专题16 作平行线和垂线构造相似三角形（解析版+原卷版）-2025年中考二轮复习专题提优重难点拓展综合训练

专题16 做平行线和垂线构造相似三角形（解析版） 类型一 做平行线构造“A”型相似 1．（2023秋•金牛区期末）学习相似三角形以后，某学习小组开展测量教学楼高度的实践活动，其中一个方案是利用标杆测量，如图所示，小李目高（眼睛到地面的距离）AB为1.6m，离小李3.5m（BF＝3.5m）处的小张拿一根高4.6m（EF＝4.6m）的标杆直立地面，小张离教学楼14m（DF＝14m），此时小李的眼睛、标杆顶端和教学楼顶位于同一直线上，求教学楼CD的高度． 【思路引领】过点A作AM⊥CD于点M，交EF于点N，根据EF∥CD证得△AEN∽△ACM，利用相似三角形的性质求出CM即可解答． 【完整解答】解：如图，过点A作AM⊥CD于点M，交EF于点N， ∵EF∥CD， ∴AN⊥EF， ∵AB＝1.6， ∴AB＝NF＝MD＝1.6， ∵EF＝4.6， ∴EN＝3， ∵BF＝3.5，FD＝14， ∴AN＝3.5，MN＝14， ∵EN∥CM， ∴△AEN∽△ACM， ∴， 即， 解得CM＝15， ∴CD＝CM+DM＝15+1.6＝16.6（米）， 答：教学楼CD的高度为16.6米． 【总结提升】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（2023秋•宝山区期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝1，D是边AC上一点，且BD＝AD，过点C作CE∥AB，并截取CE＝AD，射线AE与BD的延长线交于点F． （1）求证：AF2＝DF•BF； （2）设AD＝x，DF＝y，求y与x的函数关系式； （3）如果△ADF是直角三角形，求DF的长． 【思路引领】（1）先证明△ABD≌△ACE（SAS），再证明△FAD∽△FBA，即可证得结论； （2）由题意得BD＝AD＝x，BF＝x+y，AF2＝DF•BF＝y（x+y），再证明△FAD∽△FBA，即可求得答案； （3）分三种情况：当∠DAF＝90°时，当∠ADF＝90°时，当∠AFD＝90°时，分别求出线段DF的长即可． 【完整解答】（1）证明：∵BD＝AD， ∴∠ABD＝∠BAD， ∵CE∥AB， ∴∠ACE＝∠BAD， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵CE＝AD， ∴BD＝CE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴∠ABD＝∠CAE， ∵∠AFD＝∠BFA， ∴△FAD∽△FBA， ∴， ∴AF2＝DF•BF； （2）解：∵AB＝AC＝1，AD＝x，DF＝y， ∴BD＝AD＝x，BF＝x+y， ∴AF2＝DF•BF＝y（x+y）， ∵△FAD∽△FBA， ∴，即， ∴AF2， ∴y（x+y）， 化简得：y， ∴y与x的函数关系式为：y； （3）解：当∠DAF＝90°时，则∠BAC＝∠ABD＝90°， 这与三角形内角和定理矛盾，即∠DAF≠90°； 当∠ADF＝90°时，∠ADB＝90°，如图， ∵AD＝BD， ∴∠BAC＝∠ABD＝∠CAF＝∠AFB＝45°， ∴AF＝AB＝1， ∴BFAB， ∵AD⊥BF， ∴DFBF； 当∠AFD＝90°时，则∠ABF+∠BAC+∠CAE＝90°，如图， ∵∠ABF＝∠BAC＝∠CAE， ∴∠ABF＝∠BAC＝∠CAE＝30°， 在Rt△ABF中，∵∠ABF＝30°， ∴AFAB， 在Rt△ADF中，∵∠DAF＝30°， ∴AD＝2DF， ∵AD2﹣DF2＝AF2， ∴（2DF）2﹣DF2＝（）2， ∴DF； 综上所述，如果△ADF是直角三角形，DF的长为或． 【总结提升】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等，运用分类讨论思想是解题的关键． 3．（2024秋•盐湖区校级期末）在数学学习和研究中，经常用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法． 【原题呈现】 如图1，在平行四边形ABCD中，点M是CB的中点，点O是线段AM上一点，BO的延长线交射线CD于点N．若，求的值． 【尝试探究】 如图1，过点M作MH∥AB交BN于点H，则 　　， 　　， 　　． 【类比延伸】 如图2，在原题的条件下，若，则 　　（用含有k的代数式表示）． 【拓展迁移】 如图3，四边形ABCD中，CD∥AB，点E是DA的延长线上的一点，CE和BD相交于点O，若，，（m＞0，n＞0），则 　mn　（用含m，n的代数式表示）． 【思路引领】【尝试探究】过点M作MH∥AB交BN于点H，根据相似三角形的性质得到AB＝3HM，求得，在平行四边形ABCD中，得到AB＝CD，AB∥CD，根据相似三角形的性质得到，由点M是CB的中点，得到，求得CN＝2HM，于是得到结论； 【类比延伸】过点M作MH∥AB交BN于点H，根据相似三角形的性质得到k，求得AB＝kHM，在平行四边形ABCD中，得到AB＝CD，AB∥CD，根据相似三角形的性质得到，求得CN＝2HM，于是得到结论； 【拓展迁移】过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【完整解答】解：【尝试探究】过点M作MH∥AB交BN于点H， ∴△AOB∽△MOH， ∴3， ∴AB＝3HM， ∴， 在平行四边形ABCD中，∵AB＝CD，AB∥CD， ∴△BMH∽△BCN， ∴， ∵点M是CB的中点， ∴， ∴CN＝2HM， ∴； 故答案为：，，； 【类比延伸】过点M作MH∥AB交BN于点H， ∴△AOB∽△MOH， ∴k， ∴AB＝kHM， 在平行四边形ABCD中，∵AB＝CD，AB∥CD， ∴△BMH∽△BCN， ∴， ∵点M是CB的中点， ∴， ∴CN＝2HM， ∴； 【拓展迁移】 过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD， ∵EH∥AB， ∴△ABD∽△EHD， ∴n， ∴AB＝nEH． 又m， ∴CD＝mAB＝mnEH． ∵EH∥CD， ∴△CDO∽△EHO， ∴mn； 故答案为：mn． 【总结提升】此题考查了相似形的综合题，用到的知识点是相似形的判定与性质、平行四边形的性质、中位线的性质，解题的关键是根据题意画出图形，再根据有关性质和定理求出各线段的比值． 类型二 做平行线构造“X”型相似 4．（2024秋•金堂县期中）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD是∠ABC的角平分线、AE是△ACB中线，BD、AE相交于点F，EF＝2，则S△ABE的值为 　　． 【思路引领】在等腰直角三角形中可得斜边与直角边之比为，即．作CH∥AB交BD的延长线于点H，由角平分线性质导角可得BC＝HC．由平行可判定△ABD∽△CHD，从而可得，即．作EG∥AC交BD于点G，由E为BC中点，可判定GE为△BDC的中位线，CD＝2GE，则，从而，由平行可证△GFE∽△DFA，从而，由EF＝2，可得AF，AE2，设CE＝a，则AC＝2a，由勾股定理可得AE，即2，解得a，最后根据中线性质及面积公式求解即可． 【完整解答】解：∵Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC， 故， 作CH∥AB交BD的延长线于点H，如右图所示， 则∠ABD＝∠CHD， 又∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠CHD＝∠CBD， ∴BC＝HC． ∵CH∥AB， ∴△ABD∽△CHD， ∴， ∴． 作EG∥AC交BD于点G， ∵E为BC中点，则由中位线逆定理可知G必为BD中点， 故GE为△BDC的中位线， ∴CD＝2GE， ∴，从而， ∵EG∥AC， ∴△GFE∽△DFA， ∴， ∵EF＝2， ∴AF，AE2， 设CE＝a，则AC＝2a，由勾股定理可得AE， 即2，解得a， ∴S△ABE＝S△ACEa2＝（）2． 故答案为：． 【总结提升】本题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，中线性质，构造平行线判定相似三角形，三角形中位线定理，勾股定理，综合性强，难度大，熟练掌握以上内容并能综合运用以及构造平行线判定三角形相似是解题关键． 5．（2024•西安校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，点D为AC上一点，且满足CD＝2AD，E为BD上一点，∠AEB＝60°，延长AE交BC于F，则FC的长是 　　． 【思路引领】过点C作CG⊥BC，交AF的延长线于点G，过点A作AH⊥BC，垂足为H，从而可得∠BCG＝∠AHC＝90°，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝30°，从而可得∠BAD＝∠ACG＝120°，进而可得∠ABD+∠ADB＝60°，然后利用三角形的外角性质可得∠AEB＝∠DAE+∠ADB＝60°，从而可得∠ABD＝∠DAE，进而可证△ABD≌△CAG，再利用全等三角形的性质可得AD＝CG，从而可得AD＝CGAC，最后在Rt△ACH中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出AH和CH的长，再证明8字模型相似△AFH∽△GFC，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【完整解答】解：过点C作CG⊥BC，交AF的延长线于点G，过点A作AH⊥BC，垂足为H， ∴∠BCG＝∠AHC＝90°， ∵AB＝AC＝4，∠BAC＝120°， ∴∠ABC＝∠ACB30°， ∴∠ACG＝∠ACB+∠BCG＝120°， ∴∠BAD＝∠ACG＝120°， ∴∠ABD+∠ADB＝180°﹣∠BAD＝60°， ∵∠AEB是△AED的一个外角， ∴∠AEB＝∠DAE+∠ADB＝60°， ∴∠ABD＝∠DAE， ∴△ABD≌△CAG（ASA）， ∴AD＝CG， ∵CD＝2AD， ∴AD＝CGAC， 在Rt△ACH中，∠ACH＝30°， ∴AHAC＝2，CHAH＝2， ∵∠AFH＝∠CFG， ∴△AFH∽△GFC， ∴， ∴CFCH， 故答案为：． 【总结提升】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．6．（2023秋•丰顺县期末）（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目 如图，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO，BO：CO＝2：1，求AB的长经过数学小组成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2） 请回答：∠ADB＝　75　°，AB＝　3　 （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3在四边形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝2：1，求DC的长 【思路引领】（1）根据平行线的性质可得出∠ADB＝∠OAC＝75°，结合∠BOD＝∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD＝75°＝∠ADB，由等角对等边可得出AB＝AD＝3，此题得解； （2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE＝3，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解． 【完整解答】解：（1）如图2中，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D， ∵BD∥AC， ∴∠ADB＝∠OAC＝75°． ∵∠BOD＝∠COA， ∴△BOD∽△COA， ∴2， 又∵AO， ∴OD＝2AO＝2， ∴AD＝AO+OD＝3． ∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°， ∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝75°＝∠ADB， ∴AB＝AD＝3； 故答案为75，3． （2）如图3中，过点B作BE∥AD交AC于点E． ∵AC⊥AD，BE∥AD， ∴∠DAC＝∠BEA＝90°． ∵∠AOD＝∠EOB， ∴△AOD∽△EOB， ∴2． ∵BO：OD＝1：3， ∵AO， ∴EO＝2， ∴AE＝3． ∵∠ABC＝∠ACB＝75°， ∴∠BAC＝30°，AB＝AC， ∴AB＝2BE． 在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（4BE2）2+BE2＝（2BE）2， 解得：BE＝3， ∴AB＝AC＝6，AD 在Rt△CAD中，AC2+AD2＝CD2，即62+（）2＝CD2， 解得：CD（负根已经舍弃）． 【总结提升】本题属于四边形综合题，考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出OD的值；（2）利用勾股定理求出BE、CD的长度． 7．（2023•二道区校级模拟）[知识点]三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心． [解决问题]如图①，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE交于点G，求证：； [归纳]用文字语言叙述[解决问题]反映的关于三角形重心的性质； [应用]如图②，在△ABC中，D是边BC的中点，G是△ABC的重心，过点G的直线分别交边AB、AC于点E、F，若AB＝5，AC＝3，BE＝2，则CF＝　　． 【思路引领】[解决问题]连接DE，根据题意得到DE∥AC且，证明△ACG∽△DEG，得到，即可得证． [归纳]三角形的重心与一边中点的连线等于对应中线的三分之一． [应用]如图②中．过点D作DH∥AB交AC于H．交EF于N．利用平行线分线段成比例定理求解． 【完整解答】[解决问题]证明：连接DE，如图， ∵D、E分别是边BC、AB的中点， ∴DE∥AC且， ∴∠ACG＝∠DEG，∠GAC＝∠GDE， ∴△ACG∽△DEG， ∴， 即， ∴． [归纳]解：三角形的重心与一边中点的连线等于对应中线的三分之一． [应用]解：如图②中．过点D作DH∥AB交AC于H．交EF于N． ∵AB＝5，BE＝2， ∴AE＝3， ∵DH∥AB， ∴，， ∴DH，CH＝AH，DNAE， ∴NH＝1， ∵NH∥AB， ∴， ∴， ∴FH， ∴CF， 故答案为：． 【总结提升】本题考查了相似型的综合应用，主要考查了三角形的重心，相似三角形的性质与判定，解题的关键是掌握三角形的重心． 8．（2023•武汉模拟）已知四边形ABCD中，BC∥AD，∠BCD＝90°，DE⊥AB于E，AD＝CD＝4，BC＝3 （1）如图1，求AE•AB的值； （2）如图2，连接AC，交DE于点F，求证：CF＝4AF； （3）如图3，连接CE，求sin∠CEB的值． 【思路引领】（1）如图1中，作BM⊥AD于M交DE于O．则四边形BCDM是矩形，BC＝DM＝3，由△ADE∽△ABM，可得，推出AE•AB＝AM•AD＝1×4＝4． （2）如图2中，作BM⊥AD于M，AN⊥AD交DE的延长线于N．只要证明△ABM≌△DNA，推出AM＝AN＝1，由AN∥CD，推出，即可解决问题． （3）如图3中，连接BD，延长DC交AB的延长线于M．由△MCB∽△MED，推出，推出，又∠M＝∠M，推出△MBD∽△MCE，推出∠MEC＝∠MDB，推出sin∠CEB＝sin∠CDB，即可解决问题． 【完整解答】解：（1）如图1中，作BM⊥AD于M交DE于O．则四边形BCDM是矩形，BC＝DM＝3， ∵DE⊥AB， ∴∠OMD＝∠OEB， ∵∠BOE＝∠DOM， ∴∠ODM＝∠OBE， ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABM， ∴， ∴AE•AB＝AM•AD＝1×4＝4． （2）如图2中，作BM⊥AD于M，AN⊥AD交DE的延长线于N． ∵四边形BCDM是矩形， ∴BM＝CD＝AD， ∵∠ABM＝∠ADN，∠AMB＝∠DAN＝90°， ∴△ABM≌△DNA， ∴AM＝AN＝1， ∵AN∥CD， ∴， ∴CF＝4AF． （3）如图3中，连接BD，延长DC交AB的延长线于M． ∵∠M＝∠M，∠MCB＝∠MED， ∴△MCB∽△MED， ∴， ∴，∵∠M＝∠M， ∴△MBD∽△MCE， ∴∠MEC＝∠MDB， ∴sin∠CEB＝sin∠CDB， 在Rt△DBC中，BD5， ∴sin∠CEB． 【总结提升】本题考查四边形综合题、直角梯形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或特殊四边形解决问题，属于中考压轴题． 类型三 作垂线构造直角三角形相似 9．如图，△ABC中，AB＝AC，E、F、G分别是BC、AB、AC上一点，∠FEG＝2∠B． （1）求证：∠BFE＝∠AGE； （2）若，求的值． 【思路引领】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，由三角形的内角和得到∠A+2∠B＝180°，等量代换得到∠A+∠FEG＝180°，于是得到∠AFE+∠AGE＝180°，即可得到结论； （2）作EM⊥AB于M，EN⊥AC于N，推出△EMB∽△ENC，根据相似三角形的性质得到，通过△FME∽△GNE，即可得到结论． 【完整解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A+2∠B＝180°， ∵∠FEG＝2∠B， ∴∠A+∠FEG＝180°， ∴∠AFE+∠AGE＝180°， ∵∠BFE+∠AFE＝180°， ∴∠BFE＝∠AGE； （2）作EM⊥AB于M，EN⊥AC于N， ∵∠B＝∠C，∠EMB＝∠ENC， ∴△EMB∽△ENC， ∴， ∵∠EMF＝∠ENG，∠FME＝∠GNE， ∴△FME∽△GNE， ∴． 【总结提升】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键 10．（2020秋•锦江区校级月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AD＝6，BC＝3，DE⊥AB于E，AC交DE于F． （1）若∠DAB＝60°，求CD的值； （2）若CD＝4，求的值； （3）若CD＝6，过A点作AM∥CD交CE的延长线于M，求的值． 【思路引领】（1）过点B作BH⊥AD于H，易证四边形BCDH是矩形，从而可求出HD、AH的值，根据∠BAD＝60°，从而可以求得CD； （2）延长DE、CB交于点G，AH＝3，AE•AB＝18，四边形BCDH是矩形，则有BH＝CD＝4，根据勾股定理可求出AB，根据AE•AB＝18可求出AE，进而可求出EB，由AD∥GC可得△AED∽△BEG，根据相似三角形的性质可求出BG，由此可求出GC． 由AD∥GC可得△AFD∽△CFG，根据相似三角形的性质即可求出； （3）延长AB、DC交于点N，由AD∥BC可得△NBC∽△NAD，根据相似三角形的性质可求出NC，由此可求出DN，然后根据勾股定理可求出AN，再运用面积法可求出DE，再根据勾股定理可求出AE，由此可求出EN． 由AM∥CD可得△AEM∽△NEC，根据相似三角形的性质即可求出． 【完整解答】解：（1）过点B作BH⊥AD于H，如图1， 则有∠AHB＝∠BHD＝90°， ∵AD∥BC，∠BCD＝90°， ∴∠ADC＝180°﹣∠BCD＝90°， ∴∠BHD＝∠HDC＝∠BCD＝90°， ∴四边形BCDH是矩形， ∴HD＝BC＝3， ∴AH＝AD﹣HD＝6﹣3＝3． ∵∠BAD＝60°， ∴AB＝6，BH3； ∴CD＝3； （2）延长DE、CB交于点G，如图2， ∵DE⊥AB， ∴∠AED＝∠AHB， 又∵∠EAD＝∠HAB， ∴△AED∽△AHB， ∴， ∴AE•AB＝AH•AD＝3×6＝18； ∵AH＝3，AE•AB＝18，四边形BCDH是矩形， 则有BH＝CD＝4，AB5， ∴AE，EB＝5， ∵AD∥GC， ∴△AED∽△BEG， ∴， ∴BG， ∴GC3， ∵AD∥GC， ∴△AFD∽△CFG， ∴； （3）延长AB、DC交于点N，如图3， ∵AD∥BC， ∴△NBC∽△NAD， ∴， ∴， 解得，NC＝6， ∴DN＝12， ∴AN6， ∴DE， ∴AE， ∴EN＝AN﹣AE， ∴， ∵AM∥CD， ∴△AEM∽△NEC， ∴． 【总结提升】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，运用相似三角形的性质求线段长、线段比是解题的关键． 类型四 作垂线构造“三垂直”型相似 11．（2022秋•长春期中）【问题解决】如图①，点B在线段CE上，点A、D在CE同侧，∠ACE＝∠ABD＝∠BED＝90°．求证：△ACB∽△BED． 【探究应用】如图②，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝2，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1、l2、l3分别经过点A、B、C，则边AC的长为 　　． 【拓展延伸】如图③，在△ABC中，CA＝CB，点D是边AB的中点，点E、F分别在边AC、BC上，∠EDF＝∠A．若AE＝9，AB＝10，则BF的长为 　　. 【思路引领】【问题解决】由∠C＝∠ABD＝∠E＝90°知∠A+∠ABC＝∠ABC+∠DBE＝90°，据此得∠A＝∠DBE，从而得证． 【探究应用】过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，易证△AEB∽△BFC，运用相似三角形的性质可求出FC，然后在Rt△BFC中运用勾股定理可求出BC，进而求出AB，再在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC的值． 【拓展延伸】根据等腰三角形的性质得到∠EDF＝∠A＝∠B，根据相似三角形的性质即可得到结论 【完整解答】【问题解决】证明：∵∠C＝∠ABD＝∠E＝90°， ∴∠A+∠ABC＝∠ABC+∠DBE＝90°， ∴∠A＝∠DBE， ∴△ACB∽△BED； 【探究应用】解：如图，过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，如图， 在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝2， ∴2， ∵直线l1∥l2∥l3， ∴EF⊥l1，EF⊥l3， ∴∠AEB＝∠BFC＝90°． ∵∠ABC＝90°， ∴∠EAB＝90°﹣∠ABE＝∠FBC， ∴△BFC∽△AEB， ∴2． ∵EB＝1， ∴FC＝2． 在Rt△BFC中，BC2， ∴AB， 在Rt△ABC中，AC， 故答案为：； 【拓展延伸】解：∵CA＝CB，∠EDF＝∠A， ∴∠EDF＝∠A＝∠B，∠A+∠ADE+∠AED＝∠ADE+∠EDF+∠BDF＝180°， ∴∠AED＝∠BDF， ∴△ADE∽△BFD， ∴， ∵点D是边AB的中点，AE＝9，AB＝10， ∴AD＝BD＝5， ∴， ∴BF， 故答案为：． 【总结提升】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 12．（2022•合肥模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝AB，以BC为直径的半⊙O与边AD相切于点E． （1）求证：∠BCE＝∠DCE； （2）若，求DE的长． 【思路引领】（1）连接OE，利用切线的性质可得∠OEA＝90°，从而可得OE∥CD，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得CE平分∠BCD，即可解答； （2）连接BE，根据已知可得AB∥CD∥OE，再利用平行线分线段成比例定理可得AE＝DE，然后设DE＝AE＝x，则AD＝AB＝2x，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC＝90°，再利用同角的余角相等可得∠ABE＝∠DEC，从而证明△ABE∽△DEC，最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【完整解答】（1）证明：连接OE， ∵半⊙O与边AD相切于点E， ∴∠OEA＝90°， ∵∠D＝90°， ∴∠D＝∠OEA＝90°， ∴OE∥CD， ∴∠ECD＝∠OEC， ∵OE＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE， ∴∠BCE＝∠DCE； （2）解：连接BE， ∵BA⊥AD，OE⊥AD，CD⊥AD， ∴AB∥CD∥OE， ∵OB＝OC， ∴AE＝DE， 设DE＝AE＝x，则AD＝AB＝2x， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BEC＝90°， ∴∠DEC+∠AEB＝180°﹣∠BEC＝90°， ∵∠A＝∠D＝90°， ∴∠ABE+∠AEB＝90°， ∴∠ABE＝∠DEC， ∴△ABE∽△DEC， ∴， ∴， 解得：， ∴DE的长为． 【总结提升】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 13．（2022秋•皇姑区校级月考）已知，如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E是射线BC上一动点，将矩形ABCD沿直线AE翻折，点B落在点F处． （1）若点F恰好落在CD边上，如图1，求线段BE的长； （2）若BE＝1，如图2，直接写出点F到BC边的距离； （3）若△CEF为直角三角形，直接写出CE所有值． 【思路引领】（1）由折叠的性质得BE＝FE，AF＝AB＝5，设BE＝FE＝x，则CE＝3﹣x，然后在Rt△CEF中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）过F作FG⊥BC于G，延长GF交AD于H，由折叠的性质得AF＝AB＝5，∠AFE＝∠B＝90°，FE＝BE＝1，再证△EFG∽△FAH，得AH＝5FG，设FG＝x，则BG＝AH＝5x，然后在Rt△EFG中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）分三种情况，①∠CFE＝90°时，②点F在CD上，∠ECF＝90°时，③∠CEF＝90°时，④点F在CD延长线上，∠ECF＝90°时，由折叠的性质和相似三角形的判定与性质分别求出CE的长即可． 【完整解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝5，BC＝AD＝3，∠B＝∠C＝∠D＝90°， 由折叠的性质得：BE＝FE，AF＝AB＝5， ∴DF4， ∴CF＝CD﹣DF＝5﹣4＝1， 设BE＝FE＝x，则CE＝BC﹣BE＝3﹣x， 在Rt△CEF中，由勾股定理得：CF2+CE2＝FE2， 即12+（3﹣x）2＝x2， 解得：x， 即线段BE的长为； （2）如图2，过F作FG⊥BC于G，延长GF交AD于H， 则∠FGE＝90°，四边形ABGH是矩形， ∴HG＝AB＝5，BG＝AH，∠AHF＝90°＝∠FGE， 由折叠的性质得：AF＝AB＝5，∠AFE＝∠B＝90°，FE＝BE＝1， ∴∠AFH+∠EFG＝90°， ∵∠AFH+∠FAH＝90°， ∴∠EFG＝∠FAH， ∴△EFG∽△FAH， ∴， ∴AH＝5FG， 设FG＝x，则BG＝AH＝5x， ∴EG＝BG﹣BE＝5x﹣1， 在Rt△EFG中，由勾股定理得：x2+（5x﹣1）2＝12， 解得：x或x＝0（不符合题意舍去）， ∴FG， 即点F到BC边的距离为； （3）分三种情况： ①∠CFE＝90°时，如图3， ∵∠AFE＝90°， ∴∠AFE+∠CFE＝180°， ∴A、F、C三点共线， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝5，∠B＝∠D＝90°，AD∥BC， ∴∠ECF＝∠CAD，AC， 由折叠的性质得：AF＝AB＝5，FE＝BE，∠AFE＝∠B＝90°， ∴∠CFE＝90°＝∠D，CF＝AC﹣AF5， ∴△CEF∽△ACD， ∴， 即， 解得：CE； ②点F在CD上，∠ECF＝90°时，如图4， 由（1）可知，BE， ∴CE＝BC﹣BE＝3； ③∠CEF＝90°时，如图5， 由折叠的性质得：∠AEB＝∠AEF＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴BE＝AB＝5， ∴CE＝BE﹣BC＝5﹣3＝2； ④点F在CD延长线上，∠ECF＝90°时，如图6， 由折叠的性质得：AF＝AB＝5，∠AFE＝∠B＝90°， ∵∠ADF＝180°﹣∠ADC＝90°， ∴DF4， ∴CF＝CD+DF＝5+4＝9， ∵∠CFE+∠CEF＝90°，∠CFE+∠DFA＝90°， ∴∠CEF＝∠DFA， ∵∠ECF＝∠ADF＝90°， ∴△CEF∽△DFA， ∴3， ∴CE＝3DF＝12； 综上所述，若△CEF为直角三角形，则CE的值为或或2或12． 【总结提升】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 做平行线和垂线构造相似三角形（原卷版） 类型一 做平行线构造“A”型相似 1．（2023秋•金牛区期末）学习相似三角形以后，某学习小组开展测量教学楼高度的实践活动，其中一个方案是利用标杆测量，如图所示，小李目高（眼睛到地面的距离）AB为1.6m，离小李3.5m（BF＝3.5m）处的小张拿一根高4.6m（EF＝4.6m）的标杆直立地面，小张离教学楼14m（DF＝14m），此时小李的眼睛、标杆顶端和教学楼顶位于同一直线上，求教学楼CD的高度． 2．（2023秋•宝山区期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝1，D是边AC上一点，且BD＝AD，过点C作CE∥AB，并截取CE＝AD，射线AE与BD的延长线交于点F． （1）求证：AF2＝DF•BF； （2）设AD＝x，DF＝y，求y与x的函数关系式； （3）如果△ADF是直角三角形，求DF的长． 3．（2024秋•盐湖区校级期末）在数学学习和研究中，经常用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法． 【原题呈现】 如图1，在平行四边形ABCD中，点M是CB的中点，点O是线段AM上一点，BO的延长线交射线CD于点N．若，求的值． 【尝试探究】 如图1，过点M作MH∥AB交BN于点H，则 　 ， 　 ， ． 【类比延伸】 如图2，在原题的条件下，若，则 　 （用含有k的代数式表示）． 【拓展迁移】 如图3，四边形ABCD中，CD∥AB，点E是DA的延长线上的一点，CE和BD相交于点O，若，，（m＞0，n＞0），则 　 （用含m，n的代数式表示）． 类型二 做平行线构造“X”型相似 4．（2024秋•金堂县期中）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD是∠ABC的角平分线、AE是△ACB中线，BD、AE相交于点F，EF＝2，则S△ABE的值为 　 ． 5．（2024•西安校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，点D为AC上一点，且满足CD＝2AD，E为BD上一点，∠AEB＝60°，延长AE交BC于F，则FC的长是 　 ． 6．（2023秋•丰顺县期末）（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目 如图，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO，BO：CO＝2：1，求AB的长经过数学小组成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2） 请回答：∠ADB＝　 　°，AB＝　 （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3在四边形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝2：1，求DC的长 7．（2023•二道区校级模拟）[知识点]三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心． [解决问题]如图①，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE交于点G，求证：； [归纳]用文字语言叙述[解决问题]反映的关于三角形重心的性质； [应用]如图②，在△ABC中，D是边BC的中点，G是△ABC的重心，过点G的直线分别交边AB、AC于点E、F，若AB＝5，AC＝3，BE＝2，则CF＝ ． 8．（2023•武汉模拟）已知四边形ABCD中，BC∥AD，∠BCD＝90°，DE⊥AB于E，AD＝CD＝4，BC＝3 （1）如图1，求AE•AB的值； （2）如图2，连接AC，交DE于点F，求证：CF＝4AF； （3）如图3，连接CE，求sin∠CEB的值． 类型三 作垂线构造直角三角形相似 9．如图，△ABC中，AB＝AC，E、F、G分别是BC、AB、AC上一点，∠FEG＝2∠B． （1）求证：∠BFE＝∠AGE； （2）若，求的值． 10．（2020秋•锦江区校级月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AD＝6，BC＝3，DE⊥AB于E，AC交DE于F． （1）若∠DAB＝60°，求CD的值； （2）若CD＝4，求的值； （3）若CD＝6，过A点作AM∥CD交CE的延长线于M，求的值． 类型四 作垂线构造“三垂直”型相似 11．（2022秋•长春期中）【问题解决】如图①，点B在线段CE上，点A、D在CE同侧，∠ACE＝∠ABD＝∠BED＝90°．求证：△ACB∽△BED． 【探究应用】如图②，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝2，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1、l2、l3分别经过点A、B、C，则边AC的长为 　 ． 【拓展延伸】如图③，在△ABC中，CA＝CB，点D是边AB的中点，点E、F分别在边AC、BC上，∠EDF＝∠A．若AE＝9，AB＝10，则BF的长为 　 . 12．（2022•合肥模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝AB，以BC为直径的半⊙O与边AD相切于点E． （1）求证：∠BCE＝∠DCE； （2）若，求DE的长． 13．（2022秋•皇姑区校级月考）已知，如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E是射线BC上一动点，将矩形ABCD沿直线AE翻折，点B落在点F处． （1）若点F恰好落在CD边上，如图1，求线段BE的长； （2）若BE＝1，如图2，直接写出点F到BC边的距离； （3）若△CEF为直角三角形，直接写出CE所有值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$