第03讲 一元一次不等式组及其应用（3大知识点+5大题型+分层练习）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

第03讲 一元一次不等式组及其应用 目录 题型归纳 题型01 求一元一次不等式组的解集 2 题型02 求一元一次不等式组的整数解 4 题型03 由一元一次不等式组的解集求参数 7 题型04 不等式组和方程组结合的问题 8 题型05 一元一次不等式组的实际应用 8 分层练习 夯实基础 12 能力提升 15 知识点01．一元一次不等式组及其解集 含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． 一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集． 一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定． 知识点02．一元一次不等式组的解法 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表． 不等式组 （其中a＞b） 图示 解集 口诀 （同大取大） （同小取小） （大小取中间） 无解 （空集） （大大、小小 找不到） 注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示. 知识点03．一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式组解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系显得十分重要． 题型01 求一元一次不等式组的解集 1．（22-23六年级下·上海静安·期末）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 2．（23-24六年级下·上海浦东新·期中）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 3．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 4．（23-24六年级下·上海宝山·期末）解不等式组： 5．（23-24六年级下·上海·期中）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来． 6．（23-24六年级下·上海·期中）解关于x的不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来： 7．（23-24六年级下·上海青浦·期末）解不等式组 并把它的解集在数轴上表示出来． 8．（23-24六年级下·上海松江·期末）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示． 题型02 求一元一次不等式组的整数解 9．（22-23六年级下·上海浦东新·期中）不等式组的最小整数解是 ． 10．（23-24六年级下·上海普陀·期中）不等式组的整数解是 ． 11．（22-23六年级下·上海杨浦·期末）不等式组的自然数解是 ． 12．（22-23六年级下·上海松江·期中）求不等式组的自然数解． 13．（22-23六年级下·上海闵行·期末）解不等式组：，并求出它的非负整数解． 14．（22-23六年级下·上海长宁·期末）求不等式组的整数解． 15．（23-24六年级下·上海崇明·期中）解不等式组：，并求出它的正整数解 16．（23-24六年级下·上海长宁·期中）求解不等式组：的正整数解． 17．（23-24六年级下·上海闵行·期末）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解． 18．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出该不等式的整数解． 19．（22-23六年级下·上海宝山·期末）对，定义一种新运算，规定（其中，均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例：． 已知，. (1)求，的值； (2)若关于的不等式组恰好有3个整数解，求实数的取值范围． 题型03 由一元一次不等式组的解集求参数 20．（23-24六年级下·上海·期中）如果关于x的不等式组的解集是，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 21．（23-24六年级下·上海·期中）已知不等式组无解，则a的取值范围是 ． 22．（23-24六年级下·上海·期中）已知不等式组无解，则a的取值范围是 ． 23．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）若关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是 题型04 不等式组和方程组结合的问题 24．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程组的解满足，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 26．（23-24七年级下·山东威海·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 27．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）若整数使关于的不等式组至少有4个整数解，且使关于的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数的和是 ． 28．（23-24六年级下·上海·期末）若关于x、y的方程组的解是正数，则m的取值范围是 ． 题型05 一元一次不等式组的实际应用 29．（21-22六年级下·上海嘉定·期中）某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒．问该敬老院的老人至少有多少人？ 30．（2024六年级下·上海·专题练习）为支援四川雅安地震灾区，某市民政局组织募捐了240吨救灾物资，现准备租用甲、乙两种货车，将这批救灾物资一次性全部运往灾区，它们的载货量和租金如下表所示．如果计划租用6辆货车，且租车的总费用不超过2300元，则该公司选择哪种方案运费最少？最少运费是多少？ 甲种货车 乙种货车 载货量（吨辆） 45 30 租金（元辆） 400 300 31．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）某汽车专卖店销售，两种型号的新能源汽车．上周售出辆型车和辆型车，销售额为万元．本周已售出辆型车和辆型车，销售额为万元． (1)求每辆型车和型车的售价各为多少万元？ (2)甲公司拟向该店购买，两种型号的新能源汽车共辆，且型号车不少于辆，购车费不少于万元，通过计算说明有哪几种购车方案？ 32．（23-24七年级下·重庆秀山·期末）为有效开展课后延时服务特色课程，某校计划购买葫芦丝和口风琴给同学们活动使用，若购买1个葫芦丝和2个口风琴需用280元；若购买2个葫芦丝和3个口风琴用470元． (1)求购买1个葫芦丝和1个口风琴各多少元； (2)如果购买葫芦丝和口风琴共46个，且购买葫芦丝的数量不低于口风琴数量的倍，求最多可购买多少个口风琴？ (3)学校根据实际情况，在（2）的前提下，要求购买的总费用不超过4430元，请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？ 33．（23-24七年级下·贵州遵义·期末）为拓宽学生的知识面，让学生亲身实践、感悟知识的应用．某校组织七年级375名师生到某研学基地开展研学活动，下面是小明和小红的对话 请根据两人的对话解答下列问题 (1)每辆A型客车和B型客车每次满载分别能运送多少人？ (2)该校计划租用A，B型客车共9辆，若计划一次将师生运送完，且每人都有座位，则有几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，若A型客车每辆租金600元，B型客车每辆租金800元．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用． 34．（2024·上海·模拟预测）今有大器五小器一容过三斛，大器一小器五容过二斛，大器容不过1斛，小器容斛不过大器半．请根据上述信息计算出大器，小器容米数量范围（斛），并将大器，小器容米数量范围的解集在数轴上表示． 35．（22-23六年级下·上海杨浦·期末）某电器厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A、B两种型号的冰箱100台，经测算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于4.75万，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表： 型号 A型 B型 成本（元/台） 2200 2600 售价（元/台） 2800 3000 (1)电器厂有哪几种生产方案？ (2)该电器厂按哪种生产方案生产，才能使生产成本最低？ 36．（23-24六年级下·上海·期中）一件商品售价为120元，如果按售价的九折出售，获利不超过百分之二十；如果按售价的七折出售，那么出现亏本．求商品成本价的范围． 37．（23-24六年级下·上海青浦·期末）某工厂只生产甲、乙两种型号的机器，已知生产一台甲机器和一台乙机器所需A、B两种材料的数量和售后利润如下表所示： 机器型号 A种材料（千克） B 种材料（千克） 售后利润 （万元） 甲 55 20 5 乙 40 36 6 (1)若生产甲、乙两种机器9台，共获利润50万元，问甲：乙两种机器各生产了多少台？ (2)若库存了A 种材料9210千克， B 种材料 5970 千克， 计划生产甲、乙两种机器共200台，要使工厂所获利润最大，请你帮忙规划一下，如何安排生产？最大利润是多少？ 【夯实基础】 一、单选题 1．（20-21六年级下·上海·期中）若，则不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．无解 2．（21-22六年级下·上海嘉定·期中）在下列不等式组中，无解的是（　　） A． B． C． D． 3．（20-21六年级下·上海黄浦·阶段练习）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24六年级下·上海·期末）已知点A、B在数轴上表示的数如图所示，下列四个选项中最符合x的取值范围的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（20-21六年级下·上海长宁·期末）不等式组的解集是 ． 6．（22-23六年级下·上海松江·期末）不等式组的解集是 ． 7．（22-23六年级下·上海松江·阶段练习）不等式组的解集是 ． 8．（20-21六年级下·上海闵行·期中）不等式组的解集是 . 9．（20-21六年级下·上海徐汇·期中）若不等式组无解，则的取值范围是 ． 10．（20-21六年级下·上海闵行·期中）若不等式组无解，则a的取值范围是 . 11．（2024六年级下·上海·专题练习）已知关于的不等式的最小整数解2．则实数的取值范围是 ． 12．（2024六年级下·上海·专题练习）不等式组的整数解为 ． 三、解答题 13．（21-22六年级下·上海嘉定·期中）解不等式组： (1)； (2)． 14．（2022·上海松江·三模）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 15．（20-21六年级下·上海浦东新·期中）若关于x的不等式组只有4个整数解，求的取值范围. 16．（20-21六年级下·上海宝山·期中）解不等式组：． 17．（20-21六年级下·上海闵行·期中）先阅读理解下列问题，再按要求完成解答 例题：解一元二次不等式 解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②，解不等式组①得，解不等式组②得．所以一元二次不等式得解集是或 根据上述例题解答，求不等式的解集 【能力提升】 一、填空题 1．（20-21六年级下·上海嘉定·期中）若不等式组无实数解，则m的取值范围是 ． 2．（20-21六年级下·上海宝山·期中）若不等式组有解，则m的取值范围是 ． 3．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）我们规定任意两点M、N之间的距离记作，已知点A在数轴上，对应的数是，点B在数轴上对应的点是1；如果点Q在数轴上，而且满足，请用不等式表示出所有符合条件的点Q所对应数x的范围 ． 4．（2024六年级下·上海·专题练习）关于的不等式组，恰有4个整数解，则的取值范围是 ． 5．（20-21六年级下·上海虹口·期中）已知关于的不等式组的整数解共有5个，且关于的不等式的解集为，则的取值范围 ． 二、解答题 6．（2024六年级下·上海·专题练习）解下列不等式： (1)； (2)． 7．（23-24六年级下·上海·阶段练习）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 8．（2024六年级下·上海·专题练习）求不等式组：的整数解． 9．（2024六年级下·上海·专题练习）解不等式组：，并求出它的非负整数解． 10．（22-23六年级下·上海虹口·期中）求不等式组的最小整数解． 11．（20-21六年级下·上海奉贤·期中）已知，求的最大值和最小值． 12．（20-21六年级下·上海·期中）有一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，且这个两位数不大于63，求这个两位数． 13．（20-21六年级下·上海嘉定·期中）解答下列各题． (1)解不等式组，并把不等式的解集在图所示的数轴上表示出来． (2)若（1）中所求得的不等式组的解集中的最大或最小的整数值是关于x的方程的解，求a的值． 14．（20-21六年级下·上海杨浦·期中）若关于x的不等式的解集是，求关于y的不等式的解集． 15．（20-21六年级下·上海闵行·期中）（1）春天到了，万物复苏.张老师带领全班同学外出春游.他们来到浦江郊野公园划船.在准备坐船时发现，如果每条船正好坐6位同学，那么还少一条船；如果每条船正好坐9位同学，那么会多出一条船（张老师不坐），则原来准备租多少条船? （2）张老师带同学们划船结束后就来到纪念品商店，准备为同学们选购钥匙扣和纪念币作为礼物，张老师又发现，如果用380元可以买钥匙扣7件，纪念币8件；也可以用380元买钥匙扣10件，纪念币6件.那么钥匙扣和纪念币的售价分别是多少元? （3）随后张老师拿出920元交给班长，让班长去购买钥匙扣和纪念币，要求每位同学都要有一件礼物，并且纪念币的数量不少于钥匙扣的数量，那么班长共有多少种购买方案?请一一列出. 16．（2024六年级下·上海·专题练习）定义：若线段的中点在线段上，则称点和与线段关联． 已知：、、在数轴上对应的数分别为，0，20 (1)以下数对应的点和点与线段关联的有 （填序号）． ①，②15，③40 (2)若点和与线段关联，设点对应的数为，则的最大值为 ，最小值为 ． (3)如图，数轴上三点、、在数轴上对应的数分别为，，，现将、、同时沿数轴向右移动，速度分别为每秒3个单位、3个单位、1个单位，移动时间为秒．若线段上至少有一个点和点与线段关联，则的取值范围是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 一元一次不等式组及其应用 目录 题型归纳 题型01 求一元一次不等式组的解集 2 题型02 求一元一次不等式组的整数解 9 题型03 由一元一次不等式组的解集求参数 17 题型04 不等式组和方程组结合的问题 19 题型05 一元一次不等式组的实际应用 24 分层练习 夯实基础 35 能力提升 45 知识点01．一元一次不等式组及其解集 含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． 一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集． 一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定． 知识点02．一元一次不等式组的解法 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表． 不等式组 （其中a＞b） 图示 解集 口诀 （同大取大） （同小取小） （大小取中间） 无解 （空集） （大大、小小 找不到） 注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示. 知识点03．一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式组解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系显得十分重要． 题型01 求一元一次不等式组的解集 1．（22-23六年级下·上海静安·期末）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析． 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先解出每个不等式的解集，再把解集表示在数轴，即可得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 表示在数轴上如图： ∴不等式组的解集为：． 2．（23-24六年级下·上海浦东新·期中）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，画图见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，先分别解不等式组中的两个不等式，再把解集在数轴上表示，结合数轴可得不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得：， 解得：， 由②得：， 解得：， 在数轴上表示其解集如下： ∴不等式组的解集为：． 3．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，作图见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确解出一元一次不等式是解题的关键． 先利用不等式的性质解出不等式，即可解出不等式组，然后把不等式组的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式①，得 ∴原不等式组的解集为 不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 4．（23-24六年级下·上海宝山·期末）解不等式组： 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 分别解出两不等式的解集再求其公共解． 【详解】解：， 解①：， 去分母得：， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为一得； 解②：， 移项得， 系数化为一得； 故不等式组的解集为． 5．（23-24六年级下·上海·期中）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式组组的解集为，数轴表示见解析． 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以，原不等式组组的解为， 在数轴上表述如图所示： ． 6．（23-24六年级下·上海·期中）解关于x的不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来： 【答案】，数轴见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】此题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示解集，求出每个不等式的解集，表示在数轴上，写出解集的公共部分即可. 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 把解集在数轴上表示出来如下： ∴原不等式组的解集为 7．（23-24六年级下·上海青浦·期末）解不等式组 并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴上表示见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，把它的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为： ． 8．（23-24六年级下·上海松江·期末）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示． 【答案】，详见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示解集，关键是掌握解不等式组的方法． 先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示如下： 题型02 求一元一次不等式组的整数解 9．（22-23六年级下·上海浦东新·期中）不等式组的最小整数解是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出不等式组的最小整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的最小整数解， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 10．（23-24六年级下·上海普陀·期中）不等式组的整数解是 ． 【答案】3 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，继而可得答案． 【详解】解：由得：， 由得：， 所以不等式组的解集为， 所以其整数解为3， 故答案为：3． 11．（22-23六年级下·上海杨浦·期末）不等式组的自然数解是 ． 【答案】0、1、2 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出不等式组的自然数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的自然数解为0、1、2， 故答案为：0、1、2． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键． 12．（22-23六年级下·上海松江·期中）求不等式组的自然数解． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】先求出不等式组的解集，然后再求出自然数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的自然解为0，1，2． 【点睛】本题主要考查了解不等式组，解题的关键是准确求出两个不等式的解集． 13．（22-23六年级下·上海闵行·期末）解不等式组：，并求出它的非负整数解． 【答案】，非负整数解为0，1 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】先分别解不等式，求出不等式组的解集，然后找出负整数解． 【详解】解：， 由①得， 由②得 ， ∴原不等式组的解集为， ∴非负整数解为0，1． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 14．（22-23六年级下·上海长宁·期末）求不等式组的整数解． 【答案】整数解为、0、1、2 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解即可． 【详解】解：． 由①得， 由②得， ∴原不等式组的解集为 整数解为、0、1、2． 【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 15．（23-24六年级下·上海崇明·期中）解不等式组：，并求出它的正整数解 【答案】；，． 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．先求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分即可． 【详解】解： 由①得： ， 由②得： ， ∴原不等式组的解集为：， ∴正整数解为1，2． 16．（23-24六年级下·上海长宁·期中）求解不等式组：的正整数解． 【答案】，， 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及一元一次不等式组的整数解的求法，先解不等式组的解集，再找出正整数解即可． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：， ∴正整数解为，，． 17．（23-24六年级下·上海闵行·期末）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解． 【答案】，见解析，整数解为，0，1 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．熟练掌握解一元一次不等式组，在数轴上表示解集是解题的关键． 分别求出两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集，在数轴上表示解集，然后求整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得，； ， , ， 解得，； ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示解集如下； ∴整数解为，0，1． 18．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出该不等式的整数解． 【答案】，数轴见解析，整数解是，，0，1，2 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，在数轴上表示不等式组的解集和解一元一次不等式组等知识点，先求出不等式组的解集，再在数轴上表示不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 在数轴上表示为： 所以不等式组的整数解是，，0，1，2． 19．（22-23六年级下·上海宝山·期末）对，定义一种新运算，规定（其中，均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例：． 已知，. (1)求，的值； (2)若关于的不等式组恰好有3个整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)，的值分别为1，3 (2) 【知识点】构造二元一次方程组求解、求一元一次不等式组的整数解 【分析】(1)根据题中的新定义列出关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值． (2）根据题中的新定义列出不等式组，根据不等式组恰好有4个正整数解，确定出p的范围即可． 【详解】（1）解：由，， 得，， 即解得即，的值分别为1，3 （2）由（1）得， 则不等式组可以化为， 解得. 不等式组恰好有的3个整数解一定是0、1、2， 所以有， 解得． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型03 由一元一次不等式组的解集求参数 20．（23-24六年级下·上海·期中）如果关于x的不等式组的解集是，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先算出每个不等式，则，，再结合关于x的不等式组的解集是，即可列式，进行作答． 【详解】解：∵ ∴由，则，解得， ∵解集是，， ∴， 解得， 故选：A． 21．（23-24六年级下·上海·期中）已知不等式组无解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了根据不等式组解集的情况求参数，根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题即可得出答案． 【详解】解：不等式组无解， ， 故答案为：． 22．（23-24六年级下·上海·期中）已知不等式组无解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了根据不等式组解集的情况求参数，根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题即可得出答案． 【详解】解：不等式组无解， ， 故答案为：． 23．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）若关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了不等式的解集，先解不等式，然后根据不等式组无解，即可求出m的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， ∵无解， ∴， ∴， 故答案为：． 题型04 不等式组和方程组结合的问题 24．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键．解方程组可得，再结合列出不等式组，求出不等式组的解集即可得出结论． 【详解】解：关于x，y的方程组为， 解得：， 因为， 所以， 解得：． 故选：C． 25．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程组的解满足，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查的是二元一次方程和不等式的综合问题，用含a的代数式表示出x、y，然后根据得出a的范围，再根据a的范围化简计算． 【详解】解： 得， 解得， 代入①得， 解得 ∴ 因为， 所以 解得， 所以． 故选B． 26．（23-24七年级下·山东威海·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查根据方程组的解集的情况求参数的范围，求不等式组的解集，根据方程组的解集的情况，得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：， 得：，即， 得：， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 27．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）若整数使关于的不等式组至少有4个整数解，且使关于的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数的和是 ． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为正整数得到或，从而即可得到所有满足条件的整数的和． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ， ， ， 不等式组至少有4个整数解， ， 解得：， 解方程组， 得：， ， 将代入②得：， 方程组的解为：， 关于的方程组的解为正整数， 或， 或， 所有满足条件的整数的和是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，解题的关键是根据不等式组以及二元一次方程组求出的取值范围，熟练掌握一元一次不等式组以及二元一次方程组的解法． 28．（23-24六年级下·上海·期末）若关于x、y的方程组的解是正数，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，先解方程组，用m表示出x，y的值，然后根据x，y都是正数列关于的不等式组求解即可． 【详解】解： ①②得：，解得：， 将代入①得：，解得：， 关于x、y的方程组的解是正数， ， 解得：， 故答案为：． 题型05 一元一次不等式组的实际应用 29．（21-22六年级下·上海嘉定·期中）某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒．问该敬老院的老人至少有多少人？ 【答案】该敬老院的老人至少有30人 【知识点】求不等式组的解集、一元一次不等式组的其他应用 【分析】设该敬老院的老人有x人，根据“如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再取其中最小的整数值即可得出结论． 【详解】解：设该敬老院的老人有x人， 依题意，得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x可以取的最小值为30． 答：该敬老院的老人至少有30人． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 30．（2024六年级下·上海·专题练习）为支援四川雅安地震灾区，某市民政局组织募捐了240吨救灾物资，现准备租用甲、乙两种货车，将这批救灾物资一次性全部运往灾区，它们的载货量和租金如下表所示．如果计划租用6辆货车，且租车的总费用不超过2300元，则该公司选择哪种方案运费最少？最少运费是多少？ 甲种货车 乙种货车 载货量（吨辆） 45 30 租金（元辆） 400 300 【答案】最省钱的租车方案是租甲型货车4辆，乙型货车2辆，费用是2200元 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，先设租甲型货车辆，则乙型货车辆，根据题意列出不等式组，求出的取值范围，再根据为正整数，求出租车方案，再分别求出每种方案的费用，即可得出答案，关键是读懂题意，根据题目中的数量关系列出不等式组，注意为正整数． 【详解】设租甲型货车辆，则乙型货车辆，根据题意得： ， 解得：， 为正整数， 共有两种方案， 方案1：租甲型货车4辆，乙型货车2辆， 方案2：租甲型货车5辆，乙型货车1辆， 方案1的费用为：元； 方案2的费用为：元； ∵， 则选择方案1最省钱， 即最省钱的租车方案是租甲型货车4辆，乙型货车2辆． 31．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）某汽车专卖店销售，两种型号的新能源汽车．上周售出辆型车和辆型车，销售额为万元．本周已售出辆型车和辆型车，销售额为万元． (1)求每辆型车和型车的售价各为多少万元？ (2)甲公司拟向该店购买，两种型号的新能源汽车共辆，且型号车不少于辆，购车费不少于万元，通过计算说明有哪几种购车方案？ 【答案】(1)每辆型车的售价为万元，每辆型车的售价为万元 (2)共有种购车方案：方案：购买型车辆，型车辆；方案：购买型车辆，型车辆 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）设每辆型车的售价为万元，每辆型车的售价为万元，根据售出辆型车和辆型车，销售额为万元，售出辆型车和辆型车，销售额为万元列出方程组求解即可； （2）设甲公司购买型车辆，则购买型车辆，根据型号车不少于辆，购车费不少于万元，列出不等式组求出m的取值范围，再根据m为整数即可得到答案． 【详解】（1）解：设每辆型车的售价为万元，每辆型车的售价为万元， 依题意得：， 解得：． 答：每辆型车的售价为万元，每辆型车的售价为万元． （2）解：设甲公司购买型车辆，则购买型车辆， 依题意得：， 解得：， 又为整数， 或， 共有种购车方案：方案：购买型车辆，型车辆； 方案：购买型车辆，型车辆． 32．（23-24七年级下·重庆秀山·期末）为有效开展课后延时服务特色课程，某校计划购买葫芦丝和口风琴给同学们活动使用，若购买1个葫芦丝和2个口风琴需用280元；若购买2个葫芦丝和3个口风琴用470元． (1)求购买1个葫芦丝和1个口风琴各多少元； (2)如果购买葫芦丝和口风琴共46个，且购买葫芦丝的数量不低于口风琴数量的倍，求最多可购买多少个口风琴？ (3)学校根据实际情况，在（2）的前提下，要求购买的总费用不超过4430元，请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？ 【答案】(1)购买1个葫芦丝100元，1个口风琴90元； (2)最多可购买18个口风琴 (3)共有两种方案：①购买葫芦丝29个，口风琴17个；②购买葫芦丝28个，口风琴18个；其中方案②更省钱． 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）设购买1个葫芦丝x元，1个口风琴y元，根据购买1个葫芦丝和2个口风琴需用280元；若购买2个葫芦丝和3个口风琴用470元列出方程求解即可； （2）设购买m个口风琴，则购买个葫芦丝，根据购买葫芦丝的数量不低于口风琴数量的倍，列出不等式求解即可； （3）根据（2）的条件结合购买的总费用不超过4430元，列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设购买1个葫芦丝x元，1个口风琴y元， 由题意得，， 解得， 答：购买1个葫芦丝100元，1个口风琴90元； （2）解：设购买m个口风琴，则购买个葫芦丝， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴m的最大值为18， 答：最多可购买18个口风琴； （3）解：设购买m个口风琴，则购买个葫芦丝， 由题意得， 解得， ∵m为整数， ∴m的值可以为17，18 当时，，此时购买的费用为元， 当时，，此时购买的费用为元， ∵， ∴共有两种方案：①购买葫芦丝29个，口风琴17个；②购买葫芦丝28个，口风琴18个；其中方案②更省钱． 33．（23-24七年级下·贵州遵义·期末）为拓宽学生的知识面，让学生亲身实践、感悟知识的应用．某校组织七年级375名师生到某研学基地开展研学活动，下面是小明和小红的对话 请根据两人的对话解答下列问题 (1)每辆A型客车和B型客车每次满载分别能运送多少人？ (2)该校计划租用A，B型客车共9辆，若计划一次将师生运送完，且每人都有座位，则有几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，若A型客车每辆租金600元，B型客车每辆租金800元．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用． 【答案】(1)每辆A型客车和B型客车分别能运送30，45名师生； (2)3种； (3)租用A型客车2辆，B型客车7辆，费用最少，最少租金为6800元． 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程组和不等式组是解答本题的关键． （1）设每辆A型客车和B型客车分别能运送x，y名师生，根据小明和小红的对话列方程组求解求解； （2）设租用A型客车m辆，则租用B型客车辆，根据题意列不等式组求解即可； （3）结合（2）的结论计算即可． 【详解】（1）解：设每辆A型客车和B型客车分别能运送x，y名师生 根据题意得 解得 答：每辆A型客车和B型客车分别能运送30，45名师生； （2）解：设租用A型客车m辆，则租用B型客车辆 根据题意得 解得 ∴共有3种租车方案； （3）解：由（2）得3种租车方案为 方案一：租用A型客车0辆，B型客车9辆． 费用为：（元） 方案二：租用A型客车1辆，B型客车8辆． 费用为：（元） 方案三：租用A型客车2辆，B型客车7辆． 费用为：（元） ∵ ∴租用A型客车2辆，B型客车7辆，费用最少，最少租金为6800元． 34．（2024·上海·模拟预测）今有大器五小器一容过三斛，大器一小器五容过二斛，大器容不过1斛，小器容斛不过大器半．请根据上述信息计算出大器，小器容米数量范围（斛），并将大器，小器容米数量范围的解集在数轴上表示． 【答案】，；数轴表示见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据题意正确列出不等式组成为解题的关键． 设大器容x斛，小器容y斛，由题意得则，再根据可得，当，即时可得、，进而完成解答． 【详解】解：设大器容x斛，小器容y斛，由题意得: , 可得：，即：， ∵ ∴， 当，即时，，即，， ∴，； 小器容米数量范围的解集在数轴上表示如下 ： ． 35．（22-23六年级下·上海杨浦·期末）某电器厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A、B两种型号的冰箱100台，经测算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于4.75万，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表： 型号 A型 B型 成本（元/台） 2200 2600 售价（元/台） 2800 3000 (1)电器厂有哪几种生产方案？ (2)该电器厂按哪种生产方案生产，才能使生产成本最低？ 【答案】(1)见解析 (2)生产A种型号的冰箱40台，B种型号的冰箱60台，才能使生产成本最低 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）设生产A种型号的冰箱x台，则B种型号的冰箱台，根据题意得出关于x的不等式组，求解x的范围即可确定方案； （2）分别求出各方案的成本，比较即得结果. 【详解】（1）设生产A种型号的冰箱x台，则B种型号的冰箱台，根据题意可得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x取38，39，40； 故有以下三种生产方案： 方案一 方案二 方案三 A型/台 38 39 40 B型/台 62 61 60 （2）方案一生产所需要的成本为：元， 方案二生产所需要的成本为：元， 方案三生产所需要的成本为：元， 所以该电器厂按方案三生产，即生产A种型号的冰箱40台，B种型号的冰箱60台，才能使生产成本最低. 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题意、找准不等关系列出需要的不等式组是解题的关键. 36．（23-24六年级下·上海·期中）一件商品售价为120元，如果按售价的九折出售，获利不超过百分之二十；如果按售价的七折出售，那么出现亏本．求商品成本价的范围． 【答案】大于等于90元且小于等于120元 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】此题考查了一元一次不等式组的应用，设商品成本价为x元，根据“按售价的九折出售，获利不超过百分之二十；如果按售价的七折出售，那么出现亏本．”列出不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：设商品成本价为x元， 则 解得， 答：商品成本价的范围为大于等于90元且小于等于120元． 37．（23-24六年级下·上海青浦·期末）某工厂只生产甲、乙两种型号的机器，已知生产一台甲机器和一台乙机器所需A、B两种材料的数量和售后利润如下表所示： 机器型号 A种材料（千克） B 种材料（千克） 售后利润 （万元） 甲 55 20 5 乙 40 36 6 (1)若生产甲、乙两种机器9台，共获利润50万元，问甲：乙两种机器各生产了多少台？ (2)若库存了A 种材料9210千克， B 种材料 5970 千克， 计划生产甲、乙两种机器共200台，要使工厂所获利润最大，请你帮忙规划一下，如何安排生产？最大利润是多少？ 【答案】(1)生产甲机器4台，生产乙机器5台 (2)生产甲机器77台，乙机器123台，利润最大为1123万元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了不等式组的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设生产甲机器x台，则生产乙机器台，根据“总利润为50万元”列方程求解即可； （2）设生产甲机器m台，则生产乙机器台，根据“库存了A 种材料9210千克， B 种材料 5970 千克”列不等式组，求出整数m的值，然后求出每一种方案的利润，最后比较即可． 【详解】（1）解：设生产甲机器x台，则生产乙机器台， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：生产甲机器4台，生产乙机器5台； （2）解：设生产甲机器m台，则生产乙机器台， 根据题意，得， 解得， ∴整数m有77，，7，79，80， ∴生产方案如下： ①生产甲机器77台，乙机器123台，利润为（万元）； ②生产甲机器78台，乙机器122台，利润为（万元）； ③生产甲机器79台，乙机器121台，利润为（万元）； ④生产甲机器80台，乙机器120台，利润为（万元）； ∵， ∴生产甲机器77台，乙机器123台，利润最大为1123万元． 【夯实基础】 一、单选题 1．（20-21六年级下·上海·期中）若，则不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．无解 【答案】D 【分析】根据求不等式组的解集方法：“大大小小找不到”判断即可” 【详解】若，则不等式组的解集是无解． 故选：D． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 2．（21-22六年级下·上海嘉定·期中）在下列不等式组中，无解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据确定不等式组的解集的方法逐项作出判断即可． 【详解】解：A.的解集为，不合题意； B. 的解集为，不符合题意； C. 的解集为，不合题意； D. 无解，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了确定不等式组解集的方法，可以借助口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”求解． 3．（20-21六年级下·上海黄浦·阶段练习）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：的解集是， ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 4．（23-24六年级下·上海·期末）已知点A、B在数轴上表示的数如图所示，下列四个选项中最符合x的取值范围的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解不等式组，掌握在数轴上右边的数大于左边的数是解题的关键． 【详解】解：由题可得：， 解得， 故选C． 二、填空题 5．（20-21六年级下·上海长宁·期末）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】分别解两个方程，求公共部分； 【详解】解：， 由①得 ． 由②得． ∴不等式组解集为． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的解，不等式组的解是由两方程解的公共部分组成的；注意不等式两边都除以负数时，不等号的方向要改变． 6．（22-23六年级下·上海松江·期末）不等式组的解集是 ． 【答案】/ 【分析】根据“同小取小”即可得到答案． 【详解】解：不等式组的解集为：， 故答案为： 【点睛】本题考查的是确定不等式组的解集，掌握确定不等式组的解集的方法是解本题的关键． 7．（22-23六年级下·上海松江·阶段练习）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】直接根据一元一次不等式组的求解即可． 【详解】∵， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解集，熟练掌握求解一元一次不等式组是解题的关键． 8．（20-21六年级下·上海闵行·期中）不等式组的解集是 . 【答案】 【分析】分别解、即可． 【详解】解：由得： 解得： 由得： 解得： 故不等式的解集为： 【点睛】本题考查求解一元一次不等式．注意计算的准确性． 9．（20-21六年级下·上海徐汇·期中）若不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出每个不等式的解集，根据不等式组无解求解即可． 【详解】解：， 解①，得， 解②，得， ∵不等式组无解， ∴． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能求出关于a的一元一次不等式是解此题的关键． 10．（20-21六年级下·上海闵行·期中）若不等式组无解，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】直接根据解集情况即可确定参数的范围． 【详解】解：∵不等式组无解 ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查根据不等式组的解集情况确定参数的范围．注意是否取等． 11．（2024六年级下·上海·专题练习）已知关于的不等式的最小整数解2．则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式求出解集是解题关键．先解出不等式，然后根据最小整数解为2得出关于的不等式组，解之即可求得的取值范围． 【详解】解：解不等式，得：， 不等式有最小整数解2， ， 解得：， 故答案为：． 12．（2024六年级下·上海·专题练习）不等式组的整数解为 ． 【答案】0，1 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在此公共解集内找出的整数解即可． 【详解】解：， 由①， 由②得，， 故此不等式组的解集为：． 故它的所有整数解为：0，1． 故答案为：0，1． 三、解答题 13．（21-22六年级下·上海嘉定·期中）解不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的性质，移项，合并同类项，系数化1，即可求解； （2）根据不等式的性质，去括号，移项，合并同类项，系数化1，即可求解． 【详解】（1）解： 由①得，，即， 由②得，，即， ∴原不等式组的解集是：． （2）解： 由①得，，即， 由②得，， 移项得，，即， ∴原不等式组的解集是：． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握不等式的性质，去括号，去分母，移项，合并同类项，系数化1是解题的关键． 14．（2022·上海松江·三模）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】；见解析 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：由，得：， 由，得：， 则不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 15．（20-21六年级下·上海浦东新·期中）若关于x的不等式组只有4个整数解，求的取值范围. 【答案】 【分析】先求出不等式组的解题，再由只有4个整数解确定的取值范围. 【详解】 由①得. 由②得:, ∴, ∵不等式组有个整数解， ∴这个整数解为， ∴. 【点睛】本题考查不等式组的整数解，能正确求出不等式组的解集是解题的关键. 16．（20-21六年级下·上海宝山·期中）解不等式组：． 【答案】 【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 该不等式组的解集为． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 17．（20-21六年级下·上海闵行·期中）先阅读理解下列问题，再按要求完成解答 例题：解一元二次不等式 解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②，解不等式组①得，解不等式组②得．所以一元二次不等式得解集是或 根据上述例题解答，求不等式的解集 【答案】 【分析】根据由有理数的除法法法则“两数相除，异号得负”转化为两个不等式组求解即可． 【详解】解：由得①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得无解， 所以不等式的解集是 【点睛】本题考查了有理数的除法法则和解一元一次不等式组，根据除法法则把转化为两个不等式组求解是解答本题的关键． 【能力提升】 一、填空题 1．（20-21六年级下·上海嘉定·期中）若不等式组无实数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式组无实数解，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得出，求解即可． 【详解】解：∵不等式组无实数解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了写出不等式组的解集，解一元一次不等式，解题的关键是掌握写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”． 2．（20-21六年级下·上海宝山·期中）若不等式组有解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求得不等式的解集，再根据不等式组有解，求解即可． 【详解】解：由不等式可得：，解得 ∵不等式组有解， ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了不等式组的求解，已知不等式的解集求参数，解题的关键是正确求得不等式的解集． 3．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）我们规定任意两点M、N之间的距离记作，已知点A在数轴上，对应的数是，点B在数轴上对应的点是1；如果点Q在数轴上，而且满足，请用不等式表示出所有符合条件的点Q所对应数x的范围 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，有理数的减法等知识，分“当点Q在A点的左边，即时，当点Q在线段上，当点Q在B点的右边”三种情况讨论即可得解，运用数形结合与分类讨论思想解题是解题的关键． 【详解】解：当点Q在A点的左边，即时，； 当点Q在线段上，即时，； 当点Q在B点的右边，即时，； 故答案为： 4．（2024六年级下·上海·专题练习）关于的不等式组，恰有4个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据已知得出关于的不等式组是解此题的关键．根据整数解的个数得出的可能取值，继而求得的取值范围． 【详解】解：不等式组， 恰有4个整数解，即整数解为：0，1，2，3， ． 故答案为：． 5．（20-21六年级下·上海虹口·期中）已知关于的不等式组的整数解共有5个，且关于的不等式的解集为，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】先求于的不等式组的解集，根据整数解的个数求的取值范围，然后根据关于的不等式的解集求的取值范围，最后作答即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵不等式组有5个整数解， ∴， 解得，， ， 移项合并得，， ∵关于的不等式的解集为， ∴， ∴， 综上，， ∴的值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 二、解答题 6．（2024六年级下·上海·专题练习）解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式组，掌握不等式的性质是解答本题的关键． （1）根据不等式的性质解答即可； （2）根据不等式的性质解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， ． 7．（23-24六年级下·上海·阶段练习）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为： 8．（2024六年级下·上海·专题练习）求不等式组：的整数解． 【答案】，，0，1． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后找出整数值即可． 【详解】解：解不等式①得：； 解不等式②得； 所以，不等式组的解集是， 故该不等式组的整数解是，，0，1． 9．（2024六年级下·上海·专题练习）解不等式组：，并求出它的非负整数解． 【答案】不等式组的解集为，不等式组的非负整数解为0，1，2，3． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其非负整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组的非负整数解为0，1，2，3． 10．（22-23六年级下·上海虹口·期中）求不等式组的最小整数解． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．解题的关键是掌握一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得： ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的最小整数解为． 11．（20-21六年级下·上海奉贤·期中）已知，求的最大值和最小值． 【答案】最大值为3，最小值为0 【分析】分别解不等式得出不等式组的解集，进而结合绝对值的性质得出答案． 【详解】解：， 解①得：； 解②得：； 故不等式组的解集为：， 当时，最大值为3； 当时，最小值为0． 【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组以及绝对值的性质，正确得出的取值范围是解题关键． 12．（20-21六年级下·上海·期中）有一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，且这个两位数不大于63，求这个两位数． 【答案】63或54或45或36或27或18 【分析】设个位上的数字为，则十位上的数字为，根据题意列出不等式组并求解，然后确定满足条件的数字即可． 【详解】解：设个位上的数字为，则十位上的数字为， ∵为十位上的数字，且该两位数小于等于63， ∴， 根据题意，可列不等式组， 解得， 又∵为正整数， ∴， 当，即个位数字为3时，十位上的数字为，即两位数为63； 当，即个位数字为4时，十位上的数字为，即两位数为54； 当，即个位数字为5时，十位上的数字为，即两位数为45； 当，即个位数字为6时，十位上的数字为，即两位数为36； 当，即个位数字为7时，十位上的数字为，即两位数为27； 当，即个位数字为8时，十位上的数字为，即两位数为18． 综上所述：该两位数为63或54或45或36或27或18． 【点睛】本题主要考查了不等式组的应用，理解题意，正确列出不等式组是解题关键． 13．（20-21六年级下·上海嘉定·期中）解答下列各题． (1)解不等式组，并把不等式的解集在图所示的数轴上表示出来． (2)若（1）中所求得的不等式组的解集中的最大或最小的整数值是关于x的方程的解，求a的值． 【答案】(1)，数轴见解析 (2) 【分析】（1）分别求解两个不等式，再写出解集，最后在数轴上表示出来即可． （2）根据（1）的解集得出不等式组的最小整数解为4，把代入求解即可． 【详解】（1）解：， 由①可得：， 由②可得：， ∴原不等式组的解集为：； 在数轴上表示如图所示： （2）解：∵， ∴不等式组的最小整数解为4， 把代入得：， 解得：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”． 14．（20-21六年级下·上海杨浦·期中）若关于x的不等式的解集是，求关于y的不等式的解集． 【答案】 【分析】由不等式可得，且；由于不等式的解集是，故有，将其代入不等式中，确定出，即可求得该不等式的解集． 【详解】解：不等式系数化1得，且， ∵该不等式的解集为是， ∴， ∴， 由题意：，， 两不等式相加得：，即； 由得：， ∵， ∴， ∴，即； ，， 关于的不等式就是： ， ， ∵， ，     ． 【点睛】此题考查的是解一元一次不等式．利用已知条件得到关于a，b的关系式，确定是解题的关键与难点． 15．（20-21六年级下·上海闵行·期中）（1）春天到了，万物复苏.张老师带领全班同学外出春游.他们来到浦江郊野公园划船.在准备坐船时发现，如果每条船正好坐6位同学，那么还少一条船；如果每条船正好坐9位同学，那么会多出一条船（张老师不坐），则原来准备租多少条船? （2）张老师带同学们划船结束后就来到纪念品商店，准备为同学们选购钥匙扣和纪念币作为礼物，张老师又发现，如果用380元可以买钥匙扣7件，纪念币8件；也可以用380元买钥匙扣10件，纪念币6件.那么钥匙扣和纪念币的售价分别是多少元? （3）随后张老师拿出920元交给班长，让班长去购买钥匙扣和纪念币，要求每位同学都要有一件礼物，并且纪念币的数量不少于钥匙扣的数量，那么班长共有多少种购买方案?请一一列出. 【答案】（1）原来准备租条船 （2）钥匙扣和纪念币的售价分别是元和元 （3）共有三种购买方案，分别为：纪念币件，钥匙扣件；纪念币件，钥匙扣件；纪念币件，钥匙扣件； 【分析】（1）设原来准备租条船，利用“坐6位同学，那么还少一条船；如果每条船正好坐9位同学，那么会多出一条船”列方程解题； （2）设钥匙扣和纪念币的售价分别是元和元，根据“380元可以买钥匙扣7件，纪念币8件；也可以用380元买钥匙扣10件，纪念币6件”列方程组解题； （3）设纪念币的数量购买件，则根据题意列出不等式组解题即可. 【详解】解：（1）解：设原来准备租条船， 则， 解得：， 答：原来准备租条船. （2）解：设钥匙扣和纪念币的售价分别是元和元， 则，解得 答：钥匙扣和纪念币的售价分别是元和元. （3）设纪念币的数量购买件， 学生数为人， ∴，解得：， ∵为整数， ∴可以取，共三种购买方案， 购买方案①纪念币件，钥匙扣件； 购买方案②纪念币件，钥匙扣件； 购买方案③纪念币件，钥匙扣件. 【点睛】本题考查一元一次方程，二元一次方程组，不等式组解应用题，找准数量关系列方程或不等式是解题的关键. 16．（2024六年级下·上海·专题练习）定义：若线段的中点在线段上，则称点和与线段关联． 已知：、、在数轴上对应的数分别为，0，20 (1)以下数对应的点和点与线段关联的有 （填序号）． ①，②15，③40 (2)若点和与线段关联，设点对应的数为，则的最大值为 ，最小值为 ． (3)如图，数轴上三点、、在数轴上对应的数分别为，，，现将、、同时沿数轴向右移动，速度分别为每秒3个单位、3个单位、1个单位，移动时间为秒．若线段上至少有一个点和点与线段关联，则的取值范围是 ． 【答案】(1)②③ (2)50；10 (3) 【分析】题综合考查了数轴、绝对值、不等式（组的有关内容， （1）利用线段中点的定义分别求出以点，为中点的的数为10，50，得出点表示的数在之间，即可得出答案； （2）将（1）中的点表示的数分别代入进行计算，即可得出答案； （2）求出、的中点，根据题意该中点在线段上从而列出不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：线段的中点在线段上， ，解得：； 点对应的数在之间， ②③符合题意， 故答案为：②③． （2）解：由题意可知：，解得：； 当时，，当时原式有最大值：30，当时原式有最小值：10； 当时，； 当时，，当时原式有最大值：50，当时原式有最小值：10； 综上所述，最大值为50，最小值为10； 故答案为：50；10． （3）解：由题意可知、、在数轴上对应的数为：，， 要使线段上至少有一个点和点与线段关联，则有： ，解得：， ，解得：， 综上，． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$