专题01：导数十大基础题型专项训练-2025届高考数学二轮复习压轴题突破拿高分（导数篇）上海专用

2025年高考数学二轮复习压轴题突破拿高分（导数篇） 专题训练01 导数十大基础题型 题型1：导数的切线问题 1．（2024上海高三模拟）已知函数 (1)若，证明：； (2)若函数与函数的图象有且仅有一条公切线，求实数的取值集合； (3)设，若函数有两个极值点，且，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）构造函数，并利用导数去证明即可解决； （2）先分别写出与切线方程，再构造函数，利用导数求其只有一个零点时实数的取值即可解决； （3）构造函数，并利用导数去证明即可解决 【解析】（1）时，，即 令，则 当x变化时，，变化情况如下表 1 0 极小0 则是唯一的极值点且是极小值点，所以. 故 （2）令在的切线方程与在，处的切线方程重合 与切线方程分别为. 有且仅有一解，则，故， 代入第二个方程得：， 记，则， 时单调递减；时单调递增， ， 当时，即，且， 则， 若有唯一解，则，易得， 综上，实数的取值集合为； （3）， ， 当，即时，函数单调增，无极值点. 当，即时，由得：两根，又， 当时，只有一根，不合题意，舍去， 当时，有两个极值点，且， ， 要证，即证， 只需证， 令，则， 在上单调递增，故， ，即原不等式得证. 2．（2024•浦东新区校级模拟）设函数，． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，曲线与有两条公切线，求实数的取值范围； （3）若对，恒成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数求函数的单调性； （2）首先利用公切线的几何意义，变形得到，构造函数，利用导数求函数的值域，转化为与函数图象有2个交点问题，即可求解； （3）不等式等价于，构造函数，转化为，转化为利用导数求函数的最小值，结合不等式，即可求解． 【解答】解：（1）当时，， ，， 当时，，当时，， 的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）设公切线切于点，，切于，， 则有，即， 得，代入 得． 构造函数，， ．当，，单调递减，当，，单调递增， ，又当时，，当时，， 即，得，即实数的取值范围是，． （3）函数， 令恒成立：可得， 令，显然在，上为增函数，则（1）． ①当时，得，，得在，上单增，（1）恒成立，故满足题意． ②当时，令，得，（舍． 得时，，则在上单调递减， 时，，则在上单调递增，又（1）， 极小值，不可能恒成立，不符合题意， 综上可得，实数的取值范围是，． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于难题． 题型2：用研究导数函数的单调性 3．（2023秋·北京顺义·高三杨镇第一中学校考阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的最小值； (2)当时，讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解析】（1）当时：，令解得， 又因为当，，此时函数单调递减； 当，，此时函数单调递增. 所以的最小值为. （2）， 当时，由，得或. ①若，则，故在上单调递增； ②若，则.故当时，或； 当时，. 所以在，上单调递增，在上单调递减. ③若，则.故当时，或； 当时，. 所以在，上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 4．（2024•浦东新区校级开学）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设，分别为的极大值点和极小值点，记，，，． 证明：直线与曲线交于另一点； 在的条件下，判断是否存在常数，，使得．若存在，求；若不存在，说明理由． 附：，． 【分析】（1）对求导，利用导数与单调性的关系求解即可； （2）求出直线的方程，与联立，可得关于的方程，解方程即可得证； 由得，即，假设存在常数，，使得，可得，代入中，可得，令，利用导数可得的取值范围，进而可得的值． 【解答】解：（1）， 令，得或． 当或 时，；当时，， 在，上单调递增，在上单调递减． （2）证明：由（1）得，． 直线的方程为，即， 由得， 设，则， 令，得． 当时，；当时，， 在单调递减，在单调递增． ，，（a）， 有且仅有2个零点，，其中． 这表明方程的解集为，，， 即直线与曲线交于另一点，且的横坐标为． 由得，即， 假设存在常数，，使得，则， ，代入中，可得， 设，则．令，得． 当时，；当时，， 在单调递减，在 单调递增． （1），，， 存在唯一的，使得． 此时， 因此，存在常数，，使得，且． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，属于难题． 5．（2024春•宝山区校级月考）设函数． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）已知，，曲线上不同的三点，，，，，处的切线都经过点．证明： （ⅰ）若，则（a）； （ⅱ）若，，则． （注是自然对数的底数） 【分析】（Ⅰ）求出导数，利用导数的性质能求出函数的单调区间． （Ⅱ）设切点分别为，，，，，，则，，2，，方程有3个不同的根，该方程整理为，设，则，利用导数性质能证明． 当时，在，上为减函数，在上为增函数，设，推导出，设，则方程，即为，由此能证明，，则． 【解答】解：（Ⅰ）函数， ，， 由，得，在，上单调递增； 由，得，在上单调递减． （Ⅱ）证明：过有三条不同的切线， 设切点分别为，，，，，， ，，2，，方程有3个不同的根， 该方程整理为， 设， 则， 当或时，；当时，， 在，上为减函数，在上为增函数， 有3个不同的零点，（e）且（a）， ，且， 整理得到且， 此时，，且， 此时，， 整理得，且， 此时，（a）， 设（a）为上的减函数，（a）， ． 当时，同讨论，得： 在，上为减函数，在上为增函数， 不妨设，则， 有3个不同的零点，（a），且（e）， ，且， 整理得， ，， ， 设，则方程即为： ，即为， 记， 则，，为有三个不同的根， 设，， 要证：， 即证， 即证：， 而，且， ， ， 即证， 即证， 即证， 记，则， 在为增函数，， ， 设，， 则， 在上是增函数，（1）， ， 即， 若，，则． 【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查导数的性质、函数的单调性、极值、零点、换元法、构造法等基础知识，考查运算求解能力，是难题． 6．（2024•静安区二模）已知，记且． （1）当是自然对数的底）时，试讨论函数的单调性和最值； （2）试讨论函数的奇偶性； （3）拓展与探究： ①当在什么范围取值时，函数的图像在轴上存在对称中心？请说明理由； ②请提出函数的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明） 【分析】（1）求导得，分两种情况：当时，当时，分析的符号，的单调性，最值，即可得出答案． （2）若为偶函数，这对于任意的，都有，即对于任意的，，解得；若为奇函数，这对于任意的，，解得，即可得出答案． （3）分析函数对称中心，即可得出答案． 【解答】解：（1）， 当时，，故函数在上为严格增函数， 函数在上无最值， 当时，令，得， 所以当时，，函数在上为严格减函数， 当时，，函数在上为严格增函数， 所以函数在上有最小值0，无最大值， 综上所述，当时，函数在上为严格增函数，函数在上无最值， 当时，函数在上为严格减函数，在上为严格增函数，函数在上有最小值0，无最大值． （2）因为“为偶函数” “对于任意的，都有”， 对于任意的，都有，并且， 对于任意的，， 所以是为偶函数的充要条件． 因为“为奇函数” “对于任意的，都有” 对于任意的，都有，并且； 对于任意的，． 所以是为奇函数的充要条件， 综上所述，时，函数为偶函数， 当时，函数为奇函数， 当时，是非奇非偶函数． （3）①当时，函数有对称中心，， 即当时，对于任意的，都有，并且， 证明：当时，令， 解得为函数的零点， 由得，． ②当时，函数有对称轴． 即，当 时，对于任意的，都有，并且． 证明：当时，由 得， ． 【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题． 7．（2024春•杨浦区校级期中）已知函数． （1）若，求函数在点，（1）处的切线方程； （2）讨论函数的单调性及极值； （3）若，任意，且，都有成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程； （2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可； （3）代入的值，问题转化为对任意的，，成立，故在，单调递增，问题转化为对，恒成立，令，，，根据函数的单调性求出的最大值，求出的取值范围即可． 【解答】解：（1）若，由题意得， 则（1），（1）， 故函数在，（1）处的切线方程为； （2）由题意得， ①当时，在单调递减，没有极值； ②当时，，在单调递减， ③当时，令，解得：或， 令，解得：， 故在递增，在，递减，在，递增， 故函数在处取得极大值，在处取得极小值， 综上：时，在单调递减，没有极值； 时，在递增，在，递减，在，递增，函数在处取得极大值，在处取得极小值； （3）当时，， 由（1）可知在，递减， 不妨设，则，， 故 ， 即对任意的，，成立， 故在，单调递增， 则 对，恒成立， 令，，，， 令，解得：， 令，解得：， 故在，递增，在，递减， 故， 故． 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，属于难题． 8．（2024春•浦东新区校级月考）已知函数，其中为实数． （1）若是定义域上的单调函数，求实数的取值范围； （2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围； （3）记，若，为的两个驻点，当在区间上变化时，求的取值范围． 【分析】（1）对求导，直接由导数求出参数的范围即可． （2）由导数判断单调性后转化为方程根的个数问题，再求最小值小于零得出结果． （3）根据驻点得出导函数为零的的两根，用韦达定理将双变量换成单变量代入，写出表达式再求导即可． 【解答】解：（1）由可知，函数的定义域为，， ①当且仅当时，恒成立，是定义域上的单调递增函数，符合题意； 而当时，既不恒正，也不恒负，即不是定义域上的单调函数，不符合题意，舍去； 所以实数的取值范围为，； （2）函数有两个不同的零点，不是定义域上的单调函数，即； 由①，得在上为单调递减函数，在，上为单调递增函数， 函数有两个不同的零点， 的取值范围为； （3），为的两个驻点， ，为一元二次方程的两个不同的正根，即， 则，解得， ， 令， 则， 在上为单调递增函数，则， 的取值范围为． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的零点与方程根的关系，驻点的定义，考查了转化思想和方程思想，属难题． 题型3：用导数研究函数的极值 9．已知函数，是的导函数. (1)若，求证：当时，恒成立； (2)若存在极小值，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）∵的定义域为，， ∴，. 令，则. 令，则. 由，得， ∴当时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，， 即当时，，∴在上单调递增. ∵，∴，∴当时，恒成立. （2）由（1）知，. 设，则. ①当时，恒成立，∴在上单调递增. ∵，∴当时，，从而； 当时，，从而. 又∵，∴，都有， 所以在上单调递增，此时无极值； ②当时，由，得， ∴当时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，取得最小值，且最小值为. 令，， ∴当时，；当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减. ∵，∴当时，， 即当时，（当且仅当时等号成立）. （i）当时，，且当时，都有， ∴，且当时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取得极小值，符合题意. （ii）当时，，且. ∵，∴，∴的图象大致如图（1）. 图（1） 由函数的单调性及零点存在定理， 得在内存在唯一的实数，使得， ∴当时，，从而； 当时，，从而； 当时，，从而， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取得极小值，符合题意. （iii）当时，，且. ∵，由（1）知，， ∴的图象大致如图（2）. 图（2） 由函数的单调性及零点存在定理，得在内存在唯一的实数，使， ∴当时，，从而； 当时，，从而； 当时，，从而， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取得极小值，符合题意. 综上，当存在极小值时，的取值范围为. 【变式】 题型4：用导数研究函数的最值 10．（2024•浦东新区校级模拟）已知，其中． （1）若曲线在点，（2）处的切线与直线垂直，求的值； （2）设，函数在时取到最小值，求关于的表达式，并求的最大值； （3）当时，设，数列满足，且，证明：． 【分析】（1）由题意，对函数进行求导，根据导数与函数曲线切线的关系以及直线垂直斜率的关系，列出等式即可求解； （2）根据导数与函数单调性的关系，利用换元法，建立新函数，可得答案； （3）利用综合法，整理不等式，通过构建新函数，对新函数进行求导，利用导数研究函数单调性求最值． 【解答】解：（1）因为， 可得， 若曲线在点，（2）处的切线与直线垂直， 因为直线的斜率为， 所以， 解得； （2）因为，函数定义域为， 可得， 当时，， 所以有两异号实根， 不妨设为方程的正根， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 当时，函数取得极小值也是最小值，最小值， 不妨设，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以（1）． 综上，，的最大值为1； （3）证明：要证， 即证， 因为， 此时要证， 因为当，， 不妨设，函数定义域为， 可得， 所以函数在上单调递减， 要证， 需证， 即证， 又， 要证， 即证， 因为（1），在上单调递减， 极值， 因为，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递减； 在时，，单调递增， 所以（1）， 又， 所以， 同理． 故． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力． 11．（2024•徐汇区校级模拟）已知函数，，令． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当为正数且时，，求的最小值； （3）若对一切都成立，求的取值范围． 【分析】（1）把代入，对函数求导，结合导数几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程； （2）结合导数与单调性及最值关系分析函数的最小值的取得条件，即可求解； （3）已知不等式可转化为对一切都成立，结合已知不等式考虑构造函数，，从而有在上单调递增，结合导数与单调性关系可求． 【解答】解：（1）时，，， 故（1），（1）， 所以在处的切线方程为，即； （2），， 则， 因为， 当时，易得在，上单调递增，（1）， 当时，在，上单调递减，在，上单调递增， 故，不合题意； 当时，在，上单调递减，在，上的最小值（e）（1），不符合题意， 故的最小值为1； （3）若对一切都成立，则对一切都成立， 所以对一切都成立， 令，， 则在上单调递增， 所以在时恒成立，即在时恒成立， 当时，在时恒成立，符合题意， 当时，因为过定点，对称轴，则只要△， 所以， 故的取值范围为，． 【点评】本题主要考查了导数几何意义的应用，还考查了导数与单调性及最值关系的应用，体现了分类讨论思想及转化思想的应用，属于中档题． 题型5：恒成立、能成立与存在性问题 12．设，. (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)若有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2)答案见解析 (3) 【解析】（1）的定义域为，因为， ∴， ∴时，，单调递增， 时，，单调递增， 时，，单调递减， ∴，； （2）由题：， 1°当时：， 时，，单调递减， 时，，单调递增； 2°当时：∵， ∴时，，单调递减， 时，，单调递增； 3°当时： ①若即， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减； 时，，单调递增， ②若即，， 则在单调递增； ③若即， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减； 时，，单调递增； （3）欲使恒成立，只需， 根据(2)的结论， 1°，当时： 时，，单调递增； 时，，单调递减， ∴令，得，此时，； 2°当时：①若即， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减； 时，，单调递增； ②若即， 时，，单调递增； ③若即， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减； 时，，单调递增； 不论上述哪种情况，均有时，因此，不可能有恒成立，舍去. 综上：的取值范围为. 14．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解析】（1）因为， 所以， 因为，当时，， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当时，由，得或， 当即时，，在上单调递增， 当时，，时，，在上单调递减， 或时，，在上单调递增， 当时，，时，，在上单调递减； 或时，，在上单调递增． 综上可得，时，在上单调递减，在上单调递增； 时，在上单调递增； 时，在上单调递减，在，上单调递增； 时，在上单调递减，在，上单调递增． （2）由题可得，所以， 由（1）得当时，在上单调递增，则时，不满足题意， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当，即时在上单调递减，时，，满足题意， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 由时，恒成立，则，即， 因为，， 所以， 综上得实数的取值范围为． 15．已知函数且为常数）. (1)当，求函数的最小值； (2)若函数有2个极值点，求的取值范围； (3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的最小值； （2）首先求函数的导数，再设函数，利用导数分析函数的图像，转化为直线与的图像有2个交点，即可求得的取值范围； （3）首先不等式转化为对任意的恒成立，再构造函数，利用二次导数，结合零点存在性定理，分析函数的单调性，求得函数的最小值，即可求的取值范围. 【解析】（1）当时，，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当时，函数取得最小值； （2）函数的定义域为，， 设，，由，得， 列表如下： 减 极小值 增 当时，，当时，， 做出函数与的图像，如下图， 当时，直线与的图像有2个交点，设这两个交点的横坐标分别为，且， 有图可知，当或时，，当时， ，此时函数有2个极值点， 所以的取值范围是； （3）不等式对任意的恒成立， 等价于对任意的    恒成立， 所以对任意的恒成立， 令，其中，则， 令，其中，则，对任意的恒成立，所以在上单调递增， 因为，，故存在，使得， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以， 因为，则，因为，则， 因为函数在上单调递增， 由可得，故，可得， 所以， 故. 16．已知函数． (1)若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数a的值； (2)设，若函数在区间当为严格递减函数时，求实数a的取值范围； (3)对于（2）中的函数，若函数有两个极值点为，且不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求过点的直线方程，结合直线过，即可求得的值； （2）由函数在区间上单调递减，可知其导数恒成立，分离参数，求解函数的最大值即可； （3）依题意可知有两个不相等的实数根，结合韦达定理，可将问题转化为恒成立问题，进而利用导数求的最大值即可. 【解析】（1）由得, 所以过点切线的斜率为 , 因为切线过点,所以 , 解得：. （2）由得， 依题意对区间上的任意实数恒成立， 即对区间上的任意实数恒成立， 易得在区间单调递减， 在上单调递增，，， 所以在上的最大值为， 所以，实数a的取值范围为 （3） 依题意：在上有两个不同的根， 即在上有两个不同的根, 所以，可得， 由于不等式， 可得 又 . 令, 所以，又, 所以，即在区间上严格递减， 所以, 所以. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 17．已知函数，. (1)求函数的极值； (2)若存在时，使成立，求的取值范围. (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数有极小值，无极大值； (2)； (3). 【分析】（1）由题可得，然后根据导数与函数极值的关系即得； （2）由题可得存在，成立，构造函数，利用导数求函数的最值即得； （3）设，由题可得对任意恒成立，利用导数可得，进而可得只需在上单调递增，即在上恒成立，即得. 【解析】（1）因为， ∴， 由，可得，由，可得， ∴在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，函数有极小值，无极大值； （2）由，可得， 即存在，成立， 设，则， 所以函数在上单调递增，， 所以； （3）由题可知对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，则对任意恒成立， 下面证明对任意恒成立， 设，， 则在上恒成立，且仅在时取等号， 所以在上单调递减， ∴，即， 所以对任意恒成立，只需在上单调递增， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以，即实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若在区间上有最值，则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 18．（2024春•宝山区校级期中）已知函数． （1）若直线是曲线的切线，求实数的值； （2）若对任意实数恒成立，求的取值范围； （3）若，且，求实数的最大值． 【分析】（1）利用函数与直线相切结合导数的几何意义求出； （2）构造新函数，利用导数求出的最小值即可得到的取值范围； （3）化简得，令，则，构造函数，利用导数法研究函数最值即可求解． 【解答】解：（1）因为，直线是曲线的切线， 令，所以，所以，解得或（舍去）， 所以，代入直线得，即切点为， 即，所以； （2）令，则， 令，则， 所以可得为递增函数，又， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故若对任意实数恒成立， 则，解得，即的取值范围是，； （3）因为，所以 ， 因为，所以， 所以，仅当时，等号成立， 令，则， 因为， 所以当时，恒成立， 令，， 则在上单调递增， 所以，所以在上单调递减， 所以， 所以， 所以的最大值为． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，导数的几何意义，考查运算求解能力，属于难题． 题型6：导数的零点、方程的根与交点问题 19．已知为实数，函数 (1)当时，求函数的极值点； (2)当时，试判断函数的零点个数，并说明理由． 【答案】(1)有且仅有一个极小值点 (2)零点个数为2，理由见解析 【解析】（1）当a=0时，，故， 令，故， 与在区间上的情况如下： 0 + 极小值 所以在区间上单调递减，在区间单调递增， 所以函数有且仅有一个极小值点． （2）函数的零点个数为2，理由如下： （1）当时，． 由于， 所以， 故函数在区间上单调递减， ， 所以函数在区间上有且仅有一个零点； （2）当时，， 故， 令，得， ，故， 因此恒有，所以函数在区间上单调递增； 又， 所以函数在区间上有且仅有一个零点． 综上，函数的零点个数为2． 20．已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； (2)若方程有三个根，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【解析】（1）解：由题意得函数的定义域为， ， 当时，，即在上单调递增； 当时，由，得或，由，得， 在上单调递减，在和上单调递增； 当时，由得或，由得， 在上单调递减，在和上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增； （2）方程有三个根，即有三个根， 有三个根，显然不是方程的根， 则有三个根，即与函数的图象有三个交点， ，令，可得， 由，可得或，由，可得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值为， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 如图所示：    要使与函数的图象有三个交点， 只需，的取值范围是． 21．已知函数，，其中，为自然对数的底数. (1)求的最小值； (2)设函数（为的导函数），如果函数在内有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)0； (2). 【分析】（1）利用导数，分析函数的单调性，直接求出极小值（也是最小值）即可； （2）函数在内有两个不同的零点则在上不单调可得，据此求出，转化为，且即可求解. （1） 因为， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，，即的最小值为0. （2） ，. 因为，所以，即， 若或时，函数在区间上单调， 所以在上至多有一个零点，不符合题意，所以. 当，∵， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 如果在上存在两个零点，则，且. 由，得， 又，且，，所以. 下面证明时，， 令， 则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 又因为，所以，所以，即恒成立. 因此，当时，在上有两个零点， 综上所述，满足题意. 【点睛】关键点点睛：函数在上存在两个零点转化为，且是第一个关键点，先由得出，然后转化为在时证明是第二个关键点，也是本题重要的解题策略，第三个关键点构造函数，利用导数求最大值，再证明最大值小于0，本题思路上、运算上难度较大. 22．已知 (1)讨论的单调区间； (2)，若曲线和在上有且仅有两个交点，求的取值范围. 【答案】(1)当时，的增区间为和，减区间为；当时，的增区间为 (2) ． 【分析】（1）求出函数的导数，然后分和两大类，讨论在上的正负性，即可得函数单调区间； （2）利用参变分离法，可使原问题等价于在上有两个根，构造函数，确定在上的单调性与取值情况，即可得的取值范围. （1） 解：函数的定义域为： 令，即 则 ①当时，即， 此时恒成立，则函数在上单调递增； ②当时，即 的两个根为，且 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； ③当时，即 的两个根为，且 此时恒成立，则函数在上单调递增； 综上：当时，的增区间为和，减区间为； 当时，的增区间为. （2） 解：由题可知在上有两个根 则，即在上有两个根 设， 令，则恒成立 所以在上单调递增，且 所以时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 又，， 则 所以 . 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性和两曲线交点问题，利用参变分离将原问题转化为函数单调性与函数值问题，并构造新函数是解题关键，考查课转化思想、逻辑推理能力和运算能力，是一道综合题. 23．（2024上海高三模拟训练）已知函数. (1)讨论函数在上的单调性； (2)若函数的图象与的图象有三个不同的交点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先求出函数的解析式，求导，然后再分别讨论和两种情况下的符号，从而可得出函数的单调区间； （2）根据题意可得，令，可得关于的一元二次方程，利用导数求出函数的单调区间，作出图象，分析可得关于的一元二次方程的根的范围，讨论分析，从而可得出答案. （1） 解：， 则， 当时，，则在上单调递增， 当时， 当时，，则为单调递增函数， 当时，，则为单调递减函数， 综上：当时，在上单调递增， 当时，的增区间为，减区间为； （2） 解：因为函数的图象与的图象有三个不同的交点， 所以方程有3个不同的解， 即， 令，则， 所以①， 由， 当时，，当时，， 所以函数在上递增，在上递减， 所以， 当时，，当时，， 作出的图象，如图所示， 由题意可得方程①的根，有一个必在内，另一个根或或， 当时，方程①无意义， 当时，，则不满足题意， 所以当时，由二次函数的性质可得， 解得， 综上：实数a的取值范围为. 【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求函数的单调区间，极值最值得方法，并灵活运用，难点在于将零点问题转化为方程得根的问题，考查了分类讨论思想和数形结合思想，属于难题. 24．（2024上海高三模拟训练）函数，. (1)求证：当时，存在唯一极小值点，且； (2)当时，设，求在的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求出函数的导数，判断其正负，结合零点存在定理即可证明结论；再求出函数的极值，利用三角函数的性质证明； （2）求出函数的导数，结合三角函数的性质，判断其正负，确定函数的单调性，进而求得其最小值. (1) 当时，，，， 设,则恒成立， 所以单调递增， 又， ，， 所以，即， 所以, 所以存在，使得，即. 则在上，，在上，， 所以在上，单调递减，在上，单调递增. 所以存在唯一的极小值点. ， ，则，. (2) ， ， 令，得，，. 由函数的图象性质可知： 时，，单调递减, 时，，单调递增, 所以，，时，取得极小值， 即当，，…,时取得极小值 又， 即， 又因为在上单调递减，所以, 时，, 的最小值为. 【点睛】本题考查了导数与函数的极值的关系以及利用导数求函数的最值问题,解答时要明确导数与函数极值之间的关系,解答的关键是利用导数判断函数的单调性,进而确定函数的极值或最值,另外要注意本题还要结合三角函数的性质作答. 25．（2024上海高三模拟训练）已知函数有两个不同的零点，. (1)当时，求证：； (2)求实数a的取值范围； (3)求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）构造函数，利用导数求出的单调性，由单调性即可得解； （2）求，当a≥0时不合题意，当时求函数极小值，函数有两个零点需要极小值为负，可得出，在此条件下由零点存在性定理即可得证； （3）构造函数，由导数可得在上单调递减，设可得，据此利用不等式的性质化简变形即可得证. （1） 令，则， 当时，，得在上单调递减， 所以，所以. （2） 当a≥0时，， 此时为增函数，不合题意; 当时，， 得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 如果有两个不同的零点，必有， 则，得，所以. 此时，又此时， 故在有一个零点； 由（1）知，时，，令， 解得，故当时，，故当时，，故在上有一个零点，(利用当时，也可以)； 所以有两个不同的零点时，； （3） 令，则， 令， ， 因为在上均单调递减， 所以在上单调递减，， 则在上单调递增，故，则， 所以在上单调递减，由（2）知， 不妨设，则， 即， 又， 所以有，又， 则，得， 则， 可得，即. 【点睛】关键点点睛：证明函数存在两个零点，利用导数分析出函数在定义域上先减后增，那么必须先满足极小值小于0，在此条件下，利用零点存在性定理，找到零点两侧存在大于0的函数值是关键，可采用特殊值，也可分析，也可利用极限处理. 25．（2024春•闵行区校级月考）已知函数的图像在处的切线与直线平行． （1）求实数的值； （2）若关于的方程在，上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． （3）是否存在正整数，使得满足，的无穷数列是存在的，如果存在，求出所有的正整数的值，如果不存在，说明理由． 【分析】（1）根据的图像在处的切线与直线平行，可得，再求出的值即可； （2）由（1）可知，等价于，令，判断的单调性，求出最值，再得到的取值范围即可； （3）根据切线不等式放缩，可得，则只要，数列收敛于，因此只需，即可求出满足题意的所有的正整数的值． 【解答】解：（1）因为，所以． 因为的图像在处的切线与直线平行， 所以，解得． （2）由（1）知，所以原方程变形为． 令，则在，上有两个不相等的实数根， 等价于直线与曲线在，上有两个交点． 因为， 所以当，时，；当，时，， 所以（3）． 因为（2），（4）， 所以， 而，所以，即（4）（2）， 所以的取值范围为，． （3）设，则， 所以在上递增，在上递减， 所以（1），即． 所以，当且仅当时取等号． 若，则， 所以数列收敛到，满足题意． 因此只需即可，等价于． 设， 易知在，上递减，， 所以存在唯一的零点，使得， 所以在上递增，在，上递减， 所以， 又， ，， 当时，则， 由上可知，这样的正整数不存在． 综上，或且． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与切线方程，利用导数研究函数的切线方程，考查了方程思想与转化思想，属难题． 26．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围，并证明． 【答案】(1)答案见解析 (2)；证明见解析 【解析】（1）因为， 所以， 当时，，所以在区间上单调递增， 当时，令，得；令，得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 综上当时，在区间上单调递增，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）方程，即，等价于， 令，其中，则，显然， 令，则， 所以在区间上单调递减，且由时可得在区间上， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 因为方程有两个实根， 所以关于的方程有两个实根，，且，，所以， 要证，即证，即证，只需证， 因为，所以，整理可得， 不妨设，则只需证， 即， 令，，其中， 因为，所以在区间上单调递增， 所以，故． 27．（2023·河南·校联考二模）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若方程有两个不同的实数根，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）函数的定义域是， . 当时，对任意恒成立， 所以函数在上单调递增； 当时，令，得， 所以函数在上单调递减， 令，得，所以函数在上单调递增. 综上可得，时，函数在上单调递增； 时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）方程即，得， 不妨设，则，，得， 所以. 所以要证，即证，即证， 即. 设，因为，所以， 即证（）. 设，则当时，， 所以函数在上单调递增， 所以，即， 即，即. 题型7：不等式的证明 28．（2024上海高三模拟训练）已知函数f(x)＝ex－3x＋3a(e为自然对数的底数，a∈R). (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当a＞ln ，且x＞0时，＞x＋－3a. (1)解　由f(x)＝ex－3x＋3a，x∈R， 知f′(x)＝ex－3，x∈R. 令f′(x)＝0，得x＝ln 3， 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，ln 3) ln 3 (ln 3，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  极小值  故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 3)，单调递增区间是(ln 3，＋∞)， f(x)在x＝ln 3处取得极小值，极小值为f(ln 3)＝eln 3－3ln 3＋3a＝3(1－ln 3＋a)，无极大值. (2)证明　待证不等式等价于ex＞x2－3ax＋1， 设g(x)＝ex－x2＋3ax－1，x＞0， 于是g′(x)＝ex－3x＋3a，x＞0. 由(1)及a＞ln ＝ln 3－1知 g′(x)的最小值为g′(ln 3)＝3(1－ln 3＋a)＞0. 于是对任意x＞0，都有g′(x)＞0， 所以g(x)在(0，＋∞)内单调递增. 于是当a＞ln ＝ln 3－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)＞g(0). 而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)＞0. 即ex＞x2－3ax＋1，故＞x＋－3a. 感悟提升　待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用导数研究其单调性等相关函数性质证明不等式. 训练1已知函数. (1)当时， （ⅰ）求在点处的切线方程； （ⅱ）求的最小值； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，证明. （1）解：当时，，，（ⅰ），所以在点处的切线方程为，即；（ⅱ）当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以； （2）解：，令，则，当，即时，，，所以函数在上递增，所以，即，，所以函数在上递增，所以，所以满足题意；当，即时，令，则，当时，，所以函数在上递减，所以当时，，即当时，，所以函数在上递减，此时，与题意矛盾，综上所述，实数的取值范围为； （3）证明：由（2）得，当时，，即，要证，只需要证明，只需要证明，只需要证明，令，则，所以函数在上递增，所以，所以，所以. 【分析】（1）求导，（ⅰ）根据导数的几何意义即可得出答案； （ⅱ）根据导数的符号求出函数的单调区间，从而可得函数的最小值； （2）求出函数的导函数，根据分和两种情况讨论，从而可得出答案； （3）由（2）可得，当时，，则要证， 只需要证明，只需要证明，构造函数，再利用导数证明即可得证. 29．（2024上海高三模拟训练）已知函数f(x)＝eln x－ax(x∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0. (1)解　f′(x)＝－a(x>0)， ①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②若a>0，则当0<x<时，f′(x)>0； 当x>时，f′(x)<0，∴f(x)在上单调递增，在上单调递减. 综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减. (2)证明　法一　∵x>0，∴只需证f(x)≤－2e， 当a＝e时，由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴f(x)max＝f(1)＝－e. 记g(x)＝－2e(x>0)， 则g′(x)＝， ∴当0<x<1时，g′(x)<0，当x>1时，g′(x)>0，故g(x)在(0，1)上单调递减； 在(1，＋∞)上单调递增， ∴g(x)min＝g(1)＝－e. 综上，当x>0时，f(x)≤g(x)，即f(x)≤－2e，即xf(x)－ex＋2ex≤0. 法二　由题意知，即证exln x－ex2－ex＋2ex≤0， 从而等价于ln x－x＋2≤. 设函数g(x)＝ln x－x＋2， 则g′(x)＝－1. ∴当x∈(0，1)时，g′(x)>0， 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0， 故g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从而g(x)在(0，＋∞)上的最大值为g(1)＝1. 设函数h(x)＝，则h′(x)＝. ∴当x∈(0，1)时，h′(x)<0， 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0， 故h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 从而h(x)在(0，＋∞)上的最小值为h(1)＝1. 综上，当x>0时，g(x)≤h(x)，即xf(x)－ex＋2ex≤0. 题型8：双变量问题 30．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)任取两个正数，当时，求证：. 【解析】(1). 当时，，令，得；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 当，即时，令，得或；令，得. 所以在，上单调递增，在上单调递减. 当，即时，恒成立，所以在上单调递增. 当，即时，令，得或；令，得. 所以在，上单调递增，在上单调递减. 综上所述， 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时， 在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； (2)证明：由题意得，.要证， 只需证，即证，即证. 令，所以只需证在上恒成立， 即证在上恒成立. 令，则，令，则. 所以在上单调递减，即在上单调递减， 所以，所以在上单调递增，所以. 所以. 31．（2024上海高三模拟训练）已知函数（，）. (1)求函数的极值； (2)若函数的最小值为0，，（）为函数的两个零点，证明：. 【解析】(1)（），， 若时，则恒成立， 在上单调递增，故没有极值； 若，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 有极小值，极小值为，无极大值. (2)证明：由（1）可知，当时，有最小值，， 由函数的最小值为0，得，由题知， ，，， ，， ，（）， 令，则， 令，则在上单调递增， 又，在上，，，单调递减， 在上，，，单调递增， ，得证. 33．（2023上海高三课时训练）设函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点， ①求a的取值范围； ②证明：. 【解析】(1)的定义域为，且， 当时，成立，所以在为增函数， 当时， ①当时，，所以在上为增函数， ②当时，，所以在上为减函数； 综上：当时，在为增函数， 当时，在上是减函数，在上为增函数， (2)结合（1），当时，取得极小值， 又∵函数有两个零点，∴，可得， 综上所述，； 下面证明结论成立：不妨设， 设，， 可得，，∴在上单调递增， ∴，即，，， ∴当时， ，又∵，，∴， 又∵当时，单调递增，∴，即， 设，，则，两式相比得， 即，∴， 又∵， 令，则，令，则， 则在内单调递减，即，即， 故，故在上单调递减，∴，∴，即； 综上所述，． 34．（2023上海高三课时训练）已知函数 (1)当，研究的单调性； (2)令，若存在使得，求证. 【解析】(1)，，在上单调递增，且，所以时，，时，， 在上单调递减，在上单调递增； (2)，（）， 时，递增，时，，递减，时，， 存在使得，则，令，， ，令， 则，在上单调递增，，， ，，. 35．（2023上海高三课时训练）已知，， (1)若恒成立，求的最大值 (2)若，是的两个零点，且求证： 【解析】(1)，， 设，则恒成立恒成立， 易知符合要求，下面考虑的情形， 由，得时，；时，， 因此，在区间上为减函数，在上为增函数，故的最小值为， 由，得，解得， 所以的最大值为. (2)由（1）知，，是的两个零点，结合的单调性可知，， 若，则显然成立， 若，设（）， 则，， 所以，在区间上为增函数，因此有， 因此，，， 又，，且在区间上为减函数， 所以，，即.综上，. 36．（2023上海高三课时训练）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)设存在两个极值点，且，若，求证：. 【解析】(1)由题意可知，， 当时，，则在是单调递增； 当时，若，即时， 若，即时，和时，时，， 综上，时，在是单调递增；时， 在和递增，在递减 (2)由题意可设，是的两个根，则 （用分别表示出和） ，整理，得 ，此时 设，求导得 恒成立， 在上单调递减， 37．（2023上海高三课时训练）设函数，. （1）求导数，并证明有两个不同的极值点､； （2）若不等式成立，求的取值范围. 【解析】（1）∵，∴. 令得方程， 因，故方程有两个不同实根､， 不妨设，由可判断的符号如下： 当时，；当时，；当时，. 因此是极大值点，是极小值点. （2）因，故得不等式. 即. 又由（1）知，. 代入前面不等式，两边除以，并化简得. 解不等式得或（舍去）. 因此，当时，不等式成立. 题型9：极值点偏移问题 38．（2023上海高三课时训练）设函数. (1)若对恒成立，求实数的取值范围； (2)已知方程有两个不同的根、，求证：，其中为自然对数的底数. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）解：由，得. 令，，则， 令，则. 所以，函数在上单增，故. ①当时，则，所以在上单增，， 此时对恒成立，符合题意； ②当时，，， 故存在使得， 当时，，则单调递减，此时，不符合题意. 综上，实数的取值范围. （2）证明：由（1）中结论，取，有，即. 不妨设，，则，整理得. 于是， 即. 39．（2023上海高三课时训练）已知函数有两个极值点，. (1)求实数的取值范围； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）由于，则. 设，则，令，解得. 所以当时，；当时，，所以 ①当时，，所以函数在上单调递增，没有极值点. ②当时，，， 此时，有两个零点、，不妨设，则, 所以函数有2个极值点时，的范围时. （2）由（1）知，、为的两个实数根，不妨设，则， 在上单调递减. 下面先证，只需证. 由于，所以， 所以. 设，则， 所以在上单调递减，所以，， 所以. 由于函数在上单调递减，所以. 要证，只需证，即证. 设函数,则. 设，则, 所以在上单调递增，，即. 所以在上单调递增，. 故当时，,则, 所以,即 40．（2023上海高三课时训练）已知函数． (1)若单调递增，求的取值范围； (2)若有两个极值点，，其中，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析.. 【分析】（1）根据函数单调递增，则，然后转化为求函数最值问题，即可得到结果. （2）构造函数，可得，从而得到当时，，然后令可得，当时，，故有，即可证明. 【解析】（1）由得， 由单调递增，则，得， 设，则 可知时，，单调递增； 时，，单调递减， 则时，取得极大值，也为最大值，则 所以，的取值范围是 （2） 由题，函数有两个极值点，则即有两个不相等实数根， 由（1）可知时，取得极大值，，趋向时趋向于0. 故有两个不相等实根时，，且 过点与的直线方程为， 构造函数，， 令，则 则时，，即单调递减； 时，，即单调递增， 所以时，极小值为 所以时，，则，即， 故当时，， 设方程的根为，则， 构造函数 令则， 令，则， 故时，单调递减，则，又， 所以，当时，，故有， 令方程的根为，则， 于是有，如图 所以，证毕 【点睛】关键点点睛：涉及不等式证明问题，可以将不等式变形，构造函数，利用导数探索函数单调性，极值是解决问题的关键. 42．（2023华师大二附中开学考试）已知函数，设，. (1)若在上有解，求的取值范围； (2)若，证明：当时，成立； (3)若恰有三个不同的根，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）常数分离法，转化为有解，用导数求的最小值即可； （2）即证在时恒成立，用导数求左边函数的最小值; （3）确定是先减后增，要使有三根，要满足，从而，可将表示为的函数，根据的范围，求得的范围. 【解析】（1）由题，在上有解，，所以有解 令，则， 而在上为增函数，所以， 即成立，所以在严格递增， 因而，即. （2）时，则， 令， 得，记， 则在时严格增， 因而，所以在时严格增， 因而 即在严格增，， 即在恒成立. （3）在定义域上递增 ①当时，， 而当时成立，且， 所以， 因而存在，使得， 当时，，为减函数； 当时，，为增函数； 所以为极小值点.， 由，此时不可能有三个根. ②当时， 因而存在，使得， 当时，，为减函数； 当时，，为增函数； 所以为极小值点.， 由，此时不可能有三个根. ③当时，在定义域上递增， 当时，，为减函数； 当时，，为增函数； 所以为极小值点.所以为最小值，此时不可能有三个根. ④当时，，存在，使得 当时，，为减函数； 当时，，为增函数； 所以为极小值点， 而，所以 由 由有三个根，得 由， 所以. 【点睛】利用导数研究方程根的过程中用的主要数学思想方法就是数形结合,即首先通过导数研究函数的性质，确定函数的单调性，极值，最值等，根据函数的性质画出函数的图象，然后根据函数的图像确定方程根的情况.方程的根的个数可以看成函数图象与x轴交点的个数，也可以转化为两个函数图象的交点个数问题.解决这类问题要注意分类讨论思想，数形结合思想的应用. 43．（2023上海高三课时训练）已知函数（其中为自然对数的底数）. (1)讨论函数的单调性； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）结合已知条件分、、三种情况讨论，分析导数的符号变化，即可得出原函数的增区间和减区间； （2）分析可得，构造函数，即在上恒成立，可得出，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围. （1） 解：依题意，令，， 则， 令，解得或. 当时，即时，恒成立且不恒为零， 所以，函数的增区间为； 当时，即时，由可得或，由可得， 所以，函数的增区间为、，减区间为； 当时，即时，由可得或，由可得. 所以，函数的增区间为、，减区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为； 当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为、，减区间为. （2） 解：当时，恒成立， 所以在上单调递增，且. 因为，所以， 则不等式可化为， 即. 令，则问题等价于函数在上单调递增， 即在上恒成立， 即，. 令，， 则. 令，解得， 所以当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 所以当时，函数取得最小值，且， 所以当时，，所以. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 44．（2024上海中学期中考试）已知函数，，其中e为自然对数的底数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，有，求证：对，有； (3)若，且，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求出切线方程； （2）利用导数求出，根据二次函数和一次函数的性质求出，即可求解； （3）根据题意可得，设，则，利用导数研究函数的单调性可得，令()，再次利用导数研究函数的性质，求出即可. 【解析】（1）因为，所以点即为点 ，， 故切线方程为，即； （2）因为当时，，， 故在上单调递增，所以， 当时，，此时； 当时，在上单调递减，此时， 故，所以成立； （3）由题意得：，又因为，所以， 又，即， 即， 所以① 设，则①式变形为 ，所以单调递增，所以， 因为，所以， 令，， 则， 当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值， 有， 故．即实数的取值范围为. 【点睛】破解含双参不等式证明题的3个关键点 （1）转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式. （2）巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值. （3）回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果. 45．（2024大同中学高三阶段练习）已知函数. (1)若函数有两个极值 （i）求实数的取值范围； （ii）求极大值的取值范围. (2)对于函数，都有，则称在区间上是凸函数.利用上述定义证明，当时，在上是凸函数. 【答案】(1)（i）；（ii） (2)证明见解析 【分析】（1）（i）求定义域，求导，分与两种情况，求出的取值范围；（ii）求出极大值点，结合在上单调递增，从而求出极大值的范围； （2）利用分析法，转化为证明，换元后得到即证非负，求导得到，证毕. （1） （i）函数的定义域为 当时，有且只有一个极值点，故舍去. 当时，， 经检验，此时满足函数有两个极值， 故的取值范围是. （ii）设的极大值点，则， 则， ， ，∴在上单调递增 . （2） 要证， 代入即证， ， ，. 只要证：， 即证：， 令，即证非负， ， 当时，，时，， 在递减，递增， 结论成立. 【点睛】证明多元不等式问题，要对不等式进行合理变形，化多元为单元问题，进行求解. 46．（2023格致中学高三模拟）已知函数，函数是定义在的可导函数，其导数为，满足. (1)令函数，求证：在上是减函数； (2)若在上单调递减，求实数取值范围； (3)对任意正数，试比较与的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）对求导，结合条件判断得，由此证毕； （2）由题设条件可得，由此将问题转化为恒成立，利用基本不等式求得，通分计算得，故； （3）记，利用（1）中结论转化得，再利用（2）中结论推得，从而得到，所以. 【解析】（1）依题意，得， ∵，∴，又， ∴，∴在上是减函数. （2）∵在上单调递减，∴，， 又由，∴，，即恒成立， 故，， 又，当且仅当，即时，等号成立，故， ∴，∴，又，∴，∴， ∴的取值范围是. （3）∵，，及， ∴，均大于0， 记，令，则， 由及（1）中在单调递减，得，即， ∴， ∴，， 由（2）知当时，在上单调递减， ∴时，，即， ∴，从而有，即. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 47．（2023上海高三课时训练）已知函数的图象在点处的切线为. (1)求； (2)求证：； (3)已知，若对恒成立，求正实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见详解； (3) 【分析】（1）求出导数，由可求解. （2）分与两种情况求的最大值可得证. （3）由可变形为，由可得到，再利用（2）结论求解即可. 【解析】（1）由题意得： ，故 （2）由（1）知： 令 当时，当，因为，，，所以 当，因为，，，所以 所以在区间上单调递减 又因为 当，因为，所以在上单调递增， 当，因为，所以在上单调递减， 所以 当时，当，因为，，，所以 当，因为，，，所以 所以在区间上单调递减 又因为， 所以有唯一的零点 当，因为，所以所以在上单调递增， 当，因为，所以在上单调递减， 所以 又因为 所以 因为，， 所以 所以当时， 综上知，当时， （3）因为，所以 即 因为 所以 由（2）知， 当时，因为 所以 当时，若，则，不合题意 综上， 48．（2023上海高三课时训练）已知函数（e为自然对数的底数）． (1)令，若不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)令，若函数有两不同零点． ①求实数m的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)； (2)① ；②证明见解析. 【分析】（1）根据为偶函数，将问题转化为时恒成立，根据及参变分离求有恒成立，求参数范围； （2）①利用导数研究的单调性，及区间值域情况，进而判断有两不同解时m的范围即可；②由（1）知：时且，应用放缩法有，构造研究极值并判断的两根与大小关系得到即可证结论. （1） 由题设，，则， 所以为偶函数，故只需时，恒成立，而满足， 所以有恒成立，令，则， 若，则，仅当时等号成立， 所以，即在上递增，则，即， 所以，在上，则， 综上：a的范围为． （2） ①由题设，，若得：， 故在单调减，在单调增，且趋向负无穷趋向于0，趋向正无穷趋向于正无穷， 又，，则时，；时，， 要使有两个不同解且，则； ②由（1）知：时，则； 记且，则， 所以上，上， 故在上递减，上递增，且， 所以也有两根，记为，又上，则， 令，则为的两根，故，， 所以，而， 所以． 【点睛】关键点点睛：第二问，利用导数研究的性质并确定区间值域求参数范围；应用放缩法有上，研究不等式右侧的性质并确定两根与两根的大小关系，结合韦达定理、基本不等式证明结论. 题型10：建立模型解决实际问题 49．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克. （1）求函数的解析式； （2）若系列的成本为4元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大. 【解析】（1）有题意可知，当时，，即，解得， 所以. （2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，则 ， ，令，得或（舍去）， 所以当时，为增函数； 当时，为减函数， 故当时，函数在区间内有极大值点，也是最大值点， 即时函数取得最大值. 所以当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大. 50．为了提高某产品的销量，公司计划对该产品投入适当的宣传费用．经调查测算，该产品的销售量y（单位：万件）与宣传费用（单位：万元）满足函数关系式，已知每件产品的利润为（单位：元）． (1)求该产品的总利z（单位：万元）关于x的函数． (2)求投入宣传费用多少万元时，该产品的总利润最大？最大利润是多少？ 【解析】(1)由题可知， ． (2)， 因为，所以，则在上单调递减， 故． 当投入的宣传费用为3万元时，该产品的总利润最大，且最大利润为11.5万元． 51．某个体户计划经销、两种商品，据调查统计，当投资额为（）万元时，在经销、商品中所获得的收益分别为万元与万元、其中（）；，（）已知投资额为零时，收益为零. （1）试求出，的值； （2）如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其收入的最大值.（精确到0.1，参考数据：）. 【解析】(1)根据问题的实际意义，可知， 即：， (2)由(1)的结果可得：，依题意，可设投入商品的资金为万元（），则投入商品的资金为万元，若所获得的收入为万元，则有 （） ∴   ，令，得 当时，；当时，； ∴是在区间上的唯一极大值点，此时取得最大值： （万元），（万元） 答：该个体户可对商品投入3万元，对商品投入2万元，这样可以获得12.6万元的最大收益. 52．第31届世界大学生夏季运动会即将在成都拉开帷幕.为了配合大运会的基础设施建设，组委会拟在成都东安湖体育公园修建一座具有成都文化特色的桥.两端的桥墩已建好，这两桥墩相距160米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米（其中，）的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，设需要新建n个桥墩（显然），记余下工程的费用为y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)需新建多少个桥墩才能使y最小？ 【解析】(1)由，得， 所以 . (2)由（1）知，， 令，得，所以. 当时，，则在区间内为减函数； 当时，，则在区间内为增函数. 所以在处取得最小值，此时.故需新建9个桥墩才能使y最小. 53．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用15年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与15年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值． 【解析】(1)隔热层厚度xcm，依题意，每年能源消耗费用为，由，得， 因此，而建造费用为， 则隔热层建造费用与15年的能源消耗费用之和为， 所以. (2)由（1）知，，令，即，而，解得， 当时，，当时，，即在上递减，在上递增， 则当时，取最小值． 所以当隔热层修建cm厚时，总费用达到最小值为万元． 54．如图，某隧道的剖面图是由半圆及矩形组成，交通部门拟在隧道顶部安装通风设备（视作点），为了固定该设备，计划除从隧道最高点处使用钢管垂直向下吊装以外，再在两侧自两点分别使用钢管支撑.已知道路宽，设备要求安装在半圆内部，所使用的钢管总长度为. （1）①设，将表示为关于的函数； ②设，将表示为关于的函数； （2）请选用（1）中的一个函数关系式，说明如何设计，所用的钢管材料最省？ 【解析】（1）延长交于点，则，且为的中点， 所以，由对称性可知，. ①若，则，， 在中，，所以， ②若，则，在中，，， 所以， 所以. （2）选取②中的函数关系式，， 记，则由及可得，， 当时，此时单调递减，当时，此时单调递增， 所以当时，取得最小值， 从而钢管总长度为取得最小值，即所用的钢管材料最省. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学二轮复习压轴题突破拿高分（导数篇） 专题训练01 导数十大基础题型 题型1：导数的切线问题 1．（2024上海高三模拟）已知函数 (1)若，证明：； (2)若函数与函数的图象有且仅有一条公切线，求实数的取值集合； (3)设，若函数有两个极值点，且，求证：. 2．（2024•浦东新区校级模拟）设函数，． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，曲线与有两条公切线，求实数的取值范围； （3）若对，恒成立，求实数的取值范围． 题型2：用研究导数函数的单调性 3．（2023秋·北京顺义·高三杨镇第一中学校考阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的最小值； (2)当时，讨论的单调性. 4．（2024•浦东新区校级开学）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设，分别为的极大值点和极小值点，记，，，． 证明：直线与曲线交于另一点； 在的条件下，判断是否存在常数，，使得．若存在，求；若不存在，说明理由． 附：，． 5．（2024春•宝山区校级月考）设函数． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）已知，，曲线上不同的三点，，，，，处的切线都经过点．证明： （ⅰ）若，则（a）； （ⅱ）若，，则． （注是自然对数的底数） 6．（2024•静安区二模）已知，记且． （1）当是自然对数的底）时，试讨论函数的单调性和最值； （2）试讨论函数的奇偶性； （3）拓展与探究： ①当在什么范围取值时，函数的图像在轴上存在对称中心？请说明理由； ②请提出函数的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明） 7．（2024春•杨浦区校级期中）已知函数． （1）若，求函数在点，（1）处的切线方程； （2）讨论函数的单调性及极值； （3）若，任意，且，都有成立，求实数的取值范围． 8．（2024春•浦东新区校级月考）已知函数，其中为实数． （1）若是定义域上的单调函数，求实数的取值范围； （2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围； （3）记，若，为的两个驻点，当在区间上变化时，求的取值范围． 题型3：用导数研究函数的极值 9．已知函数，是的导函数. (1)若，求证：当时，恒成立； (2)若存在极小值，求的取值范围. 题型4：用导数研究函数的最值 10．（2024•浦东新区校级模拟）已知，其中． （1）若曲线在点，（2）处的切线与直线垂直，求的值； （2）设，函数在时取到最小值，求关于的表达式，并求的最大值； （3）当时，设，数列满足，且，证明：． 11．（2024•徐汇区校级模拟）已知函数，，令． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当为正数且时，，求的最小值； （3）若对一切都成立，求的取值范围． 题型5：恒成立、能成立与存在性问题 12．设，. (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)若有恒成立，求的取值范围. 14．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若时，恒成立，求实数的取值范围． 15．已知函数且为常数）. (1)当，求函数的最小值； (2)若函数有2个极值点，求的取值范围； (3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 16．已知函数． (1)若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数a的值； (2)设，若函数在区间当为严格递减函数时，求实数a的取值范围； (3)对于（2）中的函数，若函数有两个极值点为，且不等式恒成立，求实数的取值范围． 17．已知函数，. (1)求函数的极值； (2)若存在时，使成立，求的取值范围. (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 18．（2024春•宝山区校级期中）已知函数． （1）若直线是曲线的切线，求实数的值； （2）若对任意实数恒成立，求的取值范围； （3）若，且，求实数的最大值． 题型6：导数的零点、方程的根与交点问题 19．已知为实数，函数 (1)当时，求函数的极值点； (2)当时，试判断函数的零点个数，并说明理由． 20．已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； (2)若方程有三个根，求的取值范围． 21．已知函数，，其中，为自然对数的底数. (1)求的最小值； (2)设函数（为的导函数），如果函数在内有两个不同的零点，求实数的取值范围. 22．已知 (1)讨论的单调区间； (2)，若曲线和在上有且仅有两个交点，求的取值范围. 23．（2024上海高三模拟训练）已知函数. (1)讨论函数在上的单调性； (2)若函数的图象与的图象有三个不同的交点，求实数a的取值范围. 24．（2024上海高三模拟训练）函数，. (1)求证：当时，存在唯一极小值点，且； (2)当时，设，求在的最小值. 25．（2024上海高三模拟训练）已知函数有两个不同的零点，. (1)当时，求证：； (2)求实数a的取值范围； (3)求证：. 25．（2024春•闵行区校级月考）已知函数的图像在处的切线与直线平行． （1）求实数的值； （2）若关于的方程在，上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． （3）是否存在正整数，使得满足，的无穷数列是存在的，如果存在，求出所有的正整数的值，如果不存在，说明理由． 26．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围，并证明． 27．（2023·河南·校联考二模）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若方程有两个不同的实数根，证明：. 题型7：不等式的证明 28．（2024上海高三模拟训练）已知函数f(x)＝ex－3x＋3a(e为自然对数的底数，a∈R). (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当a＞ln ，且x＞0时，＞x＋－3a. 29．（2024上海高三模拟训练）已知函数f(x)＝eln x－ax(x∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0. 题型8：双变量问题 30．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)任取两个正数，当时，求证：. 31．（2024上海高三模拟训练）已知函数（，）. (1)求函数的极值； (2)若函数的最小值为0，，（）为函数的两个零点，证明：. 33．（2023上海高三课时训练）设函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点， ①求a的取值范围； ②证明：. 34．（2023上海高三课时训练）已知函数 (1)当，研究的单调性； (2)令，若存在使得，求证. 35．（2023上海高三课时训练）已知，， (1)若恒成立，求的最大值 (2)若，是的两个零点，且求证： 36．（2023上海高三课时训练）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)设存在两个极值点，且，若，求证：. 37．（2023上海高三课时训练）设函数，. （1）求导数，并证明有两个不同的极值点､； （2）若不等式成立，求的取值范围. 题型9：极值点偏移问题 38．（2023上海高三课时训练）设函数. (1)若对恒成立，求实数的取值范围； (2)已知方程有两个不同的根、，求证：，其中为自然对数的底数. 39．（2023上海高三课时训练）已知函数有两个极值点，. (1)求实数的取值范围； (2)求证：. 40．（2023上海高三课时训练）已知函数． (1)若单调递增，求的取值范围； (2)若有两个极值点，，其中，求证：． 42．（2023华师大二附中开学考试）已知函数，设，. (1)若在上有解，求的取值范围； (2)若，证明：当时，成立； (3)若恰有三个不同的根，证明：. 43．（2023上海高三课时训练）已知函数（其中为自然对数的底数）. (1)讨论函数的单调性； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 44．（2024上海中学期中考试）已知函数，，其中e为自然对数的底数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，有，求证：对，有； (3)若，且，求实数a的取值范围． 45．（2024大同中学高三阶段练习）已知函数. (1)若函数有两个极值 （i）求实数的取值范围； （ii）求极大值的取值范围. (2)对于函数，都有，则称在区间上是凸函数.利用上述定义证明，当时，在上是凸函数. 46．（2023格致中学高三模拟）已知函数，函数是定义在的可导函数，其导数为，满足. (1)令函数，求证：在上是减函数； (2)若在上单调递减，求实数取值范围； (3)对任意正数，试比较与的大小. 47．（2023上海高三课时训练）已知函数的图象在点处的切线为. (1)求； (2)求证：； (3)已知，若对恒成立，求正实数的取值范围. 48．（2023上海高三课时训练）已知函数（e为自然对数的底数）． (1)令，若不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)令，若函数有两不同零点． ①求实数m的取值范围； ②证明：． 题型10：建立模型解决实际问题 49．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克. （1）求函数的解析式； （2）若系列的成本为4元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大. 50．为了提高某产品的销量，公司计划对该产品投入适当的宣传费用．经调查测算，该产品的销售量y（单位：万件）与宣传费用（单位：万元）满足函数关系式，已知每件产品的利润为（单位：元）． (1)求该产品的总利z（单位：万元）关于x的函数． (2)求投入宣传费用多少万元时，该产品的总利润最大？最大利润是多少？ 51．某个体户计划经销、两种商品，据调查统计，当投资额为（）万元时，在经销、商品中所获得的收益分别为万元与万元、其中（）；，（）已知投资额为零时，收益为零. （1）试求出，的值； （2）如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其收入的最大值.（精确到0.1，参考数据：）. 52．第31届世界大学生夏季运动会即将在成都拉开帷幕.为了配合大运会的基础设施建设，组委会拟在成都东安湖体育公园修建一座具有成都文化特色的桥.两端的桥墩已建好，这两桥墩相距160米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米（其中，）的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，设需要新建n个桥墩（显然），记余下工程的费用为y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)需新建多少个桥墩才能使y最小？ 53．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用15年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与15年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值． 54．如图，某隧道的剖面图是由半圆及矩形组成，交通部门拟在隧道顶部安装通风设备（视作点），为了固定该设备，计划除从隧道最高点处使用钢管垂直向下吊装以外，再在两侧自两点分别使用钢管支撑.已知道路宽，设备要求安装在半圆内部，所使用的钢管总长度为. （1）①设，将表示为关于的函数； ②设，将表示为关于的函数； （2）请选用（1）中的一个函数关系式，说明如何设计，所用的钢管材料最省？ 学科网（北京）股份有限公司 $$