重点专题2-1 正弦定理、余弦定理【13类题型汇总】- 【重难点突破】2024-2025学年高一数学下·人教A版必修第二册·重难点专题突破

【重难点突破】2024-2025学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 题2-1 正弦定理、余弦定理 总览 题型·解读 模块一 重点题型梳理 【题型1】利用余弦定理解三角形 【题型2】利用正弦定理解三角形 【题型3】三角形性质辨析 【题型4】三角形面积公式 【题型5】余弦弦定理的运用 【题型6】正弦定理边化角，拆角合角，外接圆相关计算 【题型7】射影定理 【题型8】三角形解的个数问题 模块二 正余弦定理综合运用 【题型9】余弦定理与完全平方公式结合求周长和面积 【题型10】利用正余弦定理测高或距离问题 【题型11】判断三角形的形状 【题型12】三角形性质综合判断 【题型13】正余弦定理的综合 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 重点题型梳理 【题型1】利用余弦定理解三角形 基础知识 余弦定理 适用范围 (1)已知两边和夹角或已知三边；(2)已知两边和一边的对角． 公式 ，， 变形与应用 ；； 典型例题 【例题1】在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】在中，已知，则________． 【例题3】在中，角A，，的对边分别为，，，且，则角的大小是（    ） A． B． C． D． 【例题4】在中，若，则（    ） A．25 B．5 C．4 D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，，则______． 【巩固练习2】在中，已知，，，b＝5，则c＝______． 【巩固练习3】在中，，则的最小角为 （　　） A． B． C． D． 【巩固练习4】在中，角，，所对的边分别为，，．若，则的大小是　　 A． B． C． D． 【巩固练习5】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习6】在中，，则边所对的角等于（    ） A． B． C． D． 【巩固练习7】在中，若，，，则　　 A．25 B．5 C．4 D． 【题型2】利用正弦定理解三角形 基础知识 正弦定理 适用范围 (1)已知两角及任意一边；(2)已知两边及其中一边的对角. 公式 变形与应用 (1)，，. (2)，，. (3). (4),, (5) (6)合分比： 典型例题 【例题1】在中，内角所对的边分别是，已知，，，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【例题2】若，，，则等于（    ） A．4 B． C．6 D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】在中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若，则（    ） A． B．或 C． D．或 【巩固练习3】在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】记的内角、、的对边分别为、、，若，，则 A． B． C． D． 【题型3】三角形性质辨析 典型例题 【例题1】在中，角，，的对边分别为，，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题2】（多选）下列说法正确的有( ) A.在△ABC中，a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C B.在△ABC中，若sin 2A=sin 2B，则△ABC为等腰三角形 C.△ABC中，sin A＞sin B是A ＞B的充要条件 D.在△ABC中，若sin A=，则A= 巩固练习 题型 【巩固练习1】若在中，是的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【巩固练习2】（多选）下列说法中正确的有（    ） A.在中， B.在中，若，则 C.在中，若，则；若，则 D.在中， 【巩固练习3】（多选）在中，则下列条件是的充要条件的有（    ） A． B． C． D． 【题型4】三角形面积公式 基础知识 三角形的面积等于两夹边与夹角正弦积的一半： 证明:证明中只给到锐角三角形的情况,钝角和直角三角形的证明方法证明方法相同 任意斜中,如图作,则 同理:；故 典型例题 【例题1】（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，的面积为，则（    ） A． B．4 C．2 D． 【例题2】已知的周长为,三内角,,所对的边分别为,,,且. (1)求边长的值;(2)若的面积,求角. 巩固练习 题型 【巩固练习1】在中,分别为的对边,,三角形的面积为,则 A. 2 B. C. D. 【巩固练习2】△ABC中,角,,所对边,,,若的面积,则( ) A. 5 B. 6 C. D. 7 【巩固练习3】已知中,角、、所对的边分别为,且. (1)求的值；(2)若的面积,且,求的外接圆半径. 【巩固练习4】在中,已知是钝角,, (1)求的值；(2)若,求的面积. 【题型5】余弦弦定理的运用 典型例题 【例题1】在中，若，，则　　 A． B． C． D． 【例题2】（23-24高一下·天津和平·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，，则该三角形的外接圆直径 ． 【例题3】的内角的对边分别为,c.设.求 巩固练习 题型 【巩固练习1】在中,,,分别是角,,所对的边,若的面积,则( ) A. B. C. D. 【巩固练习2】在中,角所对的边分别为表示的面积,若,则 A. B. C. D. 【巩固练习3】在中，角所对的边分别为，，且，则的大小为 . 【巩固练习4】在中,内角所对的边分别是且求角 【巩固练习5】在中,内角所对的边分别为,若的外接圆的面积为.求. 【题型6】正弦定理边化角，拆角合角，外接圆相关计算 基础知识 拆角与合角的技巧 1. 化简后的式子同时含有三个角时，解题思路是减少角的个数，方法主要有以下两种 ①合角 如： ②拆角——拆单角（“单身狗角”） 如： ，， 2.半角：， 典型例题 【例题1】在中，若，则　　． 【例题2】在中，，，，则　　 A． B． C． D． 【例题3】在中, 角，，所对的边分别为，，，，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】在中，角所对的边分别为，，，且，求角 【巩固练习2】的外接圆半径为3，则______． 【巩固练习3】在中，，求的值 【巩固练习4】的内角，，的对边分别为，，，且满足：.求 【题型7】射影定理 基础知识 三角形中的射影定理：在△ABC中，；； 其实射影定理的本质方法还是齐次去角的方法。但是掌握了射影定理, 我们可以很快的看出出题人的心思, 从而快速看出答案,或者在一些结构中可以起到意想不到的效果,学有余力的同学还是建议掌握 典型例题 【例题1】的内角,,的对边分别为,,,有:,求. 【例题2】（24-25高三下·重庆南岸·阶段练习）在中，内角的对边分别为，若，，且，则的面积（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】 的内角 对边分别为 ,已知 . 证明: . 【巩固练习2】在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，，则（    ） A．90 B．60 C．45 D．30 【巩固练习3】在中,角,,所对的边分别,,,且,求角 【题型8】三角形解的个数问题 基础知识 已知三角形的边角边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定． 已知边边角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下： 策略一：由正弦定理得 ①若，则满足条件的三角形个数为0，即无解． ②若，则满足条件的三角形个数为1，即一解． ③若，则满足条件的三角形个数为1或2. 策略二：结合图像 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 典型例题 【例题1】已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足下列条件的有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例题2】在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【巩固练习2】中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是________ 【巩固练习3】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若，且有唯一解，则的取值范围是___________. 【巩固练习4】中，已知，，. （1）若恰有一解，则实数的取值范围是　　； （2）若有两解，则实数的取值范围是　　； （3）若无解，则实数的取值范围是　　； 模块二 正余弦定理综合运用 基础知识 知识点01 三角形内角和及三角形常见重要关系 1.内角和：（结合诱导公式），进而有等式子 2.三角形中的恒等变形：① 同理有：，. ②； ③斜三角形中， ④； 3.三角形中的射影定理：在△ABC中，；；． 4.角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例. 即若AD为∠A的角平分线，则有比例关系：. 5. 三角形常用面积公式（后3个解答题中不能直接用） (1)(ha表示边a上的高). (2). (3)（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） 知识点02 拆角与合角的技巧 1. 化简后的式子同时含有三个角时，解题思路是减少角的个数，方法主要有以下两种 ①合角 如： ②拆角——拆单角（“单身狗角”） 如： ，， 2.半角：， 知识点03 常见情况的讨论 中：若 ① ②（舍去） ① ② ① ② ，则或 知识点04 恒等变换回顾 1. 二倍角公式：， 2. 二倍角公式的扩角降幂：.， 忘记了可以用二倍角公式推导:记，则 故， 3. 辅助角公式： 注意：，且与在同一象限 【题型9】余弦定理与完全平方公式结合求周长和面积 基础知识 完全平方公式与三角形周长与面积计算：，，知二求一. 注意：其中与周长有关，与面积有关，与余弦定理有关. 例：△ABC中，已知． （1）若，面积，求的周长 【简证】，， （2）若时，求的面积. 【简证】， 典型例题 【例题1】已知中角，，的对边分别为，，，，，，求的面积． 【例题2】中，角，，的对边分别是，，且满足， （1）求角的大小；（2）若的面积为且，求的值． 【例题3】的角的对边分别为的面积为，若，求的周长. 巩固练习 题型 【巩固练习1】在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求；（2）若，且的面积为，求的周长． 【巩固练习2】在中，a､b､c分别为角A，B，C的对边，已知，，且，则的值等于 . 【巩固练习3】已知，，分别为三个内角，，的对边，． （1）求；（2）若，的面积为，求． 【巩固练习4】在△ABC中，已知，，，则△ABC周长为______． 【巩固练习5】（23-24高一下·江苏无锡·期中）记的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长 【巩固练习6】（2025·广东茂名·一模）已知分别为三个内角的对边，且. (1)求；(2)若，且的面积为，求. 【题型10】利用正余弦定理测高或距离问题 【例题1】如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【例题2】（23-24高一下·湖北武汉·期中）如图，为测量武汉防汛纪念碑的高度及取景点与之间的距离（在同一水平面上，雕像垂直该水平面于点，且三点共线），华中师大一附中研究性学习小组同学在三点处测得顶点的仰角分别为，若米，则纪念碑的高度为 米，取景点与之间的距离为 米． 【例题3】武灵丛台位于邯郸市丛台公园中心处，为园内的主体建筑，是邯郸古城的象征.某校数学兴趣小组为了测量其高度，在地面上共线的三点，，处分别测得点的仰角为，，，且，则武灵丛台的高度约为（    ） （参考数据：）    A．22m B．27m C．30m D．33m 【巩固练习1】（23-24高一下·浙江·期中）雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则雷锋塔的高度约为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（23-24高一下·湖北·期中）如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则塔高（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【巩固练习3】如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，则塔高为（    ）    A． B． C． D． 【巩固练习4】（23-24高一下·广东广州·期中）某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量某山峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高PQ为（    ）米 A． B． C． D． 【题型11】判断三角形的形状 典型例题 【例题1】在中，若－，则这个三角形是　　三角形． 【例题2】在中，角的对边分别为，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【例题3】在中，若，，则一定是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．无法确定 巩固练习 题型 【巩固练习1】的内角，，的对边分别是，，且满足，则是　　 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【巩固练习2】已知中，，，分别是角，，的对边，且满足，则该三角形的形状是　　 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【巩固练习3】（2024·四川成都·模拟预测）已知的内角A，，所对的边分别为，，，面积为，若，，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 【巩固练习4】在中，，且，是______三角形． 【题型12】三角形性质综合判断 典型例题 【例题1】（多选）在中，如下判断正确的是　　 A.若，则为等腰三角形 B.若，则 C.若为锐角三角形，则 D.若，则 【例题2】（多选）在中，角所对的边分别为，下列命题正确的是（    ） A.若，的最大内角是最小内角的倍 B.若，则一定为直角三角形 C.若，则外接圆半径为 D.若，则一定是等边三角形 巩固练习 题型 【巩固练习1】多选）下列结论正确的是　　 A.在三角形中，若，则 B.在锐角三角形中，不等式恒成立 C.若，则三角形为等腰三角形 D.在锐角三角形中， 【巩固练习2】（多选）在中，内角、、所对的边分别为、、，的面积为，下列与有关的结论，正确的是　　 A.若为锐角三角形，则 B.若，则 C.若，则一定是等腰三角形 D.若为非直角三角形，则 【巩固练习3】（多选）下列命题中，正确的是　　 A.在中，，则 B.在锐角中，不等式恒成立 C.在中，若，则必是等腰直角三角形 D.在中，若，，则必是等边三角形 【题型13】正余弦定理的综合 典型例题 【例题1】中，若，，则　　． 【例题2】在中，内角的对边分别为，，求. 【例题3】在中，，求A. 【例题4】在中，内角所对的边分别为.已知，，求的值. 巩固练习 题型 【巩固练习1】中，若，，则　　． 【巩固练习2】已知分别为三个内角的对边，且，证明:. 【巩固练习3】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求A. 【巩固练习4】在锐角中，内角所对的边分别为，满足，且，求证：. 【巩固练习5】在中，内角所对的边分别为.已知，求的值 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 专题2-1 正弦定理、余弦定理 总览 题型·解读 模块一 重点题型梳理 【题型1】利用余弦定理解三角形 【题型2】利用正弦定理解三角形 【题型3】三角形性质辨析 【题型4】三角形面积公式 【题型5】余弦弦定理的运用 【题型6】正弦定理边化角，拆角合角，外接圆相关计算 【题型7】射影定理 【题型8】三角形解的个数问题 模块二 正余弦定理综合运用 【题型9】余弦定理与完全平方公式结合求周长和面积 【题型10】利用正余弦定理测高或距离问题 【题型11】判断三角形的形状 【题型12】三角形性质综合判断 【题型13】正余弦定理的综合 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 重点题型梳理 【题型1】利用余弦定理解三角形 基础知识 余弦定理 适用范围 (1)已知两边和夹角或已知三边；(2)已知两边和一边的对角． 公式 ，， 变形与应用 ；； 典型例题 【例题1】在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以由余弦定理得，又，则． 【例题2】在中，已知，则____________． 【答案】3或1 【详解】在中， ，由余弦定理得， 所以，得，由，得或，所以或1． 【例题3】在中，角A，，的对边分别为，，，且，则角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ∵，∴. 【例题4】在中，若，则（    ） A．25 B．5 C．4 D． 【答案】B 【详解】在中，若，，，由余弦定理得. 巩固练习 题型 【巩固练习1】在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，，则______． 【答案】 【详解】余弦定理：得即，解得（舍） 【巩固练习2】在中，已知，，，b＝5，则c＝______． 【答案】2 【详解】解：在中， ，b＝5，由，得，因为，所以角为钝角，则，由余弦定理得，即，解得或（舍去） 【巩固练习3】在中，，则的最小角为 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知，在中，，因为，所以的最小角为， 所以，又因为，所以. 【巩固练习4】在中，角，，所对的边分别为，，．若，则的大小是　　 A． B． C． D． 【解析】已知等式变形得：，即， 由余弦定理得：，为三角形的内角，． 【巩固练习5】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由，得 【巩固练习6】在中，，则边所对的角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，即 ，即 ，所以 . 【巩固练习7】在中，若，，，则　　 A．25 B．5 C．4 D． 【解析】由余弦定理知，， 所以． 【题型2】利用正弦定理解三角形 基础知识 正弦定理 适用范围 (1)已知两角及任意一边；(2)已知两边及其中一边的对角. 公式 变形与应用 (1)，，. (2)，，. (3). (4),, (5) (6)合分比： 典型例题 【例题1】在中，内角所对的边分别是，已知，，，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】在中由正弦定理可得，即，解得，又因为，所以 【例题2】若，，，则等于（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【详解】由题意因为，所以，由正弦定理可得， 解得 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，因为，所以. 【巩固练习2】在中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据，利用正弦定理求解. 【详解】解：在中，，由正弦定理得， 所以，所以或 【巩固练习3】在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正弦定理得：. 【巩固练习4】记的内角、、的对边分别为、、，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的基本关系以及正弦定理可求得的值. 【详解】因为，则为锐角，且，因为，由正弦定理可得. 【题型3】三角形性质辨析 典型例题 【例题1】在中，角，，的对边分别为，，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据正弦定理分别判断充分性和必要性即可. 【详解】若，则，由正弦定理可知， 则， 则，则可得“”是“”的充分条件， 再由，由正弦定理得，则，则， 则“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的充要条件. 【例题2】（多选）下列说法正确的有( ) A.在△ABC中，a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C B.在△ABC中，若sin 2A=sin 2B，则△ABC为等腰三角形 C.△ABC中，sin A＞sin B是A ＞B的充要条件 D.在△ABC中，若sin A=，则A= 【答案】AC 【详解】由正弦定理 可得： 即成立，故选项A正确； 由可得或， 即或，则是等腰三角形或直角三角形， 故选项B错误；在中，由正弦定理可得， 则是的充要条件，故选项C正确； 在△ABC中，若sin A=，则或，故选项D错误. 巩固练习 题型 【巩固练习1】若在中，是的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】C 【分析】在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】解：在三角形中，若，根据大角对大边可得边，由正弦定理，得． 若，则正弦定理，得，根据大边对大角，可知． 所以，“”是“”的充要条件． 【巩固练习2】（多选）下列说法中正确的有（    ） A.在中， B.在中，若，则 C.在中，若，则；若，则 D.在中， 【答案】ACD 【详解】设外接圆的半径为R，由正弦定理得． 对于A，，正确； 对于B，由二倍角公式得， 则，即， 整理得，即， 则或，所以或，错误； 对于C，（大边对大角），正确； 对于D，，正确． 故选：ACD. 【巩固练习3】（多选）在中，则下列条件是的充要条件的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】解：选项：利用正弦定理可得， 故，等价于，而在中，等价于，故选项正确； 选项，利用同角三角函数关系可得，等价于， 而在中，等价于，故选项正确； 选项，利用二倍角公式可得， 所以，即，等价于， 而在中，等价于，故选项正确； 选项不能推出，如，时满足， 但由大角对大边可得，故选项不正确． 【题型4】三角形面积公式 基础知识 三角形的面积等于两夹边与夹角正弦积的一半： 证明:证明中只给到锐角三角形的情况,钝角和直角三角形的证明方法证明方法相同 任意斜中,如图作,则 同理:；故 典型例题 【例题1】（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，的面积为，则（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据三角形面积公式，结合已知条件求得，再利用余弦定理，即可求得. 【详解】由于，故，由于，的面积为，故， 整理得，解得； 由余弦定理可得，解得. 【例题2】已知的周长为,三内角,,所对的边分别为,,,且. (1)求边长的值;(2)若的面积,求角. 解: (1) 由正弦定理 ,得 , 将上式代入 ,化简得 ,① 又 ,②由①②得 . (2) , 由 ( 1 ) 知 , 由余弦定理得 , . 巩固练习 题型 【巩固练习1】在中,分别为的对边,,三角形的面积为,则 A. 2 B. C. D. 【答案】D 解: 依题意 ,解得 , 由余弦定理得 . 故选: . 【巩固练习2】△ABC中,角,,所对边,,,若的面积,则( ) A. 5 B. 6 C. D. 7 解:的面积,又,.故选:. 【巩固练习3】已知中,角、、所对的边分别为,且. (1)求的值；(2)若的面积,且,求的外接圆半径. 解: 由 ,可得 由 得: ,解得 . 由余弦定理 ,得到 , 由五线定理 ,所以 . 【巩固练习4】在中,已知是钝角,, (1)求的值；(2)若,求的面积. 解: (1) 因为 ,所以 , 则 ,又因为 , 可得 , 所以 ; (2) 如图,作 边上的高 , 则 ,又 ,所以 ,又 3, 可得 ; 因为 是钝角,所以 ,则 , . 即 ,又 , 所以 , 又因为 为锐角, ,所以 ,则 , 的面积为 . 【题型5】余弦弦定理的运用 典型例题 【例题1】在中，若，，则　　 A． B． C． D． 【解析】， 由正弦定理可得，，即，又，则， 由余弦定理可得，，又为的内角，则 【例题2】（23-24高一下·天津和平·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，，则该三角形的外接圆直径 ． 【答案】 【分析】由余弦定理及三角形面积公式得出角C，再由正弦定理求外接圆直径即可. 【详解】由,所以,即, 由,所以,所以,所以. 【例题3】的内角的对边分别为,c.设.求 解:， 由五弦定理得: ，， 巩固练习 题型 【巩固练习1】在中,,,分别是角,,所对的边,若的面积,则( ) A. B. C. D. 解:,, ,且故选:. 【巩固练习2】在中,角所对的边分别为表示的面积,若,则 A. B. C. D. 解:由余弦定理可知 . ,解得,因此.故选:. 【巩固练习3】在中，角所对的边分别为，，且，则的大小为 . 【答案】 【分析】首先利用边角互化，化为，再结合余弦定理得，最后代入余弦定理求角. 【详解】由，得，结合正弦定理可得即①，由余弦定理得，即②， 联立①②可得， 则，故. 【巩固练习4】在中,内角所对的边分别是且求角 解: 由余弦定理可得 【巩固练习5】在中,内角所对的边分别为,若的外接圆的面积为.求. 解: 的外接圆的面积为 外接圆半径为 1 由余弦定理得 所以 代入条件可得: 【题型6】正弦定理边化角，拆角合角，外接圆相关计算 基础知识 拆角与合角的技巧 1. 化简后的式子同时含有三个角时，解题思路是减少角的个数，方法主要有以下两种 ①合角 如： ②拆角——拆单角（“单身狗角”） 如： ，， 2.半角：， 典型例题 【例题1】在中，若，则　　． 【解析】， 由正弦定理可得：， ， ， ， ． 【例题2】在中，，，，则　　 A． B． C． D． 【解析】中，已知， 又， ， ， ． ，，． ，，由正弦定理可得，，，，． ，． 【例题3】在中, 角，，所对的边分别为，，，，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用三角恒等变形化简，并利用同角三角函数公式求得，并利用正弦定理求外接圆半径，即可求得三角形的面积. 【详解】由正弦定理可知,, 即 ，因为,， ，根据正弦定理可知，得， 则的外接圆面积. 巩固练习 题型 【巩固练习1】在中，角所对的边分别为，，，且，求角 【答案】 【详解】由，得， ∴，，，而，∴，即. 【巩固练习2】的外接圆半径为3，则______． 【答案】 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】因为的外接圆半径为3， 由正弦定理可得：， 则有，， 所以，故答案为：. 【巩固练习3】在中，，求的值 【答案】 【详解】因为，所以由正弦定理可得 因为，所以，因为，所以. 【巩固练习4】的内角，，的对边分别为，，，且满足：.求 【答案】； 【分析】首先将已知等式化简，再利用正弦定理将边化角，即可求出结果； 【详解】（1）， 得， ∴. 【题型7】射影定理 基础知识 三角形中的射影定理：在△ABC中，；； 其实射影定理的本质方法还是齐次去角的方法。但是掌握了射影定理, 我们可以很快的看出出题人的心思, 从而快速看出答案,或者在一些结构中可以起到意想不到的效果,学有余力的同学还是建议掌握 典型例题 【例题1】的内角,,的对边分别为,,,有:,求. 解:射影定理法: 由正弦定理得: 消去 【例题2】（24-25高三下·重庆南岸·阶段练习）在中，内角的对边分别为，若，，且，则的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理即得，由正弦定理即得，再根据余弦定理，利用即可得，最后根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】因为，由余弦定理有， 由正弦定理有， 所以， 所以的面积. 巩固练习 题型 【巩固练习1】 的内角 对边分别为 ,已知 . 证明: . 解: 【巩固练习2】在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，，则（    ） A．90 B．60 C．45 D．30 【答案】B 【分析】利用三角形射影定理求出角A，再利用面积定理求出角C即可计算作答. 【详解】在中，由射影定理及得：，解得， 而，则，由余弦定理及得：， 而，因此，，即，又，则， 所以. 【巩固练习3】在中,角,,所对的边分别,,,且,求角 解: , 【题型8】三角形解的个数问题 基础知识 已知三角形的边角边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定． 已知边边角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下： 策略一：由正弦定理得 ①若，则满足条件的三角形个数为0，即无解． ②若，则满足条件的三角形个数为1，即一解． ③若，则满足条件的三角形个数为1或2. 策略二：结合图像 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 典型例题 【例题1】已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足下列条件的有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【分析】只有已知两边及一边的对角时才可能有两解，还需通过正弦定理、三角形的性质判断． 【详解】对于选项A：已知两边及夹角，由三角形全等可知只有一解，故A错误； 对于选项B：由正弦定理可得， 所以无解，故B错误； 对于选项C：由正弦定理可得， 且，则，可知角B有两解，所以有两解，故C正确； 对于选项D：已知三边，根据的取值要么无解，要么只有一解，不可能有两解，故D错误． 【例题2】在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据正弦定理，结合三角形解的个数，即可列式求解. 【详解】根据正弦定理，，则， 若满足条件的有两个，则，解得， 所以的取值范围是. 巩固练习 题型 【巩固练习1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】方法1：A、B、C项通过解三角形来判断其解的个数，D项通过大边对大角与三角形的内角和为可判断其解的个数. 方法2：画图看三角形解的个数. 【详解】对于A项，方法1：∵，，∴，∴由正弦定理得： ∴a、c值唯一确定，∴只有一解. 方法2：如图所示，∴只有一解.  故选项A错误； 对于B项，方法1：由余弦定理得：，∴只有一解. 方法2：如图所示，∴只有一解. 故选项B错误； 对于C项，方法1：由正弦定理得：，解得： 又∵  ∴角B有两个解.   方法2：如图所示，∵，∴， ∴角B有两个解.  故选项C正确； 对于D项 ，方法1：∵，∴，又∵，∴， ∴不存在这样的三角形. 方法2：如图所示，∵，∴∴此时A、B、C三点不能构成三角形.  故选项D错误； 故选：C. 【巩固练习2】中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是________ 【答案】 【分析】根据求解即可得答案. 【详解】因为这个三角形有两解，故满足， 即，解得. 【巩固练习3】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若，且有唯一解，则的取值范围是___________. 【答案】或 【分析】由正弦定理得，对分类讨论，即可判断 【详解】由正弦定理得， 因为有唯一解，当时，即， 唯一，符合题意，得； 当时，有两个值，不唯一，不合题意； 当时，， 所以，唯一，符合题意，得. 所以的取值范围为或. 【巩固练习4】中，已知，，. （1）若恰有一解，则实数的取值范围是　　； （2）若有两解，则实数的取值范围是　　； （3）若无解，则实数的取值范围是　　； 【答案】（1） （2） （3） 【解答】解：，，， 由正弦定理得：， ，若，即时，为直角，只有一解； 若，即时，有两种情况，三角形就有两解； 若，即时，只有一种情形， 若，即，无解 模块二 正余弦定理综合运用 基础知识 知识点01 三角形内角和及三角形常见重要关系 1.内角和：（结合诱导公式），进而有等式子 2.三角形中的恒等变形：① 同理有：，. ②； ③斜三角形中， ④； 3.三角形中的射影定理：在△ABC中，；；． 4.角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例. 即若AD为∠A的角平分线，则有比例关系：. 5. 三角形常用面积公式（后3个解答题中不能直接用） (1)(ha表示边a上的高). (2). (3)（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） 知识点02 拆角与合角的技巧 1. 化简后的式子同时含有三个角时，解题思路是减少角的个数，方法主要有以下两种 ①合角 如： ②拆角——拆单角（“单身狗角”） 如： ，， 2.半角：， 知识点03 常见情况的讨论 中：若 ① ②（舍去） ① ② ① ② ，则或 知识点04 恒等变换回顾 1. 二倍角公式：， 2. 二倍角公式的扩角降幂：.， 忘记了可以用二倍角公式推导:记，则 故， 3. 辅助角公式： 注意：，且与在同一象限 【题型9】余弦定理与完全平方公式结合求周长和面积 基础知识 完全平方公式与三角形周长与面积计算：，，知二求一. 注意：其中与周长有关，与面积有关，与余弦定理有关. 例：△ABC中，已知． （1）若，面积，求的周长 【简证】，， （2）若时，求的面积. 【简证】， 典型例题 【例题1】已知中角，，的对边分别为，，，，，，求的面积． 【答案】 【分析】已知条件结合余弦定理求出，由公式求的面积． 【详解】由余弦定理，及，，得， 即，又，得，所以． 所以的面积 【例题2】中，角，，的对边分别是，，且满足， （1）求角的大小；（2）若的面积为且，求的值． 【解析】（1）又，即， ， 将，利用正弦定理化简得：， ， 在中，，，，又，则 （2）的面积为，， ，，又，， 由余弦定理得：， ，则 【例题3】的角的对边分别为的面积为，若，求的周长. 【答案】 【详解】因为，得①， 又因为的面积为，所以有②， 显然，由①②得， 所以，代入得， 在中，因为， 所以，得， 所以的周长为.    巩固练习 题型 【巩固练习1】在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求；（2）若，且的面积为，求的周长． 【解析】（1）， ． ， ． ， ， ， ． （2）的面积为，，． 由，及，得，． 又，．故其周长为6． 【巩固练习2】在中，a､b､c分别为角A，B，C的对边，已知，，且，则的值等于 . 【答案】 【分析】由正弦定理结合三角恒等变换可得再由三角形面积公式可得，最后结合余弦定理即可得解. 【详解】由正弦定理得， 整理可得：， 可得. 因为A为三角形内角，，所以 又，所以，解得， 由余弦定理得，解得. 【巩固练习3】已知，，分别为三个内角，，的对边，． （1）求；（2）若，的面积为，求． 【解析】（1），， ， ， ， ，， 或， ，（舍， ． （2），，， ，，解得，可得． 【巩固练习4】在△ABC中，已知，，，则△ABC周长为______． 【答案】12 【分析】利用向量数量积的定义和余弦定理即可求解. 【详解】因为，所以，又，所以，， 由余弦定理得，，所以， 所以，所以，则△ABC周长为. 【巩固练习5】（23-24高一下·江苏无锡·期中）记的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理实现边角互化，再结合三角形内角和定理和诱导公式可求角. （2）由三角形面积公式和角，可求的值，再结合余弦定理可求，即可得三角形的周长. 【详解】（1）由 又得 其中 化简得 又得. 即 因为是三角形的内角，所以. （2）由，得， 由余弦定理，得， 得，得， 所以的周长为． 【巩固练习6】（2025·广东茂名·一模）已知分别为三个内角的对边，且. (1)求；(2)若，且的面积为，求. 【答案】(1);(2)或 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得； （2）利用余弦定理及面积公式得到方程组，解得即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又，所以，所以，因为，所以； （2）因为，且的面积为， 所以且， 即，解得或. 【题型10】利用正余弦定理测高或距离问题 【例题1】如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】先根据正弦定理求得，进而在中，利用求解． 【详解】在中，，，， 则， 由正弦定理得， 所以. 在中，， 所以米. 【例题2】（23-24高一下·湖北武汉·期中）如图，为测量武汉防汛纪念碑的高度及取景点与之间的距离（在同一水平面上，雕像垂直该水平面于点，且三点共线），华中师大一附中研究性学习小组同学在三点处测得顶点的仰角分别为，若米，则纪念碑的高度为 米，取景点与之间的距离为 米． 【答案】 ； . 【分析】根据题意可知，再由边角关系可求得AB；求出CB和FB在中由余弦定理即可求解. 【详解】解：由题可知等腰三角形，故, 中，， 故纪念碑的高度为米； 中，， ， 又，由余弦定理可得： ， 解得：， 故取景点与之间的距离为米. 故答案为：；. 【例题3】武灵丛台位于邯郸市丛台公园中心处，为园内的主体建筑，是邯郸古城的象征.某校数学兴趣小组为了测量其高度，在地面上共线的三点，，处分别测得点的仰角为，，，且，则武灵丛台的高度约为（    ） （参考数据：）    A．22m B．27m C．30m D．33m 【答案】B 【分析】设，求出，利用余弦定理在和中，表示出和，两者相等即可解出答案. 【详解】由题知，设， 则，，， 又， 所以在中，，① 在中，，② 联立①②，解得. 【巩固练习1】（23-24高一下·浙江·期中）雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则雷锋塔的高度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在直角三角形中利用锐角三角函数表示斜边长，根据三角形内角和以及平行线性质可得角的度数，在结合正弦定理，可得答案. 【详解】在中，；在中，； 由图可知，易知， 在中，，根据正弦定理可得：， 则. 【巩固练习2】（23-24高一下·湖北·期中）如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则塔高（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】设该塔的高度为米，由题意，根据同角的商关系可得，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】设该塔的高度为米， 则． 在中，， 即，由，解得， 即塔高为30米. 【巩固练习3】如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，则塔高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在直角中，利用正切函数的定义，求得的长，即可求解． 【详解】在中，， 所以 所以， 由正弦定理， 可得， 在直角中，因为 所以， 即塔高为． 【巩固练习4】（23-24高一下·广东广州·期中）某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量某山峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高PQ为（    ）米 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中，利用正弦定理求，进而在中求山的高度. 【详解】依题意，，，则，， 又，则，即有，， 在中，， 由正弦定理得， 且， 则， 在中，， 所以山高为米. 【题型11】判断三角形的形状 典型例题 【例题1】在中，若－，则这个三角形是　　三角形． 【解析】－，，即， ．是直角三角形． 【例题2】在中，角的对边分别为，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【分析】先用二倍角公式化简，结合正弦定理和三角形内角和定理化简判断三角形形状； 【详解】化简得：，， 根据正弦定理整理可得，因为 即，所以或， 可得或或, 所以等腰三角形或直角三角形． 【例题3】在中，若，，则一定是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】由，利用余弦定理可求，再利用三角形内角的关系结合两角和与差的三角函数可求，进而可得三角形的形状. 【详解】解：由 ，根据余弦定理，故，所以，所以，，所以， 所以，因为， 所以， 即，所以，因为，所以， 所以，从而.所以三角形为等边三角形 巩固练习 题型 【巩固练习1】的内角，，的对边分别是，，且满足，则是　　 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【解析】利用正弦定理化简已知的等式得： ，即， 、、为三角形的内角，，即， 则为直角三角形． 【巩固练习2】已知中，，，分别是角，，的对边，且满足，则该三角形的形状是　　 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【解析】已知中，满足， 利用正弦定理整理得：， 转换为， 故，整理得，与三角形的内角相矛盾， 故， 整理得：，解得． 故为直角三角形 【巩固练习3】（2024·四川成都·模拟预测）已知的内角A，，所对的边分别为，，，面积为，若，，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理的边角变换，结合诱导公式与倍角公式求得B；利用面积公式与向量数量积的定义求得A，从而得解 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以，所以； 因为，所以，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以，因为，所以， 所以，则是直角三角形 【巩固练习4】在中，，且，是______三角形． 【答案】等边三角形 【分析】先利用余弦定理求得，再利用两角和与差的余弦公式求得，进而求得，由此求得，据此得解. 【详解】因为，所以， 所以由余弦定理得， 因为，所以， 因为，， 又，所以，则， 所以， 因为，所以，故，即， 又因为，所以， 又，所以是等边三角形. 【题型12】三角形性质综合判断 典型例题 【例题1】（多选）在中，如下判断正确的是　　 A.若，则为等腰三角形 B.若，则 C.若为锐角三角形，则 D.若，则 【答案】 【解答】解：，，， 或，或， 则为等腰或直角三角形． 故错误． ，，，，故正确． 为锐角三角形，为锐角，，，，，故正确． ，，，，故正确． 【例题2】（多选）在中，角所对的边分别为，下列命题正确的是（    ） A.若，的最大内角是最小内角的倍 B.若，则一定为直角三角形 C.若，则外接圆半径为 D.若，则一定是等边三角形 【答案】ABD 【详解】对于A选项，角最小，角最大.由余弦定理得，，，.，则，所以，所以A选项正确. 对于B选项，，由正弦定理得， ，，由于，所以，故B选项正确. 对于C选项，，，， 设三角形外接圆半径为，则，故C选项错误. 对于D选项，，故，同理可得，要使， 则需，所以，所以，所以D选项正确. 巩固练习 题型 【巩固练习1】多选）下列结论正确的是　　 A.在三角形中，若，则 B.在锐角三角形中，不等式恒成立 C.若，则三角形为等腰三角形 D.在锐角三角形中， 【答案】 【解答】解：三角形中，若，则，，即，正确； 由为锐角可得，，即恒成立，正确； 若，则或，三角形为等腰三角形或直角三角形，错误； 锐角三角形中，，所以，所以，同理，所以，正确． 故选：． 【巩固练习2】（多选）在中，内角、、所对的边分别为、、，的面积为，下列与有关的结论，正确的是　　 A.若为锐角三角形，则 B.若，则 C.若，则一定是等腰三角形 D.若为非直角三角形，则 【答案】 【解答】解：对于：当为锐角三角形时，，，，可得成立，故正确． 对于，由于，可得，由正弦定理可得，故正确； 对于，若，则由正弦定理得，即， 则或，即或，则为等腰三角形或直角三角形，故错误； 对于为非直角三角形，所以，整理得，故正确 【巩固练习3】（多选）下列命题中，正确的是　　 A.在中，，则 B.在锐角中，不等式恒成立 C.在中，若，则必是等腰直角三角形 D.在中，若，，则必是等边三角形 【答案】 【解答】解：对于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正确； 对于，在锐角中，，，，，，因此不等式恒成立，正确 对于，在中，由，利用正弦定理可得：， ， ，， 或， 或， 是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，错误． 对于，由于，，由余弦定理可得：，可得，解得，可得，故正确． 【题型13】正余弦定理的综合 典型例题 【例题1】中，若，，则　　． 【解析】，， ，，则，即， 即 【例题2】在中，内角的对边分别为，，求. 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，即， 所以，由余弦定理及得：， 又，所以，即，所以 所以 【例题3】在中，，求A. 【答案】 【详解】在中,， 整理得，即 ，于是 所以， 因为，所以，即 ，所以，又因为，所以， 所以，解得. 点评：拆角+辅助角公式 【例题4】在中，内角所对的边分别为.已知，，求的值. 【答案】 【详解】因为，所以由正弦定理可得:， 在三角形中，，显然，所以， 所以，又因为， 所以或（显然不成立），所以 巩固练习 题型 【巩固练习1】中，若，，则　　． 【解析】，， ，，则，即 【巩固练习2】已知分别为三个内角的对边，且，证明:. 【详解】（1）由， 得， 则， 由正弦定理和余弦定理得， 化简得 【巩固练习3】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求A. 【答案】 点评：拆角+辅助角公式 【解析】（1）由已知得，， 由正弦定理可得，， 因为，所以．代入上式，整理得， 又因为，，所以，即． 而，所以，． 【巩固练习4】在锐角中，内角所对的边分别为，满足，且，求证：. 【详解】由题意得，即． 所以， 由正弦定理得，又由余弦定理得， 所以，故， 故，整理得． 又为锐角三角形，则，，， 所以，因此． 【巩固练习5】在中，内角所对的边分别为.已知，求的值 【答案】 【详解】因为，所以由正弦定理可得:， 在三角形中，，显然，所以， 所以，又因为， 所以或（显然不成立），所以 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $$