精品解析：重庆育才中学教育集团2024-2025学年九年级下学期第一次自主作业数学试题(模拟一)

重庆育才中学教育集团2025届初三（下）第一次自主作业 数学试题（模拟一） （全卷共四个答题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的意义，即可解答． 【详解】解：的相反数是6， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． 2. 体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：选项A、B、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 3. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，根据两直线平行，同旁内角互补求出，根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵直尺的对边平行， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4. 如图，与 是以点O为位似中心的位似图形，若与 的面积比为 ，则为的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，得到，得到根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：与 是以点O为位似中心的位似图形， ，． ． ． 与 的面积比为 ， 与 的相似比为，即． ． 故选：D 5. 如图，点分别在反比例函数图象上，点 在轴的负半轴上，若平行四边形的面积是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，设，由平行四边形的性质可得点 的纵坐标等于点 的纵坐标，进而得到，再根据平行四边形的面积可得，解之即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形，点 在轴上， ∴轴， ∴点 的纵坐标等于点 的纵坐标， ∴， ∴， ∵平行四边形的面积是， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ） A. 37 B. 41 C. 45 D. 49 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键． 第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可． 【详解】解：第1个图中有5个正方形； 第2个图中有9个正方形，可以写成：； 第3个图中有13个正方形，可以写成：； 第4个图中有17个正方形，可以写成：； 第n个图中有正方形，可以写成：； 当时，代入得：． 故选：A． 7. 估计的值应该在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的乘法，估算无理数的大小的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握“夹逼法”的运用．先根据二次根式的乘法法则计算，再利用夹逼法可得：，从而进一步可判断出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， 即的值在4和5之间． 故选：B． 8. 如图，在扇形 中，，为 边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题，求扇形面积，等边三角形的性质与判定，勾股定理；连接，交于点 ，根据折叠得出是等边三角形，进而得出 是等腰直角三角形，求得半径，进而根据即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点 ∵折叠， ∴，， 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ 故选：B． 9. 如图，正方形中，绕点A逆时针旋转到，，分别交对角线于点E，F，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由旋转、正方形的性质可知，，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：由旋转、正方形的性质可知，， 又∵， ∴， ∴，即，解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 10. 对于两个代数式，记，，以下说法正确的个数是（ ） ①若，则 ； ②若关于的方程的解为和，则的值为， ③若关于的方程有两个不相等的实数根，则． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根与系数的关系，二次函数与一元二次方程的解；根据解一元二次方程判断①；根据根与系数的关系判断②，根据，设，根据函数图象可得有两个交点时，，即可求解． 【详解】解：将，代入方程 得，即 解得：，故①不正确； ②将，代入方程 得， ∴， ∵ ∴ ∴，故②不正确； ③将，代入方程得， 设 如图所示， 当，， ∴当经过和之间时，有两个交点时， 当时，，当时，； ∴，故③错误 故选：A． 二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. ______． 【答案】## 【解析】 【分析】先化简各式，再进行加法运算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 12. 甲、乙、丙三位同学把自己的数学课本放在一起，每人从中随机抽取一本（不放回），三位同学抽到的课本都不是自己课本的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】画出树状图，根据树状图即可得出答案． 【详解】解：设甲的数学课本用A表示，乙的数学课本用B表示，丙的数学课本用C表示，画树状图如下： 由树状图可知，共有六种等可能的结果数，其中三位同学抽到的课本都不是自己的课本有二种结果：，所以三位同学抽到的课本都不是自己课本的概率是． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 13. 一个多边形的内角和为540°，并且每一个内角都相等，则这个多边形的每一个内角是____°. 【答案】108 【解析】 【分析】根据多边形的内角和为540°，列出方程解出边数，进一步可求出它每一个内角的度数． 【详解】设这个多边形的边数为n， 则有 解得n=5. ∵这个多边形的每个内角都相等， ∴它每一个内角的度数为 故答案为 【点睛】考查多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键. 14. 若关于的不等式组至少有2个奇数解，且关于的分式方程有正整数解，那么符合条件的所有整数 的和为_____________． 【答案】9 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有2个奇数解，确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，由x为正整数确定出a的值即可． 【详解】解：不等式组 解得：；即， 由不等式组至少有2个奇数解，即至少9，7两个奇数是不等式组的解，故， 解得：， 分式方程去分母得：，即， 由分式方程有正整数解，得到， 由x为正整数，且，， 解得： 或4或6，10， ∵ ，分式方程： 是增根，， 综上所述： 或6， ∴， 则符合条件的所有整数a的和为9， 故答案为：9． 15. 如图，已知是的直径，弦 于点 ，过点作的切线交的延长线于点 ，为的中点，连接．若，则的半径是__________，__________． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质定理、垂径定理、勾股定理、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题关键． 连接， ， ，根据垂径定理可得，根据切线的性质定理可得，即，进而可得，再解得，然后证明，设 ，易得，，在中，利用勾股定理解得 ，即可求出半径，再用三角函数求出的长即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 是的切线， ， ， ， ， 于点 ， ， ， 设 ， 为的中点， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ，即的半径为4． ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：4，． 16. 对于任意一个四位数，其各个数位上的数字各不相同，如果千位数字比十位数字大3，百位数字比个位数字大1，则称这个四位数字为“差3倍数”．若 是一个“差3倍数”， 的千位数字记为 ，百位数字记为 ，十位数字记为 ，个位数字记为，将 的千位数字和百位数字交换，十位数字和个位数字交换，得，记，若为偶数，则 的最大值为___________；若，且被3除余2，则满足条件的“差3倍数” 的值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，整式加减的应用，本题属于新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．利用“差3倍数”的定义表示出，由，结合为偶数，即可解答；同理表示出，且被3除余2，可得是3的倍数，根据“差3倍数”的定义结合数位上的数字的特征和整除的特性解答即可． 【详解】解：根据题意：， 则， ∴， ∵为偶数，且（为整数）， ∴为偶数， ∴为偶 数， ∴为， 当 最大，则 有最大值， 此时，，则，不符合题意； ，则，符合题意； ∴ 的最大值为； ∵被3除余2， ∴是3的倍数， ∵， ∴是3的倍数， ∵（为整数），， ∴（ 为整数）， ∴， ∴， ∴符合条件的代数式的值为：， 当时，，即，不符合题意，舍去； 当时，，即，不符合题意，舍去； 当时，，即，不符合题意，舍去； 或，即，此时，，则 的值为，符合题意； ∴满足条件的“差3倍数”为； 故答案为：，． 三、解答题：（本大题共8小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式，单项式乘以多项式进行计算即可求解； （2）根据分式的加减进行计算，同时将除法转化为乘法，根据分式的混合运算进行化简即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了整式的化简，分式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则以及分式的运算法则是解题的关键． 18. 在大学校园里，共享单车以其便捷、环保的特点，成为了广大师生出行的新选择．某品牌共享单车为了解其在大学生群体中的受欢迎程度，在甲、乙两个大学中进行了满意度调查（单位：分，满分100分，分数越高越受欢迎）．现在从甲、乙两个大学中各随机抽取10名学生的满意度得分数据进行整理、描述和分析（满意度得分用x表示，共分为A、B、C、D四个等级：．A：，B：，C．，D．）．下面给出了部分信息： 甲大学10名学生满意度得分数据：99，96，92，93，88，88，88，78，74，69； 乙大学10名学生B等级所有满意度得分数据：89，89，88，86，82． 甲、乙大学抽取的学生满意度得分统计表 学校 平均数 中位数 众数 方差 甲 88 a 乙 b 89 请根据以上信息解答： （1） ， ， ； （2）你认为该品牌共享单车在哪个大学更受学生欢迎？请说明理由：（写出一条即可） （3）若甲、乙两校共有7200人参加此次满意度调查，请你估计喜爱该品牌共享单车的学生有多少人？ 【答案】（1）88； ；10 （2） 品牌共享单车在乙大学更受欢迎，理由如下： ∵乙大学的中位数和众数都比甲大学的高， ∴品牌共享单车在乙大学更受欢迎． （3）2520人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，求中位数，平均数，用样本估计总体等等： （1）根据中位数和众数的定义即可求出a、b，先求出乙大学A等级的人数，进而求出C等级的人数即可求出m； （2）根据乙大学的众数和中位数都比甲大学的高即可得到答案； （3）用7200乘以样本中的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵甲大学10名学生满意度得分为88分的人数最多， ∴甲大学10名学生满意度得分的众数 ， 乙大学10名学生满意度得分在A等级的人数为 人，则C等级有 人， ∴ ， ∴ ； 把乙大学10名学生满意度得分从低到高排列，处在第5名和第6名的得分分别为88分，89分， ∴乙大学10名学生满意度得分的中位数 ， 故答案为：88； ；10； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 人， ∴估计喜爱该品牌共享单车的学生有2520人． 19. 如图，在四边中，，是对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点O，E，F．连接．（只保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空） 证明：∵垂直平分 ∴①______， ∵ ∴②______ ∵在和中 ∴ ，∵ ∴四边形BFDE为平行四边形 ∵④______ ∴四边形BFDE为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形） 在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤______． 【答案】（1）见解析 （2） ，，， ，得到的四边形是菱形 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作垂直平分线，菱形的判定，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等和菱形的判定方法． （1）根据垂直平分线的基本作图方法进行作图即可； （2）根据垂直平分线的定义得出 ， ，根据平行线的性质得出，证明，得出 ，即可证明结论． 【小问1详解】 解：如图，为所求作的线段的垂直平分线； 【小问2详解】 证明：∵垂直平分 ∴① ， ∵ ∴② ∵在和中， ∴ ， ∵ ∴四边形为平行四边形 ∵④ ∴四边形为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形） 在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤得到的四边形是菱形． 20. 为贯彻落实脱贫攻坚成果与乡村振兴有效衔接，助推红卫村村民增收，驻村工作组准备推广大棚蔬菜种植．通过实地测算，需安装660亩地的大棚．经调研，决定把这660亩地的大棚由甲、乙两个工程队来安装．已知甲工程队每天的安装能力是乙工程队每天安装能力的倍，并且安装240亩地的大棚甲工程队比乙工程队少用4天． （1）求甲、乙两个工程队每天分别可安装多少亩地的大棚？ （2）若甲工程队每天的安装费用为4万元，乙工程队每天的安装费用为2万元，要使这660亩地的大棚尽快安装完成，而总费用不高于70万元，最多能安排甲工程队安装多少天？ 【答案】（1）甲工程队每天可安装30亩地的大棚，乙工程队每天可安装20亩地的大棚 （2）最多能安排甲工程队安装4天 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解决问题的关键是：找到各数量之间的关系，列出关系式． （1）设乙工程队每天可安装亩地的大棚，则甲工程队每天可安装亩地的大棚，根据“安装240亩地的大棚甲工程队比乙工程队少用4天”，列出等量关系式，即可求解， （2）设安排甲工程队安装天，则安装乙工程队安装天，根据“总费用不高于70万元”，列出关系式，即可求解， 【小问1详解】 解：设乙工程队每天可安装亩地的大棚，则甲工程队每天可安装亩地的大棚，根据题意得： ， 解得： ， 经检验， 是所列方程的解，且符合题意， ， 答：甲工程队每天可安装30亩地的大棚，乙工程队每天可安装20亩地的大棚； 【小问2详解】 解：设安排甲工程队安装天，则安装乙工程队安装天， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为4． 答：最多能安排甲工程队安装4天． 21. 如图1，在矩形中， ， ，对角线 交于点O．动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着 运动，同时动点Q从点B出发，以相同的速度沿 运动，点E是线段上一动点，满足，设点P、Q运动的时间都为x（ ），点P到的距离与点P到的距离的和为，点E到的距离为． （1）请直接写出，关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】（1）, （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）分和 两种情况分别求出函数关于x的函数关系式及自变量的取值范围，根据三角形面积公式得到 ，即可得到关于x的函数关系式及自变量的取值范围即可； （2）根据自变量的取值范围画出函数图象即可，并写出的一条性质即可； （3）根据函数图象的交点横坐标及函数图象即可得到答案. 【小问1详解】 解：在矩形中，， ， ∴ ， ∴ ， 当时，如图，作， ，垂足分别为点F和点G， 则， ∴，， 即，， ∴，， ∴当时，， 当 时，如图，作， ，垂足分别为点M和点N， 则， ∴，， 即，， ∴ ， ， ∴当 时， ， ∴； ∵．点E到的距离为． ∴， ∴； 【小问2详解】 解：函数图象如图所示： 在时，函数随着x的增大而增大； 时，函数随着x的增大而减小 【小问3详解】 解：根据图象估计当时，即函数图象在函数图象下方， 此时x的取值范围是或． 【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质、矩形的性质、解直角三角形、反比例函数的图象和性质等知识，数形结合正确列出函数解析式是解题的关键． 22. 2025年重庆“新年第一跑”活动在渝北区中央公园中央广场举办，活动方开辟出了两条经典路线．如图是两条跑步路线的平面示意图，已知终点 在起点 的东北方向．路线从起点 出发向北偏东的方向先跑过一段山路到达补给点 ，再沿正东方向跑一段步道即可到达终点 ；路线从起点 出发沿北偏东的方向跑过一段山路到达补给点 ，再沿正北方向的步道跑米即可到达终点C．（参考数据：） （1）求 的长度；（结果精确到米） （2）某班有两位同学小轩和小鹏参加了跑步活动，小轩选择路线，他的平均速度为米 分钟，小鹏选择了路线，他的平均速度为米 分钟，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达终点？（结果精确到 ） 【答案】（1）的长度约为米 （2）小鹏会先到达终点 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用—方位角问题，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）如图，过点D作 于点E，在中，求出（米），在中，求出（米），进而求解即可； （2）如图，过点A作 交 的延长线于点F，首先得到米，在中，求出米，在中，求出米，得到（米），然后分别求出小轩走路线①需要的时间和小鹏走路线②需要的时间，进而比较求解即可． 【小问1详解】 如图，过点D作 于点E， 由题意，得 ，，米 在中，（米）． 在中，（米） （米）． 答：的长度约为米； 【小问2详解】 如图，过点A作 交 的延长线于点F， 由题意，知 ， 由（1）知米， 在中，米 在中，米， 米 （米） 在中，（米）， 小轩走路线①需要的时间为：（分钟）． 小鹏走路线②需要的时间为：（分钟）． ，小鹏会先到达终点． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于点和点 ，与轴交于点 ，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点是射线下方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为点 ，交于点 ．点 为抛物线对称轴上的一动点，连接，，当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）在（2）问取得最小值的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移，使得点 在新抛物线的对称轴上，是新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式及二次函数与几何图形的综合，学会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是正确解决问题的关键． （1）用待定系数法求解析式即可； （2）点 关于抛物线对称轴的对称点为点 ，连接 交抛物线对称轴于点 ，此时最小，即可求解； （3）点关于原抛物线的对称点为点，，则直线 过点，得到直线的表达式为，当点在轴上方时，直线 和关于轴对称，直线的表达式为，分别联立直线 ，和抛物线的表达式，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线经过点，与x轴交于点， ， 解得：， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：抛物线的表达式为， 设直线的表达式为 ， ， 解得， 直线的表达式为， 设点，则点， ， 当 时，取得最大值， 此时，点， 点 关于抛物线对称轴的对称点为点 ，连接交抛物线对称轴于点 ，此时最小， ； 【小问3详解】 解：抛物线沿射线方向平移，故抛物线向右平移个单位，向下平移 个单位， 则新抛物线的表达式为， 其对称轴为直线， 新抛物线对称轴过点 ， ， ， 新抛物线的表达式为， 点关于原抛物线的对称点为点， ， 直线 过点， 直线的表达式为， 当点在轴上方时，直线 和关于轴对称， 直线的表达式为， 分别联立直线 ，和抛物线的表达式得： 或， 解得：或（不符合题意的值舍去）， 故点或． 24. 在等腰 中， ， ，D为边上一点（不与端点重合），E为外一点，连接， ，，使． （1）如图1，点E在右侧， 交于点G，若 ，，求的度数（用含α的代数式表示）： （2）如图2，点E在右侧，若 ，F为边上一点，连接交于点O，若O为中点，求证： ； （3）如图3，点E在BD左侧，若，点G，P，K分别为，， 的中点，连接，， ，将绕点B顺时针旋转得到，连接 ，，使，当最小时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）证明过程见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）由 得，利用三角形内角和定理得，即可得结论；（2）延长至M，使，连接，作，交于N，证明 ，得，，，进而证明即可得结论． （3）作，在左侧截取，连接 ，，证明， 作点B关于直线 的对称点，连接，，则，当三点共线时，取值最小，连接、、，作于点Q，作 于点N，证明四边形为正方形，，，， ，利用三角形中位线及勾股定理分别求出再求出比值即可． 【小问1详解】 解：， ， ，， ， ， ， ， ， ; 【小问2详解】 证明：延长至M，使，连接，作，交于N， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：作，在左侧截取，连接 ，， ， ，， ， ，即， ， ， ，，，， ， ， 点A、E、F三点在同一直线上， ，即点E在直线 上，且 恒为直角三角形， 作点B关于直线 的对称点，连接，， 则，当三点共线时，取值最小， 连接、、，作于点Q，作 于点N， ，， 四边形为正方形， ， ， ，即 ，， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ，即点P为 的中点， 点K为 的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，P为中点， ， 将绕点B顺时针旋转得到， ， ，，， ，， ， ，，， ， ， 作于M，设 ，， ， ， 作于S ， ，，， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆育才中学教育集团2025届初三（下）第一次自主作业 数学试题（模拟一） （全卷共四个答题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 2. 体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与 是以点O为位似中心的位似图形，若与 的面积比为 ，则为的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点分别在反比例函数图象上，点 在轴的负半轴上，若平行四边形的面积是，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ） A. 37 B. 41 C. 45 D. 49 7. 估计的值应该在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 8. 如图，在扇形 中，，为 边上一点且，连接，将沿折叠，点 恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形中，绕点A逆时针旋转到，，分别交对角线 于点E，F，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 10. 对于两个代数式，记，，以下说法正确的个数是（ ） ①若，则 ； ②若关于的方程的解为和，则的值为， ③若关于的方程有两个不相等的实数根，则． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. ______． 12. 甲、乙、丙三位同学把自己的数学课本放在一起，每人从中随机抽取一本（不放回），三位同学抽到的课本都不是自己课本的概率是___________． 13. 一个多边形的内角和为540°，并且每一个内角都相等，则这个多边形的每一个内角是____°. 14. 若关于 的不等式组至少有2个奇数解，且关于的分式方程有正整数解，那么符合条件的所有整数 的和为_____________． 15. 如图，已知是的直径，弦 于点 ，过点作的切线交的延长线于点 ，为的中点，连接．若，则的半径是__________，__________． 16. 对于任意一个四位数，其各个数位上的数字各不相同，如果千位数字比十位数字大3，百位数字比个位数字大1，则称这个四位数字为“差3倍数”．若 是一个“差3倍数”， 的千位数字记为 ，百位数字记为 ，十位数字记为 ，个位数字记为，将 的千位数字和百位数字交换，十位数字和个位数字交换，得，记，若为偶数，则 的最大值为___________；若，且被3除余2，则满足条件的“差3倍数” 的值为___________． 三、解答题：（本大题共8小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 在大学校园里，共享单车以其便捷、环保的特点，成为了广大师生出行的新选择．某品牌共享单车为了解其在大学生群体中的受欢迎程度，在甲、乙两个大学中进行了满意度调查（单位：分，满分100分，分数越高越受欢迎）．现在从甲、乙两个大学中各随机抽取10名学生的满意度得分数据进行整理、描述和分析（满意度得分用x表示，共分为A、B、C、D四个等级：．A：，B：，C．，D．）．下面给出了部分信息： 甲大学10名学生满意度得分数据：99，96，92，93，88，88，88，78，74，69； 乙大学10名学生B等级所有满意度得分数据：89，89，88，86，82． 甲、乙大学抽取的学生满意度得分统计表 学校 平均数 中位数 众数 方差 甲 88 a 乙 b 89 请根据以上信息解答： （1） ， ， ； （2）你认为该品牌共享单车在哪个大学更受学生欢迎？请说明理由：（写出一条即可） （3）若甲、乙两校共有7200人参加此次满意度调查，请你估计喜爱该品牌共享单车的学生有多少人？ 19. 如图，在四边中，， 是对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段 的垂直平分线，分别交 ，于点O，E，F．连接．（只保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空） 证明：∵垂直平分 ∴①______， ∵ ∴②______ ∵在和中 ∴ ，∵ ∴四边形BFDE为平行四边形 ∵④______ ∴四边形BFDE为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形） 在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤______． 20. 为贯彻落实脱贫攻坚成果与乡村振兴有效衔接，助推红卫村村民增收，驻村工作组准备推广大棚蔬菜种植．通过实地测算，需安装660亩地的大棚．经调研，决定把这660亩地的大棚由甲、乙两个工程队来安装．已知甲工程队每天的安装能力是乙工程队每天安装能力的倍，并且安装240亩地的大棚甲工程队比乙工程队少用4天． （1）求甲、乙两个工程队每天分别可安装多少亩地的大棚？ （2）若甲工程队每天的安装费用为4万元，乙工程队每天的安装费用为2万元，要使这660亩地的大棚尽快安装完成，而总费用不高于70万元，最多能安排甲工程队安装多少天？ 21. 如图1，在矩形中， ， ，对角线 交于点O．动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着 运动，同时动点Q从点B出发，以相同的速度沿 运动，点E是线段上一动点，满足，设点P、Q运动的时间都为x（ ），点P到的距离与点P到的距离的和为，点E到 的距离为． （1）请直接写出，关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 22. 2025年重庆“新年第一跑”活动在渝北区中央公园中央广场举办，活动方开辟出了两条经典路线．如图是两条跑步路线的平面示意图，已知终点 在起点 的东北方向．路线从起点 出发向北偏东的方向先跑过一段山路到达补给点 ，再沿正东方向跑一段步道即可到达终点 ；路线从起点 出发沿北偏东的方向跑过一段山路到达补给点 ，再沿正北方向的步道跑米即可到达终点C．（参考数据：） （1）求 的长度；（结果精确到米） （2）某班有两位同学小轩和小鹏参加了跑步活动，小轩选择路线，他的平均速度为米 分钟，小鹏选择了路线，他的平均速度为米 分钟，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达终点？（结果精确到 ） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于点和点 ，与 轴交于点 ，连接 ． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点是射线 下方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为点 ，交 于点 ．点 为抛物线对称轴上的一动点，连接，，当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）在（2）问取得最小值的条件下，连接 ，将抛物线沿射线 方向平移，使得点 在新抛物线的对称轴上，是新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 24. 在等腰 中， ， ，D为边 上一点（不与端点重合），E为外一点，连接 ，，，使． （1）如图1，点E在 右侧，交于点G，若 ，，求的度数（用含α的代数式表示）： （2）如图2，点E在 右侧，若 ，F为边上一点，连接交 于点O，若O为中点，求证： ； （3）如图3，点E在BD左侧，若，点G，P，K分别为， ，的中点，连接 ，， ，将绕点B顺时针旋转得到，连接 ，，使，当最小时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $