精品解析：云南省大理白族自治州民族中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题

大理州民族中学2024-2025学年下学期见面考 高一数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知实数集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，利用补集和交集的定义可求得结果. 【详解】， 又，则， 故， 故选：C. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用特称命题的否定形式直接判定选项即可. 【详解】由特称命题的否定可知：命题“”的否定是“”. 故选：C 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别利用指数函数、对数函数、三角函数单调性，限定的取值范围即可得出结论. 【详解】根据对数函数在定义域内为单调递增可知，即； 由三角函数单调性可知； 利用指数函数为单调递增可得； 所以. 故选：C 4. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由零点存在定理及函数的单调性判断即可. 【详解】∵和均在上单调递增，∴在上单调递增； 又，，∴在上有唯一的零点， 故选：B. 5. 折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），其平面图为如图2的扇形，已知，扇面（曲边四边形的面积是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式计算即可. 【详解】设，则扇面的面积. 故选：C 6. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的定义域，奇偶性及其他性质判断即可. 【详解】的定义域为且， 因为，所以为奇函数，排除A，D， 当时，，B错误， 故选：C. 7. 不论取何值，函数且且的图象都必经过同一个定点，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据指，对数函数的性质，分别求定点的坐标，即可求解. 【详解】函数恒过定点，函数恒过定点，由条件可知， ，. 故选：D 8. 已知函数，若存在最小值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，判断每段的单调性，继而列出满足题意的不等式，结合函数单调性，即可求得答案. 【详解】时，，单调递增，在上的最小值为， 时，，单调递减，在上无最小值. 则由已知得，即， 设，该函数为上的增函数， 因为，所以. 故选：A. 二、多选题：本大题共3小题，共18分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 图象的一个对称中心为 C. 的单调递增区间是 D. 把函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得到函数的图象 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正弦函数的周期公式判断A；求出对称中心判断B；求出单调递增区间判断C；利用三角函数图象的变换规则判断D. 【详解】对于A：因为，所以周期，故A正确； 对于B：令，得， 时可得该函数图象的一个对称中心为，故B正确； 对于C：由，解得，的单调递增区间为，故C正确； 对于D：把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得到，故D错误， 故选：ABC． 10. 设正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件，利用基本不等式或二次函数性质，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】对于A，正实数满足，则， 当且仅当且，即时等号成立，故的最小值为4，A正确； 对于B，， 当且仅当且，即时等号成立，即的最大值为，B正确； 对于C，正实数满足，则，则， 故， 由于，故，即， 故， 即， 即无最小值，C错误； 对于D，， 当且仅当且，即时等号成立， 故的最小值为，D正确， 故选：ABD 11. 若函数同时满足：①对于定义域内的任意x，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有.则称函数具有性质P. 下列函数具有性质P的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数的单调性与奇偶性，结合函数性质P的定义，逐项判断即可. 【详解】根据题意，若函数具有性质P，则满足对于定义域内的任意x， ①恒有，则为奇函数； ②当时，恒有，则在定义域上单调递减. 对于A，，其定义域为，有，则函数为奇函数， 设，当时，为增函数，是减函数， 则在上为减函数， 又为奇函数， 则在上是减函数，符合题意； 对于B，，是奇函数，但在其定义域上不是减函数，不符合题意； 对于C，是奇函数，在其定义域上是增函数，不符合题意； 对于D，定义域为，，即为奇函数； 又，故为减函数，故D正确， 故选：AD. 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 若不等式的解集为，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】由三个二次的关系求，根据分式不等式的解法求不等式的解集. 【详解】∵不等式的解集为 ∴，是方程的两根， ∴ ， ∴ 可化为 ∴ ∴不等式的解集为， 故答案为：. 13. 已知函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的两段单调递增和两段的端点值之间的大小关系列式可求出结果. 【详解】因为函数是定义在上的增函数， 所以，解得. 故答案为： 14. 已知函数，若实数，满足，则等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义，求得函数为定义域上的奇函数，结合，得到，即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为关于原点对称， 又由 ， 即，所以函数为定义域上的奇函数， 因为，所以，即. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 15. 化简求值： （1）； （2）. 【答案】（1）8 （2）9 【解析】 【分析】（1）根据指数分数幂的运算可得答案； （2）根据对数的运算性质可得答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 16. 已知，，且. （1）求的值； （2）求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先根据，且，求出，则可求，再求； （2）先根据，，求出，再根据求解即可. 【详解】（1）∵且， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 又∵， ∴， ， 所以. 【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．本题考查运算求解能力，是中档题. 17. 已知函数. (1)求函数的周期和对称轴方程； (2)将的图像向右平移个单位长度，得到的图像，求函数在上的值域. 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）首先根据三角恒等变换可得，根据公式和，求函数的周期和对称轴方程； （2），先求的范围，再求函数的值域. 【详解】（1） ； 所以的周期, 令，则对称轴为. （2）， 当，，, . 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换和三角函数的性质，意在考查转化与化简和计算能力，属于基础题型. 18. 2022年10月16日，习近平总书记在中国共产党第二十次全国代表大会土的报告中，提出了“把我国建设成为科技强国”的发展目标，国内某企业为响应这一号召，计划在2023年投资新技术，生产新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入做定成本250万元，每生产x千部手机，需另投入成本万元，且由市场调研知每部手机的售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完． （1）试写出2023年利润L（万元）关于年产量x（千部）的函数解析式； （2）当2023年产量为多少千部时，企业所获利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1） （2）产量为（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000（万元） 【解析】 【分析】（1）根据利润=销售额-成本，可得出2023年利润L（万元）关于年产量x（千部）的函数解析式； （2）分别求出分段函数两个范围的最大值，再比较大小即可得到企业所获最大利润． 【小问1详解】 根据利润=销售额-成本，可得 当时， 当时， ， 故； 【小问2详解】 由（1）可知， ， 当时，， 当时， 当时，， 当且仅当，即时，， ，产量为（千部）时，企业所获利润最大， 最大利润是9000（万元）. 19. 已知函数 （1）判断的奇偶性； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）若不等式在区间上有解，求实数k的取值范围. 【答案】（1） ∵，定义域为，关于原点对称， 又， ∴为奇函数. （2）在上为减函数，证明如下： ∵， 任取，且，则 ， ∵，∴，，， 故，即， ∴在上为减函数. （3） 【解析】 【分析】（1）先求函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义分析判断； （2）先对函数化简变形后，再任取，且，然后化简变形，再判断符号，可得结论； （3）利用函数是奇函数将原不等式转化为，再由函数为上的减函数，得，即存在，使得成立，然后求出的最大值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵为上的奇函数，又， ∴. 又由于函数为上的减函数， ∴， 则， 又存在，使得成立，则， 又∵在上为减函数， ∴， ∴， ∴实数k的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性，函数单调性的证明，考查利用函数单调性和奇偶性解不等式，第（3）问解题的关键是利用函数为奇函数将原不等式转化后，再利用函数的单调性解不等式，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大理州民族中学2024-2025学年下学期见面考 高一数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知实数集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 5. 折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），其平面图为如图2的扇形，已知，扇面（曲边四边形的面积是，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 7. 不论取何值，函数且且的图象都必经过同一个定点，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知函数，若存在最小值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，共18分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 图象的一个对称中心为 C. 的单调递增区间是 D. 把函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得到函数的图象 10. 设正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 若函数同时满足：①对于定义域内的任意x，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有.则称函数具有性质P. 下列函数具有性质P的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 若不等式的解集为，则不等式的解集为______. 13. 已知函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围是______． 14. 已知函数，若实数，满足，则等于______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 15. 化简求值： （1）； （2）. 16. 已知，，且. （1）求的值； （2）求. 17. 已知函数. (1)求函数的周期和对称轴方程； (2)将的图像向右平移个单位长度，得到的图像，求函数在上的值域. 18. 2022年10月16日，习近平总书记在中国共产党第二十次全国代表大会土的报告中，提出了“把我国建设成为科技强国”的发展目标，国内某企业为响应这一号召，计划在2023年投资新技术，生产新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入做定成本250万元，每生产x千部手机，需另投入成本万元，且由市场调研知每部手机的售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完． （1）试写出2023年利润L（万元）关于年产量x（千部）的函数解析式； （2）当2023年产量为多少千部时，企业所获利润最大？并求出最大利润． 19. 已知函数 （1）判断的奇偶性； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）若不等式在区间上有解，求实数k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $