七年级数学月考卷（苏州专用，测试范围：苏科版2024七年级下册第7章～第8章）-学易金卷：2024-2025学年初中下学期第一次月考

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年七年级数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：苏科版2024七年级下册第7章-第8章。 5．难度系数：0.85。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．如图①，从边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则根据两部分阴影面积相等可以验证的数学公式为（   ） A． B． C． D． 5．下面是小丽同学计算的过程： 解：…① …② ．…③ 则步骤①②③依据的运算性质分别是（   ） A．积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法 B．幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法 C．同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方 D．幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方 6．当时，比较两个代数式的大小关系： （    ） A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定 7．计算的值等于（   ） A．4 B． C．5 D． 8．如图，小正方形和大正方形相邻，，，三点在同一条直线上，，，三点在同一条直线上．连接、、，若阴影部分的面积为，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．计算：（1） ；（2） ． 10．已知，则的值为 ． 11．计算： ． 12．已知，，则 ． 13．如果，那么 ． 14．如图，在一个长为，宽为的长方形木板的四个角上各裁去一个边长为的正方形木板，则剩下部分的木板（即阴影部分）的面积为 ．（化简） 15．若x，y均为正数，，则与之间的数量关系为 ． 16．已知，，，则的值是 ． 三、解答题：本题共11小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（5分）． 18．（5分）计算： 19．（5分）先化简，再求值：，其中． 20．（5分）已知，，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 21．（5分）运用所学乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 22.（5分）（推理能力）阅读下面例题的解题过程： 例：已知，请你用含的代数式表示． 解：因为，所以，或． 解决问题：若，试用含的代数式表示． 23．（6分）某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为米，宽为米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． (1)用含的式子表示安装健身器材区域的地面面积，并化简； (2)当，时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； (3)在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需元，铺设水泥地面每平方米需元，求建设该居民健身场所所需的地面费用． 24．（6分）在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣． （i）阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下： 解：，，， ． （ii）阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值． 分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：，， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： (1)比较，，的大小（用“＜”号连接起来）． (2)计算：． 25．（8分）【发现】两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和． 【验证】如，为偶数，请把20的一半表示为两个正整数的平方和：__________． 【探究】设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确． 【拓展】已知，，求的值． 26．（8分）规定新运算：（其中m、n为正整数）．例如， 若，则． (1)若， ①求的值； ②当，求n的值； (2)若，求的值． 27．（10分）如图，有三张边长分别为，，的正方形纸片，，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为． (1)若，，图1中阴影部分周长_____，图2中阴影部分周长_____； (2)求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差（用含，，的代数式表示）． (3)若，那么与满足下列_____关系． A．    B．    C．    D． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级数学下学期第一次月考卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A A B A A A D 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．， 10．3 11． 12．4 13． 14． 15． 16． 三、解答题：本题共11小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（5分） 【详解】解： ．…………………………………………5分 18．（5分） 【详解】解：原式=   =．………………………………………5分 19．（5分） 【详解】解： ，…………………………………………3分 当时，原式．…………………………………………6分 20．（5分） 【详解】（1）解：∵，， ∴；…………………………………………2分 （2）∵，， ∴；…………………………………………4分 （3）∵，， ∴；…………………………………………6分 21．（5分） 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ；…………………………………………3分 （2） ， ， …………………………………………6分 22.（5分） 【详解】解：． …………………………………………4分 将代入，得．…………………………………………8分 23．（6分） 【详解】（1） （平方米）， 答：安装健身器材的区域面积为平方米；…………………………………………3分 （2）当，时， 安装健身器材区域的地面面积（平方米）， 篮球场地面积（平方米）， 答：篮球场地面积为平方米，安装健身器材的区域面积为平方米；…………………………………………6分 （3）（元）， 答：建设该居民健身场所所需的地面费用为元．…………………………………………8分 24．（6分） 【详解】（1）解：依题意，，，， 而， ；…………………………………………4分 （2）解： ．…………………………………………8分 25．（8分） 【详解】解：验证： ， 故答案为：；…………………………………………2分 探究： ， 故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数， 且该偶数的一半，即是正整数m，n的平方和． …………………………………………4分 拓展： ∵，∴，…………………………………………6分 且由探究知， ∴． …………………………………………8分 26．（8分） 【详解】（1）解：， ．…………………………………………2分 ② ， 又， ， ， ．…………………………………………5分 （2）解：依题意得，，， .…………………………………………8分 27．（10分） 【详解】（1）解：根据图形可知，长方形的边长为，宽为， 则， ， 将，，代入，得出，， 故答案为：；．…………………………………………3分 （2）解：根据图形可知，长方形的边长为，宽为， 则， ， 故．…………………………………………6分 （3）解：由（1）和（2）得出，，， 故， 将，代入，得， 整理得：， 即， 故答案为：C．…………………………………………10分 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2024-2025学年七年级下学期第一次月考卷 数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题 2 分，共 16 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题 2 分，共 16 分） ______________ 10 ． ______________ 11 ． ______________ 12 ． ______________ 13 ． ______________ 14 ． ______________ 15 ． ______________ 16 ． ______________ 三 、解答题：本题共 11 小题，共 68 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17． （5分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18． （5分） 19 ．（ 5 分） 20． （5分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21． （5分） 22 .（5分） 23． （6分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 24． （6分） 25． （8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 26． （8分） （ 3 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 27． （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年七年级下学期第一次月考卷 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（5 分） 19．（5 分） 20．（5 分） 21．（5 分） 22.（5 分） 23．（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、选择题（每小题 2 分，共 16 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8[A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 2 分，共 16 分） 9．______________ 10．______________11．______________12．______________ 13．______________14．______________15．______________16．______________ 三、解答题：本题共 11 小题，共 68分。解答应写出文字说明、证明过 程或演算步棸。 17．（5 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（6 分） 25．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（8 分） 27．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年七年级数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：苏科版2024七年级下册第7章-第8章。 5．难度系数：0.85。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．如图①，从边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则根据两部分阴影面积相等可以验证的数学公式为（   ） A． B． C． D． 5．下面是小丽同学计算的过程： 解：…① …② ．…③ 则步骤①②③依据的运算性质分别是（   ） A．积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法 B．幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法 C．同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方 D．幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方 6．当时，比较两个代数式的大小关系： （    ） A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定 7．计算的值等于（   ） A．4 B． C．5 D． 8．如图，小正方形和大正方形相邻，，，三点在同一条直线上，，，三点在同一条直线上．连接、、，若阴影部分的面积为，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．计算：（1） ；（2） ． 10．已知，则的值为 ． 11．计算： ． 12．已知，，则 ． 13．如果，那么 ． 14．如图，在一个长为，宽为的长方形木板的四个角上各裁去一个边长为的正方形木板，则剩下部分的木板（即阴影部分）的面积为 ．（化简） 15．若x，y均为正数，，则与之间的数量关系为 ． 16．已知，，，则的值是 ． 三、解答题：本题共11小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（5分）． 18．（5分）计算： 19．（5分）先化简，再求值：，其中． 20．（5分）已知，，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 21．（5分）运用所学乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 22.（5分）（推理能力）阅读下面例题的解题过程： 例：已知，请你用含的代数式表示． 解：因为，所以，或． 解决问题：若，试用含的代数式表示． 23．（6分）某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为米，宽为米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． (1)用含的式子表示安装健身器材区域的地面面积，并化简； (2)当，时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； (3)在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需元，铺设水泥地面每平方米需元，求建设该居民健身场所所需的地面费用． 24．（6分）在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣． （i）阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下： 解：，，， ． （ii）阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值． 分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：，， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： (1)比较，，的大小（用“＜”号连接起来）． (2)计算：． 25．（8分）【发现】两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和． 【验证】如，为偶数，请把20的一半表示为两个正整数的平方和：__________． 【探究】设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确． 【拓展】已知，，求的值． 26．（8分）规定新运算：（其中m、n为正整数）．例如， 若，则． (1)若， ①求的值； ②当，求n的值； (2)若，求的值． 27．（10分）如图，有三张边长分别为，，的正方形纸片，，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为． (1)若，，图1中阴影部分周长_____，图2中阴影部分周长_____； (2)求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差（用含，，的代数式表示）． (3)若，那么与满足下列_____关系． A．    B．    C．    D． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：苏科版2024七年级下册第7章-第8章。 5．难度系数：0.85。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 故选B． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、 ，原计算正确，符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、 ，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：A． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 故选：A． 4．如图①，从边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则根据两部分阴影面积相等可以验证的数学公式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，如图①中阴影部分的面积为， 拼接成如图②所示的长方形的长为，宽为， ∴阴影部分的面积为， ∴， 故选：B ． 5．下面是小丽同学计算的过程： 解：…① …② ．…③ 则步骤①②③依据的运算性质分别是（   ） A．积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法 B．幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法 C．同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方 D．幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方 【答案】A 【详解】解：由题意得，步骤①是积的乘方，步骤②是幂的乘方，步骤③是同底数幂乘法， 故选：A． 6．当时，比较两个代数式的大小关系： （    ） A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定 【答案】A 【详解】解； ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．计算的值等于（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【详解】解： ． 故选：A． 8．如图，小正方形和大正方形相邻，，，三点在同一条直线上，，，三点在同一条直线上．连接、、，若阴影部分的面积为，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设小正方形的边长为，大正方形的边长为 则，， ， 阴影部分的面积为， ， ， ， 即大正方形的面积与小正方形的面积之差为； 故选：D 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．计算：（1） ；（2） ． 【答案】 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 10．已知，则的值为 ． 【答案】3 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：3． 11．计算： ． 【答案】 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 12．已知，，则 ． 【答案】4 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 13．如果，那么 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 14．如图，在一个长为，宽为的长方形木板的四个角上各裁去一个边长为的正方形木板，则剩下部分的木板（即阴影部分）的面积为 ．（化简） 【答案】 【详解】解： ， ∴阴影部分面积为， 故答案为；． 15．若x，y均为正数，，则与之间的数量关系为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 16．已知，，，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：，， ， 所以原式 ， 故答案为：． 三、解答题：本题共11小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（5分）． 【详解】解： ．…………………………………………5分 18．（5分）计算： 【详解】解：原式=   =．………………………………………5分 19．（5分）先化简，再求值：，其中． 【详解】解： ，…………………………………………3分 当时，原式．…………………………………………6分 20．（5分）已知，，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：∵，， ∴；…………………………………………2分 （2）∵，， ∴；…………………………………………4分 （3）∵，， ∴；…………………………………………6分 21．（5分）运用所学乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ；…………………………………………3分 （2） ， ， …………………………………………6分 22.（5分）（推理能力）阅读下面例题的解题过程： 例：已知，请你用含的代数式表示． 解：因为，所以，或． 解决问题：若，试用含的代数式表示． 【详解】解：． …………………………………………4分 将代入，得．…………………………………………8分 23．（6分）某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为米，宽为米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． (1)用含的式子表示安装健身器材区域的地面面积，并化简； (2)当，时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； (3)在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需元，铺设水泥地面每平方米需元，求建设该居民健身场所所需的地面费用． 【详解】（1） （平方米）， 答：安装健身器材的区域面积为平方米；…………………………………………3分 （2）当，时， 安装健身器材区域的地面面积（平方米）， 篮球场地面积（平方米）， 答：篮球场地面积为平方米，安装健身器材的区域面积为平方米；…………………………………………6分 （3）（元）， 答：建设该居民健身场所所需的地面费用为元．…………………………………………8分 24．（6分）在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣． （i）阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下： 解：，，， ． （ii）阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值． 分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：，， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： (1)比较，，的大小（用“＜”号连接起来）． (2)计算：． 【详解】（1）解：依题意，，，， 而， ；…………………………………………4分 （2）解： ．…………………………………………8分 25．（8分）【发现】两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和． 【验证】如，为偶数，请把20的一半表示为两个正整数的平方和：__________． 【探究】设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确． 【拓展】已知，，求的值． 【详解】解：验证： ， 故答案为：；…………………………………………2分 探究： ， 故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数， 且该偶数的一半，即是正整数m，n的平方和． …………………………………………4分 拓展： ∵，∴，…………………………………………6分 且由探究知， ∴． …………………………………………8分 26．（8分）规定新运算：（其中m、n为正整数）．例如， 若，则． (1)若， ①求的值； ②当，求n的值； (2)若，求的值． 【详解】（1）解：， ．…………………………………………2分 ② ， 又， ， ， ．…………………………………………5分 （2）解：依题意得，，， .…………………………………………8分 27．（10分）如图，有三张边长分别为，，的正方形纸片，，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为． (1)若，，图1中阴影部分周长_____，图2中阴影部分周长_____； (2)求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差（用含，，的代数式表示）． (3)若，那么与满足下列_____关系． A．    B．    C．    D． 【详解】（1）解：根据图形可知，长方形的边长为，宽为， 则， ， 将，，代入，得出，， 故答案为：；．…………………………………………3分 （2）解：根据图形可知，长方形的边长为，宽为， 则， ， 故．…………………………………………6分 （3）解：由（1）和（2）得出，，， 故， 将，代入，得， 整理得：， 即， 故答案为：C．…………………………………………10分 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$