精品解析：山东省济南市莱芜区2024-2025学年上学期九年级期末数学试题

莱芜区2024－2025学年度第一学期期末考试九年级 数学试题 注意事项： 1．本试题共8页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为40分，非选择题部分满分为110分．全卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置． 3．答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题部分，用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效． 4．本考试不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下面所给几何体的俯视图是(　　) A. B. C. D. 2. 下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（ ） A B. C. D. 3. 如图，将转盘八等分，分别涂上红、绿、蓝三种颜色，则转动的转盘停止时．指针落在蓝色区域的概率为（ ） A B. C. D. 4. 下列结论正确的是（ ） A. 垂直于半径的直线是圆的切线 B. 圆周角等于圆心角的一半 C. 圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角 D. 平分弦的直径垂直于这条弦 5. 如图，中，，若，，则（ ） A B. C. D. 6. 如图，是的直径，点、在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知在平面直角坐标系中，的顶点， ，．函数的图象经过点C，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 8. 圆锥的底面圆的半径为10，圆锥母线长为20，则圆锥侧面展开图的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论： ①；②方程必有一个根大于2且小于3；③；④对于任意实数m，都有．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案） 11. 皮影戏是用兽皮或纸板做成的人物剪影来表演故事的戏曲．表演时，用灯光把剪影照射在银幕上，艺人在幕后一边操纵剪影，一边演唱，并配以音乐．皮影戏也称为影戏、灯影戏、土影戏等．则皮影形成的影子是_____投影．（填“平行”或“中心”） 12. 已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为_____． 13. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在函数的图象上，点B在函数的图象上．若，则k的值为_____． 14. 如图，在正十边形中，连接，则_____． 15. 如图，在边长为4的菱形中，，以点D为圆心，菱形的高为半径画弧，交于点E，交于点G，则图中阴影部分的面积是____________． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 17. 如图，直线与双曲线相交于、B两点，与x轴相交于点． （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）当时，求关于x的不等式的解集． 18. 如图，在中，，，，求长． 19. 如图，直线与相切于点C，射线与交于点，连接． （1）求证：； （2）若AC＝，AD＝5，求的长． 20. 一只不透明的袋子中装有三个乒乓球，球面上分别标有数字3、4、5，这些乒乓球除所标数字不同外其余都相同． （1）搅匀后从中任意摸出一个乒乓球，求摸出的乒乓球的球面上恰好标有数字3的概率； （2）搅匀后先从袋子中任意摸出一个球，将球面上所标数字作为一个两位数的十位数字，不放回，再从袋中余下的球中任意摸出一个球，将球面上所标数字作为这个两位数的个位数字，求这个两位数恰好是奇数的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 21. 小颖爸爸买了一盏新台灯，如图1放置在水平桌面l上，底座的高为，长度均为的连杆与始终在同一平面上． （1）转动连杆，使成平角，，如图2，求连杆端点D离桌面l高度； （2）为了让光线更佳，他将（1）中的连杆再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当时，台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？ 22. 网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/，每日销售量y（）与销售单价x（元/）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元/） 7 8 9 y（） 2700 2600 2500 （1）求日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；（不用写自变量的取值范围） （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ 23. 如图，为的直径，为延长线上一点，为上一点，连结，作于点，交于点，若． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 24. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）过点作轴于点，点是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线与线段交于点，当时，求点的坐标： （3）在（）的条件下，点是直线上的一个动点，当是以为斜边的直角三角形时，求点的坐标． 25. 如图，抛物线过点，，． （1）求抛物线的表达式； （2）设P是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点P的坐标； （3）若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 莱芜区2024－2025学年度第一学期期末考试九年级 数学试题 注意事项： 1．本试题共8页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为40分，非选择题部分满分为110分．全卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置． 3．答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题部分，用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效． 4．本考试不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下面所给几何体的俯视图是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用俯视图的观察角度从上往下观察得出答案． 【详解】解：由几何体可得：圆锥的俯视图是圆，且有圆心． 故选B． 【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键． 2. 下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数、正比例函数图象的性质．根据各函数的解析式，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、正比例函数图象，随的增大而增大， 故此选项不符合题意； B、一次函数的图象，随的增大而增大， 故此选项不符合题意； C、反比例的图象是双曲线，在第二、四象限， 当时，y随x的增大而增大，故此选项不符合题意； D、二次函数的图象，开口向下，对称轴为轴， 当时，随的增大而减小，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 如图，将转盘八等分，分别涂上红、绿、蓝三种颜色，则转动的转盘停止时．指针落在蓝色区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求概率，根据蓝色区域所占的份数进行求解即可． 【详解】解：由图可知：指针落在蓝色区域的概率为； 故选A． 4. 下列结论正确的是（ ） A. 垂直于半径的直线是圆的切线 B. 圆周角等于圆心角的一半 C. 圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角 D. 平分弦的直径垂直于这条弦 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形，切线的定义，掌握相关知识点，逐一进行判断，是解题的关键． 【详解】解：A、过切点且垂直于半径的直线是圆的切线，故本选项错误，不符合题意； B、同（等）弧所对的圆周角是圆心角的一半，故本选项错误，不符合题意； C、圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角，故本选项正确，符合题意； D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 5. 如图，在中，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理．设，可得，根据，得，根据勾股定理得，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6. 如图，是的直径，点、在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及推论．解题关键是熟练掌握同弧对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角．连接，根据直径性质得到，根据圆周角定理得到，即得． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图，已知在平面直角坐标系中，的顶点， ，．函数的图象经过点C，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质是解题关键．过点C作轴于点D，根据点A、B的坐标可得，从而可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，设，从而可得点C的坐标为，然后利用反比例函数的解析式可求出a的值，最后利用面积公式即可得解． 【详解】如图，过点C作轴于点D， ∵， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， ， 将代入得：， 解得或（不符题意，舍去）， ， ∴， 故选：D． 8. 圆锥的底面圆的半径为10，圆锥母线长为20，则圆锥侧面展开图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的母线长．熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 根据圆锥的侧面积公式，进行计算即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：圆锥侧面展开图的面积为 ． 故选：B 9. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，关键是根据二次函数图象确定出a、b、c的符号．首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向上可得，由对称轴在y轴左边可得a、b同号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向上可得，由对称轴在y轴左边可得a、b同号，故， 则反比例函数的图象在第一、三象限， 一次函数经过第一、二、四象限， 故选：B． 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论： ①；②方程必有一个根大于2且小于3；③；④对于任意实数m，都有．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质进行判断即可． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点的横坐标，且对称轴是直线， ∴与x轴的另一个交点的横坐标， ∴方程必有一个根大于2且小于3，故②正确； 当时，， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵对称轴是直线，抛物线开口向下， ∴当时，函数取得最大值，为， 殷伟对于任意实数m，都有， ∴， ∴， 即，故④错误； 故选：C 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案） 11. 皮影戏是用兽皮或纸板做成的人物剪影来表演故事的戏曲．表演时，用灯光把剪影照射在银幕上，艺人在幕后一边操纵剪影，一边演唱，并配以音乐．皮影戏也称为影戏、灯影戏、土影戏等．则皮影形成的影子是_____投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【解析】 【分析】本题考查了平行投影和中心投影，中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影． 【详解】解：“皮影戏”中是用灯光向外散射形成的投影， ∴“皮影戏”中皮影是中心投影． 故答案为：中心 ． 12. 已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的基本性质及关于原点中心对称的点的特点，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键．根据抛物线的解析式确定抛物线的开口方向及顶点坐标，然后结合中心对称的性质确定抛物线的开口方向及顶点坐标，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∵抛物线与关于原点成中心对称， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在函数的图象上，点B在函数的图象上．若，则k的值为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，表示出点的坐标是解题的关键．作于，由等腰三角形三线合一的性质得出，利用平行四边形的性质可知，故设，则，代入即可求得的值． 【详解】解：作于， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， 设，则， 点在函数的图象上． ， 故答案为：12． 14. 如图，在正十边形中，连接，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理，根据题意正确作出辅助线、构造出圆周角是解答本题的关键．设正十边形的圆心O，连接、，再求出,最后运用圆周角定理解答即可． 【详解】解：如图：设正十边形的圆心O，连接、， ∵正十边形的各边都相等 ∴ ∴． 故答案为: ． 15. 如图，在边长为4的菱形中，，以点D为圆心，菱形的高为半径画弧，交于点E，交于点G，则图中阴影部分的面积是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由菱形的性质得出，，由三角函数求出菱形的高，图中阴影部分的面积=菱形的面积-扇形的面积，根据面积公式计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵是菱形的高， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 故答案：． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，特殊三角函数值，负指数幂的计算等知识点，解决此题的关键是正确的计算，根据相关知识点得到结论即可． 【详解】解：， ， ， 17. 如图，直线与双曲线相交于、B两点，与x轴相交于点． （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）当时，求关于x的不等式的解集． 【答案】（1），； （2）或． 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强． （1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）两函数解析式联立成方程组，求出点B的坐标，然后根据图象即可解决问题． 【小问1详解】 解：将，代入，得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 将代入，得， ∴反比例的解析式为； 【小问2详解】 解： 由，解得或， ∴点B的坐标为， ∵， ∴观察图象，当时，关于x的不等式的解集是或． 18. 如图，在中，，，，求长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含度直角三角形性质，等腰直角三角形的判定及勾股定理，熟练运用相关知识是解题的关键；过作于，则在中，由含度直角三角形性质，得，由勾股定理得；在中，得，有，最后即可得解． 【详解】解：如图，过作于， 在中，，， ∴， 由勾股定理得； 在中，， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，直线与相切于点C，射线与交于点，连接． （1）求证：； （2）若AC＝，AD＝5，求的长． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】此题重点考查切线的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、弧长公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由直线与相切于点C，证明，而是的直径，则，所以，则； （2）由，证明，得，因为，所以，则，求得，由，得，可证明是等边三角形，则，根据弧长公式求得． 小问1详解】 证明：连接， ∵直线与相切于点C， ， ∵射线与交于点， 是的直径， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ∴ ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ∴的长是． 20. 一只不透明的袋子中装有三个乒乓球，球面上分别标有数字3、4、5，这些乒乓球除所标数字不同外其余都相同． （1）搅匀后从中任意摸出一个乒乓球，求摸出的乒乓球的球面上恰好标有数字3的概率； （2）搅匀后先从袋子中任意摸出一个球，将球面上所标数字作为一个两位数的十位数字，不放回，再从袋中余下的球中任意摸出一个球，将球面上所标数字作为这个两位数的个位数字，求这个两位数恰好是奇数的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据共有3种等可能情况即可求解； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及这个两位数恰好是奇数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：∵搅匀后从中任意摸出一个乒乓球，摸出的乒乓球的球面上的数字共有3种情况，即分别为3、4、5， ∴摸出的乒乓球的球面上恰好标有数字3的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下： 3 4 5 3 34 35 4 43 45 5 53 54 共有6种等可能的结果，其中这个两位数恰好是奇数的结果有：35，43，45，53，共4种， 故这个两位数恰好是奇数的概率为． 21. 小颖爸爸买了一盏新台灯，如图1放置在水平桌面l上，底座的高为，长度均为的连杆与始终在同一平面上． （1）转动连杆，使成平角，，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度； （2）为了让光线更佳，他将（1）中的连杆再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当时，台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握构造直角三角形的方法和用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键． （1）作于O，根据矩形的判定，可得四边形是矩形，先求出，然后根据锐角三角函数即可求出，从而求出； （2）过C作于点G，于点K，根据锐角三角函数，即可求出，从而求出，再求出，利用锐角三角函数即可求出，从而求出此时连杆端点D离桌面l的高度，即可求出结论． 【小问1详解】 解：如图2中，作于O．    ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∵成平角， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点C作于点G，于点K， 由题意得，， ∴在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴此时连杆端点D离桌面l的高度为， ∴比原来降低了． 22. 网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/，每日销售量y（）与销售单价x（元/）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元/） 7 8 9 y（） 2700 2600 2500 （1）求日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；（不用写自变量的取值范围） （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为； （2）当销售单价定为20元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为19600元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握待定系数法、二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）由题意可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， 把，和，代入得： ， 解得， ∴日销售量y与销售单价x之间函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得： ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，w有最大值为19600元． ∴当销售单价定为20元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为19600元． 23. 如图，为的直径，为延长线上一点，为上一点，连结，作于点，交于点，若． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理可证得，根据平行线的性质和判定，由等腰三角形的性质得到，即可得到，根据切线的判定即可证得结论； （2）根据垂径定理及三角形中位线定理得到，设，，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； 【小问2详解】 解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为的中位线， ∴，， ∵， ∴， 设，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 24. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）过点作轴于点，点是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线与线段交于点，当时，求点的坐标： （3）在（）的条件下，点是直线上的一个动点，当是以为斜边的直角三角形时，求点的坐标． 【答案】（1），； （2）； （3）。 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求一次函数与反比例函数的表达式即可； （2）求出点A的坐标，根据四边形与三角形的面积比求出点坐标，得直线的解析式，再与反比例函数解析式联立即可得点坐标； （3）设，根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：将点代入得， ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：． 将点代入， 解得：， ∴反比例函数的解析式为：． 【小问2详解】 解：对于，当时，， ∴点坐标为， 联立与得， ， 解得或（舍去）， 经检验是的解， 当时，， ∴点坐标为， ∵，， ∴． ∴， 设直线的解析式为， 将点代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∵点在第一象限， ∴． 【小问3详解】 解：∵点在直线上， ∴设， ∵是以为斜边的直角三角形，， ∴， 即， 整理得：， 解得：， ∴点． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特点，梯形与三角形面积计算，勾股定理，解一元二次方程等知识点．解题关键是根据面积关系求出点坐标及掌握利用勾股定理列出方程． 25. 如图，抛物线过点，，． （1）求抛物线的表达式； （2）设P是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点P的坐标； （3）若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值． 【答案】（1） （2）的最大面积为，此时点P的坐标为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，抛物线的最值，等腰直角三角形性质，熟练掌握抛物线的最值是解题的关键． （1）利用待定系数法可求解析式； （2）由待定系数法求出直线的解析式，过点P作y轴的平行线，交于Q，设，则，则， ，根据二次函数的性质即可得到答案； （3）连接，过点M作于点N，证得是等腰直角三角形，可得，从而得到，当点A，M，N三点共线时，取得最小值，的最小值为的长，再由，解答即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，， ∴设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得， 所以抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为：， 将，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：， 如图，过点P作y轴的平行线，交于Q， 设，则，则， ∴ ， 即当时，的面积最大，最大为， 即的最大面积为，此时点P的坐标为； 【小问3详解】 解：如图，连接，过点M作于点N， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即当点A，M，N三点共线时，取得最小值，的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$