精品解析：安徽省安庆市潜山市2024-2025学年九年级上学期期末数学试题

潜山市2024-2025学年度第一学期期末教学质量检测 九年级数学期末测试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，．若．则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 若抛物线的顶点在第二象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC=CD，连接AC．若∠DAB=40°，则∠D的度数为（　　） A. 70° B. 120° C. 140° D. 110° 7. 如图，，，是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在等腰三角形中，一腰上的高为，这条高与底边的夹角的正弦值为，则的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论： ①小球在空中经过的路程是40m ②小球抛出3s后，速度越来越快 ③小球抛出3s时速度为0 ④小球的高度时， 其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ②③④ D. ②③ 10. 如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D．①△OB1C∽△OA1D； ②OA•OC=OB•OD；③OC•G=OD•F1；④F=F1． 其中正确的说法有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在中，AB=AC=5，sin∠ABC=0.8，则BC=_______． 12. 如图，反比例函数的图象上有两点A和B，横坐标分别是a和b，且，过点A作y轴平行线，过点B作x轴平行线，交于点C，连接，若面积为2，则_____． 13. 土圭之法是在平台中央竖立一根垂直于地面的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，在平台中央竖立一根尺长的杆子，利用土圭之法测量了两个时刻杆子的影长，发现第一时刻的太阳光线与杆子的夹角和第二时刻的太阳光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻的影长为___________尺． 14. 已知，点和点在二次函数的图象上，若点是该二次函数图象上任意一点，且满足． （1）用含a的代数式表示b为_____； （2）mn的最大值为_____． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. ． 16. 已知二次函数的顶点坐标为，其图象经过，求此二次函数的表达式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为(-1，4)，点B的坐标为(4，n)． （1）求这两个函数的表达式； （2）点P在线段AB上，且，求点P的坐标． 18. 如图，已知点是坐标原点，两点的坐标分别为，． （1）以点为位似中心在轴左侧将放大到倍（即新图与原图的相似比为），画出，并写出两点的对应点，的坐标； （2）将绕点逆时针旋转得到，画出图形． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 随着智能化的发展，现在很多同学会采用笔记本电脑学习，九年级一班同学为保护眼睛，开展实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘A处离桌面的高度，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识发现当张角时（点是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度及点A到的距离．（参考数据：，，，．结果精确到．） 20. 如图，已知平行四边形的两个顶点A，B均在上，边与相交于点E，，连接交于点F，延长交于点G． （1）若平行四边形的面积为80，，，求的长； （2）求证：． 六、（本大题共1小题，每小题12分，满分12分） 21. 已知抛物线． （1）求这条拋物线的对称轴； （2）若抛物线的顶点在x轴上，求其表达式； （3）设点，在抛物线上，若，求m的取值范围． 七、（本大题共1小题，每小题12分，满分12分） 22. 某超市在春节前夕，购进一批大米，每袋进价30元，超市规定每袋售价不得少于40元．根据以往销售经验发现：当售价为每袋40元时，每天可以卖出500袋，每袋售价每提高1元，每天要少卖出20袋． （1）试求出每天的销售量y袋与每袋售价x元之间的函数关系式； （2）当每袋售价定为多少元时，每天销售的利润T元最大？最大利润是多少？ （3）如果这种大米的每袋售价不高于46元，超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售大米多少袋？ 八、（本大题共1小题，每小题14分，满分14分） 23. 【问题提出】 在数学活动课上，数学王老师给出了如下的问题： （1）如图1，在中，，点，分别是边，上的点，且，求证： 【问题探究】 王老师建议各小组同学自主学习，合作交流，在原有问题条件不变的情况下，增加下面的条件，并提出新问题，请你解答． （2）如图2，“勤奋小组”增加条件：过点作交的延长线于点，求证：． （3）在“勤奋小组”增加条件的基础上，“智慧小组”增加条件：，求证：． 【问题解决】 （4）“梦想小组”在前面学习的基础上，创编了新的问题，请你解答． 如图3，在四边形中，，，，平分交于点，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潜山市2024-2025学年度第一学期期末教学质量检测 九年级数学期末测试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，“形如（为常数，且），这样的函数叫做二次函数”，逐项进行判断即可求解，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、是一次函数，不符合题意； 、是反比例函数，不符合题意； 、是二次函数，符合题意； 、是一次函数，不符合题意； 故选：． 2. 在中，．若．则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正切函数的定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做的正切，记作．根据正切函数的定义，可得，，再代入计算即可． 【详解】解：∵在中，， ∴，，， ∵， ∴， 故选：C． 3. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，分式求值，熟练掌握比例的性质是解题的关键. 设，得到，代入中计算即可得到答案. 【详解】解：设， ， ， 故选：B. 4. 若抛物线的顶点在第二象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据解析式求出顶点坐标，再根据第二象限的点的坐标特征求解． 【详解】解：， 当时，y取最大值， 顶点坐标为， 顶点坐标在第二象限， ，， 解得． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的顶点式，第二象限的点的坐标特征，根据解析式求出顶点坐标是解题的关键． 5. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 由抛物线可得对称轴为直线，则关于直线的对称点为，再根据的性质即可求解． 【详解】解：由抛物线可得对称轴为直线， ∴关于直线的对称点为， ∵， ∴当，随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：B． 6. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC=CD，连接AC．若∠DAB=40°，则∠D的度数为（　　） A. 70° B. 120° C. 140° D. 110° 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理求出∠BAC，根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：∵BC=CD， ∴， ∵∠DAB=40°， ∴∠BAC=∠DAB=20°， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠B=90°﹣∠BAC=70°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠D=180°﹣∠B=110°， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 7. 如图，，，是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设小正方形的边长为1，过点B作BD⊥AC于D，过点B作BF⊥AE于点F，由勾股定理可求AC，BC的长，由三角形的面积公式可求BD的长，即可求sin∠ACB的值． 【详解】解：设小正方形的边长为1，过点B作BD⊥AC于D，过点B作BF⊥AE于点F， ∵S△ABC=2×7-×1×3−×1×7−×2×4=5， 由勾股定理可知：AC= ， ∵AC•BD=5， ∴BD=， 由勾股定理可知：BC= ， ∴sin∠ACB= = . 故选A． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是运用面积法求BD的长． 8. 在等腰三角形中，一腰上的高为，这条高与底边的夹角的正弦值为，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，根据等腰三角形性质求出，求出，解直角三角形求出、根据三角形面积公式求出即可． 【详解】解：∵， ∴， 如图所示， 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， 故选：B． 9. 物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论： ①小球在空中经过的路程是40m ②小球抛出3s后，速度越来越快 ③小球抛出3s时速度为0 ④小球的高度时， 其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ②③④ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的图象中的信息判断即可． 【详解】①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①错误； ②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确； ③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确； ④设函数解析式为：， 把代入得，解得， ∴函数解析式为， 把代入解析式得，， 解得：或， ∴小球的高度时，或，故④错误； 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意 10. 如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D．①△OB1C∽△OA1D； ②OA•OC=OB•OD；③OC•G=OD•F1；④F=F1． 其中正确的说法有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行判断出B1C∥A1D，然后求出△OB1C∽△OA1D，判断出①正确；根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到②正确；根据杠杆平衡原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂列式判断出③正确；求出F的大小不变，判断出④正确． 【详解】∵B1C⊥OA，A1D⊥OA， ∴B1C∥A1D， ∴△OB1C∽△OA1D，故①正确； ∵△OB1C∽△OA1D， ∴， 由旋转的性质得，OB=OB1，OA=OA1， ∴OA•OC=OB•OD，故②正确； 由杠杆平衡原理，OC•G=OD•F1，故③正确； ∴是定值， ∴F1的大小不变， ∴F=F1，故④正确． 综上所述，说法正确的是①②③④． 故选D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在中，AB=AC=5，sin∠ABC=0.8，则BC=_______． 【答案】6 【解析】 【详解】解：过点A作AD⊥BC于D， ∵AB=AC，∴BD=CD． 在Rt△ABD中，∵， ∴AD=5×0.8=4． ∴． ∴BC=BD+CD=3+3=6． 12. 如图，反比例函数的图象上有两点A和B，横坐标分别是a和b，且，过点A作y轴平行线，过点B作x轴平行线，交于点C，连接，若面积为2，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是关键. 延长交轴于点，根据条件可得，继而，利用反比例函数k值的几何意义进行解答即可. 【详解】解：延长交轴于点， ∵点和点，横坐标分别是和，且， ， ∵轴，面积为， ， ， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵反比例函数在第二象限， ， 故答案为： 13. 土圭之法是在平台中央竖立一根垂直于地面的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，在平台中央竖立一根尺长的杆子，利用土圭之法测量了两个时刻杆子的影长，发现第一时刻的太阳光线与杆子的夹角和第二时刻的太阳光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻的影长为___________尺． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，通过已知的杆长和第一时刻的影长计算第二时刻的影长. 【详解】解：，， ， ． 根据题意，得尺，尺， 解得， 第二时刻的影长为尺； 故答案为：． 14. 已知，点和点在二次函数的图象上，若点是该二次函数图象上任意一点，且满足． （1）用含a的代数式表示b为_____； （2）mn的最大值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由点是该二次函数图象上任意一点，且满足，可得是二次函数的顶点，且二次函数的开口向上，可得， （2）用含a的代数式表示mn，利用二次函数的性质求解最大值即可． 【详解】解：（1） 点是该二次函数图象上任意一点，且满足， 是二次函数的顶点，且二次函数的开口向上， 抛物线的对称轴为： （2）由（1）得：抛物线为： 点和点在二次函数的图象上， 由 则有最大值， 当时，最大， 最大值为： 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，利用二次函数的性质求解代数式的最值，熟练的判断A是顶点是解本题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，根据乘方、二次根式、特殊角三角函数值、负整数指数幂以及绝对值的代数意义化简各项后再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 16. 已知二次函数的顶点坐标为，其图象经过，求此二次函数的表达式． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的解析式求法；由函数顶点坐标可设二次函数的解析式为，再将点代入解析式中即可求a． 【详解】解：设二次函数的表达式为， 因为函数图象经过， ∴， ∴， ∴． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为(-1，4)，点B的坐标为(4，n)． （1）求这两个函数的表达式； （2）点P在线段AB上，且，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将点A，点B坐标代入两个解析式可求k2，n，k1，b的值，从而求得解析式； （2）先求，又因为，可得，即可求得：，即可利用三角形的面积求得点P的横坐标，再将点P的横坐标代入到一次函数解析式，即可得点P的纵坐标，即可得到答案． 【小问1详解】 解：函数的图象过点， ∴， ∴ ∴B（4，-1） 一次函数的图象过点，点 ， 解得：； 一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：设直线与轴的交点为， ∵一次函数的解析式y=-x+3 ， ， ， ， ， ，， ， ， 点在线段上， ， ，． 【点睛】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练运用图象上的点的坐标满足图象的解析式是本题的关键． 18. 如图，已知点是坐标原点，两点的坐标分别为，． （1）以点为位似中心在轴左侧将放大到倍（即新图与原图的相似比为），画出，并写出两点的对应点，的坐标； （2）将绕点逆时针旋转得到，画出图形． 【答案】（1） 如图所示，即为所求，，； （2）如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】（）根据位似图形的性质画图即可，由图形可得点的坐标； （）根据旋转的性质画图即可； 本题考查了位似作图，旋转作图，坐标与图形，掌握位似图形和旋转的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 随着智能化的发展，现在很多同学会采用笔记本电脑学习，九年级一班同学为保护眼睛，开展实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘A处离桌面的高度，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识发现当张角时（点是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度及点A到的距离．（参考数据：，，，．结果精确到．） 【答案】此时顶部边缘处离桌面的高度约为；点A到的距离约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，利用平角定义先求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再利用平角定义求出的度数，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：过A作，垂足为E． ∵， ∴， 在中，， ∴，， 由题意得， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即此时顶部边缘处离桌面的高度约为； ， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 即点A到的距离约为． 20. 如图，已知平行四边形的两个顶点A，B均在上，边与相交于点E，，连接交于点F，延长交于点G． （1）若平行四边形的面积为80，，，求的长； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：如图2，连接、， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）连接，由已知条件及平行四边形的性质得，而，所以，则，由垂径定理得，然后由平行四边形的面积求得，最后由勾股定理得列方程即可解答； （2）连接、，由，得，由圆周角定理得，在证明，可得，则，最后结合，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图1，连接， ，， ， ∵四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ∵平行四边形的面积为80， ， ， ，且，， 解得， 的长是5． 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查平行四边形的性质、垂径定理、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 六、（本大题共1小题，每小题12分，满分12分） 21. 已知抛物线． （1）求这条拋物线的对称轴； （2）若抛物线的顶点在x轴上，求其表达式； （3）设点，在抛物线上，若，求m的取值范围． 【答案】（1）； （2）或； （3）；或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把解析式化成顶点式，根据顶点式求得对称轴； （2）根据顶点式可得顶点坐标，根据顶点在x轴上得到关于a的方程，解方程求得a的值，即可得出结论； （3）根据二次函数的性质，分两种情况即可求出m的范围． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在x轴上， ∴， ∴或， ①当时，； ②当时，． 【小问3详解】 解：Q关于对称轴的对称点为， ①当时，∵，∴； ②当时，∵，∴或． 七、（本大题共1小题，每小题12分，满分12分） 22. 某超市在春节前夕，购进一批大米，每袋进价30元，超市规定每袋售价不得少于40元．根据以往销售经验发现：当售价为每袋40元时，每天可以卖出500袋，每袋售价每提高1元，每天要少卖出20袋． （1）试求出每天的销售量y袋与每袋售价x元之间的函数关系式； （2）当每袋售价定为多少元时，每天销售的利润T元最大？最大利润是多少？ （3）如果这种大米的每袋售价不高于46元，超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售大米多少袋？ 【答案】（1）； （2）定价为47.5，T有最大利润为6125元； （3）380袋． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的销售盈利，一次函数的解析式以及图象性质，不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据当售价为每袋40元时，每天可以卖出500袋，每袋售价每提高1元，每天要少卖出20袋，则，再化简，即可作答． （2）根据每袋进价30元，且，则，即可作答． （3）根据每袋售价不高于46元，每天获得不低于6000元的利润，得，再结合一次函数的图象性质，进行作答即可． 【小问1详解】 解：依题意，当每袋售价x元时，则， 依题意，（元） 即； 【小问2详解】 解：依题意， ， 当时，T有最大利润为6125元； 【小问3详解】 解：∵每袋售价不高于46元，超市想要每天获得不低于6000元的利润 ∴，且， 解得， ∴， ∵中的随的增大而减小， ∴当时，， 即． 答：超市每天至少销售大米380袋． 八、（本大题共1小题，每小题14分，满分14分） 23. 【问题提出】 在数学活动课上，数学王老师给出了如下的问题： （1）如图1，在中，，点，分别是边，上的点，且，求证： 【问题探究】 王老师建议各小组同学自主学习，合作交流，在原有问题条件不变的情况下，增加下面的条件，并提出新问题，请你解答． （2）如图2，“勤奋小组”增加条件：过点作交的延长线于点，求证：． （3）在“勤奋小组”增加条件的基础上，“智慧小组”增加条件：，求证：． 【问题解决】 （4）“梦想小组”在前面学习的基础上，创编了新的问题，请你解答． 如图3，在四边形中，，，，平分交于点，若，，求的长． 【答案】（1）证明：，在中，， 在中，， ， ； （2）证明：交的延长线于点， ， ， ， ，由（1）， ； （3）证明：如图1，延长，交于点， ，，， ， ， ， ，，， ， ； （4）． 【解析】 【分析】（1）根据同角或等角的余角相等即可证明结论； （2）由对顶角相等和等角的余角相等可以证明，再结合（1）中，即可得出结论； （3）延长，交于点，证明得，进而可得，再证明即可得出，由此得出； （4）延长，交于点，延长交于点，先证明，得，进而可得，同理（3）可以求出，，再由得，求出，根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）解：在中，， 如图2，延长，交于点，延长交于点． ，， ， ， ， 平分， ，， 同理（3）得，得，， ， ，， ，即， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判断和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $