义一个新的数列：在取作为数列的首项，并将作为数列的第项.我们称该数列为的“n阶导数列” ①若函数（），数列是的“n阶导数列”，取Tn为的前n项积，求数列的通项公式. ②在我们高中阶段学过的初等函数中，是否有函数使得该函数的“n阶导数列”为严格减数列且为无穷数列，请写出它并证明此结论.（写出一个即可） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$