6.1 平面向量的概念 导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.1 平面向量的概念 学习目标 1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的相关概念. 2.掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念. 3.理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念. 新知学习 探究 新课导学 大海中,两地相距，位置如图.小船欲由地航行到达地. 思考1 怎样下达航行指令，小船才能到达地？ 思考2 此过程中小船的位移的大小和方向是什么？ 【答案】 提示：沿东南方向，航行. 提示：小船位移的大小是，方向是东南方向. 一 向量的概念及几何表示 1．概念：既有①____又有②____的量叫做向量． 【答案】大小； 方向 2．表示： （1） 有向线段：具有③____的线段，它包含三个要素：④____、⑤____、⑥____． （2） 向量的表示： 【答案】（1） 方向；起点；方向；长度 （2） 长度； 例1 [2024·河北石家庄检测]如图，某人从点出发，向西走了后到达点，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到达点，最后向东走了后到达点，发现点在点的正北方. （1） 作出，，,； （2） 求的模. 【答案】 （1） 【解】根据题意可知，点 在坐标系中的坐标为.因为点 在点 的正北方，点 在点 的正西方，所以，. 又，，所以,即，两点在坐标系中的坐标分别为，. 作出，，，如图所示. （2） 由题意可知，且， 所以四边形 是平行四边形， 则. 解题技巧 用有向线段表示向量的方法 （1）画图思路 在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向. （2）具体步骤 ［跟踪训练1］． （1） 如图，，是线段的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出向量的个数为__. （2） 如图，某人上午从到达了，下午从到达了，请在图上用有向线段表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天内的位移． 【答案】（1） 12 （2） 解：上午的位移为，下午的位移为，这一天内的位移为，如图. 【解析】 （1） 由向量的几何表示知，可以写出的向量如下：，，，，，，，，，，，，共12个. 二 零向量与单位向量 向量名称 定义 零向量 长度为 ①________的向量，记作 ②______ 单位向量 长度等于③______________长度的向量 【答案】； ； 个单位 【即时练】 1．下列说法中正确的是（ ） A. 向量的模都是正实数 B. 单位向量只有一个 C. 向量的大小与方向无关 D. 方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【答案】C 【解析】选C.零向量的模为0，故A不正确；长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，不止一个，故B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确. 2．（多选）下列说法中正确的是（ ） A. 零向量没有大小，没有方向 B. 零向量的长度都为0 C. 单位向量方向相同 D. 单位向量的长度都相等 【答案】BD 【解析】选.对于A，B，零向量的长度为0，方向是任意的，故A错误，B正确；对于C，D，单位向量是长度等于1个单位长度的向量，方向不一定相同，故C错误，D正确. 解题技巧 理解零向量和单位向量应注意的问题 （1）零向量的方向是任意的，所有的零向量的模都相等. （2）单位向量的模都相等，平面内同一起点的单位向量有无数个，当起点为原点时，它们的终点构成一个单位圆. 三 相等向量与共线向量 向量名称 定义 平行向量（共线向量） 方向①____________的非零向量.向量与平行，记作.规定：零向量与任意向量②____，即对于任意向量，都有 相等向量 长度③____且方向④____的向量.向量与相等，记作 【答案】相同或相反； 平行； 相等； 相同 例2 （对接教材例2）如图所示，和是两个在各边的三等分点处相交的全等的等边三角形，图中画出了若干个向量. （1） 写出与向量相等的向量； （2） 写出与向量共线，且模相等的向量. 【答案】（1） 【解】与向量 相等的向量：，. （2） 与向量 共线，且模相等的向量：，，，，. 【变式探究】 （设问变式）在本例条件下，写出与向量方向相同的向量. 解：与向量 方向相同的向量：,,，，，，. 解题技巧 相等向量与共线向量的探求方法 （1）寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线. （2）寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再确定同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点、起点为终点的向量. ［跟踪训练2］． （1） 设点是正三角形的中心，则向量，，是（ ） A. 共起点的向量 B. 模相等的向量 C. 共线向量 D. 相等向量 （2） 如图所示，四边形和都是平行四边形. ① 与向量相等的向量为________________； ② 若，则向量的模等于______. 【答案】（1） B （2） ① , ② 【解析】 （1） 选B.因为 的起点为A，与 的起点为，所以不是共起点的向量.因为点 是正三角形 的中心，所以，，是模相等的向量，不是共线向量，也不是相等向量. （2） ① 在平行四边形 和 中，因为，，所以. ② 因为,,且 与 有公共点,所以，，三点共线，所以. 课堂巩固 自测 1．（教材P4T1改编）下列量中是向量的为（ ） A. 频率 B. 拉力 C. 体积 D. 距离 【答案】B 【解析】选B.显然频率、体积、距离，它们只有大小，没有方向，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量. 2．（教材P5T4改编）如图，在正六边形中，点为其中心，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选D.由题图可知，但，方向不同，故，故D错误，易知A,B,C正确. 3．若一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.由题意，作图如下： 则该飞机由A先飞到B，再飞到C，则,,,则飞机飞行的路程为， ,所以. 4．（教材P5T1改编）在如图所示的坐标纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． （1） ，点在点的正西方向； （2） ，点在点的北偏西 方向. 【答案】 （1） 解：因为，点 在点 的正西方向，所以向量 如图所示. （2） 因为，点 在点 的北偏西 方向，所以向量 如图所示. 课堂小结 1.已学习：（1）向量的概念及表示. （2）向量的相关概念：零向量、单位向量、相等向量、共线向量（平行向量）. 2.须贯通：向量是既有大小又有方向的量，共线向量和平行向量是同一概念，都是指方向相同或相反的向量，与平面几何中的“共线”、“平行”是不同的. 3.应注意：（1）零向量的模为零，方向不确定，不是没有方向； （2）所有的单位向量模都是1个单位长度，方向未必相同. 课后达标 检测 A 基础达标 1．[2024·山西晋中期中]下列命题中正确的是（ ） A. 温度、加速度、摩擦力、功都是向量 B. 零向量的方向是任意的 C. 长度相等的两个向量必相等 D. 直角坐标平面上的轴、轴都是向量 【答案】B 【解析】选B.加速度、摩擦力是向量，温度和功没有方向，不是向量，A错误；零向量有方向，它的方向是任意的，B正确；长度相等且方向相同的向量为相等向量，C错误；直角坐标平面上的 轴、轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量，D错误. 2．已知汽车以大小为的速度向西走了，摩托车以大小为的速度向东北方向走了，则下列说法正确的是（ ） A. 汽车的速度大于摩托车的速度 B. 汽车的位移大于摩托车的位移 C. 汽车走的路程大于摩托车走的路程 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】选C.速度和位移都是向量，向量不能比较大小，故选C. 3．[2024·广西贺州期中]下列命题中，正确的是（ ） A. 若，与的方向相同或相反 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 【答案】C 【解析】选C.对于A，若，则，但零向量的方向是任意的，A错误；对于B,取，则，，但，不一定平行，B错误；对于C，，，则，C正确；对于D，若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量方向相同或相反，D错误． 4．如图，在中，点,,均为上的点，则向量,,是（ ） A. 有相同起点的向量 B. 模相等的向量 C. 共线向量 D. 相等向量 【答案】B 【解析】选B.对于A，根据题图，可得向量，，不是有相同起点的向量，所以A错误；对于B，因为 是圆心，那么向量，，的模长是一样的，所以B正确；对于C，共线向量是方向相同或相反的非零向量，所以C错误；对于D，相等向量指的是长度相等且方向相同的向量，所以D错误.故选B． 5．八卦是中国古代的基本哲学概念，如图1为太极八卦图.若现将一幅八卦图简化为正八边形如图2，中心为，则与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.根据相等向量的定义可知，与 相等的向量是. 6．（多选）如图，在中，,,分别是,的中点，则（ ） A. 与共线 B. 与共线 C. 与共线 D. 与共线 【答案】BD 【解析】选.对于A，因为 与 不平行，且不在同一条直线上，所以 与 不共线，A错误；对于B，因为D，分别是，的中点，则 与 平行，故 与 共线，B正确；对于C，因为 与 不平行，且不在同一条直线上，所以 与 不共线，C错误；对于D，因为D是 的中点，所以，且 与 方向相反，所以 与 共线，D正确.故选. 7．如图所示，已知正方形的边长为2，为其中心，则______，与相等的向量是________. 【答案】； 【解析】易知，与 的模相等，方向相同，所以. 8．在四边形中,若且,则四边形的形状为____. 【答案】菱形 【解析】因为,所以,, 所以四边形 是平行四边形. 又因为,所以四边形 是菱形. 9．已知,,是不共线的三点，向量与向量是平行向量，与是共线向量，则______. 【答案】 【解析】因为向量 与向量 是平行向量，所以向量 与向量 方向相同或相反.因为向量 与 是共线向量，所以向量 与向量 方向相同或相反.又由,,是不共线的三点，可知向量 与向量 不共线，则. 10．如图所示是棱长为1的正三棱柱. （1） 在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，写出与向量相等的向量； （2） 若是的中点，写出与向量平行且模相等的向量． 【答案】（1） 解：由正三棱柱的结构特征知与 相等的向量只有向量. （2） 取 的中点，连接，易知，，都是与 平行且模相等的向量． B 能力提升 11．（多选）已知一海面上有,两艘船，为一灯塔，在的东偏北 方向，距离点，在的南偏西 方向，距离点，则与为（ ） A. 相等向量 B. 模相等的向量 C. 平行向量 D. 单位向量 【答案】ABC 【解析】选.与 的长度相等，方向相同. 12．（多选）已知与是平行向量，且，则下列结论可能成立的是（ ） A. B. C. 与方向相同 D. 与方向相同 【答案】ABC 【解析】选.当 与 方向相同时，与，方向都相反，且；当 与 方向相反时，与 方向相同，与 方向相反，且，故选项A，B，C可能成立. 13．中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘（每个小方格都是单位正方形）中，若象在处，可跳到处，用向量表示象走了“一步”，若象在或处，则以，为起点表示象走了“一步”的向量共有______个． 【答案】5 【解析】象在 处有一条路可走，在 处有四条路可走，如图，以 点为起点作向量，共1个，记作；以 点为起点作向量，共4个，分别记作，，，，所以共有5个． 14．[2024·山东青岛期末]如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，在以，，，，为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，写出： （1） 与相等的向量； （2） 与共线的向量； （3） 与相等的向量. 【答案】（1） 解：与 相等的向量有，. （2） 与 共线的向量有，，，，，，. （3） 与 相等的向量为. C 素养拓展 15．如图所示，在中，是两对角线，的交点，设点集,，，，，向量集合，，且，不重合，则集合中元素的个数为__. 【答案】12 【解析】由题可知，集合 中任意两点连成的有向线段共有20个,即，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.由平行四边形的性质可知，共有8对相等向量，即，，，，，，，. 因为集合中元素具有互异性，所以集合 中的元素共有12个. 16．如图在四边形中，,且，，判断四边形的形状. 解：因为在四边形 中，， 所以，所以四边形 是平行四边形. 因为,易知, 所以. 又， 所以 是等边三角形， 所以，故四边形 是菱形. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.1 平面向量的概念 学习目标 1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的相关概念. 2.掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念. 3.理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念. 新知学习 探究 新课导学 大海中,两地相距，位置如图.小船欲由地航行到达地. 思考1 怎样下达航行指令，小船才能到达地？ 思考2 此过程中小船的位移的大小和方向是什么？ 一 向量的概念及几何表示 1．概念：既有①____又有②____的量叫做向量． 2．表示： （1） 有向线段：具有③____的线段，它包含三个要素：④____、⑤____、⑥____． （2） 向量的表示： 例1 [2024·河北石家庄检测]如图，某人从点出发，向西走了后到达点，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到达点，最后向东走了后到达点，发现点在点的正北方. （1） 作出，，,； （2） 求的模. 用有向线段表示向量的方法 （1）画图思路 在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向. （2）具体步骤 ［跟踪训练1］． （1） 如图，，是线段的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出向量的个数为__. （2） 如图，某人上午从到达了，下午从到达了，请在图上用有向线段表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天内的位移． 二 零向量与单位向量 向量名称 定义 零向量 长度为 ①________的向量，记作 ②______ 单位向量 长度等于③______________长度的向量 【即时练】 1．下列说法中正确的是（ ） A. 向量的模都是正实数 B. 单位向量只有一个 C. 向量的大小与方向无关 D. 方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 2．（多选）下列说法中正确的是（ ） A. 零向量没有大小，没有方向 B. 零向量的长度都为0 C. 单位向量方向相同 D. 单位向量的长度都相等 解题方法 理解零向量和单位向量应注意的问题 （1）零向量的方向是任意的，所有的零向量的模都相等. （2）单位向量的模都相等，平面内同一起点的单位向量有无数个，当起点为原点时，它们的终点构成一个单位圆. 三 相等向量与共线向量 向量名称 定义 平行向量（共线向量） 方向①____________的非零向量.向量与平行，记作.规定：零向量与任意向量②____，即对于任意向量，都有 相等向量 长度③____且方向④____的向量.向量与相等，记作 例2 （对接教材例2）如图所示，和是两个在各边的三等分点处相交的全等的等边三角形，图中画出了若干个向量. （1） 写出与向量相等的向量； （2） 写出与向量共线，且模相等的向量. 【变式探究】 （设问变式）在本例条件下，写出与向量方向相同的向量. 解题方法 相等向量与共线向量的探求方法 （1）寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线. （2）寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再确定同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点、起点为终点的向量. ［跟踪训练2］． （1） 设点是正三角形的中心，则向量，，是（ ） A. 共起点的向量 B. 模相等的向量 C. 共线向量 D. 相等向量 （2） 如图所示，四边形和都是平行四边形. ① 与向量相等的向量为________________； ② 若，则向量的模等于______. 课堂巩固 自测 1．（教材P4T1改编）下列量中是向量的为（ ） A. 频率 B. 拉力 C. 体积 D. 距离 2．（教材P5T4改编）如图，在正六边形中，点为其中心，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 3．若一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（ ） A. B. C. D. 4．（教材P5T1改编）在如图所示的坐标纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． （1） ，点在点的正西方向； （2） ，点在点的北偏西 方向. 课堂小结 1.已学习：（1）向量的概念及表示. （2）向量的相关概念：零向量、单位向量、相等向量、共线向量（平行向量）. 2.须贯通：向量是既有大小又有方向的量，共线向量和平行向量是同一概念，都是指方向相同或相反的向量，与平面几何中的“共线”、“平行”是不同的. 3.应注意：（1）零向量的模为零，方向不确定，不是没有方向； （2）所有的单位向量模都是1个单位长度，方向未必相同. 课后达标 检测 A 基础达标 1．[2024·山西晋中期中]下列命题中正确的是（ ） A. 温度、加速度、摩擦力、功都是向量 B. 零向量的方向是任意的 C. 长度相等的两个向量必相等 D. 直角坐标平面上的轴、轴都是向量 2．已知汽车以大小为的速度向西走了，摩托车以大小为的速度向东北方向走了，则下列说法正确的是（ ） A. 汽车的速度大于摩托车的速度 B. 汽车的位移大于摩托车的位移 C. 汽车走的路程大于摩托车走的路程 D. 以上都不对 3．[2024·广西贺州期中]下列命题中，正确的是（ ） A. 若，与的方向相同或相反 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 4．如图，在中，点,,均为上的点，则向量,,是（ ） A. 有相同起点的向量 B. 模相等的向量 C. 共线向量 D. 相等向量 5．八卦是中国古代的基本哲学概念，如图1为太极八卦图.若现将一幅八卦图简化为正八边形如图2，中心为，则与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 6．（多选）如图，在中，,,分别是,的中点，则（ ） A. 与共线 B. 与共线 C. 与共线 D. 与共线 7．如图所示，已知正方形的边长为2，为其中心，则______，与相等的向量是________. 8．在四边形中,若且,则四边形的形状为____. 9．已知,,是不共线的三点，向量与向量是平行向量，与是共线向量，则______. 10．如图所示是棱长为1的正三棱柱. （1） 在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，写出与向量相等的向量； （2） 若是的中点，写出与向量平行且模相等的向量． B 能力提升 11．（多选）已知一海面上有,两艘船，为一灯塔，在的东偏北 方向，距离点，在的南偏西 方向，距离点，则与为（ ） A. 相等向量 B. 模相等的向量 C. 平行向量 D. 单位向量 12．（多选）已知与是平行向量，且，则下列结论可能成立的是（ ） A. B. C. 与方向相同 D. 与方向相同 13．中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘（每个小方格都是单位正方形）中，若象在处，可跳到处，用向量表示象走了“一步”，若象在或处，则以，为起点表示象走了“一步”的向量共有______个． 14．[2024·山东青岛期末]如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，在以，，，，为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，写出： （1） 与相等的向量； （2） 与共线的向量； （3） 与相等的向量. C 素养拓展 15．如图所示，在中，是两对角线，的交点，设点集,，，，，向量集合，，且，不重合，则集合中元素的个数为__. 16．如图在四边形中，,且，，判断四边形的形状. 学科网（北京）股份有限公司 $$