精品解析：广西玉林市重点中学2024-2025学年高三第二次联考数学试卷

广西省玉林市重点中学2024学年高三第二次联考数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X的期望为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则“”是“是偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知部分图象如图所示，则的表达式是 A. B. C. D. 5. 已知边长为4的菱形，，为的中点，为平面内一点，若，则（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 8 6. 设为虚数单位，为复数，若为实数，则（ ） A. B. C. D. 7. 三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 8. 平行四边形中，已知，，点、分别满足，，且，则向量在上的投影为（ ） A. 2 B. C. D. 9. 已知实数满足约束条件，则的最小值为 A. -5 B. 2 C. 7 D. 11 10. 设，则，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数若对区间内任意实数，都有，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 12. 若x，y满足约束条件且的最大值为，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知矩形，，，以，为焦点，且过，两点的双曲线的离心率为____________． 14. 如图，棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，以为圆心，1为半径，分别在面和面内作弧和，并将两弧各五等分，分点依次为、、、、、以及、、、、、．一只蚂蚁欲从点出发，沿正方体的表面爬行至，则其爬行的最短距离为________．参考数据：；；） 15. 下图是一个算法流程图，则输出S的值是______. 16. 复数（其中i为虚数单位）的共轭复数为________. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知函数，. （1）若时，解不等式； （2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围. 18. 已知函数f(x)=ex-x2 -kx（其中e为自然对数的底，k为常数）有一个极大值点和一个极小值点． （1）求实数k的取值范围； （2）证明：f(x)极大值不小于1． 19. 已知函数，． （1）若，，求实数的值． （2）若，，求正实数的取值范围． 20. 已知函数和图象关于原点对称，且． （1）解关于的不等式； （2）如果对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 21. 如图所示，直角梯形ABCD中，，AD垂直AB，，四边形EDCF为矩形，，平面平面ABCD． （1）求证：∥平面ABE； （2）求平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值； （3）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由． 22. 在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程； （2）若射线的极坐标方程为.设与相交于点，与相交于点，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西省玉林市重点中学2024学年高三第二次联考数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法法则计算，由共轭复数的概念写出. 【详解】, , 故选：B 【点睛】本题主要考查了复数的除法计算，共轭复数的概念，属于容易题. 2. 做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X的期望为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 每一次成功的概率为，服从二项分布，计算得到答案. 【详解】每一次成功的概率为，服从二项分布，故. 故选：. 【点睛】本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 3. 将函数图象沿轴向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则“”是“是偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 求出函数的解析式，由函数为偶函数得出的表达式，然后利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】将函数的图象沿轴向左平移个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为， 若函数为偶函数，则，解得， 当时，. 因此，“”是“是偶函数”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题. 4. 已知的部分图象如图所示，则的表达式是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由图象求出以及函数的最小正周期的值，利用周期公式可求得的值，然后将点的坐标代入函数的解析式，结合的取值范围求出的值，由此可得出函数的解析式. 【详解】由图象可得，函数的最小正周期为，. 将点代入函数的解析式得，得， ，，则，， 因此，. 故选：D. 【点睛】本题考查利用图象求三角函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5. 已知边长为4的菱形，，为的中点，为平面内一点，若，则（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】取中点，可确定；根据平面向量线性运算和数量积的运算法则可求得，利用可求得结果. 【详解】取中点，连接， ，，即. ，， ， 则 故选：. 【点睛】本题考查平面向量数量积的求解问题，涉及到平面向量的线性运算，关键是能够将所求向量进行拆解，进而利用平面向量数量积的运算性质进行求解. 6. 设为虚数单位，为复数，若为实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 可设，将化简，得到，由复数为实数，可得，解方程即可求解 【详解】设，则. 由题意有，所以. 故选：B 【点睛】本题考查复数的模长、除法运算，由复数的类型求解对应参数，属于基础题 7. 三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设，，，根据向量线性运算法则可表示出和；分别求解出和，，根据向量夹角的求解方法求得，即可得所求角的余弦值. 【详解】设棱长为1，，， 由题意得：，， ， 又 即异面直线与所成角的余弦值为： 本题正确选项： 【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题. 8. 平行四边形中，已知，，点、分别满足，，且，则向量在上的投影为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 将用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案. 【详解】解： ， 得， 则向量在上的投影为. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将用向量和表示是关键，是基础题. 9. 已知实数满足约束条件，则的最小值为 A. -5 B. 2 C. 7 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】根据约束条件画出可行域，再将目标函数化成斜截式，找到截距的最小值. 【详解】由约束条件，画出可行域如图 变为为斜率为-3的一簇平行线，为在轴的截距， 最小时候为过点的时候， 解得所以， 此时 故选A项 【点睛】本题考查线性规划求一次相加的目标函数，属于常规题型，是简单题. 10. 设，则，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据换底公式可得，再化简，比较的大小，即得答案. 【详解】， ， . ，显然. ,即， ，即. 综上，. 故选：. 【点睛】本题考查换底公式和对数的运算，属于中档题. 11. 已知函数若对区间内的任意实数，都有，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：先求导,再对a分类讨论求函数的单调区间，再画图分析转化对区间内的任意实数，都有，得到关于a的不等式组，再解不等式组得到实数a的取值范围. 详解：由题得. 当a＜1时，，所以函数f（x）在单调递减， 因为对区间内的任意实数，都有， 所以， 所以 故a≥1，与a＜1矛盾，故a＜1矛盾. 当1≤a<e时，函数f(x)在[0,lna]单调递增，在(lna,1]单调递减. 所以 因为对区间内的任意实数，都有， 所以， 所以 即 令， 所以 所以函数g(a)在（1，e）上单调递减， 所以， 所以当1≤a<e时，满足题意. 当a时，函数f(x)在(0,1)单调递增, 因为对区间内的任意实数，都有， 所以, 故1+1， 所以 故 综上所述，a∈. 故选C. 点睛：本题的难点在于“对区间内的任意实数，都有”的转化.由于是函数的问题，所以我们要联想到利用函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等）来分析解答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来，完成了数学问题的等价转化，找到了问题的突破口. 12. 若x，y满足约束条件且的最大值为，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a的范围即可． 【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为的最大值为，所以在点处取得最大值，则，即. 故选：A 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知矩形，，，以，为焦点，且过，两点的双曲线的离心率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，为焦点，得；又根据求得，从而得到离心率. 【详解】因为，为焦点，所以，解得， 因为是矩形，所以为直角三角形， ， 又因为在双曲线上，所以，解得， 所以 故答案为： 14. 如图，棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，以为圆心，1为半径，分别在面和面内作弧和，并将两弧各五等分，分点依次为、、、、、以及、、、、、．一只蚂蚁欲从点出发，沿正方体的表面爬行至，则其爬行的最短距离为________．参考数据：；；） 【答案】 【解析】 【分析】 根据空间位置关系，将平面旋转后使得各点在同一平面内，结合角的关系即可求得两点间距离的三角函数表达式.根据所给参考数据即可得解. 【详解】棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，以为圆心，1为半径，分别在面和面内作弧和. 将平面绕旋转至与平面共面的位置，如下图所示： 则，所以； 将平面绕旋转至与平面共面的位置，将绕旋转至与平面共面的位置，如下图所示： 则，所以； 因为，且由诱导公式可得， 所以最短距离为， 故答案为：. 【点睛】本题考查了空间几何体中最短距离的求法，注意将空间几何体展开至同一平面内求解的方法，三角函数诱导公式的应用，综合性强，属于难题. 15. 下图是一个算法流程图，则输出的S的值是______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据流程图，运行程序即得. 【详解】第一次运行，； 第二次运行，； 第三次运行，； 第四次运行；所以输出S的值是. 故答案为： 【点睛】本题考查算法流程图，是基础题. 16. 复数（其中i为虚数单位）的共轭复数为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算求出，再利用共轭复数的概念即可求解. 【详解】由， 则. 故答案为： 【点睛】本题考查了复数的四则运算以及共轭复数的概念，属于基础题. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知函数，. （1）若时，解不等式； （2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 （1）零点分段法，分，，讨论即可； （2）当时，原问题可转化为：存在，使不等式成立，即. 【详解】解：（1）若时，， 当时，原不等式可化为，解得，所以， 当时，原不等式可化为，解得，所以， 当时，原不等式可化为，解得，所以， 综上述：不等式的解集为； （2）当时，由得， 即， 故得， 又由题意知：， 即， 故的范围为. 【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立求参数，考查学生的运算能力，是一道容易题. 18. 已知函数f(x)=ex-x2 -kx（其中e为自然对数的底，k为常数）有一个极大值点和一个极小值点． （1）求实数k的取值范围； （2）证明：f(x)的极大值不小于1． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）求出，记，问题转化为方程有两个不同解，求导，研究极值即可得结果 ； （2）由（1）知，在区间上存在极大值点，且，则可求出极大值，记，求导，求单调性，求出极值即可. 【详解】（1），由， 记，， 由，且时，，单调递减，， 时，，单调递增，， 由题意，方程有两个不同解，所以； （2）解法一：由（1）知，在区间上存在极大值点，且， 所以的极大值为， 记，则， 因为，所以， 所以时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，即函数的极大值不小于1. 解法二：由（1）知，在区间上存在极大值点，且， 所以的极大值为， 因为，，所以. 即函数的极大值不小于1. 【点睛】本题考查导数研究函数的单调性，极值，考查学生综合分析能力与转化能力，是一道中档题. 19. 已知函数，． （1）若，，求实数的值． （2）若，，求正实数的取值范围． 【答案】（1）0（2） 【解析】 【分析】（1）求得和，由，，得，令，令导数求得函数的单调性，利用，即可求解． （2）解法一：令，利用导数求得的单调性，转化为，令（），利用导数得到的单调性，分类讨论，即可求解． 解法二：可利用导数，先证明不等式，，，， 令（），利用导数，分类讨论得出函数的单调性与最值，即可求解． 【详解】（1）由题意，得，， 由，…①，得， 令，则， 因为，所以在单调递增， 又，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，当且仅当时等号成立． 故方程①有且仅有唯一解，实数的值为0． （2）解法一：令（）， 则， 所以当时，，单调递增; 当时，，单调递减; 故 ． 令（）， 则． （i）若时，，在单调递增， 所以，满足题意． （ii）若时，，满足题意． （iii）若时，，在单调递减， 所以．不满足题意． 综上述：． 解法二：先证明不等式，，，…（*）． 令， 则当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，即． 变形得，，所以时，， 所以当时，. 又由上式得，当时，，，. 因此不等式（*）均成立． 令（）， 则， （i）若时，当时，，单调递增; 当时，，单调递减; 故 ． （ii）若时，，在单调递增， 所以 ． 因此，①当时，此时，，， 则需 由（*）知，，（当且仅当时等号成立），所以． ②当时，此时，， 则当时， （由（*）知）； 当时，（由（*）知）．故对于任意，． 综上述：． 【点睛】本题主要考查导数在函数中综合应用，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 20. 已知函数和的图象关于原点对称，且． （1）解关于的不等式； （2）如果对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）由函数和的图象关于原点对称可得的表达式，再去掉绝对值即可解不等式；（2）对，不等式成立等价于，去绝对值得不等式组，即可求得实数的取值范围. 试题解析：（1）∵函数和的图象关于原点对称， ∴， ∴ 原不等式可化为，即或， 解得不等式的解集为； （2）不等式可化为：， 即， 即，则只需， 解得，的取值范围是. 21. 如图所示，直角梯形ABCD中，，AD垂直AB，，四边形EDCF为矩形，，平面平面ABCD． （1）求证：∥平面ABE； （2）求平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值； （3）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，且，理由见解析 【解析】 【分析】（1）取为原点，所在直线为轴，过点且平行于直线的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，求得，由，即可求证平面； （2）求得平面的一个法向量，根据，可求得答案； （3）设，求向量与平面的法向量所成角的余弦值，列出方程求解，即可得出的值，从而可求出结果. 【小问1详解】 取为原点，所在直线为轴，过点且平行于直线的直线为轴， 所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 由得， 不妨设，则， ， 又， ， ， 又平面， 平面. 【小问2详解】 ，， 设平面的一个法向量为， 由得， 不妨设，则，， ， 则 ， ， 平面与平面所成二面角的正弦值为. 【小问3详解】 存在，理由如下， 设， 则，所以， 又平面的一个法向量为， 即直线与平面所成角为， 则， 整理得，解得或， 当时，，则； 当时，，则； 综上，即在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时线段的长为. 22. 在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程； （2）若射线的极坐标方程为.设与相交于点，与相交于点，求. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换. （2）利用直线和曲线组成的方程组，进一步求出极径，由此求出的长. 【详解】（1）已知曲线的参数方程为（为参数）.消去参数，得， 所以曲线的普通方程为. 直线的极坐标方程为.转换为直角坐标方程为. （2）曲线的极坐标方程为. 将代入， 解得， 将代入， 解得. 故. 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查极坐标系下弦长的计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $