精品解析：新疆乌鲁木齐市第十中学2024-2025学年高二上学期期末测试数学试题

乌鲁木齐市第十中学高二年级2024－2025学年 第一学期期末考试数学学科（试卷） 时间：100分钟 总分：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集运算即可求解. 【详解】. 故选：C 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由诱导公式与特殊角的三角函数值可得. 【详解】. 故选：D. 3. 点到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式直接计算得解. 【详解】点到直线的距离. 故选：D 4. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，结合共轭复数的概念，即可求解. 【详解】由复数，所以复数的共轭复数为. 故选：B. 5. 设是双曲线上一点，，分别是双曲线左、右两个焦点，若， 则等于（ ） A. B. 11 C. 15 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义即可得. 【详解】由知，， 由双曲线定义知：， 故或，，故舍去. 故选：B. 6. 将半径为3，圆心角为的扇形卷成一个圆锥的侧面，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得圆锥的底面半径和高，从而求得圆锥的体积. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 扇形的弧长为，则，母线， 所以圆锥的高， 所以圆锥的体积. 故选：B 7. 已知A，B为圆上的两个动点，P为弦AB的中点，若，则点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆的性质，结合题意与图象，可得答案. 【详解】圆的方程可化为，，半径， 因为，所以， 又是的中点，所以， 所以点的轨迹方程为． 故选：B. 8. 已知椭圆的左、右焦点为，，上一点满足，A为线段的中垂线与的交点，若的周长为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合椭圆的定义，求出，，然后勾股定理得出a、c的关系即可. 【详解】A为线段的中垂线与的交点，所以，， 三角形的周长为， 所以，又， 所以，又， 所以， 故选：B. 二、多选题（每题6分，共18分，少选得3分，错选得0分） 9. 已知双曲线经过点，则（ ） A. 的实轴长为 B. 的焦距为 C. 的离心率为 D. 的渐近线方程是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据双曲线经过点,可得双曲线标准方程，根据双曲线的简单几何性质即可逐一判断. 【详解】由题意得，得即双曲线方程为． 所以，双曲线的实轴长是，焦距是，离心率为，渐近线方程是 故BC正确，AD错误， 故选：BC 10. 某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的同学有12名，则（ ） A. 这五个社团的总人数为100 B. 脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20% C. 这五个社团总人数占该校学生人数的5% D. 从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为45% 【答案】BD 【解析】 【分析】根据朗诵社团的人数及其占比可计算出五个社团的总人数为80，即A错误，再根据太极拳社团的人数计算出其占比，可得脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%，即B正确，利用该校总人数可得C错误，由古典概型概率计算公式可得D正确. 【详解】对于A，参加朗诵社团的同学有8名，占比为，所以这五个社团的总人数为人，即A错误； 对于B，太极拳社团的同学有12名，可知其占比为， 因此脱口秀社团的人数占五个社团总人数的，即B正确； 对于C，该校共有2000名，所以这五个社团总人数占该校学生人数的，即C错误； 对于D，由选项B易知脱口秀社团共有人，舞蹈社团共有人，两社团共有人， 所以从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为，即D正确. 故选：BD 11. 设抛物线C：的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线l的方程是 B. 的最大值为2 C. 的最小值为7 D. 以线段为直径的圆与y轴相切 【答案】AD 【解析】 【分析】根据抛物线方程求得直线方程，结合三角形的知识求得的最大值，结合抛物线的定义求得的最小值以及判断出以线段为直径的圆与y轴相切. 【详解】由题意得，则焦点，准线l的方程是，故A正确； ， 当点M在线段的延长线上时等号成立，∴的最大值为，故B错误； 如图所示，过点M，E分别作准线l的垂线，垂足分别为A，B， 则，当点M在线段上时等号成立， ∴的最小值为5，故C不正确； 设点，线段的中点为D，则， ∴以线段为直径的圆与y轴相切，D正确. 故选：AD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知平面向量，，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】求出向量的坐标，再利用坐标计算向量的模. 【详解】由向量，，得， 所以. 故答案为：2 13. 已知，，且满足，则的最小值为________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】依题意，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 14. 从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a、b，则为整数的概率= _______． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：从2，3，8，9中任取两个数记为，作为作为对数的底数与真数，共有个不同的基本事件，其中为整数的只有两个基本事件，所以其概率. 考点：古典概型. 四、解答题（共77分，要求写出必要的解题步骤和证明过程） 15. 已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点． （1）求圆的圆心坐标和面积； （2）若直线的斜率为，求弦的长． 【答案】（1）圆心坐标为，面积为 （2） 【解析】 【分析】（1）将圆的一般式化为标准方程，即可得到圆心坐标与半径； （2）先求圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算可得. 【小问1详解】 由可得， 则圆的圆心坐标为,半径，面积； 【小问2详解】 依题意直线的方程为， 即， 圆心到直线的距离， 所以； 16. 如图，在长方形中，，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明过程见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据长方体的性质得到平面，进而得到平面，利用线面垂直的性质进而得证； （2）记交于点，连接，得到为与平面所成的角，在直角三角形中进行求解即可. 【小问1详解】 在长方体中，,,，平面， 平面，平面，， 又，可得,，平面， 平面. 平面，. 【小问2详解】 记交于点，连接， 由（1）得平面， 所以为斜线在平面上的射影， 为与平面所成的角. 在长方体中，,， 在中，，， . 直线与平面所成角的正弦值为. 17. 如图，已知在四棱柱中，底面为梯形，，底面，，其中，，是的中点，是的中点． （1）求证：平面． （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间位置关系的向量表示可得结论； （2）利用点到平面距离的向量求法计算即可. 【小问1详解】 由底面，， 则以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 可得,； 则，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，即， 因为，可得，且平面， 所以平面 【小问2详解】 因为， 平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离. 18. 已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍. （1）求的方程； （2）若倾斜角为的直线与交于，两点，线段的中点坐标为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件确定的值，即得椭圆的标准方程； （2）涉及中点弦问题，可以考虑“点差法”解决问题. 【小问1详解】 由题意可得，得，所以的方程为. 【小问2详解】 由题意得. 设，，依题意可得，且， 由得， 则，解得. 经检验，点在椭圆内. 所以为所求. 19. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且. （1）求抛物线的方程； （2）过点的直线与抛物线交于、两点，若点满足，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义可求出的值，由此可得出抛物线的方程； （2）根据题意，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算以及韦达定理可求得的值，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 抛物线的准线方程为， 因为点在抛物线上，且， 由抛物线的定义可得，解得， 因此，抛物线的方程为. 【小问2详解】 若直线轴，则直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意， 故可设直线的方程为，设点、， 由，整理得，则， 由韦达定理可得，， 因为，， 所以， 即，即， 即，解得， 因此，直线的方程为，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第十中学高二年级2024－2025学年 第一学期期末考试数学学科（试卷） 时间：100分钟 总分：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 点到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 1 4. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 5. 设是双曲线上一点，，分别是双曲线左、右两个焦点，若， 则等于（ ） A. B. 11 C. 15 D. 5 6. 将半径为3，圆心角为的扇形卷成一个圆锥的侧面，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知A，B为圆上的两个动点，P为弦AB的中点，若，则点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点为，，上一点满足，A为线段的中垂线与的交点，若的周长为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分，少选得3分，错选得0分） 9. 已知双曲线经过点，则（ ） A. 的实轴长为 B. 的焦距为 C. 的离心率为 D. 的渐近线方程是 10. 某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的同学有12名，则（ ） A. 这五个社团的总人数为100 B. 脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20% C. 这五个社团总人数占该校学生人数的5% D. 从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为45% 11. 设抛物线C：的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线l的方程是 B. 的最大值为2 C. 的最小值为7 D. 以线段为直径的圆与y轴相切 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知平面向量，，则________. 13. 已知，，且满足，则的最小值为________. 14. 从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a、b，则为整数的概率= _______． 四、解答题（共77分，要求写出必要的解题步骤和证明过程） 15. 已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点． （1）求圆的圆心坐标和面积； （2）若直线的斜率为，求弦的长． 16. 如图，在长方形中，，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 如图，已知在四棱柱中，底面为梯形，，底面，，其中，，是的中点，是的中点． （1）求证：平面． （2）求点到平面的距离． 18. 已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍. （1）求的方程； （2）若倾斜角为的直线与交于，两点，线段的中点坐标为，求. 19. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且. （1）求抛物线的方程； （2）过点的直线与抛物线交于、两点，若点满足，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $