2024-2025学年下学期高一数学人教A版必修第二册第9章统计9.2.3总体集中趋势的估计

总体集中趋势的估计 (时间：45分钟　分值：100分) 基础达标 一、选择题 1．(5分)已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是(　　) A．平均数>中位数>众数 B．平均数<中位数<众数 C．中位数<众数<平均数 D．众数＝中位数＝平均数 2．(5分)已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，那么另一组数据2x1－3,2x2－3,2x3－3,2x4－3,2x5－3的平均数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3．(5分)某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表： 鞋号 34 35 36 37 38 39 40 41 日销量/双 2 5 9 16 9 5 3 2 如果你是鞋店经理，那么下列统计量中对你来说最重要的是(　　) A．平均数 B．众数 C．中位数 D．极差 4．(5分)某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为(　　) A．20 B．25 C．22.5 D．22.75 5．(6分)(多选)小华所在的年级一班共有50名学生，一次体检测量了全班学生的身高，由此求得该班学生的平均身高是1.65米，而小华的身高是1.66米，则下列说法正确的是(　　) A．1.65米是该班学生身高的平均水平 B．班上比小华高的学生人数不会超过25 C．这组身高数据的中位数不一定是1.65米 D．这组身高数据的众数不一定是1.65米 二、填空题 6．(5分)已知一组数据按从小到大排列为－1,0,4，x,6,15，且这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数是________，平均数是________． 7．(5分)某小组共8人，若生物等级考成绩如下：2人70分、2人67分、3人64分、1人61分，则该小组生物等级考成绩的中位数为________． 8．(5分)如图所示是某学校高一(1)班期中考试成绩的统计图．根据该图可估计，这次考试的平均成绩为________分． 三、解答题 9．(10分)在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示： 成绩(单位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 人数 2 3 2 3 4 1 1 1 分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数． 10．(10分)某中学开展演讲比赛活动，高一(1)班、高一(2)班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩(满分为100分)如下图所示． (1)根据上图填写下表： 平均分(分) 中位数(分) 众数(分) 高一(1)班 85 ______ 85 高一(2)班 85 80 ______ (2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好； (3)如果在每班参加复赛的选手中分别选出2人参加决赛，你认为哪个班的实力更强一些？说明理由． 能力提升 11．(5分)已知数据x1，x2，…，x200是某市普通职工2023年的年收入，设这200个数据的平均数为x，中位数为y，众数为z，如果再加上该市首富的年收入x201，对于这201个数据，下列说法中正确的是(　　) A．x一定变大，y一定变大，z可能不变 B．x可能不变，y可能不变，z一定不变 C．x可能不变，y一定变大，z可能不变 D．x一定变大，y可能不变，z一定不变 12．(6分)(多选)2022年是中国共产主义青年团成立100周年．为庆祝建团100周年，某中学全体学生参加了主题为“赓续红色血脉·争当青春先锋”的知识竞赛，随机抽取了若干名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．直方图中x的值为0.030 B．成绩在区间[90,100)内的学生最多 C．估计全校学生的平均成绩为84分 D．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93 13．(5分)已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是4,4,7,4,8,10，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失数据的所有可能值构成的集合为________． 14．(11分)随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷．现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下． (1)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)； (2)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？ 拓展探究 15．(12分)某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩(满分100分)统计如下表： 班级 平均分 众数 中位数 甲班 79 70 87 乙班 79 70 79 (1)请你对下面的一段话给予简要分析： 甲班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！” (2)请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出数学建议． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 总体集中趋势的估计 (时间：45分钟　分值：100分) 基础达标 一、选择题 1．(5分)已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是(　　) A．平均数>中位数>众数 B．平均数<中位数<众数 C．中位数<众数<平均数 D．众数＝中位数＝平均数 [解析]　该组数据的平均数为(20＋30＋40＋50＋50＋60＋70＋80)＝50，中位数为×(50＋50)＝50，众数为50，∴它们的大小关系是众数＝中位数＝平均数． [答案]　D 2．(5分)已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，那么另一组数据2x1－3,2x2－3,2x3－3,2x4－3,2x5－3的平均数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　因为一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，所以另一组数据2x1－3,2x2－3,2x3－3,2x4－3,2x5－3的平均数为2×2－3＝1. [答案]　A 3．(5分)某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表： 鞋号 34 35 36 37 38 39 40 41 日销量/双 2 5 9 16 9 5 3 2 如果你是鞋店经理，那么下列统计量中对你来说最重要的是(　　) A．平均数 B．众数 C．中位数 D．极差 [解析]　鞋店经理最关心的是哪个鞋号的鞋销量最大，由表可知，鞋号为37的鞋销量最大，共销售了16双，所以这组数据最重要的是众数． [答案]　B 4．(5分)某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为(　　) A．20 B．25 C．22.5 D．22.75 [解析]　自左至右各小矩形的面积依次为0.1,0.2,0.4,0.15，0.15，设中位数是x，则由0.1＋0.2＋0.08×(x－20)＝0.5，解得x＝22.5. [答案]　C 5．(6分)(多选)小华所在的年级一班共有50名学生，一次体检测量了全班学生的身高，由此求得该班学生的平均身高是1.65米，而小华的身高是1.66米，则下列说法正确的是(　　) A．1.65米是该班学生身高的平均水平 B．班上比小华高的学生人数不会超过25 C．这组身高数据的中位数不一定是1.65米 D．这组身高数据的众数不一定是1.65米 [解析]　由平均数所反映的意义知A选项正确；由中位数与平均数的关系确定C选项正确；由众数与平均数的关系确定D选项正确；由于平均数受一组数据中的极端值的影响，故B选项错误．因此选ACD. [答案]　ACD 二、填空题 6．(5分)已知一组数据按从小到大排列为－1,0,4，x,6,15，且这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数是________，平均数是________． [解析]　因为中位数为5，所以＝5，即x＝6.所以该组数据的众数为6，平均数为＝5. [答案]　6　5 7．(5分)某小组共8人，若生物等级考成绩如下：2人70分、2人67分、3人64分、1人61分，则该小组生物等级考成绩的中位数为________． [解析]　8人的生物等级考成绩从小到大排列如下：61,64,64,64,67,67,70,70，所以该小组生物等级考成绩的中位数为＝65.5. [答案]　65.5 8．(5分)如图所示是某学校高一(1)班期中考试成绩的统计图．根据该图可估计，这次考试的平均成绩为________分． [解析]　根据题中统计图，可知有4人成绩在[0,20)之间，其考试分数之和为4×10＝40；有8人成绩在[20,40)之间，其考试分数之和为8×30＝240；有10人成绩在[40,60)之间，其考试分数之和为10×50＝500；有6人成绩在[60,80)之间，其考试分数之和为6×70＝420；有2人成绩在[80,100]之间，其考试分数之和为2×90＝180，由此可知，考生总人数为4＋8＋10＋6＋2＝30，考试总成绩为40＋240＋500＋420＋180＝1380，平均分数为＝46. [答案]　46 三、解答题 9．(10分)在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示： 成绩(单位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 人数 2 3 2 3 4 1 1 1 分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数． [解]　在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70.这组数据的平均数是＝×(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝≈1.69(m)．故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m,1.70 m,1.69 m. 10．(10分)某中学开展演讲比赛活动，高一(1)班、高一(2)班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩(满分为100分)如下图所示． (1)根据上图填写下表： 平均分(分) 中位数(分) 众数(分) 高一(1)班 85 ______ 85 高一(2)班 85 80 ______ (2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好； (3)如果在每班参加复赛的选手中分别选出2人参加决赛，你认为哪个班的实力更强一些？说明理由． [解]　(1)85　100 (2)∵两班的平均数相同，高一(1)班的中位数高， ∴高一(1)班的复赛成绩好些． (3)∵高一(1)班、高一(2)班前两名选手的平均分分别为92.5分，100分， ∴在每班参加复赛的选手中分别选出2人参加决赛，高一(2)班的实力更强一些． 能力提升 11．(5分)已知数据x1，x2，…，x200是某市普通职工2023年的年收入，设这200个数据的平均数为x，中位数为y，众数为z，如果再加上该市首富的年收入x201，对于这201个数据，下列说法中正确的是(　　) A．x一定变大，y一定变大，z可能不变 B．x可能不变，y可能不变，z一定不变 C．x可能不变，y一定变大，z可能不变 D．x一定变大，y可能不变，z一定不变 [解析]　因为数据x1，x2，…，x200是某市普通职工2023年的年收入，而x201为该市首富的年收入，则x201会远大于x1，x2，…，x200，故年收入的平均数x一定变大，但中位数y可能不变，也可能稍微变大，众数z一定不变． [答案]　D 12．(6分)(多选)2022年是中国共产主义青年团成立100周年．为庆祝建团100周年，某中学全体学生参加了主题为“赓续红色血脉·争当青春先锋”的知识竞赛，随机抽取了若干名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．直方图中x的值为0.030 B．成绩在区间[90,100)内的学生最多 C．估计全校学生的平均成绩为84分 D．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93 [解析]　对于A，∵(0.005＋0.010＋0.015＋x＋0.040)×10＝1，∴x＝0.030，正确；对于B，∵成绩在区间[90,100)内的学生对应频率最大，∴成绩在区间[90,100)内的学生最多，正确；对于C，平均成绩为55×0.05＋65×0.1＋75×0.15＋85×0.3＋95×0.4＝84，正确；对于D,80%分位数约为90＋×10＝95，错误． [答案]　ABC 13．(5分)已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是4,4,7,4,8,10，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失数据的所有可能值构成的集合为________． [解析]　设丢失的数据为x，则这七个数据的平均数为，众数是4，因为这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍， 若x≤4，则中位数为4，此时＋4＝2×4，解得x＝－9； 若4<x<7，则中位数为x，此时＋4＝2x，解得x＝5； 若x≥7，则中位数为7，此时＋4＝2×7，解得x＝33. 综上可知，丢失数据的所有可能的取值为－9,5,33，其构成的集合为{－9,5,33}． [答案]　{－9,5,33} 14．(11分)随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷．现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下． (1)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)； (2)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？ [解]　(1)依题意得，使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55，平均数为15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40. (2)使用B款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35<40，所以选B款订餐软件． 拓展探究 15．(12分)某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩(满分100分)统计如下表： 班级 平均分 众数 中位数 甲班 79 70 87 乙班 79 70 79 (1)请你对下面的一段话给予简要分析： 甲班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！” (2)请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出数学建议． [解]　(1)由中位数可知，85分排在第25名之后，从名次上讲，85分不算是上游，但也不能单以名次来判断学习成绩的好坏，小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容掌握较好． (2)甲班学生成绩的中位数为87分，说明高于或等于87分的学生占一半以上，而平均分为79分，说明两极分化严重，建议对学习有困难的同学多给一些帮助； 乙班学生成绩的中位数和平均分均为79分，说明学生成绩之间差别较小，成绩很差的学生少，但成绩优异的学生也很少，建议采取措施提高优秀率． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$