2024-2025学年下学期高一数学人教A版必修第二册第10章概率10.1.3古典概型

古典概型 (时间：45分钟　分值：100分) 基础达标 一、选择题 1．(6分)(多选)下列是古典概型的是(　　) A．从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小 B．同时掷两枚骰子，点数和为7的概率 C．近三天中有一天降雨的概率 D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率 2．(5分)我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨．某书画院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是(　　) A． B． C． D． 3．(5分)若甲、乙、丙三人排队，则甲不排在第一位的概率为(　　) A． B． C． D． 4．(5分)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，在AB，CD，EF，GH这四条线段中任意选择两条，那么所在直线是异面直线的概率是(　　) A． B． C． D． 5．(6分)(多选)袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率不为的是(　　) A．颜色相同 B．颜色不全相同 C．颜色全不相同 D．无红球 二、填空题 6．(5分)如图，地上有3个不同的桶，每次取一个桶，直到取完，则最后一个取到B的概率是________． 7．(5分)古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，“金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”．从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽到的两种物质不相克的概率为________． 8．(5分)从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两个数，则两个数都是奇数的概率是________．若有放回地任取两个数，则两个数都是偶数的概率是________． 三、解答题 9．(10分)一只口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球． (1)共有多少个样本点？ (2)摸出的2个球都是白球的概率为多少？ 10．(10分)从两台台式电脑(记为A和B)、两台笔记本电脑(记为C和D)中任意抽取两台． (1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按类型等比例分层抽样的样本空间； (2)在三种抽样方法下，分别计算抽到的两台都是笔记本电脑的概率． 能力提升 11．(5分)新高考数学试题增加多选题，每题中正确答案为A、B、C、D四个选项中的两个或多个，假设某考生对A、B、C、D选项正确与否完全不知道，则该考生猜对答案的概率是(　　) A． B． C． D． 12．(6分)(多选)如图，圆O的半径为1，六边形ABCDEF是圆O的内接正六边形，从A，B，C，D，E，F六点中任意取两点，并连接成线段，则下列结论正确的是(　　) A．线段的长为1的概率是0.4 B．线段的长为2的概率是0.5 C．线段的长为的概率是0.4 D．线段的长为的概率是0.8 13．(5分)先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，两枚骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为________． 14．(10分)有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座． (1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率； (2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率； (3)求这四人恰有一人坐在自己的席位上的概率． 拓展探究 15．(12分)已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－bx＋1，设集合P＝{1,2,3}，Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数组(a，b)． (1)列举出数组(a，b)对应的样本空间，并求函数y＝f(x)有零点的概率； (2)求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 古典概型 (时间：45分钟　分值：100分) 基础达标 一、选择题 1．(6分)(多选)下列是古典概型的是(　　) A．从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小 B．同时掷两枚骰子，点数和为7的概率 C．近三天中有一天降雨的概率 D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率 [解析]　选项A，B，D中的样本点都是有限个，且每个样本点都是等可能的，符合古典概型的定义和特点；选项C不是古典概型，因为不符合等可能性，受多方面因素影响． [答案]　ABD 2．(5分)我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨．某书画院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是(　　) A． B． C． D． [解析]　甲从春、夏、秋、冬四个季节的各6幅彩绘绘制的任务中选一个季节的6幅彩绘绘制，共有四个样本点，甲抽到绘制夏季6幅彩绘是其中一个样本点，故甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率为. [答案]　B 3．(5分)若甲、乙、丙三人排队，则甲不排在第一位的概率为(　　) A． B． C． D． [解析]　甲、乙、丙三人排队的可能顺序有甲、乙、丙，甲、丙、乙，乙、甲、丙，乙、丙、甲，丙、甲、乙，丙、乙、甲，共6种情况，其中甲不排在第一位的有4种情况，则甲不排在第一位的概率为＝. [答案]　D 4．(5分)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，在AB，CD，EF，GH这四条线段中任意选择两条，那么所在直线是异面直线的概率是(　　) A． B． C． D． [解析]　由题意得到如图正方体，在AB，CD，EF，GH这四条线段中任意选择两条，所有可能的情况有(GH，AB)，(GH，EF)，(GH，CD)，(AB，CD)，(AB，EF)，(EF，CD)，共6对，其中异面直线有(GH，AB)，(GH，EF)，(AB，CD)，共3对，故在AB，CD，EF，GH这四条线段中任意选择两条，那么所在直线是异面直线的概率是＝. [答案]　A 5．(6分)(多选)袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率不为的是(　　) A．颜色相同 B．颜色不全相同 C．颜色全不相同 D．无红球 [解析]　有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色相同的结果有3种，其概率为＝；颜色不全同的结果有24种，其概率为＝；颜色全不同的结果有6种，其概率为＝；无红球的结果有8种，其概率为. [答案]　ACD 二、填空题 6．(5分)如图，地上有3个不同的桶，每次取一个桶，直到取完，则最后一个取到B的概率是________． [解析]　画树状图如图，由树状图可知，共有3种等可能的情况，其中最后一个取到B的情况有2种，故最后一个取到B的概率P＝. [答案]　 7．(5分)古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，“金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”．从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽到的两种物质不相克的概率为________． [解析]　试验的样本空间Ω＝{(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(木，土)，(水，火)，(水，土)，(火，土)}共10个样本点．“金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”之外的都不相克，共有5种，故抽取到的两种物质不相克的概率为＝. [答案]　 8．(5分)从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两个数，则两个数都是奇数的概率是________．若有放回地任取两个数，则两个数都是偶数的概率是________． [解析]　从5个数字中不放回地任取两个数，样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，且每个样本点出现的可能性相等．因为都是奇数的样本点有(1,3)，(1,5)，(3,5)，共3个，故所求概率P＝.从5个数字中有放回地任取两个数，样本点共有25个，且每个样本点出现的可能性相等，都为偶数的样本点有(2,4)，(4,2)，(2,2)，(4,4)，共4个，故概率P＝. [答案]　　 三、解答题 9．(10分)一只口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球． (1)共有多少个样本点？ (2)摸出的2个球都是白球的概率为多少？ [解]　(1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2个球，有如下样本点(摸到1,2号球用(1,2)表示)： (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)． 因此，共有10个样本点． (2)上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样本点是摸出2个白球(记为事件A)，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故P(A)＝.故摸出2个球都是白球的概率为. 10．(10分)从两台台式电脑(记为A和B)、两台笔记本电脑(记为C和D)中任意抽取两台． (1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按类型等比例分层抽样的样本空间； (2)在三种抽样方法下，分别计算抽到的两台都是笔记本电脑的概率． [解]　设第一次抽到的电脑记为x，第二次抽到的电脑记为y， 则可用数组(x，y)表示两次抽取的样本点． (1)根据相应的抽样方法可知， 有放回简单随机抽样的样本空间Ω1＝{(A，A)，(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(B，D)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，(C，D)，(D，A)，(D，B)，(D，C)，(D，D)}． 不放回简单随机抽样的样本空间Ω2＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，A)，(B，C)，(B，D)，(C，A)，(C，B)，(C，D)，(D，A)，(D，B)，(D，C)}． 按类型等比例分层抽样，先从台式电脑中抽一台，再从笔记本电脑中抽一台，其样本空间Ω3＝{(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)}． (2)记事件E＝“抽到两台笔记本电脑”，则对于有放回简单随机抽样， E＝{(C，C)，(C，D)，(D，C)，(D，D)}． 因为抽中样本空间Ω1中每一个样本点的可能性都相等， 所以这是一个古典概型． 因此P(E)＝＝. 对于不放回简单随机抽样， E＝{(C，D)，(D，C)}． 因为抽中样本空间Ω2中每一个样本点的可能性都相等， 所以这是一个古典概型． 因此P(E)＝＝. 因为按类型等比例分层抽样，不可能抽到两台笔记本电脑， 所以E＝∅，因此P(E)＝0. 能力提升 11．(5分)新高考数学试题增加多选题，每题中正确答案为A、B、C、D四个选项中的两个或多个，假设某考生对A、B、C、D选项正确与否完全不知道，则该考生猜对答案的概率是(　　) A． B． C． D． [解析]　所有的情况如下：AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD，共11种，则该考生猜对答案的概率是. [答案]　B 12．(6分)(多选)如图，圆O的半径为1，六边形ABCDEF是圆O的内接正六边形，从A，B，C，D，E，F六点中任意取两点，并连接成线段，则下列结论正确的是(　　) A．线段的长为1的概率是0.4 B．线段的长为2的概率是0.5 C．线段的长为的概率是0.4 D．线段的长为的概率是0.8 [解析]　在A，B，C，D，E，F中任取两点的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)}，共15个样本点，线段长为1的样本点有(A，B)，(A，F)，(B，C)，(C，D)，(D，E)，(E，F)，共有6个，所以线段长为1的概率P1＝＝0.4，故A正确；线段长为2的样本点有(A，D)，(B，E)，(C，F)，共有3个，所以线段长为2的概率P2＝＝0.2，故B不正确；线段长为的样本点有(A，C)，(A，E)，(B，D)，(B，F)，(C，E)，(D，F)，共有6个，所以线段长为的概率P3＝＝0.4，故C正确，D错误． [答案]　AC 13．(5分)先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，两枚骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为________． [解析]　所有样本点的个数为36，且每个样本点出现的可能性相等．由log2xy＝1得2x＝y，其中x，y∈{1,2,3,4,5,6}，所以或或满足log2xy＝1，故事件“log2xy＝1”包含3个样本点，所以所求的概率为P＝＝. [答案]　 14．(10分)有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座． (1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率； (2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率； (3)求这四人恰有一人坐在自己的席位上的概率． [解]　将A，B，C，D四位贵宾就座情况按从左至右排席位，依次是a，b，c，d席位，如图所示． 由图可知，样本点共有24个． (1)设事件M为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件M只包含1个样本点，所以P(M)＝. (2)设事件N为“这四人恰好都没坐在自己的席位上”，则事件N包含9个样本点(即图中标记为“○”的情形)，所以P(N)＝＝. (3)设事件S为“这四人恰有一人坐在自己的席位上”，则事件S包含8个样本点(即图中标记为“√”的情形)，所以P(S)＝＝. 拓展探究 15．(12分)已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－bx＋1，设集合P＝{1,2,3}，Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数组(a，b)． (1)列举出数组(a，b)对应的样本空间，并求函数y＝f(x)有零点的概率； (2)求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率． [解]　(1)样本空间Ω＝{(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)}，共15个样本点． 函数y＝f(x)有零点等价于Δ＝b2－4a≥0，满足条件的(a，b)有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个样本点． ∴y＝f(x)有零点的概率P1＝＝. (2)∵a>0，函数y＝f(x)图象对称轴为直线x＝在区间[1，＋∞)上是增函数， ∴有≤1， 满足条件的(a，b)有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，共13个样本点． ∴y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率P2＝. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$