2024-2025学年下学期高一数学人教A版必修第二册第10章概率10.1.2事件的关系和运算

事件的关系和运算 (时间：45分钟　分值：100分) 基础达标 一、选择题 1．(5分)同时抛掷两枚硬币，事件A＝“两次正面向上”，则包含的样本点个数为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 [解析]　试验的样本空间Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，则包含事件(正，反)，(反，正)，(反，反)共3个结果． [答案]　B 2．(5分)掷一枚均匀的骰子，观察朝上的面的点数．记事件A＝“点数为奇数”，事件B＝“点数大于4”，则事件A∩B＝(　　) A．“点数为3” B．“点数为4” C．“点数为5” D．“点数为6” [解析]　由题意可知A＝{1,3,5}，B＝{5,6}，所以A∩B＝{5}，即事件A∩B＝“点数为5”． [答案]　C 3．(5分)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件是(　　) A．至少有一个红球；至少有一个白球 B．恰有一个红球；都是白球 C．至少有一个红球；都是白球 D．至多有一个红球；都是红球 [解析]　对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取2个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件． [答案]　B 4．(5分)甲、乙两人独立地破译一份密码，设事件A＝“甲成功破译”，事件B＝“乙成功破译”，则表示“密码被成功破译”的事件为(　　) A．A∪B B．A∩B C．∪ D．∩ [解析]　“密码被成功破译”是指甲、乙两人至少有一人成功破译密码，而事件A∪B指的就是至少有一人成功破译密码． [答案]　A 5．(6分)(多选)设A，B是两个随机事件，下列关系正确的是(　　) A．A∪B＝A B．A∪AB＝A C．⊆A D．A(A∪B)＝A [解析]　若A∪B＝A，则B⊆A，故A错误；∵AB⊆A，∴A∪AB＝A，故B正确；∵当事件A，B都不发生时，发生，∴事件不包含于A，故C错误；∵A⊆(A∪B)，∴A(A∪B)＝A，故D正确． [答案]　BD 二、填空题 6．(5分)某射手在一次射击训练中，射击一次不够8环的对立事件为____________． [解析]　由已知，该射手击中10环，9环，8环是“不够8环”的对立事件，即射击一次不小于8环． [答案]　射击一次不小于8环 7．(5分)生产某种产品需要2道工序，设事件A＝“第一道工序加工合格”，事件B＝“第二道工序加工合格”，事件D＝(A∩)∪(∩B)∪(∩)表示的含义是________． [解析]　事件D＝(A∩)∪(∩B)∪(∩)表示的是第一道工序和第二道工序加工中至少有一道加工工序不合格，所以事件D表示“产品不合格”． [答案]　产品不合格 8．(5分)盒子里有6个红球，4个白球，从中任取3球，设事件A＝“取到1个红球，2个白球”，B＝“取到2个红球，1个白球”，C＝“至少有1个红球”，D＝“3个都是红球”，则事件C与A，B，D的运算关系是______________． [解析]　对于事件C，可能的结果为：1个红球、2个白球，2个红球、1个白球，3个红球，所以C＝A∪B∪D. [答案]　C＝A∪B∪D 三、解答题 9．(10分)从某大学数学系图书室中任选一本书．设A＝{数学书}；B＝{中文版的书}；C＝{2023年后出版的书}．问： (1)A∩B∩表示什么事件？ (2)在什么条件下有A∩B∩C＝A? (3)如果＝B，那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的？ [解]　(1)A∩B∩＝{2022年或2022年前出版的中文版的数学书}． (2)在“图书室中所有数学书都是2023年后出版的且为中文版”的条件下才有A∩B∩C＝A. (3)是.＝B意味着图书室中的非数学书都是中文版的，即所有的中文版的书都不是数学书． 10．(10分)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是互为对立： (1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”； (2)“至少有1名男生”与“全是男生”； (3)“至少有1名男生”与“全是女生”； (4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”． [解]　从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女． (1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，两事件都不发生，所以它们不是互为对立事件． (2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件． (3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是互为对立事件． (4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件． 能力提升 11．(6分)(多选)下列说法正确的是(　　) A．若事件A与B互斥，则A∪B是必然事件 B．《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著．现有这四大名著各一本，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E＝“甲取到《红楼梦》”，事件F＝“乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件 C．掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于5”，事件B＝“向上的点数为质数”，则B⊆A D．10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则含有2个基本事件 [解析]　对于A，事件A与B互斥，若B，则A∪B不是必然事件，错误；对于B，∵事件E与事件F不能同时发生，∴事件E与事件F是互斥事件；∵事件E不发生时，事件F也未必发生，∴事件E与事件F不是对立事件，正确；对于C，∵A＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,3,5}，∴B⊆A，正确；对于D，检查产品的质量，则基本事件有{正品}、{次品}，共2个，正确． [答案]　BCD 12．(6分)(多选)一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球．设事件R1＝“第一次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两球颜色相同”，N＝“两球颜色不同”，则(　　) A．R1⊆R B．R∩G＝∅ C．R∪G＝M D．M＝ [解析]　样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)}，R1＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}，R＝{(1,2)，(2,1)}，G＝{(3,4)，(4,3)}，M＝{(3,4)，(4,3)，(1,2)，(2,1)}，N＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)}，由集合的包含关系可知B、C、D正确． [答案]　BCD 13．(5分)电路如图所示．用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝________.(用B，C，D间的运算关系式表示) [解析]　要使电灯变亮，则开关Ⅰ闭合，且开关Ⅱ，Ⅲ至少有一个闭合，所以A＝(BC)∪(BD)或B∩(C∪D)． [答案]　(BC)∪(BD)或B∩(C∪D) 14．(10分)某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A＝“只订甲报”，事件B＝“只订乙报”，事件C＝“至少订一种报纸”，事件D＝“至多订一种报纸”，事件E＝“一种报纸也没订”，事件F＝“两种报纸都订”．根据上述事件回答下列问题： (1)请列举出具有包含关系的事件； (2)用和事件的定义判断上述事件中哪些是和事件； (3)从上述事件中找出成对的互斥事件和对立事件． [解]　(1)“至少订一种报纸”包含“只订甲报”，即A⊆C. 同理，B⊆C，F⊆C，A⊆D，B⊆D，E⊆D. (2)由题意及事件的相互关系可知，C＝A∪B∪F或C＝A＋B＋F，D＝A∪B∪E或D＝A＋B＋E. (3)由互斥事件及对立事件的定义知，互斥事件有A和B，A和E，A和F，B和E，B和F，E和F，D和F，C和E；对立事件有C和E，D和F. 拓展探究 15．(12分)某班要进行一次辩论比赛，现有4名男生和2名女生随机分成甲、乙两个辩论小组，每组3人．考虑甲组的人员组成情况，记事件Ak＝“甲组有k名女生”． (1)事件A1含有多少个样本点？ (2)若事件B＝“甲组至少有一名女生”，则事件B与事件Ak有怎样的运算关系？ (3)判断事件A2与事件2∪A0是什么关系？ [解]　(1)用1,2,3,4表示4名男生，用a，b表示2名女生，因为事件A1＝“甲组有1名女生”，所以A1＝{(1,2，a)，(1,2，b)，(1,3，a)，(1,3，b)，(1,4，a)，(1,4，b)，(2,3，a)，(2,3，b)，(2,4，a)，(2,4，b)，(3,4，a)，(3,4，b)}，共含12个样本点． (2)事件B＝“甲组至少有一名女生”，其含义是甲组有一名女生或甲组有两名女生，所以B＝A1∪A2. (3)因为A2与A0∪A1是对立事件，所以2＝A0∪A1，所以2∪A0＝A0∪A1，所以事件A2与事件2∪A0是对立事件． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 事件的关系和运算 (时间：45分钟　分值：100分) 基础达标 一、选择题 1．(5分)同时抛掷两枚硬币，事件A＝“两次正面向上”，则包含的样本点个数为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 2．(5分)掷一枚均匀的骰子，观察朝上的面的点数．记事件A＝“点数为奇数”，事件B＝“点数大于4”，则事件A∩B＝(　　) A．“点数为3” B．“点数为4” C．“点数为5” D．“点数为6” 3．(5分)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件是(　　) A．至少有一个红球；至少有一个白球 B．恰有一个红球；都是白球 C．至少有一个红球；都是白球 D．至多有一个红球；都是红球 4．(5分)甲、乙两人独立地破译一份密码，设事件A＝“甲成功破译”，事件B＝“乙成功破译”，则表示“密码被成功破译”的事件为(　　) A．A∪B B．A∩B C．∪ D．∩ 5．(6分)(多选)设A，B是两个随机事件，下列关系正确的是(　　) A．A∪B＝A B．A∪AB＝A C．⊆A D．A(A∪B)＝A 二、填空题 6．(5分)某射手在一次射击训练中，射击一次不够8环的对立事件为____________． 7．(5分)生产某种产品需要2道工序，设事件A＝“第一道工序加工合格”，事件B＝“第二道工序加工合格”，事件D＝(A∩)∪(∩B)∪(∩)表示的含义是________． 8．(5分)盒子里有6个红球，4个白球，从中任取3球，设事件A＝“取到1个红球，2个白球”，B＝“取到2个红球，1个白球”，C＝“至少有1个红球”，D＝“3个都是红球”，则事件C与A，B，D的运算关系是______________． 三、解答题 9．(10分)从某大学数学系图书室中任选一本书．设A＝{数学书}；B＝{中文版的书}；C＝{2023年后出版的书}．问： (1)A∩B∩表示什么事件？ (2)在什么条件下有A∩B∩C＝A? (3)如果＝B，那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的？ 10．(10分)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是互为对立： (1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”； (2)“至少有1名男生”与“全是男生”； (3)“至少有1名男生”与“全是女生”； (4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”． 能力提升 11．(6分)(多选)下列说法正确的是(　　) A．若事件A与B互斥，则A∪B是必然事件 B．《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著．现有这四大名著各一本，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E＝“甲取到《红楼梦》”，事件F＝“乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件 C．掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于5”，事件B＝“向上的点数为质数”，则B⊆A D．10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则含有2个基本事件 12．(6分)(多选)一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球．设事件R1＝“第一次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两球颜色相同”，N＝“两球颜色不同”，则(　　) A．R1⊆R B．R∩G＝∅ C．R∪G＝M D．M＝ 13．(5分)电路如图所示．用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝________.(用B，C，D间的运算关系式表示) 14．(10分)某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A＝“只订甲报”，事件B＝“只订乙报”，事件C＝“至少订一种报纸”，事件D＝“至多订一种报纸”，事件E＝“一种报纸也没订”，事件F＝“两种报纸都订”．根据上述事件回答下列问题： (1)请列举出具有包含关系的事件； (2)用和事件的定义判断上述事件中哪些是和事件； (3)从上述事件中找出成对的互斥事件和对立事件． 拓展探究 15．(12分)某班要进行一次辩论比赛，现有4名男生和2名女生随机分成甲、乙两个辩论小组，每组3人．考虑甲组的人员组成情况，记事件Ak＝“甲组有k名女生”． (1)事件A1含有多少个样本点？ (2)若事件B＝“甲组至少有一名女生”，则事件B与事件Ak有怎样的运算关系？ (3)判断事件A2与事件2∪A0是什么关系？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$