精品解析： 河北省秦皇岛市海港区2024-2025学年七年级上学期期末数学试卷

海港区2024—2025学年度第一学期期末质量检测 七年级数学试题 一、选择题（本题12个小题，每小题3分，共36分） 1. 的绝对值是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 我国古代数学名著《九章算术》对正负数的概念注有：“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入500元记作元，则支出300元记作（ ） A. 300元 B. 元 C. 200元 D. 元 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是方程的解，则a的值为（ ） A. B. 17 C. 3 D. 5. 如果和是同类项，那么m的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 6. 把下列各数在数轴上表示，其中与原点距离最近的点表示的数是（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 如图，把三角形剪去一个角，所得四边形的周长比原三角形的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） A. 四边形周长小于三角形周长 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 经过一点有无数条直线 8. 如图，点O在直线上，平分，平分．下列结论：①无论在什么位置，都有；②图中有四对互余角；③和互补；④和互补；正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 代数式可以表示不同实际问题中的数量关系，下列赋予实际意义的例子中，错误的是（ ） A. 一个两位数的十位数字为5，个位数字为x，则这个两位数可以表示为 B. 一箱苹果的售价为x元，则5箱苹果的售价为元 C. 一列动车的速度为x千米/小时，则这列动车5小时行驶了千米 D. 一块长方形木板的宽为x，长是宽的倍，则长方形的周长为 10. 尺规作图：作一个角等于已知角． 如图1，已知：．求作：，使． 下面是打乱顺序的作图步骤： ①如图3，经过点画射线，则即为所求． ②如图3，以点为圆心，长为半径画弧，与已画的弧相交于点； ③如图2，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C、D； ④如图3，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； ⑤如图3，画射线．则正确的作图顺序为（ ） A. ⑤③④②① B. ⑤④③②① C. ⑤③②④① D. ③④②⑤① 11. 《算法统宗》是中国古代数学名著，是明代数学家程大位著．《算法统宗》中记载了这样—个题目：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两（注：在明代1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）．下列说法错误的是（ ） A. 设这群人人数为x人，则可列方程为 B. 设所分银子的数量为x两，则可列方程为 C. 这群人人数为6人 D. 所分银子的数量为46两 12. 将连续的奇数1、3、5、7、9、…，按一定规律排成数阵： 图中的T字框框住了五个数字，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的五个数，则框住的五个数的和不可能是（ ） A. 365 B. 205 C. 125 D. 45 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分） 13. 比较大小：___________ 14. 若一个角的补角是这个角的余角的4倍，那么这个角的度数为__________． 15. 哥哥8岁，妈妈32岁，弟弟年龄的16倍加上哥哥的年龄正好等于爸爸的年龄，弟弟年龄的4倍加上妈妈的年龄也恰好等于爸爸的年龄，那么弟弟的年龄是多大？ 解：设弟弟的年龄为x岁，则有： 嘉嘉同学的解法：移项得： 合并同类项得：，系数化为1得： 琪琪同学的解法：移项得：，， 两边同除以，得： （1）弟弟的年龄是______岁． （2）琪琪得出错误的结论的原因是______． 16. 如图，射线在内部，图中共有、、三个角，若其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍，则称射线是的“黄金线” （1）的平分线______这个角的“黄金线”（填“是”或“不是”） （2）若，射线是的“黄金线”，则的度数为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共52分） 17. 解方程： 18. 对于任意数a，b，规定，等式右边是通常的加法、减法、乘法及乘方运算，比如：，求的值． 19. 按要求完成作图： （1）如图1，点A、B、C、D在同一平面内，读下列语句，利用直尺和圆规完成下列作图： ①作线段，射线，直线； ②连结并延长至点E，使； ③通过测量、计算可以得出 °． （2）如图2，绕点O逆时针方向旋转得到，在图2中画出旋转后的． 20. 如图，已知点C为线段上一点，D、E分别是、的中点． （1）如果，，则 ； （2）小明说：的长度只与有关，和无关，他说的对吗？并说明理由． 21. 为了美化环境，建设生态城市，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择．已知甲队先做了2天，然后乙队加入一起完成剩下的工作．设工作总量为1，工作进度如下表， 时间 第1天 第3天 工作进度 （1）甲队单独完成这项工作需要 天，乙队单独完成这项工作需要 天． （2）完成这项工作共需要几天？（要求利用方程求解） 22. 一副三角板如图1进行摆放，其中，，点A、O、C在直线上，点B在射线上，点D在射线上．三角板以每秒绕着点O顺时针方向旋转，同时三角板以每秒绕着点O逆时针方向旋转，设旋转时间为t秒，两副三角板的旋转角度均小于． （1）当秒时， °． （2）如图2，当射线平分时，求的度数． （3）直接写出当时，t的值． 23. 数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，我们可以根据需要，“规定”原点的位置；也可以根据需要，“规定”单位长度的大小；还可以根据需要，“规定”正方向．在一条不完整的数轴上，从左到右有A，B，C，其中，，如图所示，设A，B，C所对应数的和是p． （1）若以点C为原点，则A、B对应的数分别为 ， ， ． （2）若原点为O，且，求p． （3）若以中点为原点，单位长度为建立数轴，则 ．（用含n的代数式表示） 24. 定义新运算“△”和“□”： ①定义新运算“△”：给定有理数a、b，对于整式A、B，规定，等式右边是通常的减法、乘法运算； ②定义新运算“□”：给定正整数n（），对于整式M，规定（按从左到右的顺序依次做“△”运算）例如：当、，时，对于，，则有，． （1）当，时，若，，求和． （2）直接写出一组a，b的值，使得对任意一个正整数n（）和任意—个整式M，都有成立． （3）当，时，若，，若（p、q为正整数，且、）中不含项，直接写出满足条件的一组p、q的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海港区2024—2025学年度第一学期期末质量检测 七年级数学试题 一、选择题（本题12个小题，每小题3分，共36分） 1. 的绝对值是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，依据定义即可求解． 【详解】在数轴上，点到原点的距离是， 所以，的绝对值是， 故选：C． 【点睛】本题考查绝对值，掌握绝对值的定义是解题的关键． 2. 我国古代数学名著《九章算术》对正负数的概念注有：“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入500元记作元，则支出300元记作（ ） A. 300元 B. 元 C. 200元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数，解题的关键是掌握正负数的意义．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示即可． 【详解】解：根据题意，收入500元记作元，则支出300元记作元． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查有理数的计算法则，熟练掌握有理数加法、减法、乘法、除法法则是解题的关键，根据有理数的计算法则分别计算并判断． 【详解】解：A.，故原计算错误； B.，故原计算错误； C.，故原计算错误； D.，故原计算正确； 故选：D． 4. 已知是方程的解，则a的值为（ ） A. B. 17 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查方程的解，一元一次方程的解法，掌握使方程左右两边相等的未知数值叫方程的解是解题的关键．直接把代入方程，得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：把代入方程，得 ， 解得：， 故选：C． 5. 如果和是同类项，那么m的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同类项．根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项，即可求出的值． 【详解】解：∵和是同类项， ∴ 解得： 故选：D． 6. 把下列各数在数轴上表示，其中与原点距离最近的点表示的数是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义，绝对值越小的数越靠近原点，即可求解． 【详解】解：∵ ∴与原点距离最近的点表示的数是 故选：B． 7. 如图，把三角形剪去一个角，所得四边形的周长比原三角形的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） A. 四边形周长小于三角形周长 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 经过一点有无数条直线 【答案】C 【解析】 【分析】在图中标上字母，如解图所示，根据两点之间，线段最短，可得AE＋AD＞DE，然后在不等式的两边同时加上BD＋EC＋BC，即可得出所得四边形的周长比原三角形的周长小，即可得出结论． 【详解】解：如下图所示： 根据两点之间，线段最短，AE＋AD＞DE ∴AE＋AD＋BD＋EC＋BC＞DE＋BD＋EC＋BC ∴AB＋AC＋BC＞DE＋BD＋EC＋BC 即△ABC的周长＞四边形BCED的周长，理由为：两点之间，线段最短 故选C． 【点睛】此题考查的是两点之间，线段最短的应用，掌握利用两点之间，线段最短解释实际问题是解决此题的关键． 8. 如图，点O在直线上，平分，平分．下列结论：①无论在什么位置，都有；②图中有四对互余角；③和互补；④和互补；正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查角平分线的定义，余角定义，补角定义，根据图形中角的位置关系及各定义进行判断即可． 【详解】解：∵平分，平分． ∴， ∵， ∴，即， 故①正确； ，，，, 共四对互余角，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④正确； 故选：D． 9. 代数式可以表示不同实际问题中的数量关系，下列赋予实际意义的例子中，错误的是（ ） A. 一个两位数的十位数字为5，个位数字为x，则这个两位数可以表示为 B. 一箱苹果的售价为x元，则5箱苹果的售价为元 C. 一列动车的速度为x千米/小时，则这列动车5小时行驶了千米 D. 一块长方形木板的宽为x，长是宽的倍，则长方形的周长为 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了代数式的实际意义，掌握实际问题中数量间的关系是解答本题的关键．根据代数式表示的实际意义分别判断每个选项，从而得出答案． 【详解】解：由题意得： A、若一个两位数的十位数字为5，个位数字为x，则表示这个两位数，选项中说法不正确，故符合题意； B、若一箱苹果的售价为x元，则5箱苹果的售价为元，此说法正确，故不符合题意； C、一列动车的速度为x千米/小时，则这列动车5小时行驶了千米，此说法正确，故不符合题意； D、一块长方形木板的宽为x，长是宽的倍，则长方形的周长为，此说法正确，故不符合题意． 故选：A． 10. 尺规作图：作一个角等于已知角． 如图1，已知：．求作：，使． 下面是打乱顺序的作图步骤： ①如图3，经过点画射线，则即为所求． ②如图3，以点为圆心，长为半径画弧，与已画的弧相交于点； ③如图2，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C、D； ④如图3，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； ⑤如图3，画射线．则正确的作图顺序为（ ） A. ⑤③④②① B. ⑤④③②① C. ⑤③②④① D. ③④②⑤① 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查作一个角等于已知角的作图方法，根据作一个角等于已知角的作图方法判断即可，熟练掌握作一个角等于一个角的方法是解题的关键． 【详解】解：角的作图步骤： ⑤如图3，画射线． ③如图2，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C、D； ④如图3，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； ②如图3，以点为圆心，长为半径画弧，与已画的弧相交于点； ①如图3，经过点画射线，则即为所求． 正确的作图顺序为⑤③④②①， 故选：A． 11. 《算法统宗》是中国古代数学名著，是明代数学家程大位著．《算法统宗》中记载了这样—个题目：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两（注：在明代1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）．下列说法错误的是（ ） A. 设这群人人数为x人，则可列方程为 B. 设所分银子的数量为x两，则可列方程为 C. 这群人人数为6人 D. 所分银子的数量为46两 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据等量关系列方程是解题的关键；根据题意结合每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，可得；设所分银子的数量为x两，则可列方程为，再解方程，进一步可得答案． 【详解】解：设这群人人数为x人， 根据题意列方程得：，故A符合题意； 设所分银子的数量为x两，则可列方程为，故B不符合题意； ∵， 解得：， ∴这群人人数为6人，故C不符合题意； ∴所分银子的数量为两，故D不符合题意； 故选：A 12. 将连续的奇数1、3、5、7、9、…，按一定规律排成数阵： 图中的T字框框住了五个数字，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的五个数，则框住的五个数的和不可能是（ ） A. 365 B. 205 C. 125 D. 45 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及规律型，设T字框内处于左上方的数为，则框内各数分别为，，，，所以T字框内五个数的和为，逐一代入建立方程求解即可判断． 【详解】解：设T字框内处于左上方的数为，则框内各数分别为，，，， ∴T字框内五个数的和为． 令框住的五个数的和为365，则，解得，故选项A不符合题意； 令框住的五个数的和为205，则，解得，故选项B不符合题意； 令框住的五个数的和为125，则，解得， ∵在最左边，而不能处在T字框内最左边，故选项C符合题意； 令框住的五个数的和为45，则，解得，故选项D不符合题意． 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分） 13. 比较大小：___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此解答即可． 【详解】解： ， ． 故答案为：． 14. 若一个角的补角是这个角的余角的4倍，那么这个角的度数为__________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程、余角和补角，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 首先设这个角为，则其补角为，余角为，根据题意补角是余角的4倍，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个角为， ∴补角的度数为，余角的度数为， ∴，解得：， ∴这个角的度数为， 故答案为：． 15. 哥哥8岁，妈妈32岁，弟弟年龄的16倍加上哥哥的年龄正好等于爸爸的年龄，弟弟年龄的4倍加上妈妈的年龄也恰好等于爸爸的年龄，那么弟弟的年龄是多大？ 解：设弟弟的年龄为x岁，则有： 嘉嘉同学的解法：移项得： 合并同类项得：，系数化为1得： 琪琪同学的解法：移项得：，， 两边同除以，得： （1）弟弟的年龄是______岁． （2）琪琪得出错误的结论的原因是______． 【答案】 ①. ②. 忽略了 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用及其解法； （1）根据嘉嘉同学的解法可得答案； （2）根据等式的基本性质：等式两边都除以同一个不为0的数或整式，所得的结果仍然是等式，从而可得答案． 【详解】解：（1）设弟弟的年龄为x岁，则有： 移项得： 合并同类项得：， 系数化为1得： 故答案为：； （2）∵只有当时，两边才能同除以； ∴琪琪得出错误的结论的原因是：忽略了． 故答案为：忽略了． 16. 如图，射线在内部，图中共有、、三个角，若其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍，则称射线是的“黄金线” （1）的平分线______这个角的“黄金线”（填“是”或“不是”） （2）若，射线是的“黄金线”，则的度数为______． 【答案】 ①. 是 ②. 或或 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的含义，角的和差倍分关系，理清数量关系是解题的关系． （1）根据“黄金线”的定义即可得到答案； （2）分三种情况，由“黄金线”的定义列式即可得到答案． 【详解】解：（1）根据“黄金线”的定义，的角平分线是这个角的“黄金线”； 故答案为：是； （2）若，射线是的“黄金线”， ①，此时； ②，此时； ③，此时； 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共8个小题，共52分） 17. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查解一元一次方程，先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1求出方程的解． 【详解】解：去分母得 去括号得 移项得 合并同类项得 系数化为1得． 18. 对于任意数a，b，规定，等式右边是通常的加法、减法、乘法及乘方运算，比如：，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，根据新定义先列式，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ； 19. 按要求完成作图： （1）如图1，点A、B、C、D在同一平面内，读下列语句，利用直尺和圆规完成下列作图： ①作线段，射线，直线； ②连结并延长至点E，使； ③通过测量、计算可以得出 °． （2）如图2，绕点O逆时针方向旋转得到，在图2中画出旋转后的． 【答案】（1） ①如图， ②如图， ③180 （2） 如图， 【解析】 【分析】本题考查作图−−应用与设计作图、直线、射线、线段、画旋转图形，熟练掌握直线、射线、线段的定义、旋转的性质是解答本题的关键； （1）①根据线段和射线和直线的定义画图即可； ②延长，在射线上截取，则； ③通过测量得出答案； （2）将点A，B，C绕O点按逆时针方向旋转后得到对应点，顺次连接得． 【小问1详解】 解：① 略 ② 略 ③， 故答案为； 【小问2详解】 略 20. 如图，已知点C为线段上一点，D、E分别是、的中点． （1）如果，，则 ； （2）小明说：的长度只与有关，和无关，他说的对吗？并说明理由． 【答案】（1） （2） 小明的说法正确，理由： ∵D、E分别是、的中点， ∴，， ∴； ∴的长度只与有关，和无关， ∴小明的说法正确． 【解析】 【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义； （1）先求解，结合中点的含义可得，，再结合线段的和差可得答案； （2）由中点的含义可得，，再利用的和差可得结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵D、E分别是、的中点， ∴，， ∴； 【小问2详解】 略 21. 为了美化环境，建设生态城市，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择．已知甲队先做了2天，然后乙队加入一起完成剩下的工作．设工作总量为1，工作进度如下表， 时间 第1天 第3天 工作进度 （1）甲队单独完成这项工作需要 天，乙队单独完成这项工作需要 天． （2）完成这项工作共需要几天？（要求利用方程求解） 【答案】（1）12；8 （2）6 【解析】 【分析】（1）根据工作总量÷工作时间=工作效率，即可求出甲队的工作效率，设乙队的工作效率为x，根据甲队2天的工作量+甲乙合作的工作量=，即可得出关于x的一元一次方程，求解即可． （2）根据甲队完成的工作量+乙队完成的工作量=总工作量，即可得出关于y的一元一次方程，求解即可． 本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握列方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系②列出方程③解出方程④作答． 【小问1详解】 ∵甲队先做了2天，然后乙队加入一起完成剩下的工作． ∴甲队的工作效率为 设乙队的工作效率为x，依题意得：， 解得：． ∴甲队单独完成这项工作需要（天）． 乙队单独完成这项工作需要（天）． 【小问2详解】 解：设完成这项工作共需要y天，依题意得：， 解得：． 答：完成这项工作共需要6天． 22. 一副三角板如图1进行摆放，其中，，点A、O、C在直线上，点B在射线上，点D在射线上．三角板以每秒绕着点O顺时针方向旋转，同时三角板以每秒绕着点O逆时针方向旋转，设旋转时间为t秒，两副三角板的旋转角度均小于． （1）当秒时， °． （2）如图2，当射线平分时，求的度数． （3）直接写出当时，t的值． 【答案】（1） （2） （3）当或时， 【解析】 【分析】（1）先求解，再求解当时，，，结合角的和差运算可得答案； （2）结合题意可得：，，，可得，求解，再建立方程求解即可； （3）如图，当相遇前，可得，当相遇后，如图，可得，再解方程可得答案. 【小问1详解】 解：如图，当时， ∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：128； 【小问2详解】 解：由题意可得：，，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， 解得：； ∴； 【小问3详解】 解：如图，当相遇前， 由题意可得：，，， ∴， 解得：， 当相遇后，如图， 由题意可得：，，， ∴， 解得：， 综上：当或时，. 【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，角的动态定义的理解，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键. 23. 数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，我们可以根据需要，“规定”原点的位置；也可以根据需要，“规定”单位长度的大小；还可以根据需要，“规定”正方向．在一条不完整的数轴上，从左到右有A，B，C，其中，，如图所示，设A，B，C所对应数的和是p． （1）若以点C为原点，则A、B对应的数分别为 ， ， ． （2）若原点为O，且，求p． （3）若以中点为原点，单位长度为建立数轴，则 ．（用含n的代数式表示） 【答案】（1）；； （2）；63 （3） 【解析】 【分析】（1）确定原点，找到各点表示的数，相加即可； （2）分情况讨论：原点O在点C的右侧时，原点O在点C的左侧时，找到各点表示的数，相加即可； （3）确定原点，单位长度为，表示各数，相加即可． 本题考查了数轴上点的坐标表示以及原点位置变化对应点坐标的影响． 【小问1详解】 若以点C为原点，因为 则A表示的数是，B表示的数为， ∴． 【小问2详解】 原点O在点C的右侧时， ∵， ∴C表示的数是，B表示的数是，A表示的数是， ∴． 原点O在点C的左侧时， ∵， ∴C表示的数是，B表示的数是，A表示的数是， ∴． 【小问3详解】 以A，B中点为原点，单位长度为，， ∴点A对应，点B对应，点C对应， ∴． 24. 定义新运算“△”和“□”： ①定义新运算“△”：给定有理数a、b，对于整式A、B，规定，等式右边是通常的减法、乘法运算； ②定义新运算“□”：给定正整数n（），对于整式M，规定（按从左到右的顺序依次做“△”运算）例如：当、，时，对于，，则有，． （1）当，时，若，，求和． （2）直接写出一组a，b的值，使得对任意一个正整数n（）和任意—个整式M，都有成立． （3）当，时，若，，若（p、q为正整数，且、）中不含项，直接写出满足条件的一组p、q的值． 【答案】（1），； （2）， （3），. 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，整式的加减运算，理解新定义是解本题的关键； （1）由题意可得，再根据新定义运算法则计算即可； （2）令，，可得，再根据新定义推导即可； （3）由，，可得，结合，，（p、q为正整数，且、）中不含项，可得运算中只考虑项，再进一步利用新定义探索即可. 【小问1详解】 解：当，时， ∴， ∵，， ∴ ； ； 【小问2详解】 解：当，时， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：当，时， ∴， ∵，，（p、q为正整数，且、）中不含项， ∴运算中只考虑项， ∴， ， ； ， ∴ ， ∴（p、q为正整数，且、）中不含项，满足条件的，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $