精品解析：辽宁省鞍山市铁东区2021-2022学年下学期期中考试 八年数学试卷

线上学习 云端反馈（八年数学） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 5，7，12 B. 2，3，4 C. 1，1， D. ，， 2. 下列式子是最简二次根式的（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，矩形的对角线，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是平行四边形，请你添加一个条件使它成为菱形，下列选项中不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，四边形和四边形都是正方形，如果，，那么等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的顶点、分别落在直角坐标系的轴、轴上，、则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是_____命题．(填“真”或“假”) 10. 如图，是的中位线，若，则的长为________． 11. 把化成最简二次根式为________． 12. 如图，的对角线，相交于点，且，若的周长为14，则的长为________． 13. 已知，求代数式的值________． 14. 若直角三角形的两条边长分别是、，是第三条边，则________． 15. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，连接，则的长为 __________________． 16. 如图，点为菱形边上一点，连接交对角线于点，延长交的延长线于点，且，连接，下列结论：①是等腰三角形；②；③若，，则．其中正确的是________．（序号填在横线上） 三、计算与画图（17题每小题4分，18题5分，共13分） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图的正方形网格，每个正方形顶点叫格点，每个小正方形的边长为，请在图中画一个面积为的正方形，且正方形的顶点都在网格的格点上． 四、解答题（19题5分，20题5分，共10分） 19. 已知：如图，在中，点、分别在、的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形． 20. 如图，池塘边有两点、，点是与方向成直角的方向上一点，测得的中点到点的距离米，米，求两点间的距离是多少米？（要求：结果精确到0.1米，参考数据：．） 五、解答题（21题6分，22题6分，23题7分，共19分） 21. 如图，菱形对角线、交于点，点为的中点，连接并延长至点使，连接、，试判断四边形的形状并说明理由． 22. 如图，有一块五边形空地，某社区计划将其布置成疫情时期核酸检测场地两个区域，测得，，，，，求五边形的面积．（要求：结果保留根号） 23. 已知：如图，点为矩形的边上一点，连接，将矩形的一部分沿翻折得，且点落在的延长线上． （1）求证：； （2）若，，求折痕的长． 六、综合运用（10分） 24. 已知：如图1，点、分别是正方形的边、上点，且，连接、交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接对角线、交于点，且、与、分别交于点、点，连接，若平分，求证：； （3）在（2）的条件下，若，请直接写出正方形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 线上学习 云端反馈（八年数学） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 5，7，12 B. 2，3，4 C. 1，1， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：A．，，因为，即，所以不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B．，，因为，即，所以不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C．，，因为，即，所以能构成直角三角形，故此选项符合题意； D．因为，，因为，即，所以不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列式子是最简二次根式的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，被开方数不含分母，进行判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有分数，不是最简二次根式，不符合题意； B、被开方数含有小数，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 3. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． 根据平行四边形的性质可知，再结合求出，再根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴ ，， ∴ 又∵， ∴， ∴ 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，依次计算出选项结果即可判断． 【详解】A、不能合并，选项说法错误，不符合题意； B、，选项说法正确，符合题意； C、，，选项说法错误，不符合题意； D、，不能化简，选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，矩形的对角线，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，先求解，证明是等边三角形，可得，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：在矩形中，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选：C 6. 如图，四边形是平行四边形，请你添加一个条件使它成为菱形，下列选项中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的判定．根据菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得答案． 【详解】解：A、添加可证明平行四边形是矩形，不能使它变成菱形，故此选项符合题意； B、添加能证明平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； C、添加可证明平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； D、添加，则，所以，所以，可证明平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； 故选：A． 7. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，四边形和四边形都是正方形，如果，，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质以及正方形的性质，根据题意求得的长，再根据勾股定理即可求． 【详解】，四边形和四边形都是正方形 四个直角三角形都是全等的 故选：C． 8. 如图，正方形的顶点、分别落在直角坐标系的轴、轴上，、则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 由“”可证，可得，，可求解． 【详解】解：过点作轴于， ∵，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴．   故选：D ． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是_____命题．(填“真”或“假”) 【答案】假 【解析】 【分析】首先分清题设是：两个三角形全等，结论是：对应角相等，把题设与结论互换即可得到逆命题，然后判断正误即可． 【详解】解：“全等三角形的对应角相等”的题设是：两个三角形全等，结论是：对应角相等，因而逆命题是：对应角相等的三角形全等．是一个假命题． 故答案为：假． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 10. 如图，是的中位线，若，则的长为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，掌握定理内容是解题的关键． 根据三角形中位线定理得到，计算即可． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴． 故答案为：． 11. 把化成最简二次根式为________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式，利用二次根式性质化简即可得到结果． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，的对角线，相交于点，且，若的周长为14，则的长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，由的周长为14，可求． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 的周长为， ， 故答案为：． 13. 已知，求代数式的值________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先将所求式子因式分解，再代入x的值计算即可． 【详解】解： ， 把代入得 原式 ． 14. 若直角三角形的两条边长分别是、，是第三条边，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的性质与化简，分两种情况讨论是解题的关键. 分两种情况：当为直角三角形的斜边时，当为直角三角形的斜边时，然后分别进行计算即可得解． 【详解】解：分两种情况： 当4为直角三角形的斜边时， 那么，， ， 当为直角三角形的斜边时， 那么，， ， 综上所述：或， 故答案为：或． 15. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，连接，则的长为 __________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先再由线段垂直平分线的性质得，从而在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 16. 如图，点为菱形边上一点，连接交对角线于点，延长交的延长线于点，且，连接，下列结论：①是等腰三角形；②；③若，，则．其中正确的是________．（序号填在横线上） 【答案】①③ 【解析】 【分析】①先由菱形的性质得，，再根据平行线的性质及得，进而根据得，由此可得，据此可对结论①进行判断； ②设，根据菱形的性质得，，，则，再由结论①正确得，则，假设，则，进而得，然后由得，进而利用三角形的内角和可求出，则，根据已知条件无法确定，据此可对结论②进行判断； ③先证和相似，得，继而得，再证和相似，得，由此得，从而得，据此可求出菱形的面积，进而可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 故结论①正确； ②设， ∵四边形为菱形， ∴，，， 则， ∴， 由结论①正确得：， ∴， ∵， 不妨假设， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， ∴， 根据已知条件无法确定， 因此结论②不正确； ③∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故结论③正确． 综上所述：正确的结论是①③． 故答案为：①③． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定方法，理解相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决问题的关键． 三、计算与画图（17题每小题4分，18题5分，共13分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：（1）先将二次根式化为最简二次根式，再去括号，从左往右依次计算；（2）利用二次根式混合运算的法则计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 如图的正方形网格，每个正方形顶点叫格点，每个小正方形的边长为，请在图中画一个面积为的正方形，且正方形的顶点都在网格的格点上． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据正方形的面积为可知边长为，是直角边长为的直角三角形的斜边长，由此画图即可． 【详解】如图所示 正方形的面积为： 四、解答题（19题5分，20题5分，共10分） 19. 已知：如图，在中，点、分别在、的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的基本判定方法是解决问题的关键． 四边形是平行四边形，得出，，再由，得，由即可得结论． 【详解】略． 20. 如图，池塘边有两点、，点是与方向成直角的方向上一点，测得的中点到点的距离米，米，求两点间的距离是多少米？（要求：结果精确到0.1米，参考数据：．） 【答案】两点间的距离约为56.6米 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质，由直角三角形斜边中线的性质求出斜边，在中，根据勾股定理即可求出． 【详解】解：∵，为的中点， ∴， ∴， ∴（米）， 答：两点间的距离约为56.6米． 五、解答题（21题6分，22题6分，23题7分，共19分） 21. 如图，菱形对角线、交于点，点为的中点，连接并延长至点使，连接、，试判断四边形的形状并说明理由． 【答案】 四边形是矩形． 理由：∵，，， ∴， ∴，， ∴， 又∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是矩形． 解法2：四边形是矩形． 理由：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】此题考查的是菱形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定定理、三角形中位线定理等知识，由菱形的性质及三角形中位线性质可得四边形是平行四边形，再根据矩形的判定方法可得答案． 【详解】解：略． 22. 如图，有一块五边形空地，某社区计划将其布置成疫情时期核酸检测场地两个区域，测得，，，，，求五边形的面积．（要求：结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，连接与交于点．根据勾股定理求出，然后证明出四边形是菱形，求出，，然后分别求出和，进而求出五边形的面积． 【详解】解：连接，连接与交于点． ∵， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是菱形 ∴， ∴在中， ∴ ∴ 答：五边形的面积为． 23. 已知：如图，点为矩形的边上一点，连接，将矩形的一部分沿翻折得，且点落在的延长线上． （1）求证：； （2）若，，求折痕的长． 【答案】（1） 证明：由翻折可知 ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形中的折叠问题，勾股定理： （1）根据折叠的性质，平行线的性质，推出，即可得出结果； （2）根据折叠的性质，结合勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴ 在中， ∵ ∴ ∴在中，． 六、综合运用（10分） 24. 已知：如图1，点、分别是正方形的边、上点，且，连接、交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接对角线、交于点，且、与、分别交于点、点，连接，若平分，求证：； （3）在（2）的条件下，若，请直接写出正方形的面积． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ， 又， ， ， ， ， ， ； （2） 证明：四边形是正方形， ，， 平分，， ， ， ， 又， ， 又， ， ，，， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由可证，得，由余角的性质可证； （2）由正方形的性质和等腰三角形的性质可得，由直角三角形的性质可得，由可证，可得，可得结论； （3）利用勾股定理可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ， 设，则， ， ， ， 正方形的面积． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边上中线的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $