2024-2025学年下学期高一数学人教A版必修第二册第10章概率10.2事件的相互独立性

事件的相互独立性 (时间：45分钟　分值：100分) 基础达标 一、选择题 1．(5分)在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为(　　) A．0.28 B．0.12 C．0.42 D．0.16 [解析]　甲未通过的概率为0.3，则甲未通过而乙通过的概率为0.3×0.4＝0.12. [答案]　B 2．(5分)分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，“2枚结果相同”为事件C，有下列三个命题： ①事件A与事件B相互独立； ②事件B与事件C相互独立； ③事件C与事件A相互独立． 以上命题中，正确的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [解析]　P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(AB)＝P(AC)＝P(BC)＝，因为P(AB)＝＝P(A)P(B)，故A，B相互独立；因为P(AC)＝＝P(A)P(C)，故A，C相互独立；因为P(BC)＝＝P(B)P(C)，故B，C相互独立；综上，故选D. [答案]　D 3．(5分)如图，用K，A1，A2三种不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次是0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为(　　) A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576 [解析]　根据题意，记K、A1、A2正常工作分别为事件A、B、C，则P(A)＝0.9，A1、A2至少有一个正常工作的概率为1－P()·P()＝1－0.2×0.2＝0.96，则系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864. [答案]　B 4．(6分)(多选)已知事件A，B，且P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，则(　　) A．如果B⊆A，那么P(A∪B)＝0.4，P(AB)＝0.3 B．如果A与B互斥，那么P(A∪B)＝0.7，P(AB)＝0 C．如果A与B相互独立，那么P(A∪B)＝0.7，P(AB)＝0.12 D．如果A与B相互独立，那么P()＝0.42，P(B)＝0.18 [解析]　如果B⊆A，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(B)＝P(A)＝0.4，P(AB)＝P(B)＝0.3，故A正确；如果A与B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.3＝0.7，P(AB)＝0，故B正确；如果A与B相互独立，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.4＋0.3－P(AB)＝0.7－P(A)P(B)＝0.7－0.4×0.3＝0.58，P(AB)＝0.4×0.3＝0.12，故C不正确；如果A与B相互独立，则P(B)＝P()P(B)＝[1－P(A)]P(B)＝(1－0.4)×0.3＝0.18，P()＝P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)]＝(1－0.4)×(1－0.3)＝0.42，故D正确． [答案]　ABD 5．(6分)(多选)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则(　　) A．2个球不都是红球的概率是 B．2个球都是红球的概率是 C．至少有1个红球的概率是 D．2个球中恰好有1个红球的概率是 [解析]　2个球不都是红球的概率为1－×＝，故A不正确；2个球都是红球的概率为×＝，故B正确；至少有一个红球的概率为1－×＝，故C正确；2个球中恰好有1个红球的概率为×＋×＝，故D正确． [答案]　BCD 二、填空题 6．(5分)某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则他们淋雨的概率是________． [解析]　由题意，A表示下雨，B表示准时收到帐篷，且P(A)＝P(B)＝，所以淋雨的可能性为P(A)P()＝×＝. [答案]　 7．(5分)两个人射击，互相独立．已知甲射击一次中靶概率是0.6，乙射击一次中靶概率是0.3，现在两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目标，则完成目标的概率为________． [解析]　∵甲射击一次中靶概率是0.6，乙射击一次中靶概率是0.3，∴两人均没有射中的概率为(1－0.6)×(1－0.3)＝0.28，∴完成目标的概率P＝1－0.28＝0.72. [答案]　0.72 8．(5分)某机构对国产杀毒软件进行考核，每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰，已知某个软件在四轮考核中能够准确对病毒进行查杀的概率依次是，，，，且各轮考核能否通过互不影响，则该软件至多进入第三轮考核的概率为________． [解析]　设事件Ai(i＝1,2,3,4)表示“该软件在第i轮能够准确对病毒进行查杀”，由已知得P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝，设事件C表示“该软件至多进入第三轮”，则P(C)＝P(1＋A12＋A1A23)＝P(1)＋P(A12)＋P(A1A23)＝＋×＋××＝. [答案]　 三、解答题 9．(10分)根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，且购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立． (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率； (2)求一位车主购买乙种保险且不购买甲种保险的概率． [解]　(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”， 则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3. (2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”， 则D＝B，所以P(D)＝P(B)＝P()P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3. 10．(10分)某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达、延迟5分钟内送达、延迟5至10分钟送达、其他延迟情况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次奖励3元、奖励0元、罚款3元、罚款6元．假定评定为等级A，B，C的概率分别是，，. (1)若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率； (2)若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为3元的概率． [解]　(1)设事件A，B，C，D分别表示“评定为等级a，b，c，d”， 由题意，事件A，B，C，D两两互斥，又A∪B＝“不被罚款”， 所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. 因此，“不被罚款”的概率为. (2)设事件Ai，Bi，Ci，Di表示“第i单被评为等级a，b，c，d”，i＝1,2，则“两单共获得的奖励为3元”即事件(A1B2)∪(A2B1)，且事件A1B2，A2B1彼此互斥， 又P(A1B2)＝P(A2B1)＝×＝， 所以P＝P[(A1B2)∪(A2B1)]＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝×2＝. 能力提升 11．(5分)甲、乙两队进行羽毛球决赛，甲队只要再胜一局就获得冠军，乙队需要再胜两局才能获得冠军，若每局甲队获胜的概率为，则甲队获得冠军的概率为(　　) A． B． C． D． [解析]　由已知得甲队获胜可能分为以下两种情况：①第一局甲队获胜，此时的概率为；②第一局乙队获胜，第二局甲队获胜，此时的概率为×＝，综上所述，甲队获胜的概率为＋＝. [答案]　D 12．(5分)某大学的“书法”“篮球”“轮滑”三个社团考核挑选新社员，已知某大一新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“书法”“篮球”“轮滑”三个社团考核的概率依次为m，，n，且他是否通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都能通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则m＋n等于(　　) A． B． C． D． [解析]　因为至少通过一个社团考核的概率为，则三个社团都没有通过的概率为，依题意得 即解得m＋n＝. [答案]　B 13．(5分)甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，这些小球除颜色外完全相同．从每袋中任取1个球，则取得同色球的概率为________． [解析]　设从甲袋中任取1个球，事件A为“取得白球”，则事件为“取得红球”；从乙袋中任取1个球，事件B为“取得白球”，则事件为“取得红球”．易知P(A)＝＝，P()＝，P(B)＝＝，P()＝.∵事件A与B相互独立，∴事件与也相互独立．∴从每袋中任取1个球，取得同色球的概率为P(AB∪)＝P(AB)＋P()＝P(A)P(B)＋P()P()＝×＋×＝. [答案]　 14．(11分)为刺激消费，逐渐形成以国内大循环为主体，国内、国际双循环相互促进的新发展格局，某市给市民发放面额为100元的旅游消费券，由抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如下表： 消费额 200元 300元 400元 500元 老年 0.4 0.3 0.2 0.1 中年 0.3 0.4 0.2 0.1 青年 0.3 0.3 0.2 0.2 某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点．求： (1)这三人中恰有两人的消费额不少于300元的概率； (2)这三人的消费总额大于或等于1300元的概率． [解]　(1)设三人中恰有两人的消费额不少于300元的概率为P1， 则P1＝(0.7)2×0.4＋2×0.3×0.7×0.6＝0.448. (2)消费总额为1500元的概率是0.1×0.1×0.2＝0.002，消费总额为1400元的概率是(0.1)2×0.2＋2×(0.2)2×0.1＝0.01， 消费总额为1300元的概率是(0.1)2×0.3＋0.3×0.1×0.2＋0.1×0.4×0.2＋(0.2)3＋2×(0.2)2×0.1＝0.033，则有0.002＋0.01＋0.033＝0.045， 所以消费总额大于或等于1300元的概率是0.045. 拓展探究 15．(12分)某市为传播中华文化，举办中华文化知识选拔大赛．决赛阶段进行线上答题，题型分为选择题和填空题两种，每次答题相互独立．选择题答对得5分，否则得0分．填空题答对得4分，否则得0分．将得分逐题累加． (1)若小明直接做3道选择题，他做对这3道选择题的概率依次为，，.求他得分不低于10分的概率； (2)规定每人最多答3题，若得分高于7分，则通过决赛，立即停止答题，否则继续答题，直到答完3题为止．已知小红做对每道选择题的概率均为，做对每道填空题的概率均为.现有两种方案： 方案一：依次做一道选择题两道填空题； 方案二：做三道填空题． 请你推荐一种合理的方案给小红． [解]　(1)记“小明得分不低于10分”为事件A， 则P(A)＝××＋××＋××＋××＝＋＋＋＝＝. (2)记“方案一通过决赛”为事件B， 则P(B)＝×＋××＋××＝＋＋＝＝， 记“方案二通过决赛”为事件C， 则P(C)＝×＋××＋××＝＋＋＝＝， 因为P(C)>P(B)， 所以推荐方案二给小红. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 事件的相互独立性 (时间：45分钟　分值：100分) 基础达标 一、选择题 1．(5分)在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为(　　) A．0.28 B．0.12 C．0.42 D．0.16 2．(5分)分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，“2枚结果相同”为事件C，有下列三个命题： ①事件A与事件B相互独立； ②事件B与事件C相互独立； ③事件C与事件A相互独立． 以上命题中，正确的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 3．(5分)如图，用K，A1，A2三种不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次是0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为(　　) A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576 4．(6分)(多选)已知事件A，B，且P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，则(　　) A．如果B⊆A，那么P(A∪B)＝0.4，P(AB)＝0.3 B．如果A与B互斥，那么P(A∪B)＝0.7，P(AB)＝0 C．如果A与B相互独立，那么P(A∪B)＝0.7，P(AB)＝0.12 D．如果A与B相互独立，那么P()＝0.42，P(B)＝0.18 5．(6分)(多选)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则(　　) A．2个球不都是红球的概率是 B．2个球都是红球的概率是 C．至少有1个红球的概率是 D．2个球中恰好有1个红球的概率是 二、填空题 6．(5分)某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则他们淋雨的概率是________． 7．(5分)两个人射击，互相独立．已知甲射击一次中靶概率是0.6，乙射击一次中靶概率是0.3，现在两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目标，则完成目标的概率为________． 8．(5分)某机构对国产杀毒软件进行考核，每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰，已知某个软件在四轮考核中能够准确对病毒进行查杀的概率依次是，，，，且各轮考核能否通过互不影响，则该软件至多进入第三轮考核的概率为________． 三、解答题 9．(10分)根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，且购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立． (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率； (2)求一位车主购买乙种保险且不购买甲种保险的概率． 10．(10分)某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达、延迟5分钟内送达、延迟5至10分钟送达、其他延迟情况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次奖励3元、奖励0元、罚款3元、罚款6元．假定评定为等级A，B，C的概率分别是，，. (1)若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率； (2)若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为3元的概率． 能力提升 11．(5分)甲、乙两队进行羽毛球决赛，甲队只要再胜一局就获得冠军，乙队需要再胜两局才能获得冠军，若每局甲队获胜的概率为，则甲队获得冠军的概率为(　　) A． B． C． D． 12．(5分)某大学的“书法”“篮球”“轮滑”三个社团考核挑选新社员，已知某大一新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“书法”“篮球”“轮滑”三个社团考核的概率依次为m，，n，且他是否通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都能通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则m＋n等于(　　) A． B． C． D． 13．(5分)甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，这些小球除颜色外完全相同．从每袋中任取1个球，则取得同色球的概率为________． 14．(11分)为刺激消费，逐渐形成以国内大循环为主体，国内、国际双循环相互促进的新发展格局，某市给市民发放面额为100元的旅游消费券，由抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如下表： 消费额 200元 300元 400元 500元 老年 0.4 0.3 0.2 0.1 中年 0.3 0.4 0.2 0.1 青年 0.3 0.3 0.2 0.2 某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点．求： (1)这三人中恰有两人的消费额不少于300元的概率； (2)这三人的消费总额大于或等于1300元的概率． 拓展探究 15．(12分)某市为传播中华文化，举办中华文化知识选拔大赛．决赛阶段进行线上答题，题型分为选择题和填空题两种，每次答题相互独立．选择题答对得5分，否则得0分．填空题答对得4分，否则得0分．将得分逐题累加． (1)若小明直接做3道选择题，他做对这3道选择题的概率依次为，，.求他得分不低于10分的概率； (2)规定每人最多答3题，若得分高于7分，则通过决赛，立即停止答题，否则继续答题，直到答完3题为止．已知小红做对每道选择题的概率均为，做对每道填空题的概率均为.现有两种方案： 方案一：依次做一道选择题两道填空题； 方案二：做三道填空题． 请你推荐一种合理的方案给小红． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$