专题15 中考数学圆中阴影部分面积的七种求法技巧（解析版+原卷版）-2025年中考数学二轮复习专题提优重难点拓展综合训练

专题15 中考数学圆中阴影部分面积的七种求法技巧（解析版） 类型一 直接利用公式法 1．（2024秋•长春校级期末）如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB＝40°，⊙O的半径为2，则此阴影部分的面积为 　　． 【思路引领】先利用圆周角定理求出∠AOB的度数，再结合扇形的面积公式即可解决问题． 【完整解答】解：∵∠ACB＝40°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝80°． 又∵⊙O的半径为2， ∴． 故答案为：． 【总结提升】本题主要考查了圆周角定理及扇形面积的计算，熟知圆周角定理及扇形的面积公式是解题的关键． 2．（2024秋•大丰区期末）如图，在△ABC中，∠A＝80°，BC＝12，D是BC的中点，分别以B，C为圆心，BD长为半径作弧，交AB于点E，交AC于点F，则图中阴影部分的面积是　10π　． 【思路引领】根据题意，得出阴影部分可转换成一个圆心角为100°，半径为6的扇形，再结合扇形的面积公式即可解决问题． 【完整解答】解：由题知， ∵∠A＝80°， ∴∠B+∠C＝180°﹣80°＝100°． 又∵BC＝12，且D是BC的中点， ∴BD＝CD＝6， ∴． 故答案为：10π． 【总结提升】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键． 3．（2024秋•阜宁县期末）如图，对折边长为4的正方形纸片ABCD，OM为折痕，以点O为圆心，OM为半径作弧，分别交AD、BC于E、F两点，则扇形OEF的面积为　　． 【思路引领】根据正方形的性质，折叠的性质以及直角三角形的边角关系求出∠EOF的度数，再利用扇形面积的计算方法进行计算即可． 【完整解答】解：由题意可知，OM＝AD＝OE＝OF＝4，OA＝OB， 在Rt△AOE中，∠A＝90°，， ∴∠AEO＝30°，∠AOE＝90°﹣30°＝60°， 同理，∠BOF＝60°， ∴∠EOF＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴S扇形OEF， 故答案为：． 【总结提升】本题考查正方形的性质，扇形面积的计算，掌握正方形的性质，直角三角形的边角关系以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 方法二 直接和差法 4．（2025•江北区模拟）如图，在矩形ABCD中，点E在对角线BD上，分别以点B和点D为圆心，线段BE、DE的长为半径画圆弧，若BC＝BE＝2，DE＝1，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【思路引领】先求出CD的长，再用矩形ABCD的面积减去两个扇形的面积即可解决问题． 【完整解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝90°． 又∵DE＝1，BC＝BE＝2， ∴BD＝2+1＝3， ∴CD， ∴． 又∵小扇形的面积为：，大扇形的面积为：， ∴． 故选：A． 【总结提升】本题主要考查了扇形面积的计算及矩形的性质，熟知扇形的面积公式及矩形的性质是解题的关键． 5．（2024秋•魏县期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，分别以点A，C为圆心．AC长的一半为半径作圆，将Rt△ABC截去两个扇形．则剩余（阴影）部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【思路引领】根据S阴＝S△ABC﹣S形AEF﹣S扇形CMF，求解即可． 【完整解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3， ∴AC5， S阴＝S△ABC﹣S形AEF﹣S扇形CMF3×46． 故选：D． 【总结提升】本题考查扇形的面积，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6．（2024秋•甘井子区期末）折扇是中国传统工艺品，历史悠久．如图是一把完全打开的扇形折扇示意图，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB的长为30cm，扇面BD的长为20cm，则扇面的面积为（　　） A． B． C． D． 【思路引领】根据扇形的面积公式，利用扇面的面积＝S扇形BAC﹣S扇形DAE进行计算． 【完整解答】解：∵AB＝30cm，BD＝20cm， ∴AD＝10cm， ∵∠BAC＝120°， ∴扇面的面积＝S扇形BAC﹣S扇形DAE （cm2）． 故选：D． 【总结提升】本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形或S扇形lr（其中l为扇形的弧长）．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 7．（2024秋•枣强县期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，以B为圆心，BA为半径作圆弧，交CB的延长线于点E，连结DE．则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【思路引领】根据S阴影＝S扇形ABE+S正方形ABCD﹣S△DCE，进行计算即可得出答案，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差． 【完整解答】解：在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝1， ∴BE＝1，∠ABE＝90°，BC＝CD＝1， ∴BE+BC＝CE＝2， ∴S阴影＝S扇形ABE+S正方形ABCD﹣S△DCE ， 故选：D． 【总结提升】本题主要考查了扇形的面积计算方法，掌握其公式是解决此题的关键． 8．（2024秋•大足区期末）如图，边长为1的正方形OABC的顶点B在⊙O上，顶点A，C在⊙O内，OA的延长线交⊙O于点D，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【思路引领】根据正方形的性质和勾股定理得⊙O的半径为，结合扇形与三角形的面积公式，即可得到答案． 【完整解答】解：连接OB， 由条件可知OA＝AB＝1，∠OAB＝90°，∠AOB＝∠ABO＝45°， ∴，即⊙O的半径为， ∴． 故选：A． 【总结提升】本题主要考查求不规则图形的面积，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 9．（2024秋•九龙坡区期末）如图，正方形ABCD的边长为8，以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E，则阴影部分的面积是（　　） A．8﹣π B．16﹣2π C．16﹣4π D．32﹣4π 【思路引领】据图形可得，阴影部分的面积等于三角形BCD的面积减去扇形OCE的面积，代入面积公式进行计算即可． 【完整解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴BC＝CD＝8， ∴OC＝4， ∴S阴影＝S△BCD﹣S扇形OCE8×832﹣4π． 故选：D． 【总结提升】本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，解题的关键是修改利用分割法求阴影部分面积． 方法三 等积变形法 10．（2024秋•宁波期末）如图，C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，CD＝8cm．则阴影部分的面积是　cm2　． 【思路引领】连接OC、OD，根据C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，可得∠COD＝60°，△OCD是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积求解即可． 【完整解答】解：连接OC、OD， ， ∵C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点， ∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，AC＝CD， 又∵OA＝OC＝OD， ∴△OAC、△OCD是等边三角形， 在△OAC和△OCD中，， ∴△OAC≌△OCD（SSS）， ∴S阴影＝S扇形OCD． 故答案为：． 【总结提升】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，难度一般． 11．（2024秋•杭州期末）如图，等腰三角形ABC的顶角∠BAC＝45°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，连结AD和DE．若AB＝2，则阴影部分面积为 　　． 【思路引领】取AB的中点M，连接MD，ME，先由∠ADB＝90°得出点D是BC的中点，进而利用三角形的中位线得出DM∥AC，最终将阴影部分的面积转化为扇形MAE的面积即可解决问题． 【完整解答】解：取AB中点M，连接MD，ME， ∵AB为半圆的直径， ∴∠ADB＝90°． 又∵AB＝AC， ∴点D为BC中点， ∴MD为△ABC的中位线， ∴MD∥AC， ∴S△ADE＝S△AME， ∴S阴影＝S扇形MAE． ∵∠BAC＝45°，MA＝ME， ∴∠MEA＝∠BAE＝45°， ∴∠AME＝90°． ∵AB＝2， ∴MA， ∴， ∴． 故答案为：． 【总结提升】本题主要考查了扇形面积的计算及等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的性质及扇形的面积公式是解题的关键． 12．（2024秋•包河区校级期末）如图，扇形的圆心角为120°，点C在圆弧上，∠ABC＝30°，OA＝2，阴影部分的面积为　　． 【思路引领】连接OC，AC，由∠ABC的度数得出∠AOC的度数，再将阴影部分的面积转化为扇形OAC的面积，最后根据扇形的面积公式即可解决问题． 【完整解答】解：连接OA，OC， ∵∠ABC＝30°， ∴∠AOC＝2×30°＝60°． 又∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝60°． ∵∠AOB＝120°， ∴∠COB＝120°﹣60°＝60°， ∴∠ACO＝∠COB， ∴AC∥OB， ∴S△AOC＝S△ABC， ∴S阴影＝S扇形OAC． ∵OA＝2， ∴， ∴． 故答案为：． 【总结提升】本题主要考查了扇形面积的计算及圆周角定理，熟知圆周角定理及扇形的面积公式是解题的关键． 13．（2024秋•白云区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠ODE＝30°，AB＝4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2π D． 【思路引领】将阴影部分的面积转化为扇形BOD的面积计算即可． 【完整解答】解：如图，连接BC， 由条件可知CE＝DE，即AB垂直平分CD， ∴BC＝BD， 又∵OC＝OD，OB＝OB， ∴△COB≌△DOB，则S△COB＝S△DOB， ∴∠DOB＝90°﹣∠ODE＝60°， ∵OA＝OB， ∴S△COB＝S△AOC，则S△COB＝S△DOB＝S△AOC 则阴影部分的面积为， 故选：A． 【总结提升】本题考查了垂径定理，求扇形面积，将阴影部分的面积转化为扇形BOD的面积是解题的关键． 14．（2025•沙坪坝区校级开学）如图，在扇形MON中，∠MON＝105°，P为OM边上一点且OP＝2，连接PN，将△OPN沿PN折叠，点O恰好落在上的点Q处，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【思路引领】连结OQ，如图，先根据折叠的性质得到PQ＝PO＝2，NQ＝NO，再证明△OQN为等边三角形得到∠QON＝60°，接着证明△POQ为等腰直角三角形得到OQ＝2，然后根据等边三角形的面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积＝S扇形QON﹣S△QON进行计算． 【完整解答】解：连结OQ，如图， ∵△OPN沿PN折叠，点O恰好落在上的点Q处， ∴PQ＝PO＝2，NQ＝NO， ∵OQ＝ON， ∴OQ＝ON＝QN， ∴△OQN为等边三角形， ∴∠QON＝60°， ∵∠MON＝105°， ∴∠POQ＝105°﹣60°＝45°， 而PQ＝PO， ∴∠PQO＝45°， ∴OQOP＝2， ∴阴影部分的面积＝S扇形QON﹣S△QON （2）2 π﹣2． 故选：B． 【总结提升】本题考查了扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形πR2；学会将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了折叠的性质． 15．（2024秋•九龙坡区校级期末）如图，等腰△ABC与等边△ADE，∠BAC＝120°，DE∥BC，连接BD，CE．以A为圆心，AD为半径的圆交AB于F，交AC于G．若AB＝4，BC平分∠ABD，则阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 【思路引领】过点A作AH⊥DE于H，交BC于点M，由平行线的性质可得AM⊥BC，进而根据三线合一可得，，即得∠BAD＝∠BAM﹣∠DAH＝30°，再根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝30°，由角平分线的定义得到∠ABD＝2∠ABC＝60°，即得∠ADB＝90°，即可得AB＝2，，最后根据S阴影＝2（S△ABD﹣S扇形ADF）计算即可求解． 【完整解答】解：如图，过点A作AH⊥DE于H，交BC于点M， ∵DE∥BC， ∴AM⊥BC， ∵△ABC为等腰三角形，△ADE为等边三角形， ∴，， ∴∠BAD＝∠BAM﹣∠DAH＝60°﹣30°＝30°， ∵△ABC为等腰三角形，∠BAC＝120°， ∴， ∵BC平分∠ABD， ∴∠ABD＝2∠ABC＝60°， ∴∠ADB＝90°， ∵AB＝4， ∴， ∴， ∴S阴影＝2（S△ABD﹣S扇形ADF）＝2[2×2]＝4π； 故选：A． 【总结提升】本题考查了等腰三角形和等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，直角三角形的性质，扇形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 方法五 割补法（拼接法） 16．（2025•九龙坡区校级开学）如图，扇形ABC的半径长为2，∠ABC＝90°，以AB为直径画半圆，取弧AB的中点D，连接CD，则阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 【思路引领】过D点作DO⊥AB于点O，CD交AB于E点，如图，根据垂径定理得到点O为AB的中点，所以OD＝OB＝1，再证明△ODE∽△BCE，则利用相似比可求出OE，BE，然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分面积＝S扇形AOD+S△ODE+S扇形ABC﹣S△CBE求解． 【完整解答】解：过D点作DO⊥AB于点O，CD交AB于E点，如图， ∵点D为弧AB的中点， ∴点O为AB的中点， ∴OD＝OB＝1， ∵∠ABC＝90°， ∴OD∥BC， ∴△ODE∽△BCE， ∴， ∴OE，BE， ∴阴影部分面积＝S扇形AOD+S△ODE+S扇形ABC﹣S△CBE 12 π． 故选：A． 【总结提升】本题考查了扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形πR2；学会将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 17．（2024秋•惠城区期末）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆弧的三等分点，CE⊥AB于点E，连接DE，若AB＝4，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【思路引领】连接OC，OD，CD，根据圆周角定理得到∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，根据等边三角形的性质得到∠OCD＝60°，推出CD∥AB，根据直角三角形的性质得到OEOC＝1，CEOC，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【完整解答】解：连接OC，OD，CD， ∵C，D是半圆弧的三等分点， ∴， ∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°， ∵OC＝OD， ∴△COD是等边三角形， ∴∠OCD＝60°， ∴∠OCD＝∠COA， ∴CD∥AB， ∴图中阴影部分的面积＝△ODE的面积+扇形BOD的面积， ∵AB＝4， ∴OB＝OC＝2， ∵CE⊥AB于点E， ∴OEOC＝1，CEOC， ∴图中阴影部分的面积＝△ODE的面积+扇形BOD的面积1π， 故选：C． 【总结提升】本题考查了扇形面积的计算，三角形的面积的计算，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 18．（2024秋•玉环市期末）如图，长方形ABCD的长BC为4，宽AB为2，以点C为圆心，BC为半径作圆与CD的延长线交于点E，以点A为圆心，AB为半径作圆与AD交于点F，则阴影部分的面积为 　5π﹣8　（结果保留π）． 【思路引领】根据所给图形可知，阴影部分的面积可由大扇形的面积加上小扇形的面积再进去矩形的面积得到，据此可解决问题． 【完整解答】解：由题知， 因为长方形ABCD的长BC为4，宽AB为2， 所以，，S矩形ABCD＝4×2＝8， 所以S阴影＝4π+π﹣8＝5π﹣8． 故答案为：5π﹣8． 【总结提升】本题主要考查了扇形面积的计算及矩形的性质，熟知矩形的性质及扇形的面积公式是解题的关键． 19．（2024秋•香坊区期末）如图，小明在数学活动中，把一个圆等分成若干个扇形，然后拼成了一个近似的长方形，并测量出这个长方形的长是9.42厘米，那么这个圆的面积是 　28.26　平方厘米．（π取3.14） 【思路引领】长方形的长是这个圆的周长的一半，利用圆的周长公式求出这个圆的半径，再由圆的面积公式计算这个圆的面积即可． 【完整解答】解：设这个圆的半径为r厘米． 根据题意，得2πr＝9.42， 解得r＝3， 32π＝28.26（平方厘米）， ∴这个圆的面积是28.26平方厘米． 故答案为：28.26． 【总结提升】本题考查扇形的面积的计算、矩形的性质，掌握圆的周长和面积计算公式是解题的关键． 20．（2024秋•合川区期末）如图，扇形AOB中，∠AOB＝120°，连接AB，以A为旋转中心，将AB旋转30°得到AC，若OA＝4，则阴影部分的面积为　　．（结果保留π） 【思路引领】连接OD交AB于E，先证明△OAD是等边三角形，∠AOD＝∠BOD＝60°，从而得到OD⊥AB，AB＝2AE，继而求得，，即可由S阴影＝S扇形BAC﹣S△ABD，求解． 【完整解答】解：连接OD交AB于E， ∵∠AOB＝120°，OA＝OB， ∴∠ABO＝∠BAO＝∠BAC＝30°， ∴∠OAD＝60°， ∵OA＝OD， ∴∠AOD＝60°，AD＝OA＝4， ∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝60°， ∴∠BOD＝∠AOD， ∴OD⊥AB，AB＝2AE， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【总结提升】本题考查了扇形的面积，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键． 21．（2023秋•五莲县期末）如图，点A、B、C是⊙O上的点，连接AB、AC、BC，∠ACB＝15°，过点O作OD∥AB交⊙O于点D，连接AD、BD，已知⊙O半径为3，则图中阴影面积为（　　） A． B． C． D． 【思路引领】根据圆周角定理可得∠AOB＝30°，再由OD∥AB，可得S△AOB＝S△ADB，从而得到阴影面积等于扇形AOB的面积，即可求解． 【完整解答】解：∵∠ACB＝15°， ∴∠AOB＝30°， ∴， ∵OD∥AB， ∴S△AOB＝S△ADB， ∴阴影面积等于扇形AOB的面积， ∴阴影面积等于． 故选：A． 【总结提升】本题考查了圆周角定理、扇形面积的计算，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 方法四 化零为整法（整体法） 22．（2023秋•临颍县期中）如图，分别以四边形ABCD的四个顶点为圆心，R为半径作四个互不相交的圆，则图中阴影部分的面积之和是 　πR2　． 【思路引领】先根据n边形的内角和定理计算出四边形ABCD的内角和，而四个扇形的圆心角的和等于四边形ABCD的内角和，然后利用扇形的面积公式计算即可． 【完整解答】解：∵四个扇形的圆心角的和等于四边形ABCD的内角和，即为（4﹣2）•180°＝360°， ∴阴影部分面积之和πR2． 故答案为πR2． 【总结提升】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n﹣2）•180°；也考查了扇形的面积公式． 23．（2024秋•高要区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，分别以AC、BC为半径画圆，则阴影部分的面积为（　　） A．5π﹣8 B．20π﹣8 C．10π﹣16 D．5π﹣16 【思路引领】观察图形发现：阴影部分的面积＝两个半圆的面积﹣直角三角形的面积．根据勾股定理又知以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积即2π．然后根据勾股定理求面积即可． 【完整解答】解：图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积． 即阴影部分的面积π×22π×424×8＝10π﹣16． 故选：C． 【总结提升】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是看出图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积． 方法6 图形变化法（旋转、平移、翻折） 24．（2024春•重庆期中）在等腰直角△ABC中，已知∠ABC＝90°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'．则图中阴影部分面积为 　　． 【思路引领】将图中不规则的阴影部分的面积，转化为规则的扇形和三角形面积之间的关系即可解决问题． 【完整解答】解：由题知， ∵△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC＝90°，BC＝1， ∴AB＝BC＝1，AC． 由旋转可知， ∠BAB′＝∠CAC′＝90°，AB′＝AB＝1，B′C′＝BC＝1， ∴， ． 又∵S△ABC， ∴． 故答案为：． 【总结提升】本题考查扇形面积的计算及旋转的性质，熟知图形旋转的性质及扇形的面积公式是解题的关键． 25．（2024秋•廉江市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC，将△ABC绕着点A逆时针旋转90°得到△ADE，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【思路引领】先利用勾股定理求出AB的长，再根据S阴影＝S扇形BAD+S△ADE﹣S扇形ACE﹣S△ABC进行求解即可． 【完整解答】解：由勾股定理得：， 由旋转的性质可得S△ADE＝S△ABC，∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴S阴影＝S扇形BAD+S△ADE﹣S扇形CAE﹣S△ABC ＝S扇形BAD﹣S扇形CAE ， 故选：C． 【总结提升】本题主要考查了扇形面积计算，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 26．（2024秋•庄河市期末）如图1，一个扇形纸片的圆心角∠AOB＝90°，半径为4．如图2，将这张扇形纸片沿CD折叠，使点B与点O恰好重合，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【思路引领】连接OC，BC，进而得出△OBC是等边三角形，据此再结合扇形的面积公式即可解决问题． 【完整解答】解：连接OC，BC， 由折叠可知， BC＝OC， 又∵OB＝OC， ∴OB＝OC＝BC， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠BOC＝60°． 又∵扇形纸片的半径为4， ∴OB＝4． 又∵CD⊥OB， ∴OD， ∴CD， ∴， ∴． 又∵， ∴． 故选：B． 【总结提升】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键． 27．（2023•成县三模）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，OB＝2，则图中阴影部分的面积是 　　． 【思路引领】根据内接于圆O的等边三角形的性质可得S△AOB＝S△AOC，∠AOC＝120°，将阴影部分的面积转化为扇形AOC的面积，利用扇形面积的公式计算可求解． 【完整解答】解：∵等边三角形ABC内接于⊙O， ∴点O为等边三角形ABC的中心， ∴S△BOC＝S△AOC，∠AOC＝120°， ∵OB＝2， ∴， 故答案为：． 【总结提升】本题主要考查三角形的外接圆与外心，掌握扇形面积的计算，等边三角形的性质是解题的关键． 28．（2024秋•仁化县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝8cm，把△ABC以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到AB边的延长线上点C'处，则AC边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（　　） A．16π B．12π C．8π D．4π 【思路引领】根据旋转变换的性质可得△ABC与△A′BC′全等，从而得到阴影部分的面积＝扇形ABA′的面积﹣小扇形CBC′的面积． 【完整解答】解：根据旋转变换的性质，△ABC≌△A′BC′， ∵∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝8cm， ∴BCAB＝4cm， ∴阴影面积16π（cm2）． 故选：A． 【总结提升】本题考查了扇形面积的计算，旋转的性质，解题的关键是看出阴影部分的面积的表示等于两个扇形的面积的差，还考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质． 方法七 重叠求余法 29．（2023秋•海门市期末）如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是（　　） A．12π B．24π C．6π D．36π 【思路引领】根据题意得出AB＝AB′＝12，∠BAB′＝60°，根据图形得出图中阴影部分的面积Sπ×62π×62，求出即可． 【完整解答】解：∵AB＝AB′＝12，∠BAB′＝60° ∴图中阴影部分的面积是： S＝S扇形B′AB+S半圆O′﹣S半圆O π×62π×62 ＝24π． 故选：B． 【总结提升】本题考查的是扇形的面积及旋转的性质，通过做此题培养了学生的计算能力和观察图形的能力，题目比较好，难度适中． 30．（1）如图①，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧上的点B′处，点C的对应点为点C′，则阴影部分的面积为 　π　． （2）如图②，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点B逆时针旋转60°，得到扇形O′A′B，其中点A的运动路径为AA′，则图中阴影部分的面积为 　2π﹣2　． 【思路引领】（1）连接BB′，过A作AF⊥BB′于F，根据旋转的性质得出扇形ABC和扇形AB′C′的面积相等，AB＝AB′＝BC＝BB′＝2，求出△ABB′是等边三角形，求出∠ABF＝60°，解直角三角形求出BF和AF，再根据阴影部分的面积S＝S扇形ABC﹣（S扇形ABB′﹣S△ABB′）求出答案即可． （2）连接BA，BA′，OO′，根据旋转的性质得到∠OBO′＝60°，推出△OBO′是等边三角形，得到∠BOO′＝60°，根据图形的面积公式即可得到答案． 【完整解答】解：（1）连接BB′，过A作AF⊥BB′于F，则∠AFB＝90°，如图， ∵将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，使点B落在扇形BAC的弧上的点B'处，点C的对应点为点C'， ∴扇形ABC和扇形AB′C′的面积相等，AB＝AB′＝BC＝BB′＝2， ∴△ABB′是等边三角形， ∴∠ABF＝60°， ∴∠BAF＝30°， ∴BFAB2＝1，由勾股定理得：AF， ∴阴影部分的面积S＝S扇形ABC﹣（S扇形ABB′﹣S△ABB′）（2）， 故答案为：π； （2）如图，连接BA，BA′，OO′，OO′， ∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点B逆时针旋转60°，得到扇形O'A'B， ∴BA＝BA′，BO＝BO′，∠ABA′＝∠OBO′＝60°， ∴△OBO′是等边三角形， ∴∠BOO′＝60°∠AOB， ∴当O′是的中点， ∴S弓形AO′＝S弓形BO′， ∵∠AOB＝120°，OA＝OB＝2， ∴AB＝2， ∵OA＝OB＝AO′＝BO′， ∴四边形AOBO′是菱形， ∴S△AOB＝S△AO′B， 在△AO′B和△A′O′B中， ， ∴△AO′B≌△A′O′B（SSS）， ∴S△AO′B＝S△A′O′B， ∴图中阴影部分的面积＝S扇形BAA′﹣S△AO′B﹣S△A′O′B ＝S扇形BAA′﹣2S△AO′B ＝S扇形BAA′﹣S菱形AOBO′ 2×22π﹣2． 故答案为：2π﹣2． 【总结提升】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，扇形的面积计算等知识点，正确的作出辅助线，把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解题的关键． 31．（2023•平南县模拟）如图，将半径为4，圆心角为90°的扇形ABC绕弧AC的中点P逆时针旋转 45°，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，点D落在AB上，点C落在EF上，则图中阴影部分的面积为 　4π+816　． 【思路引领】设DE与BC的交点为Q，连接BP、DP、AP，过点P作PG⊥AB于点G，由S弓形AP＝S弓形DP可得S阴影＝S扇形ABC﹣S△ADP﹣S△DBQ，再证△BPG，△DBQ是等腰直角三角形，求出相关线段长度，进而求出S△ADP，S△DBQ，代入计算即可． 【完整解答】解：如图，设DE与BC的交点为Q，连接BP、DP、AP，过点P作PG⊥AB于点G， ∵扇形ABC绕点P逆时针旋转45°得到扇形DEF， ∴S弓形AP＝S弓形DP，扇形ABC中空白部分的面积＝S△ADP+S△DBQ， ∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△ADP﹣S△DBQ． ∵AP＝DP， ∴△ADP是等腰三角形， ∴AG＝GD， ∵∠ABC＝90°，P为弧AC的中点， ∴∠ABP＝45°， ∴△BPG是等腰直角三角形， ∵BP＝4， ∴GB＝GP＝2， ∴AG＝4﹣2， ∴AD＝8﹣4， ∴S△ADP•AD•PG（8﹣4）×288， ∵∠PDQ＝∠PAD， ∴∠QDB＝45°， ∴△DBQ为等腰直角三角形， ∴S△DBQBD2（4﹣AD）2＝24﹣16， ∵S扇形ABC4π， ∴S阴影＝4（4﹣16）＝4π+816． 故答案为：4π+816． 【总结提升】本题考查旋转的性质，扇形的面积，等腰三角形的判定和性质等，解题的关键是通过推导得出S阴影＝S扇形ABC﹣S△ADP﹣S△DBQ． 32．（2022•市南区校级一模）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将三角形绕着BC的中点O逆时针旋转60°，点A的对应点为E，则图中阴影部分的面积为　　． 【思路引领】如图，连接OE，OA．根据S阴＝S扇形EOA+S△EOF﹣S△BOF﹣S△AOB﹣S△PBE，求解即可． 【完整解答】解：如图，连接OE，OA． 由题意可知△BOF为等边三角形． ∴OB＝OF＝BF＝1， ∴S△BOF， 在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠CAB＝30°， ∴AB＝2BC＝4，AC＝DE＝2， ∴S△EOF•OF•DE， ∵OF＝OD， ∴S△EOF＝S△DEO， ∵∠AOE＝60°，AO， ∴S扇形EOA， 由题意，△BPE为直角三角形，BE＝EF﹣BF＝4﹣1＝3， ∴BPBE，PE， ∴S△PBE， ∴S阴＝S扇形EOA+S△EOF﹣S△BOF﹣S△AOB﹣S△PBE． 解法二：可以根据S阴＝S△APE+（S扇形AOE﹣S△AOE）计算． 【总结提升】本题考查扇形的面积，旋转变换，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 中考数学圆中阴影部分面积的七种求法技巧（原卷版） 类型一 直接利用公式法 1．（2024秋•长春校级期末）如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB＝40°，⊙O的半径为2，则此阴影部分的面积为 　 ． 2．（2024秋•大丰区期末）如图，在△ABC中，∠A＝80°，BC＝12，D是BC的中点，分别以B，C为圆心，BD长为半径作弧，交AB于点E，交AC于点F，则图中阴影部分的面积是　 　． 3．（2024秋•阜宁县期末）如图，对折边长为4的正方形纸片ABCD，OM为折痕，以点O为圆心，OM为半径作弧，分别交AD、BC于E、F两点，则扇形OEF的面积为　 ． 方法二 直接和差法 4．（2025•江北区模拟）如图，在矩形ABCD中，点E在对角线BD上，分别以点B和点D为圆心，线段BE、DE的长为半径画圆弧，若BC＝BE＝2，DE＝1，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 5．（2024秋•魏县期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，分别以点A，C为圆心．AC长的一半为半径作圆，将Rt△ABC截去两个扇形．则剩余（阴影）部分的面积为（　　） A． B． C． D． 6．（2024秋•甘井子区期末）折扇是中国传统工艺品，历史悠久．如图是一把完全打开的扇形折扇示意图，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB的长为30cm，扇面BD的长为20cm，则扇面的面积为（　　） A． B． C． D． 7．（2024秋•枣强县期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，以B为圆心，BA为半径作圆弧，交CB的延长线于点E，连结DE．则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 8．（2024秋•大足区期末）如图，边长为1的正方形OABC的顶点B在⊙O上，顶点A，C在⊙O内，OA的延长线交⊙O于点D，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 9．（2024秋•九龙坡区期末）如图，正方形ABCD的边长为8，以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E，则阴影部分的面积是（　　） A．8﹣π B．16﹣2π C．16﹣4π D．32﹣4π 方法三 等积变形法 10．（2024•宁波）如图，C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，CD＝8cm．则阴影部分的面积是　 ． 11．（2024秋•杭州期末）如图，等腰三角形ABC的顶角∠BAC＝45°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，连结AD和DE．若AB＝2，则阴影部分面积为 　 ． 12．（2024秋•包河区校级期末）如图，扇形的圆心角为120°，点C在圆弧上，∠ABC＝30°，OA＝2，阴影部分的面积为　 ． 13．（2024秋•白云区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠ODE＝30°，AB＝4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2π D． 14．（2025•沙坪坝区校级开学）如图，在扇形MON中，∠MON＝105°，P为OM边上一点且OP＝2，连接PN，将△OPN沿PN折叠，点O恰好落在上的点Q处，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 15．（2024秋•九龙坡区期末）如图，等腰△ABC与等边△ADE，∠BAC＝120°，DE∥BC，连接BD，CE．以A为圆心，AD为半径的圆交AB于F，交AC于G．若AB＝4，BC平分∠ABD，则阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 方法五 割补法（拼接法） 16．（2025•九龙坡区校级开学）如图，扇形ABC的半径长为2，∠ABC＝90°，以AB为直径画半圆，取弧AB的中点D，连接CD，则阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 17．（2024秋•惠城区期末）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆弧的三等分点，CE⊥AB于点E，连接DE，若AB＝4，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 18．（2024秋•玉环市期末）如图，长方形ABCD的长BC为4，宽AB为2，以点C为圆心，BC为半径作圆与CD的延长线交于点E，以点A为圆心，AB为半径作圆与AD交于点F，则阴影部分的面积为 　 （结果保留π）． 19．（2024秋•香坊区期末）如图，小明在数学活动中，把一个圆等分成若干个扇形，然后拼成了一个近似的长方形，并测量出这个长方形的长是9.42厘米，那么这个圆的面积是 　 　平方厘米．（π取3.14） 20．（2024秋•合川区期末）如图，扇形AOB中，∠AOB＝120°，连接AB，以A为旋转中心，将AB旋转30°得到AC，若OA＝4，则阴影部分的面积为　 ．（结果保留π） 21．（2023秋•五莲县期末）如图，点A、B、C是⊙O上的点，连接AB、AC、BC，∠ACB＝15°，过点O作OD∥AB交⊙O于点D，连接AD、BD，已知⊙O半径为3，则图中阴影面积为（　　） A． B． C． D． 方法四 化零为整法（整体法） 22．（2023秋•临颍县期中）如图，分别以四边形ABCD的四个顶点为圆心，R为半径作四个互不相交的圆，则图中阴影部分的面积之和是 　 　． 23．（2024秋•高要区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，分别以AC、BC为半径画圆，则阴影部分的面积为（　　） A．5π﹣8 B．20π﹣8 C．10π﹣16 D．5π﹣16 方法6 图形变化法（旋转、平移、翻折） 24．（2024春•重庆期中）在等腰直角△ABC中，已知∠ABC＝90°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'．则图中阴影部分面积为 　 ． 25．（2024秋•廉江市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC，将△ABC绕着点A逆时针旋转90°得到△ADE，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 26．（2024秋•庄河市期末）如图1，一个扇形纸片的圆心角∠AOB＝90°，半径为4．如图2，将这张扇形纸片沿CD折叠，使点B与点O恰好重合，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 27．（2023•成县三模）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，OB＝2，则图中阴影部分的面积是 　 ． 28．（2024秋•仁化县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝8cm，把△ABC以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到AB边的延长线上点C'处，则AC边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（　　） A．16π B．12π C．8π D．4π 方法七 重叠求余法 29．（2023秋•海门市期末）如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是（　　） A．12π B．24π C．6π D．36π 30．（1）如图①，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧上的点B′处，点C的对应点为点C′，则阴影部分的面积为 　 ． （2）如图②，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点B逆时针旋转60°，得到扇形O′A′B，其中点A的运动路径为AA′，则图中阴影部分的面积为 　 ． 31．（2023•平南县模拟）如图，将半径为4，圆心角为90°的扇形ABC绕弧AC的中点P逆时针旋转 45°，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，点D落在AB上，点C落在EF上，则图中阴影部分的面积为 　 ． 32．（2022•市南区一模）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将三角形绕着BC的中点O逆时针旋转60°，点A的对应点为E，则图中阴影部分的面积为　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$