2024-2025学年下学期高一数学人教A版必修第二册第10章概率10.3频率与概率

频率与概率 (时间：45分钟　分值：100分) 基础达标 一、选择题 1．(5分)在进行n次反复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，事件A发生的概率P(A)与的关系是(　　) A．P(A)≈ B．P(A)< C．P(A)> D．P(A)＝ 2．(5分)一个容量为20的样本，分组与频数如下表： 分组 [10,20) [20,30) [30,40) 频数 2 3 4 分组 [40,50) [50,60) [60,70] 频数 5 4 2 则样本在[10,50)内的频率为(　　) A．0.5 B．0.24 C．0.6 D．0.7 3．(5分)一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目为(　　) A．200颗 B．300颗 C．400颗 D．500颗 4．(5分)某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0～9之间的整数随机数，由于成功率是0.6，我们用0,1,2,3表示手术不成功，4,5,6,7,8,9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数： 812,832,569,683,271,989,730,537,925,907 由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为(　　) A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 5．(6分)(多选)某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是(　　) A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.18 C．P(C)＝0.27 D．P(B＋C)＝0.55 二、填空题 6．(5分)某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次10环，3次9环，4次8环，1次脱靶，在这次练习中，这个人中靶的频率是________，中9环的概率是________． 7．(5分)在用随机(整数)模拟求“有4个男生和5个女生，从中取4个，求选出2个男生2个女生”的概率时，可让计算机产生1～9的随机整数，并用1～4代表男生，用5～9代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．若得到的一组随机数为“4678”，则它代表的含义是__________________． 8．(5分)在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有50个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在30%和40%，则口袋中白色球的个数可能是________． 三、解答题 9．(10分)某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000根，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：h)进行了统计，统计结果如下表所示： 分组 [700， 900) [900， 1100) [1100， 1300) [1300， 1500) [1500， 1700) [1700， 1900) [1900， 2100] 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率 (1)将各组的频率填入表中； (2)用频率估计概率，根据上述统计结果，估计该种型号的灯管的使用寿命不足1500 h的概率． 10. (10分)有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下两种方案中选一种： A．猜“是奇数”或“是偶数” B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数” 请回答下列问题： (1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？ (2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？ 能力提升 11．(5分)某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图(如图)，则符合这一结果的试验可能是(　　) A．抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上 B．抛掷一个质地均匀的正方体骰子，出现3点朝上 C．一副去掉大、小王的扑克牌洗匀后，从中任意抽取一张牌的花色是红桃 D．从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 12．(5分)某家庭准备晚上在餐馆吃饭，他们查看了两个网站关于四家餐馆的好评率，如下表所示，考虑每家餐馆的总好评率，他们应选择(　　) 网站① 评价人数 网站① 好评率 网站② 评价人数 网站② 好评率 餐馆甲 1000 95% 1000 85% 餐馆乙 1000 100% 2000 80% 餐馆丙 1000 90% 1000 90% 餐馆丁 2000 95% 1000 85% A．餐馆甲 B．餐馆乙 C．餐馆丙 D．餐馆丁 13．(5分)某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品．规则如下： (1)摇号的初始中签率为0.19； (2)当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05. 为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动． 14．(12分)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 (1)记事件A＝“续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值； (2)记事件B＝“续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值； (3)求续保人本年度平均保费的估计值． 拓展探究 15．(12分)某控制器中有一个易损部件，现统计了30个该部件的使用寿命，结果如下(单位：小时)： 710　721　603　615　760　742　841　591　 590　721　718　750　760　713　709　681　 736　654　722　732　722　715　726　699　 755　751　709　733　705　700 (1)估计该部件的使用寿命达到一个月的概率(一个月按30天计算)； (2)为了保证该控制器能稳定工作，将n个同样的部件连接在一起组成集成块(如图)，每一个部件是否能正常工作互不影响．对比n＝2和n＝3，哪个能保证集成块使用寿命达到一个月的概率超过0.8? 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 频率与概率 (时间：45分钟　分值：100分) 基础达标 一、选择题 1．(5分)在进行n次反复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，事件A发生的概率P(A)与的关系是(　　) A．P(A)≈ B．P(A)< C．P(A)> D．P(A)＝ [解析]　在进行n次反复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，越来越接近于P(A)，所以可以用近似的代替P(A)，即P(A)≈，故选A. [答案]　A 2．(5分)一个容量为20的样本，分组与频数如下表： 分组 [10,20) [20,30) [30,40) 频数 2 3 4 分组 [40,50) [50,60) [60,70] 频数 5 4 2 则样本在[10,50)内的频率为(　　) A．0.5 B．0.24 C．0.6 D．0.7 [解析]　由题表可知，样本在[10,50)内的频数为2＋3＋4＋5＝14，样本量为20，所以样本在[10,50)内的频率为＝0.7. [答案]　D 3．(5分)一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目为(　　) A．200颗 B．300颗 C．400颗 D．500颗 [解析]　设白色围棋子的数目为n，则由已知可得＝，解得n＝300，即白色围棋子的数目大约有300颗． [答案]　B 4．(5分)某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0～9之间的整数随机数，由于成功率是0.6，我们用0,1,2,3表示手术不成功，4,5,6,7,8,9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数： 812,832,569,683,271,989,730,537,925,907 由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为(　　) A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 [解析]　由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有569,989，共2个，估计“3例心脏手术全部成功”的概率为＝0.2. [答案]　A 5．(6分)(多选)某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是(　　) A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.18 C．P(C)＝0.27 D．P(B＋C)＝0.55 [解析]　依题意得，P(A)＝＝0.55，P(B)＝＝0.18，显然事件A，B互斥，P(C)＝1－P(A＋B)＝1－P(A)－P(B)＝0.27，事件B，C互斥，则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.45，故选项A，B，C都正确，选项D不正确． [答案]　ABC 二、填空题 6．(5分)某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次10环，3次9环，4次8环，1次脱靶，在这次练习中，这个人中靶的频率是________，中9环的概率是________． [解析]　打靶10次，9次中靶，故中靶的频率为＝0.9，其中3次中9环，故中9环的概率是＝0.3. [答案]　0.9　0.3 7．(5分)在用随机(整数)模拟求“有4个男生和5个女生，从中取4个，求选出2个男生2个女生”的概率时，可让计算机产生1～9的随机整数，并用1～4代表男生，用5～9代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．若得到的一组随机数为“4678”，则它代表的含义是__________________． [解析]　1～4代表男生，5～9代表女生，4678表示一男三女． [答案]　选出的4个人中，只有1个男生 8．(5分)在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有50个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在30%和40%，则口袋中白色球的个数可能是________． [解析]　∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在30%和40%，∴摸到白色球的频率为1－30%－40%＝30%，故口袋中白色球的个数可能是50×30%＝15. [答案]　15 三、解答题 9．(10分)某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000根，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：h)进行了统计，统计结果如下表所示： 分组 [700， 900) [900， 1100) [1100， 1300) [1300， 1500) [1500， 1700) [1700， 1900) [1900， 2100] 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率 (1)将各组的频率填入表中； (2)用频率估计概率，根据上述统计结果，估计该种型号的灯管的使用寿命不足1500 h的概率． [解]　(1)填表如下： 分组 [700， 900) [900， 1100) [1100， 1300) [1300， 1500) [1500， 1700) [1700， 1900) [1900， 2100] 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042 (2)样本中使用寿命不足1500 h的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中使用寿命不足1500 h的频率是＝0.6，即估计该种型号的灯管的使用寿命不足1500 h的概率为0.6. 10. (10分)有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下两种方案中选一种： A．猜“是奇数”或“是偶数” B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数” 请回答下列问题： (1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？ (2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？ [解]　(1)A方案中，“是奇数”和“是偶数”的概率都为0.5；B方案中，“是4的整数倍数”的概率为0.2，“不是4的整数倍数”的概率为0.8，为了尽可能获胜，应选择B方案，猜“不是4的整数倍数”获胜的概率最大． (2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A. 因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏是公平的． 能力提升 11．(5分)某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图(如图)，则符合这一结果的试验可能是(　　) A．抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上 B．抛掷一个质地均匀的正方体骰子，出现3点朝上 C．一副去掉大、小王的扑克牌洗匀后，从中任意抽取一张牌的花色是红桃 D．从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 [解析]　由折线图可知，频率稳定在0.3到0.4之间，抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率为0.5，不符合，故A错；抛掷一个质地均匀的正方体骰子，出现3点朝上的概率为，不符合，故B错；一副去掉大、小王的扑克牌洗匀后，从中任意抽取一张牌的花色是红桃的概率为，不符合，故C错；从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为，在0.3到0.4之间，符合题意，故D对． [答案]　D 12．(5分)某家庭准备晚上在餐馆吃饭，他们查看了两个网站关于四家餐馆的好评率，如下表所示，考虑每家餐馆的总好评率，他们应选择(　　) 网站① 评价人数 网站① 好评率 网站② 评价人数 网站② 好评率 餐馆甲 1000 95% 1000 85% 餐馆乙 1000 100% 2000 80% 餐馆丙 1000 90% 1000 90% 餐馆丁 2000 95% 1000 85% A．餐馆甲 B．餐馆乙 C．餐馆丙 D．餐馆丁 [解析]　餐馆甲的总好评率为＝90%，餐馆乙的总好评率为≈86.67%，餐馆丙的总好评率为＝90%，餐馆丁的总好评率为≈91.67%，显然91.67%>90%>86.67%，所以餐馆丁的总好评率最高． [答案]　D 13．(5分)某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品．规则如下： (1)摇号的初始中签率为0.19； (2)当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05. 为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动． [解析]　因为摇号的初始中签率为0.19，所以要使中签率超过0.9，需要增加中签率超过0.9－0.19＝0.71，因为每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05，＝14.2，所以至少需要邀请15位好友参与到“好友助力”活动． [答案]　15 14．(12分)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 (1)记事件A＝“续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值； (2)记事件B＝“续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值； (3)求续保人本年度平均保费的估计值． [解]　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2，由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55. (2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4，由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3. (3)由所给数据得 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a. 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a. 拓展探究 15．(12分)某控制器中有一个易损部件，现统计了30个该部件的使用寿命，结果如下(单位：小时)： 710　721　603　615　760　742　841　591　 590　721　718　750　760　713　709　681　 736　654　722　732　722　715　726　699　 755　751　709　733　705　700 (1)估计该部件的使用寿命达到一个月的概率(一个月按30天计算)； (2)为了保证该控制器能稳定工作，将n个同样的部件连接在一起组成集成块(如图)，每一个部件是否能正常工作互不影响．对比n＝2和n＝3，哪个能保证集成块使用寿命达到一个月的概率超过0.8? [解]　(1)一天24小时，一个月30×24＝720(小时)，样本中满足使用寿命在720小时及以上的部件有15个，所以所求概率的估计值为＝. (2)要保证集成块使用寿命达到一个月，即要保证集成块中至少有一个部件的使用寿命达到一个月．记A表示一个部件的使用寿命达到一个月，a表示一个部件的使用寿命不能达到一个月． 当n＝2时，所有可能的结果有4种：AA，Aa，aA，aa，满足要求的有3种，故所求概率为P1＝＝0.75<0.8； 当n＝3时，所有可能的结果有8种：AAA，AAa，AaA，aAA，Aaa，aAa，aaA，aaa，其中满足要求的有7种，故所求概率为P2＝>0.8. 综上，当n＝3时，满足要求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$